ในการวิเคราะห์เชิงตัวเลขค่าคงที่ของเลเบส (ขึ้นอยู่กับชุดของจุดและขนาดของชุดจุด) จะให้แนวคิดเกี่ยวกับความแม่นยำของการประมาณค่าฟังก์ชัน (ที่จุดที่กำหนด) เมื่อเทียบกับการประมาณค่าพหุนาม ที่ดีที่สุด ของฟังก์ชัน (โดยที่ระดับของพหุนามคงที่) ค่าคงที่ของเลเบสสำหรับพหุนามที่มีระดับไม่เกินและสำหรับชุดของจุดโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ค่าคงที่เหล่านี้ตั้งชื่อตามอองรี เลเบส ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \Lambda _{n}(T)}$

เรากำหนดจุดการแทรกสอดและช่วงที่ประกอบด้วยจุดการแทรกสอดทั้งหมด กระบวนการแทรกสอดจะแปลงฟังก์ชันไปเป็นพหุนามซึ่งเป็นการกำหนดการแมป_จากปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องทั้งหมดไปยังตัวมันเอง การแมปนี้เป็นเชิงเส้นและเป็นการฉายภาพบนปริภูมิย่อยΠnของพหุนามดีกรีnหรือน้อยกว่า ${\displaystyle x_{0},...,x_{n}}$${\displaystyle [a,\,b]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C([a,b])}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle X}$

ค่าคงที่เลเบสถูกนิยามว่าเป็นค่ามาตรฐานของ ตัวดำเนินการของ โดยนิยามนี้กำหนดให้เราต้องระบุค่ามาตรฐานบน ซึ่ง โดยปกติแล้ว ค่ามาตรฐานแบบเอกรูปจะสะดวกที่สุด ${\displaystyle \Lambda _{n}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C([a,b])}$

ค่าคงที่ของเลเบสกำหนดขอบเขตของข้อผิดพลาดในการประมาณค่า: ให้แทนการประมาณค่าที่ดีที่สุดของในบรรดาพหุนามที่มีดีกรีหรือน้อยกว่า กล่าวอีกนัยหนึ่งคือทำให้ค่าต่ำสุด ในบรรดา พหุนาม pทั้งหมดใน Π _nจากนั้น ${\displaystyle p^{*}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p^{*}}$${\displaystyle \|pf\|}$

${\displaystyle \|fX(f)\|\leq (\Lambda _{n}(T)+1)\left\|fp^{*}\right\|.}$

ในที่นี้เราจะพิสูจน์ข้อความนี้ด้วยค่ามาตรฐานสูงสุด

${\displaystyle \|fX(f)\|\leq \|fp^{*}\|+\|p^{*}-X(f)\|}$

โดยอสมการสามเหลี่ยมแต่เป็นการฉายภาพบน Π _nดังนั้น ${\displaystyle X}$

p ^∗ − X ( f ) = X ( p ^∗ ) − X ( f ) = X ( p ^∗ − f ) .

ด้วยเหตุนี้ การพิสูจน์จึงเสร็จสิ้น เนื่องจาก. โปรดสังเกตว่าความสัมพันธ์นี้ยังเป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทของเลเบสอีก ด้วย${\displaystyle \|X(p^{*}-f)\|\leq \|X\|\|p^{*}-f\|=\|X\|\|fp^{*}\|}$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พหุนามการแทรกสอดจะแย่กว่าการประมาณที่ดีที่สุดอย่างมากที่สุดเพียงΛ _n ( T ) + 1 เท่าซึ่งบ่งชี้ว่าเราควรค้นหาชุดของจุดแทรกสอดที่มีค่าคงที่ของเลเบสก์น้อย

ค่าคงที่ของเลเบสสามารถแสดงได้ในรูปของ พหุนาม ฐานลากรางจ์ :

${\displaystyle \ell _{j}(x):=\prod _{\begin{smallmatrix}i=0\\j\neq i\end{smallmatrix}}^{n}{\frac {x-x_{i}}{x_{j}-x_{i}}}.}$

อันที่จริง เรามีฟังก์ชันเลเบสก์อยู่แล้ว

${\displaystyle \lambda _{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}|\ell _{j}(x)|.}$

และค่าคงที่เลเบส (หรือเลขเลเบส) สำหรับตารางนั้นคือค่าสูงสุดของมัน

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)=\max _{x\in [a,b]}\lambda _{n}(x)}$

อย่างไรก็ตาม การหาการ แสดงออก ที่ชัดเจนสำหรับ Λ _n ( T )นั้นไม่ใช่เรื่องง่าย

ในกรณีที่จุดโหนดอยู่ห่างกันเท่าๆ กัน ค่าคงที่ของเลเบสจะเพิ่มขึ้นแบบเลขชี้กำลัง กล่าวคือ เรามีการประมาณค่าเชิงอะซิมโทติกดังต่อไปนี้

${\displaystyle \Lambda _{n}(T)\sim {\frac {2^{n+1}}{n\log n}}\qquad {\text{ เมื่อ }}n\to \infty .}$

ในทางกลับกัน ค่าคงที่ของเลเบสจะเพิ่มขึ้นแบบลอการิทึมเท่านั้นหากใช้ โหนดเชบิเชฟ เนื่องจากเรามี

${\displaystyle {\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+a<\Lambda _{n}(T)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+1,\qquad a=0.9625\ldots }$

เราสรุปอีกครั้งว่าโหนดเชบิเชฟเป็นตัวเลือกที่ดีมากสำหรับการประมาณค่าแบบพหุนามอย่างไรก็ตาม มีการแปลงโหนดเชบิเชฟแบบง่าย (เชิงเส้น) ที่ให้ค่าคงที่เลเบสที่ดีกว่า ให้t _iแทน โหนดเชบิเชฟที่ iจากนั้นกำหนด

${\displaystyle s_{i}={\frac {t_{i}}{\cos \left({\frac {\pi }{2(n+1)}}\right)}}.}$

สำหรับโหนดดังกล่าว:

${\displaystyle \Lambda _{n}(S)<{\tfrac {2}{\pi }}\log(n+1)+b,\qquad b=0.7219\ldots }$

อย่างไรก็ตาม โหนดเหล่านั้นไม่ใช่โหนดที่เหมาะสมที่สุด (กล่าวคือ พวกมันไม่ได้ทำให้ค่าคงที่ของเลเบสมีค่าน้อยที่สุด) และการค้นหาชุดโหนดที่เหมาะสมที่สุด (ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้วว่ามีเพียงหนึ่งเดียวภายใต้สมมติฐานบางประการ) ยังคงเป็นหัวข้อที่น่าสนใจในทางคณิตศาสตร์ในปัจจุบัน อย่างไรก็ตาม ชุดโหนดนี้เหมาะสมที่สุดสำหรับการประมาณค่าในช่วงของฟังก์ชัน ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ nครั้ง ซึ่ง อนุพันธ์อันดับที่ nมีค่าสัมบูรณ์จำกัดด้วยค่าคงที่Mดังที่แสดงโดย NS Hoang โดยใช้คอมพิวเตอร์เราสามารถประมาณค่าของค่าคงที่ของเลเบสที่น้อยที่สุดได้ ในที่นี้สำหรับช่วงมาตรฐาน[−1, 1] : ${\displaystyle C_{M}^{n}[-1,1]}$

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Λ n ( T )	1.0000	1.2500	1.4229	1.5595	1.6722	1.7681	1.8516	1.9255	1.9917

มีเซตของโหนดจำนวนนับไม่ถ้วนใน [−1,1] ที่ทำให้ค่าคงที่ของเลเบส มีค่าน้อยที่สุด สำหรับ n > 1 ที่กำหนดไว้ อย่างไรก็ตาม หากเราสมมติว่าเราใช้ −1 และ 1 เป็นโหนดสำหรับการแทรกสอดเสมอ (ซึ่งเรียกว่าการกำหนดค่าโหนด แบบมาตรฐาน ) เซตดังกล่าวจะมีเพียงหนึ่งเดียวและสมมาตรเป็นศูนย์ เพื่อแสดงให้เห็นคุณสมบัตินี้ เราจะมาดูว่าเกิดอะไรขึ้นเมื่อn = 2 (นั่นคือ เราพิจารณาโหนดการแทรกสอด 3 โหนด ซึ่งในกรณีนี้คุณสมบัติจะไม่ชัดเจน) เราสามารถตรวจสอบได้ว่าแต่ละเซตของโหนด (สมมาตรเป็นศูนย์) ประเภท(−a , 0, a )นั้นเหมาะสมที่สุดเมื่อ⁠√ 8/3⁠ ≤ a ≤ 1 (เราพิจารณาเฉพาะโหนดในช่วง [−1, 1] เท่านั้น) หากเราบังคับให้เซตของโหนดเป็นประเภท (−1, b , 1)แล้ว bจะต้องเท่ากับ 0 (ดูที่ฟังก์ชัน Lebesgue ซึ่งค่าสูงสุดคือค่าคงที่ Lebesgue) เซตของโหนดที่เหมาะสมที่สุดโดยพลการ (เช่น สมมาตรศูนย์หรืออสมมาตรศูนย์) ในช่วง [−1,1] เมื่อ n = 2 ได้รับการกำหนดโดย F. Schurer และในอีกรูปแบบหนึ่งโดย H.-J. Rack และ R. Vajda (2014)

หากเราสมมติว่าเราใช้ −1 และ 1 เป็นโหนดสำหรับการแทรกสอด ดังที่แสดงโดย H.-J. Rack (1984 และ 2013) สำหรับกรณีn = 3 ค่าที่ชัดเจนของโหนดการแทรกสอด 4 โหนดที่เหมาะสมที่สุด (ไม่ซ้ำกันและสมมาตรเป็นศูนย์) และค่าที่ชัดเจนของค่าคงที่ Lebesgue ขั้นต่ำเป็นที่ทราบกันดี ชุดโหนดการแทรกสอด 4 โหนดที่เหมาะสมที่สุด ตามอำเภอใจ ทั้งหมด ใน [1,1] เมื่อn = 3 ได้รับการกำหนดอย่างชัดเจนในสองวิธีที่แตกต่างกันแต่เทียบเท่ากันโดย H.-J. Rack และ R. Vajda (2015)

จุดปาดัวเป็นอีกชุดหนึ่งของโหนดที่มีการเติบโตช้า (แม้จะไม่ช้าเท่าโหนดเชบิเชฟ) และมีคุณสมบัติเพิ่มเติมคือเป็นชุดจุดที่มีตัวทำละลายเพียงตัวเดียว

ค่าคงที่ของเลเบสยังปรากฏในปัญหาอื่นอีกด้วย ให้p ( x ) เป็นพหุนามดีกรีnที่แสดงในรูปแบบลากรางจ์ที่เกี่ยวข้องกับจุดในเวกเตอร์t (กล่าวคือ เวกเตอร์uของสัมประสิทธิ์คือเวกเตอร์ที่ประกอบด้วยค่า) ให้เป็นพหุนามที่ได้จากการเปลี่ยนสัมประสิทธิ์uของพหุนามp ( x ) เดิมเล็กน้อยเป็น พิจารณาอสมการต่อไปนี้: ${\displaystyle p(t_{i})}$${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$${\displaystyle {\hat {u}}}$

${\displaystyle {\frac {\|p-{\hat {p}}\|}{\|p\|}}\leq \Lambda _{n}(T){\frac {\|u-{\hat {u}}\|}{\|u\|}}}$

นี่หมายความว่าข้อผิดพลาด (สัมพัทธ์) ในค่าของจะไม่สูงกว่าค่าคงที่เลเบสที่เหมาะสมคูณด้วยข้อผิดพลาดสัมพัทธ์ในสัมประสิทธิ์ ในแง่นี้ ค่าคงที่เลเบสสามารถมองได้ว่าเป็นเลขสภาพสัมพัทธ์ของตัวดำเนินการที่แมปเวกเตอร์สัมประสิทธิ์u แต่ละตัว ไปยังเซตของค่าของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์uในรูปแบบลากรางจ์ เราสามารถกำหนดตัวดำเนินการดังกล่าวสำหรับแต่ละฐานพหุนามได้ แต่เลขสภาพของมันจะมากกว่าค่าคงที่เลเบสที่เหมาะสมที่สุดสำหรับฐานที่สะดวกส่วนใหญ่ ${\displaystyle {\hat {p}}(x)}$