ในการประมาณค่าพหุนามของตัวแปรสอง ตัว จุดปาดัวเป็นตัวอย่างแรกที่รู้จัก (และจนถึงปัจจุบันเป็นเพียงตัวอย่างเดียว) ของชุดจุดเอกลักษณ์ (นั่นคือ พหุนามการประมาณค่ามีเอกลักษณ์) ที่มี การเติบโต ของค่าคงที่เลเบสน้อยที่สุด ซึ่งได้รับการพิสูจน์แล้ว ว่าเป็น^{[ 1 ]} ชื่อของจุดเหล่านี้มาจากมหาวิทยาลัยปาดัวซึ่งเป็นสถานที่ที่ค้นพบจุดเหล่านี้เป็นครั้งแรก^{[ 2 ]}${\displaystyle O(\log ^{2}n)}$

จุดต่างๆ ถูกกำหนดไว้ในโดเมน สามารถใช้จุดเหล่านี้ได้สี่ทิศทาง โดยได้จากการหมุน 90 องศาต่อเนื่องกัน ด้วยวิธีนี้เราจะได้กลุ่มจุดปาดัวที่แตกต่างกันสี่กลุ่ม ${\displaystyle [-1,1]\times [-1,1]\subset \mathbb {R} ^{2}}$

เราสามารถมองจุดปาดัวว่าเป็น " การสุ่มตัวอย่าง " ของเส้นโค้งพาราเมตริกที่เรียกว่าเส้นโค้งกำเนิด ซึ่งแตกต่างกันเล็กน้อยสำหรับแต่ละตระกูลทั้งสี่ตระกูล เพื่อให้ สามารถกำหนด จุดสำหรับระดับการแทรกสอดและตระกูล ได้ดังนี้${\displaystyle n}$${\displaystyle s}$

${\displaystyle {\text{Pad}}_{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace =\left\lbrace \gamma _{s}\left({\frac {k\pi }{n(n+1)}}\right),k=0,\ldots ,n(n+1)\right\rbrace .}$

อันที่จริง จุดปาดัว จะอยู่บนจุดตัดกันเองของเส้นโค้ง และบนจุดตัดกันของเส้นโค้งกับขอบเขตของสี่เหลี่ยมจัตุรัสขนาดของเซตคือนอกจากนี้ สำหรับแต่ละตระกูลของจุดปาดัว จะมีสองจุดที่อยู่บนจุดยอดที่ต่อเนื่องกันของสี่เหลี่ยมจัตุรัส จุด จะอยู่บนขอบของสี่เหลี่ยมจัตุรัส และจุดที่เหลือจะอยู่บนจุดตัดกันเองของเส้นโค้งกำเนิดภายในสี่เหลี่ยมจัตุรัส^{[ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle [-1,1]^{2}}$${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}}$${\textstyle |\operatorname {Pad} _{n}^{s}|={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$${\displaystyle [-1,1]^{2}}$${\displaystyle 2n-1}$

เส้นโค้งกำเนิดทั้งสี่เป็น เส้นโค้งพาราเมตริก ปิดในช่วงและเป็นกรณีพิเศษของเส้นโค้งลิสซาจูส์ ${\displaystyle [0,2\pi ]}$

เส้นกำเนิดของจุดปาดัวตระกูลแรกคือ

${\displaystyle \gamma _{1}(t)=[-\cos((n+1)t),-\cos(nt)],\quad t\in [0,\pi ].}$

ถ้าเราสุ่มตัวอย่างตามที่เขียนไว้ข้างต้น เราจะได้:

${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{1}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\mu _{j},\eta _{k}),0\leq j\leq n;1\leq k\leq \lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor +1+\delta _{j}\rbrace ,}$

โดยที่เมื่อใดที่จำนวนนั้นเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ แต่จำนวนนั้นเป็นเลขคู่ ถ้าและทั้งคู่เป็นเลขคี่ ${\displaystyle \delta _{j}=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \delta _{j}=1}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$

กับ

${\displaystyle \mu _{j}=\cos \left({\frac {j\pi }{n}}\right),\eta _{k}={\begin{cases}\cos \left({\frac {(2k-2)\pi }{n+1}}\right)&j{\mbox{ odd}}\\\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{n+1}}\right)&j{\mbox{ even.}}\end{cases}}}$

จากนี้จึงสรุปได้ว่า จุดปาดัวของตระกูลแรกจะมีจุดยอดสองจุดอยู่ด้านล่างหากเป็นจำนวนคู่ หรืออยู่ทางด้านซ้ายหากเป็นจำนวนคี่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

เส้นกำเนิดของจุดปาดัวตระกูลที่สองคือ

${\displaystyle \gamma _{2}(t)=[-\cos(nt),-\cos((n+1)t)],\quad t\in [0,\pi ],}$

ซึ่งจะทำให้จุดยอดอยู่ทางซ้ายถ้าจำนวนเป็นเลขคู่ และอยู่ทางด้านล่างถ้าจำนวนเป็นเลขคี่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

เส้นกำเนิดของจุดปาดัวตระกูลที่สามคือ

${\displaystyle \gamma _{3}(t)=[\cos((n+1)t),\cos(nt)],\quad t\in [0,\pi ],}$

ซึ่งจะทำให้จุดยอดอยู่ด้านบนหากเป็นจำนวนคู่ และอยู่ด้านขวาหากเป็นจำนวนคี่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

เส้นกำเนิดของจุดปาดัวตระกูลที่สี่คือ

${\displaystyle \gamma _{4}(t)=[\cos(nt),\cos((n+1)t)],\quad t\in [0,\pi ],}$

ซึ่งจะทำให้จุดยอดอยู่ทางด้านขวาหากเป็นจำนวนคู่ และอยู่ด้านบนหากเป็นจำนวนคี่ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

การแสดงผลอย่างชัดเจนของพหุนามลากรางจ์ พื้นฐานนั้น ขึ้นอยู่กับเคอร์เนลการสร้างซ้ำ และของปริภูมิที่มาพร้อมกับผลคูณภายใน${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$${\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2})}$${\displaystyle \mathbf {y} =(y_{1},y_{2})}$${\displaystyle \Pi _{n}^{2}([-1,1]^{2})}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{[-1,1]^{2}}f(x_{1},x_{2})g(x_{1},x_{2}){\frac {dx_{1}}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}}{\frac {dx_{2}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}}}$

กำหนดโดย

${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{\hat {T}}_{j}(x_{1}){\hat {T}}_{k-j}(x_{2}){\hat {T}}_{j}(y_{1}){\hat {T}}_{k-j}(y_{2})}$

โดย แทน พหุนามเชบิเชฟปกติของดีกรี(นั่นคือและโดยที่คือพหุนามเชบิเชฟคลาสสิกชนิดแรกของดีกรี) ^{[ 3 ]}สำหรับสี่ตระกูลของจุดปาดัว ซึ่งเราอาจใช้สัญลักษณ์, , สูตรการแทรกสอดของลำดับของฟังก์ชันบนจุดเป้าหมายทั่วไปคือ ${\displaystyle {\hat {T}}_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\hat {T}}_{0}=T_{0}}$${\displaystyle {\hat {T}}_{p}={\sqrt {2}}T_{p}}$${\displaystyle T_{p}(\cdot )=\cos(p\arccos(\cdot ))}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \operatorname {Pad} _{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace }$${\displaystyle s=\lbrace 1,2,3,4\rbrace }$${\displaystyle n}$${\displaystyle f\colon [-1,1]^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {x} \in [-1,1]^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}^{s}f(\mathbf {x} )=\sum _{\mathbf {\xi } \in \operatorname {Pad} _{n}^{s}}f(\mathbf {\xi } )L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$

พหุนามลากรางจ์พื้นฐานอยู่ ที่ไหน${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$

${\displaystyle L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )=w_{\mathbf {\xi } }(K_{n}(\mathbf {\xi } ,\mathbf {x} )-T_{n}(\xi _{i})T_{n}(x_{i})),\quad s=1,2,3,4,\quad i=2-(s\mod 2).}$

น้ำหนักถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }}$

${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }={\frac {1}{n(n+1)}}\cdot {\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is a vertex point}}\\1{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an edge point}}\\2{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an interior point.}}\end{cases}}}$

• รายชื่อสิ่งพิมพ์ที่เกี่ยวข้องกับจุดปาดัวและซอฟต์แวร์การประมาณค่าบางส่วน