ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลข การประมาณค่า แบบแอร์ไมต์ (Hermite interpolation)ซึ่งตั้งชื่อตามชาร์ลส์ แอร์ไมต์เป็นวิธี การประมาณค่าพหุนาม ซึ่งเป็นการขยายความของการ ประมาณค่าแบบลาก รางจ์ (Lagrange interpolation) การประมาณ ค่าแบบลากรางจ์ช่วยให้สามารถคำนวณพหุนาม ที่มีดีกรี น้อยกว่าnซึ่งมีค่าเท่ากันที่ จุด nจุดที่กำหนด เช่นเดียวกับฟังก์ชันที่กำหนด ในทางกลับกัน การประมาณค่าแบบแอร์ไมต์จะคำนวณพหุนามที่มีดีกรีน้อยกว่าnโดยที่พหุนามและอนุพันธ์ไม่กี่ตัวแรกของพหุนามจะมีค่าเท่ากันที่ จุด m จุด (น้อยกว่าn ) เช่นเดียวกับฟังก์ชันที่กำหนดและอนุพันธ์ไม่กี่ตัวแรกของฟังก์ชันที่จุดเหล่านั้น จำนวนข้อมูล ค่าฟังก์ชัน และค่าอนุพันธ์ ต้องรวมกันได้เท่ากับ... ${\displaystyle n}$

วิธีการประมาณค่าแบบ Hermite มีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวิธีการประมาณค่าแบบ Newtonเนื่องจากทั้งสองวิธีสามารถได้มาจากการคำนวณผลต่างหารอย่างไรก็ตาม ยังมีวิธีการอื่น ๆ ในการคำนวณพหุนามประมาณค่าแบบ Hermite เราสามารถใช้พีชคณิตเชิงเส้นโดยกำหนดให้สัมประสิทธิ์ของพหุนามประมาณค่าเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่าและเขียนข้อจำกัดที่พหุนามประมาณค่าต้องเป็นไปตามนั้นในรูปสมการเชิงเส้น สำหรับวิธีการอื่น โปรดดูทฤษฎีบทเศษเหลือของจีน § การประมาณค่าแบบ Hermiteสำหรับวิธีการอื่นอีก โปรดดู^{[ 1 ]}ซึ่งใช้ การอินทิเกรต ตาม เส้นโค้ง

ในการกำหนดสูตรที่จำกัดซึ่งศึกษาใน^{[ 2 ]}การแทรกสอดแบบ Hermite ประกอบด้วยการคำนวณพหุนามที่มีดีกรีต่ำที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ซึ่งตรงกับฟังก์ชันที่ไม่ทราบค่าทั้งในค่าที่สังเกตได้และค่าที่สังเกตได้ของ อนุพันธ์ m ตัวแรก ซึ่งหมายความว่าต้องทราบค่า n ( m + 1) ค่า พหุนามที่ได้จะมีดีกรีน้อยกว่าn ( m + 1) (ในกรณีทั่วไป ไม่จำเป็นต้องให้mเป็นค่าคงที่ กล่าวคือ บางจุดอาจมีอนุพันธ์ที่ทราบค่ามากกว่าจุดอื่น ในกรณีนี้ พหุนามที่ได้จะมีดีกรีน้อยกว่าจำนวนจุดข้อมูล) $${\displaystyle {\begin{matrix}(x_{0},y_{0}),&(x_{1},y_{1}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}),\\[1ex](x_{0},y_{0}'),&(x_{1},y_{1}'),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}'),\\[1ex]\vdots &\vdots &&\vdots \\[1.2ex](x_{0},y_{0}^{(m)}),&(x_{1},y_{1}^{(m)}),&\ldots ,&(x_{n-1},y_{n-1}^{(m)})\end{matrix}}}$$

ให้เราพิจารณาพหุนามP ( x )ที่มีดีกรีน้อยกว่าn ( m + 1)โดยมี สัมประสิทธิ์ ที่ไม่แน่นอนกล่าวคือ สัมประสิทธิ์ของP ( x )คือ ตัวแปรใหม่ n ( m + 1)ตัว จากนั้น โดยการเขียนข้อจำกัดที่พหุนามการประมาณค่าต้องเป็นไปตามนั้น จะได้ระบบ สมการเชิงเส้น n ( m + 1)สมการใน ตัวแปร ที่ไม่ทราบค่า n ( m + 1) ตัว

โดยทั่วไป ระบบดังกล่าวจะมีคำตอบเพียงหนึ่งเดียว ใน^{[ 1 ]} Charles Hermiteใช้การอินทิเกรตตามเส้นโค้งเพื่อพิสูจน์ว่ากรณีนี้เป็นจริง และเพื่อหาคำตอบที่ไม่ซ้ำกัน โดยที่x _iแตกต่างกันเป็นคู่ๆ ปัญหาการแทรกสอดของ Hermite เป็นปัญหาพีชคณิตเชิงเส้นที่มีสัมประสิทธิ์ของพหุนามการแทรกสอดเป็นตัวแปรที่ไม่ทราบค่า และเมทริกซ์ Vandermonde ที่ต่อเนื่องกันเป็นเมทริกซ์^{[ 3 ]}วิธีการทั่วไปของพีชคณิตเชิงเส้น และวิธีการเฉพาะสำหรับเมทริกซ์ Vandermonde ที่ต่อเนื่องกัน มักใช้ในการคำนวณพหุนามการแทรกสอด อีกวิธีหนึ่งจะอธิบายไว้ด้านล่าง

ให้kเป็นจำนวนเต็ม บวก ⁠ ⁠${\displaystyle m_{1},\ldots ,m_{k}}$เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และ⁠ ⁠${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{k}}$เป็น ค่าของ จำนวนจริง หรืออยู่ใน ฟิลด์อื่นใดที่มีลักษณะ เฉพาะเป็น ศูนย์ปัญหาการประมาณค่าแบบเฮอร์ไมต์ประกอบด้วยการหาพหุนามfเช่นนั้น

${\displaystyle f(x_{i})=y_{i,0},f'(x_{i})=y_{i,1},\ldots ,f^{m_{i}}(x_{i})=y_{i,m_{i}}}$

สำหรับ⁠ ⁠${\displaystyle i=1,\ldots ,k}$โดยที่⁠ ⁠${\displaystyle y_{i,j}}$ จะ ได้ รับค่าในฟิลด์เดียวกันกับ⁠ ⁠${\displaystyle x_{i}}$

เงื่อนไขเหล่านี้บ่งชี้ว่าพหุนามเทย์เลอร์ของfที่มีดีกรี⁠ ⁠${\displaystyle m_{i}}$ที่⁠ ⁠${\displaystyle x_{i}}$คือ

${\displaystyle \sum _{j=0}^{m_{i}}{\frac {y_{i,j}}{i!}}(x-x_{i})^{j}.}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พหุนามf ที่ต้องการ นั้นสอดคล้องกับพหุนามนี้มอดูล ${\displaystyle (x-x_{i})^{m_{i}+1}}$

ทฤษฎีบทเศษเหลือ ของจีนสำหรับพหุนามบ่งชี้ว่าจะมีคำตอบเพียงหนึ่งเดียวที่มีดีกรีน้อยกว่า${\textstyle n=\sum _{i=0}^{k}(m_{i}+1).}$

นอกจากนี้ วิธีแก้ปัญหานี้สามารถคำนวณได้ด้วยการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ หรือเร็วกว่านั้นด้วยการคูณพหุนาม แบบ เร็ว ${\displaystyle O(n^{2})}$

วิธีการนี้ใช้ไม่ได้กับค่าลักษณะเฉพาะที่เป็นบวก เนื่องจากตัวส่วนของสัมประสิทธิ์ของพหุนามเทย์เลอร์ ส่วนวิธีการใช้ผลต่างหารดังที่แสดงด้านล่างนั้นใช้ได้กับค่าลักษณะเฉพาะทุกค่า

เมื่อใช้ผลต่างหารเพื่อคำนวณพหุนามเฮอร์ไมต์ของฟังก์ชันfขั้นตอนแรกคือการคัดลอกแต่ละจุดmครั้ง (ในที่นี้เราจะพิจารณากรณีที่ง่ายที่สุดสำหรับทุกจุด) ดังนั้น เมื่อกำหนดจุดข้อมูล, และค่าและสำหรับฟังก์ชันที่เราต้องการประมาณค่า เราจะสร้างชุดข้อมูลใหม่ โดยที่ ${\displaystyle m=1}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle f(x_{0}),f(x_{1}),\ldots ,f(x_{n})}$${\displaystyle f'(x_{0}),f'(x_{1}),\ldots ,f'(x_{n})}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}}$$$${\displaystyle z_{2i}=z_{2i+1}=x_{i}.}$$

ตอนนี้ เราจะสร้างตารางผลต่างหารสำหรับคะแนนต่างๆอย่างไรก็ตาม สำหรับผลต่างหารบางค่า ที่ไม่สามารถหาค่าได้ ในกรณีนี้ ผลต่างหารจะถูกแทนที่ด้วยค่าอื่น ส่วนผลต่างหารอื่นๆ จะคำนวณตามปกติ ${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{2n+1}}$$${\displaystyle z_{i}=z_{i+1}\นัย f[z_{i},z_{i+1}]={\frac {f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}}}={\frac {0}{0}}}$$${\displaystyle f'(z_{i})}$

โดยทั่วไป สมมติว่าจุดหนึ่งมี อนุพันธ์ kตัว ดังนั้นชุดข้อมูลจะมีค่าที่เหมือนกันkค่า เมื่อสร้างตารางผลต่างหารของค่าที่เหมือนกันจะถูกคำนวณดังนี้ ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle z_{0},z_{1},\ldots ,z_{N}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle j=2,3,\ldots ,k}$$${\displaystyle {\frac {f^{(j)}(x_{i})}{j!}}.}$$

ตัวอย่างเช่น เป็นต้น $${\displaystyle f[x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f''(x_{i})}{2}}}$$$${\displaystyle f[x_{i},x_{i},x_{i},x_{i}]={\frac {f^{(3)}(x_{i})}{6}}}$$

Schneider และ Werner ได้นำเสนออัลกอริทึมที่รวดเร็วสำหรับกรณีทั่วไปทั้งหมด^{[ 4 ]} Corless และ Fillion ได้นำเสนออัลกอริทึมที่ช้ากว่าแต่มีเสถียรภาพเชิงตัวเลขมากกว่า^{[ 5 ]}

พิจารณาฟังก์ชันเมื่อประเมินฟังก์ชันและอนุพันธ์อันดับแรกสองตัวของฟังก์ชันที่จุดเราจะได้ข้อมูลดังต่อไปนี้: ${\displaystyle f(x)=x^{8}+1}$${\displaystyle x\in \{-1,0,1\}}$

เนื่องจากเรามีอนุพันธ์สองตัวให้ใช้ เราจึงสร้างเซตขึ้นมา ตารางผลต่างหารของเราจะเป็นดังนี้: และพหุนามที่สร้างขึ้นจะได้ มาจากการนำสัมประสิทธิ์จากแนวทแยงของตารางผลต่างหาร แล้วคูณ สัมประสิทธิ์ตัวที่ kด้วยเช่นเดียวกับการสร้างพหุนามนิวตัน ${\displaystyle \{z_{i}\}=\{-1,-1,-1,0,0,0,1,1,1\}}$$${\displaystyle {\begin{array}{llcclrrrrr}z_{0}=-1&f[z_{0}]=2&&&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{0})}{1}}=-8&&&&&&&\\z_{1}=-1&f[z_{1}]=2&&{\frac {f''(z_{1})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{1})}{1}}=-8&&f[z_{3},z_{2},z_{1},z_{0}]=-21&&&&&\\z_{2}=-1&f[z_{2}]=2&&f[z_{3},z_{2},z_{1}]=7&&15&&&&\\&&f[z_{3},z_{2}]=-1&&f[z_{4},z_{3},z_{2},z_{1}]=-6&&-10&&&\\z_{3}=0&f[z_{3}]=1&&f[z_{4},z_{3},z_{2}]=1&&5&&4&&\\&&{\frac {f'(z_{3})}{1}}=0&&f[z_{5},z_{4},z_{3},z_{2}]=-1&&-2&&-1&\\z_{4}=0&f[z_{4}]=1&&{\frac {f''(z_{4})}{2}}=0&&1&&2&&1\\&&{\frac {f'(z_{4})}{1}}=0&&f[z_{6},z_{5},z_{4},z_{3}]=1&&2&&1&\\z_{5}=0&f[z_{5}]=1&&f[z_{6},z_{5},z_{4}]=1&&5&&4&&\\&&f[z_{6},z_{5}]=1&&f[z_{7},z_{6},z_{5},z_{4}]=6&&10&&&\\z_{6}=1&f[z_{6}]=2&&f[z_{7},z_{6},z_{5}]=7&&15&&&&\\&&{\frac {f'(z_{6})}{1}}=8&&f[z_{8},z_{7},z_{6},z_{5}]=21&&&&&\\z_{7}=1&f[z_{7}]=2&&{\frac {f''(z_{7})}{2}}=28&&&&&&\\&&{\frac {f'(z_{7})}{1}}=8&&&&&&&\\z_{8}=1&f[z_{8}]=2&&&&&&&&\\\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}P(x)&=2-8(x+1)+28(x+1)^{2}-21(x+1)^{3}+15x(x+1)^{3}-10x^{2}(x+1)^{3}\\&\quad {}+4x^{3}(x+1)^{3}-1x^{3}(x+1)^{3}(x-1)+x^{3}(x+1)^{3}(x-1)^{2}\\&=2-8+28-21-8x+56x-63x+15x+28x^{2}-63x^{2}+45x^{2}-10x^{2}-21x^{3}\\&\quad {}+45x^{3}-30x^{3}+4x^{3}+x^{3}+x^{3}+15x^{4}-30x^{4}+12x^{4}+2x^{4}+x^{4}\\&\quad {}-10x^{5}+12x^{5}-2x^{5}+4x^{5}-2x^{5}-2x^{5}-x^{6}+x^{6}-x^{7}+x^{7}+x^{8}\\&=x^{8}+1.\end{aligned}}}$$${\textstyle \prod _{i=0}^{k-1}(x-z_{i})}$

การประมาณค่าแบบ Hermite ระดับห้าโดยใช้ฟังก์ชัน ( ), อนุพันธ์อันดับแรก ( ) และอนุพันธ์อันดับสอง ( ) ที่จุดสองจุดที่แตกต่างกัน ( และ) สามารถนำมาใช้เพื่อประมาณตำแหน่งของวัตถุโดยอาศัยตำแหน่ง ความเร็ว และความเร่งได้ รูปแบบทั่วไปมีดังนี้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle f'}$${\displaystyle f''}$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle x_{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}p(x)&=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+{\frac {f(x_{1})-f(x_{0})-f'(x_{0})(x_{1}-x_{0})-{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{3}}}(x-x_{0})^{3}\\&+{\frac {3f(x_{0})-3f(x_{1})+2\left(f'(x_{0})+{\frac {1}{2}}f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}f''(x_{0})(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{4}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})\\&+{\frac {6f(x_{1})-6f(x_{0})-3\left(f'(x_{0})+f'(x_{1})\right)(x_{1}-x_{0})+{\frac {1}{2}}\left(f''(x_{1})-f''(x_{0})\right)(x_{1}-x_{0})^{2}}{(x_{1}-x_{0})^{5}}}(x-x_{0})^{3}(x-x_{1})^{2}.\end{aligned}}}$$

เรียกพหุนามที่คำนวณได้ว่าHและฟังก์ชันดั้งเดิมว่าfพิจารณากรณีค่าจริงก่อน เมื่อประเมินค่าที่จุดฟังก์ชันความคลาดเคลื่อนคือ โดยที่c เป็นค่าที่ไม่ทราบค่า ในช่วงKคือจำนวนจุดข้อมูลทั้งหมด และคือจำนวนอนุพันธ์ที่ทราบค่า ณ แต่ละจุดดังนั้นดีกรีของพหุนามทางด้านขวาจึงสูงกว่าขอบเขตดีกรีสำหรับ หนึ่งระดับ ยิ่งไปกว่านั้น ความคลาดเคลื่อนและอนุพันธ์ทั้งหมดจนถึงอันดับที่ จะเป็นศูนย์ที่แต่ละจุด ซึ่งเป็นไปตามที่ควรจะเป็น ${\displaystyle x\in [x_{0},x_{n}]}$$${\displaystyle f(x)-H(x)={\frac {f^{(K)}(c)}{K!}}\prod _{i}(x-x_{i})^{k_{i}},}$$${\displaystyle [x_{0},x_{N}]}$${\displaystyle k_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle H(x)}$${\displaystyle k_{i}-1}$

ในกรณีที่ซับซ้อน ดังที่อธิบายไว้ในหน้า 360 ใน^{[ 5 ]} ซึ่งเส้นโค้งล้อมรอบโหนดทั้งหมดและพหุนามโหนดคือ $${\displaystyle f(z)-H(z)={\frac {w(z)}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {f(\zeta )}{w(\zeta )(\zeta -z)}}d\zeta }$$${\displaystyle C}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle w(z)=\prod _{i}(z-x_{i})^{k_{i}}}$

• สปลายเฮอร์ไมต์ลูกบาศก์
• อนุกรมนิวตันหรือที่รู้จักกันในชื่อผลต่างจำกัด
• แผนผังของเนวิลล์
• พหุนามเบิร์นสไตน์

• พหุนามการแทรกสอดของเฮอร์ไมต์ที่ Mathworld