พหุนามเชบิเชฟเป็นลำดับของพหุนามเชิงตั้งฉาก สองลำดับ ที่เกี่ยวข้องกับฟังก์ชันโคไซน์และไซน์ซึ่งเขียนแทนด้วยและสามารถนิยามได้หลายวิธีที่เทียบเท่ากัน โดยวิธีหนึ่งเริ่มต้นด้วยฟังก์ชันตรีโกโนเมตริก : ${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle U_{n}(x)}$

พหุนามเชบิเชฟชนิดแรก ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle T_{n}}$

$${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta ).}$$

ในทำนองเดียวกันพหุนามเชบิเชฟชนิดที่สอง ถูกกำหนดโดย ${\displaystyle U_{n}}$

$${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )\sin \theta ={\sin }{\big (}(n+1)\theta {\big )}.}$$

การที่นิพจน์เหล่านี้กำหนดพหุนามในนั้นอาจดูไม่ชัดเจนในตอนแรก แต่สามารถแสดงได้โดยใช้สูตรของเดอ มัวร์ (ดูด้านล่าง ) ${\displaystyle \cos \theta }$

พหุนามเชบิเชฟT _nเป็นพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าที่ใหญ่ที่สุดที่เป็นไปได้ ซึ่งค่าสัมบูรณ์ในช่วง[−1, 1]ถูกจำกัดด้วย 1 นอกจากนี้ยังเป็นพหุนาม "สุดขั้ว" สำหรับคุณสมบัติอื่นๆ อีกมากมาย^{[ 1 ]}

ในปี พ.ศ. 2495 Cornelius Lanczosแสดงให้เห็นว่าพหุนามเชบิเชฟมีความสำคัญในทฤษฎีการประมาณค่าสำหรับการแก้ปัญหาระบบเชิงเส้น^{[ 2 ]} รากของT _n ( x )ซึ่งเรียกอีกอย่างว่าโหนดเชบิเชฟถูกใช้เป็นจุดจับคู่สำหรับการเพิ่มประสิทธิภาพการแทรกสอดพหุนาม พหุ นาม การแทรกสอดที่ได้จะลดปัญหาปรากฏการณ์ของ Runge ให้เหลือน้อยที่สุด และให้การประมาณค่าที่ใกล้เคียงกับการประมาณค่าพหุนามที่ดีที่สุดสำหรับฟังก์ชันต่อเนื่องภายใต้บรรทัดฐานสูงสุดหรือที่เรียกว่าเกณฑ์ " minimax " การประมาณค่านี้นำไปสู่โดยตรงวิธีการหาปริพันธ์เชิงตัวเลขของClenshaw –Curtis

พหุนามเหล่านี้ได้รับการตั้งชื่อตามPafnuty Chebyshev [ ^{3 ] ใช้}ตัวอักษรT เนื่องจากมี การถอดเสียงชื่อChebyshevเป็นTchebycheff , Tchebyshev (ภาษาฝรั่งเศส) หรือTschebyschow (ภาษาเยอรมัน)

พหุนามเชบิเชฟชนิดแรกสามารถนิยามได้ด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิด

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{0}(x)&=1,\\T_{1}(x)&=x,\\T_{n+1}(x)&=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$

พหุนามเชบิเชฟชนิดที่สองสามารถนิยามได้ด้วยความสัมพันธ์เวียนเกิด

$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{0}(x)&=1,\\U_{1}(x)&=2x,\\U_{n+1}(x)&=2x\,U_{n}(x)-U_{n-1}(x),\end{aligned}}}$$ ซึ่งแตกต่างจากข้างต้นเพียงแค่กฎสำหรับn=1เท่านั้น

พหุนามเชบิเชฟชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองสามารถนิยามได้ว่าเป็นพหุนามที่ไม่ซ้ำกันซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไข และ สำหรับn = 0, 1, 2, 3, … $${\displaystyle T_{n}(\cos \theta )=\cos(n\theta )\quad }$$$${\displaystyle U_{n}(\cos \theta )={\frac {{\sin }{\big (}(n+1)\theta {\big )}}{\sin \theta }},}$$

อีกวิธีหนึ่งที่เทียบเท่ากันในการกล่าวถึงเรื่องนี้คือ การยกกำลังของจำนวนเชิงซ้อน : กำหนดให้จำนวนเชิงซ้อนz = a + biที่มีค่าสัมบูรณ์เท่ากับหนึ่ง $${\displaystyle z^{n}=T_{n}(a)+ib\,U_{n-1}(a).}$$

พหุนามเชบิเชฟสามารถกำหนดได้ในรูปแบบนี้เช่นกันเมื่อศึกษา พหุ นามตรีโกณมิติ^{[ 4 ]}

นั่นคือ พหุนาม ดีกรีที่ th ในสามารถเห็นได้จากการสังเกตว่าคือส่วนจริงของด้านหนึ่งของสูตรของเดอ มัวร์ : ${\displaystyle \cos(nx)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \cos(x)}$${\displaystyle \cos(nx)}$$${\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}.}$$

ส่วนจริงของอีกด้านหนึ่งคือพหุนามในและซึ่งกำลังทั้งหมดของเป็นจำนวนคู่และสามารถแทนที่ได้โดยใช้เอกลักษณ์ด้วยเหตุผลเดียวกันคือส่วนจินตนาการของพหุนาม ซึ่งกำลังทั้งหมดของเป็นจำนวนคี่ดังนั้น หากดึงตัวประกอบหนึ่งของ ออกมา ตัวประกอบที่เหลือสามารถแทนที่เพื่อสร้างพหุนามดีกรีในได้ ${\displaystyle \cos x}$${\displaystyle \sin x}$${\displaystyle \sin x}$${\displaystyle \cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1}$${\displaystyle \sin nx}$${\displaystyle \sin x}$${\displaystyle \sin x}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle \cos x}$

สำหรับค่าที่อยู่นอกช่วง [-1,1] นิยามข้างต้นหมายความว่า ${\displaystyle x}$$${\displaystyle T_{n}(x)={\begin{cases}\cos(n\arccos x)&{\text{ ถ้า }}|x|\leq 1,\\\cosh(n\operatorname {arccosh} x)&{\text{ ถ้า }}x\geq 1,\\{(-1)^{n}\cosh }(n\operatorname {arccosh} (-x))&{\text{ ถ้า }}x\leq -1.\end{cases}}}$$

พหุนามเชบิเชฟยังสามารถกำหนดลักษณะเฉพาะได้ด้วยทฤษฎีบทต่อไปนี้: ^{[ 5 ]}

ถ้าเป็นตระกูลของพหุนามเอกลักษณ์ที่มีสัมประสิทธิ์ในฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ โดยที่และสำหรับทุก และแล้ว โดยการเปลี่ยนตัวแปรอย่างง่าย จะได้ว่าสำหรับทุกหรือ สำหรับทุก ${\displaystyle F_{n}(x)}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \deg F_{n}(x)=n}$${\displaystyle F_{m}{\bigl (}F_{n}(x){\bigr )}=F_{n}{\bigl (}F_{m}(x){\bigr )}}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{n}(x)=x^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F_{n}(x)=2\cdot T_{n}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}x{\bigr )}}$${\displaystyle n}$

พหุนามเชบิเชฟสามารถนิยามได้ว่าเป็นคำตอบของสมการเพลล์ เช่นกัน : $${\displaystyle T_{n}(x)^{2}-(x^{2}-1)\,U_{n-1}(x)^{2}=1}$$

ในวงแหวน⁠ ⁠ ${\displaystyle R[x]}$^{[ 6 ]}ดังนั้น จึงสามารถสร้างได้โดยใช้เทคนิคมาตรฐานสำหรับสมการเพลล์ในการยกกำลังของผลเฉลยพื้นฐาน : $${\displaystyle T_{n}(x)+U_{n-1}(x){\textstyle {\sqrt {x^{2}-1}}}={\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}^{n}.}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดปกติสำหรับคือ ${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1-tx}{1-2tx+t^{2}}}.}$$

มีฟังก์ชันก่อกำเนิด อื่นๆ อีกหลายฟังก์ชัน สำหรับพหุนามเชบิเชฟฟังก์ชันก่อกำเนิดแบบเลขชี้กำลังคือ $${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n=0}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}&={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\exp }{\Bigl (}t{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\Bigr )}+{\exp }{\Bigl (}t{\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\Bigr )}{\Bigr )}\\&={e^{tx}\cosh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}}~\!{\bigr )}.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดที่เกี่ยวข้องกับ ทฤษฎีศักย์ 2 มิติและการขยายแบบมัลติโพลคือ $${\displaystyle \sum \limits _{n=1}^{\infty }T_{n}(x){\frac {t^{n}}{n}}=\ln \left({\frac {1}{\sqrt {1-2tx+t^{2}}}}\right).}$$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดแบบธรรมดาสำหรับU _nคือ และฟังก์ชันก่อกำเนิดแบบเลขชี้กำลังคือ $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x)\,t^{n}={\frac {1}{1-2tx+t^{2}}},}$$$${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }U_{n}(x){\frac {t^{n}}{n!}}=e^{tx}{\biggl (}{\cosh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}+{{\frac {x}{\sqrt {x^{2}-1}}}\sinh }{\bigl (}{\textstyle t{\sqrt {x^{2}-1}}~\!}{\bigr )}{\biggr )}.}$$

พหุนามเชบิเชฟชนิดที่หนึ่งและชนิดที่สองสอดคล้องกับลำดับลูคัส คู่หนึ่งที่เสริมกัน โดยมีพารามิเตอร์และ: ${\displaystyle {\tilde {V}}_{n}(P,Q)}$${\displaystyle {\tilde {U}__{n}(P,Q)}$${\displaystyle P=2x}$${\displaystyle Q=1}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\tilde {U}}_{n}(2x,1)&=U_{n-1}(x),\\{\tilde {V}}_{n}(2x,1)&=2\,T_{n}(x).\end{aligned}}}$$

ดังนั้นจึงเป็นไปตามสมการเวียนเกิดร่วมกันสองสมการด้วยเช่นกัน: ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}(x)&=x\,T_{n}(x)-(1-x^{2})\,U_{n-1}(x),\\U_{n+1}(x)&=x\,U_{n}(x)+T_{n+1}(x).\end{aligned}}}$$

ส่วนที่สองนี้สามารถจัดเรียงใหม่ได้โดยใช้นิยามความสัมพันธ์เวียนเกิดของพหุนามเชบิเชฟชนิดที่สอง เพื่อให้ได้ดังนี้: $${\displaystyle T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}{\big (}U_{n}(x)-U_{n-2}(x){\big )}.}$$

เมื่อใช้สูตรนี้ซ้ำๆ จะได้สูตรผลรวมดังนี้: $${\displaystyle U_{n}(x)={\begin{cases}2\sum _{{\text{ odd }}j>0}^{n}T_{j}(x)&{\text{ for odd }}n.\\2\sum _{{\text{ even }}j\geq 0}^{n}T_{j}(x)-1&{\text{ for even }}n,\end{cases}}}$$

ใน ขณะที่การแทนที่และการใช้สูตรอนุพันธ์จะให้ความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับอนุพันธ์ของ: สำหรับ${\displaystyle U_{n}(x)}$${\displaystyle U_{n-2}(x)}$${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle 2T_{n}(x)={\frac {1}{n+1}},{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n+1}(x)-{\frac {1}{n-1}}\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\,T_{n-1}(x),}$$${\displaystyle n=2,3,\ldots }$

ความสัมพันธ์นี้ถูกนำมาใช้ในวิธีการสเปกตรัมของเชบิเชฟในการแก้สมการเชิงอนุพันธ์

อสมการของ Turánสำหรับพหุนาม Chebyshev คือ: ^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)^{2}-T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&=1-x^{2}>0&&{\text{ for }}-1<x<1&&{\text{ and }}\\U_{n}(x)^{2}-U_{n-1}(x)\,U_{n+1}(x)&=1>0.\end{aligned}}}$$

ความ สัมพันธ์ เชิงปริพันธ์คือ^{[ 9 ] [ 10 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{-1}^{1}{\frac {T_{n}(y)}{y-x}}\,{\frac {\mathrm {d} y}{\sqrt {1-y^{2}}}}&=\pi \,U_{n-1}(x),\\[3mu]\int _{-1}^{1}{\frac {U_{n-1}(y)}{y-x}}\,{\textstyle {\sqrt {1-y^{2}}}}\,\mathrm {d} y&=-\pi \,T_{n}(x)\end{aligned}}}$$

โดยที่ปริพันธ์ถือเป็นค่าหลัก

โดยใช้นิยามการยกกำลังจำนวนเชิงซ้อนของพหุนามเชบิเชฟ เราสามารถหาได้นิพจน์ต่อไปนี้ ซึ่งใช้ได้กับจำนวนจริงใดๆ: ทั้ง${\displaystyle x}$สอง สมมูลกันเพราะ$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}{\textstyle x+{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{n}{\Bigr )}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}{\Bigl (}{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{n}+{\bigl (}{\textstyle x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~}{\bigr )}^{-n}{\Bigr )}.\end{aligned}}}$$${\displaystyle \textstyle {\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}\!~{\bigr )}^{\pm 1}={\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}\!~{\bigr )}^{\mp 1}.}$

รูปแบบที่ชัดเจนของพหุนามเชบิเชฟในรูปเอกนามสามารถหาได้ดังต่อไปนี้ให้แทนส่วนจริงของจำนวนเชิงซ้อน ความเท่าเทียมกันต่อไปนี้ตามลำดับ เป็นไปตามนิยามของนิยามของสูตรของเดอ มัวร์และทฤษฎีบททวินาม : เนื่องจากตัวประกอบของพจน์ที่มีดัชนีคู่เป็นจำนวนจริงล้วน ในขณะที่พจน์ที่มีดัชนีคี่เป็นจำนวนจินตนาการล้วน ยิ่งไปกว่านั้น ดังนั้นในที่สุด การแทนที่จะได้สิ่งนี้สามารถเขียนได้เป็นฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก: โดยมี ตัวผกผัน^{[ 11 ] [ 12 ]}โดยที่ไพรม์บนสัญลักษณ์ผลรวมบ่งชี้ว่าการมีส่วนร่วมของจำเป็นต้องหารครึ่งหากปรากฏ ${\displaystyle \textstyle x^{k}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}{\bigl (}\cos(\theta ){\bigr )}&=\cos(n\theta )\\&={\mathfrak {R}}{\bigl (}\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ){\bigr )}\\&={\mathfrak {R}}{\bigl (}(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))^{n}{\bigr )}\\&={\mathfrak {R}}\left(\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}\,i^{j}\sin ^{j}(\theta )\,\cos ^{n-j}(\theta )\right).\end{aligned}}}$$${\displaystyle i^{j}}$${\displaystyle \sin ^{2j}\theta =\left(1-\cos ^{2}\theta \right)^{j},}$$${\displaystyle T_{n}{\bigl (}\cos(\theta ){\bigr )}=\sum _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}\,(-1)^{j}(1-\cos ^{2}(\theta ))^{j}\cos ^{n-2j}(\theta ).}$$${\displaystyle x=\cos(\theta )}$$${\displaystyle T_{n}(x)=\sum \limits _{j=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2j}}\left(x^{2}-1\right)^{j}x^{n-2j}.}$$${\displaystyle {}_{2}F_{1}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(x^{2}-1)^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}(1-x^{-2})^{k}\\&={\tfrac {1}{2}}n\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}}(2x)^{n-2k}\qquad {\text{ for }}n>0\\&=n\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k-1)!}{(n-k)!(2k)!}}(1-x)^{k}\qquad {\text{ for }}n>0\\&={}_{2}F_{1}{\bigl (}{-n},n;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x){\bigr )}\\\end{aligned}}}$$$${\displaystyle x^{n}={\frac {1}{2^{n-1}}}\mathop {{\sum }'} _{{j=0} \atop {j\equiv n{\pmod {2}}}}^{n}{\binom {n}{\tfrac {n-j}{2}}}T_{j}(x),}$$${\displaystyle j=0}$

นิพจน์ที่เกี่ยวข้องสำหรับผลรวมของเอกนามที่มีสัมประสิทธิ์ทวินามและกำลังของสองคือในทำนองเดียวกันสามารถแสดงในรูปของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกได้:${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle T_{n}(x)=\sum \limits _{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{m}{\Biggl (}{\binom {n-m}{m}}+{\binom {n-m-1}{n-2m}}{\Biggr )}\cdot 2^{n-2m-1}\cdot x^{n-2m}.}$$${\displaystyle U_{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{n}(x)&={\frac {{\bigl (}x+{\sqrt {x^{2}-1}}~\!{\bigr )}^{n+1}-{\bigl (}x-{\sqrt {x^{2}-1}}~\!{\bigr )}^{n+1}}{2{\sqrt {x^{2}-1}}}}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}{\bigl (}x^{2}-1{\bigr )}^{k}x^{n-2k}\\&=x^{n}\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n+1}{2k+1}}{\bigl (}1-x^{-2}{\bigr )}^{k}\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {2k-(n+1)}{k}}(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}n>0\\&=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\binom {n-k}{k}}(2x)^{n-2k}&{\text{ for }}n>0\\&=\sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}{\frac {(n+k+1)!}{(n-k)!(2k+1)!}}(1-x)^{k}&{\text{ for }}n>0\\&=(n+1)\cdot {}_{2}F_{1}{\bigl (}{-n},n+2;{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-x){\bigr )}.\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(-x)&=(-1)^{n}T_{n}(x),\\[1ex]U_{n}(-x)&=(-1)^{n}U_{n}(x).\end{aligned}}}$$กล่าวคือ พหุนามเชบิเชฟอันดับคู่จะมีสมมาตรคู่และดังนั้นจึงประกอบด้วยกำลังคู่ของ เท่านั้นพหุนามเชบิเชฟอันดับคี่จะมีสมมาตรคี่และดังนั้นจึงประกอบด้วยกำลังคี่ของเท่านั้น ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

พหุนามเชบิเชฟชนิดใดก็ได้ที่มีดีกรีnจะมีรากเดี่ยวที่แตกต่างกันn ราก เรียกว่ารากเชบิเชฟในช่วง[−1, 1]รากของพหุนามเชบิเชฟชนิดแรกบางครั้งเรียกว่าโหนดเชบิเชฟเพราะใช้เป็นจุดในพหุนามการประมาณค่า โดยใช้คำจำกัดความตรีโกณมิติและข้อเท็จจริงที่ว่าสามารถแสดงได้ว่ารากของคือในทำนองเดียวกัน รากของคือ: ค่าสุดขีดของบนช่วงจะอยู่ที่: คุณสมบัติเฉพาะอย่างหนึ่งของพหุนามเชบิเชฟชนิดแรกคือ บนช่วง ค่า สุดขีดทั้งหมดจะมีค่าเป็น −1 หรือ 1 เท่านั้น ดังนั้นพหุนามเหล่านี้จึงมีค่าวิกฤต จำกัดเพียงสองค่า ซึ่งเป็นคุณสมบัติที่กำหนดของพหุนามชาบัตทั้งพหุนามเชบิเชฟชนิดแรกและชนิดที่สองมีค่าสุดขีดที่จุดปลาย ซึ่งกำหนดโดย: ค่าสุดขีดของบนช่วงที่อยู่ที่ค่าของ คือหรือในกรณีที่, , และกล่าวคือและเป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน $${\displaystyle \cos \left((2k+1){\frac {\pi }{2}}\right)=0,}$$${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {2k+1}{2n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n-1.}$$${\displaystyle U_{n}}$$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n+1}}\pi \right),\quad k=1,\ldots ,n.}$$${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$$${\displaystyle x_{k}=\cos \left({\frac {k}{n}}\pi \right),\quad k=0,\ldots ,n.}$$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(1)&=1\\T_{n}(-1)&=(-1)^{n}\\U_{n}(1)&=n+1\\U_{n}(-1)&=(-1)^{n}(n+1).\end{aligned}}}$$${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \pm 1}$${\displaystyle \cos(2\pi k/d)}$${\displaystyle d>2}$${\displaystyle d\mid 2n}$${\displaystyle 0<k<{\tfrac {1}{2}}d}$${\displaystyle (k,d)=1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d}$

โดยเฉพาะ ( พหุนามขั้นต่ำของ 2cos(2pi/n) ^{[ 13 ] [ 14 ]} ) เมื่อเป็นจำนวนคู่: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$ถ้าหรือและเป็นจำนวนคู่ จะมีค่าดังกล่าวอยู่${\displaystyle x=\pm 1}$${\displaystyle d>2}$${\displaystyle 2n/d}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n+1}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$ถ้า และเป็นจำนวนคี่ จะมีค่าของ อยู่เช่นนั้น${\displaystyle d>2}$${\displaystyle 2n/d}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}n}$${\displaystyle x}$

เมื่อไหร่ถึงจะเรียกว่าเป็นเลขคี่: ${\displaystyle n}$

• ${\displaystyle T_{n}(x)=1}$ถ้าหรือและเป็นจำนวนคู่ จะมีค่าดังกล่าวอยู่${\displaystyle x=1}$${\displaystyle d>2}$${\displaystyle 2n/d}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n+1)}$${\displaystyle x}$
• ${\displaystyle T_{n}(x)=-1}$ถ้า หรือและเป็นเลขคี่ จะมีค่าดังกล่าวอยู่${\displaystyle x=-1}$${\displaystyle d>2}$${\displaystyle 2n/d}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(n+1)}$${\displaystyle x}$

อนุพันธ์ของพหุนามอาจไม่ตรงไปตรงมานัก โดยการหาอนุพันธ์ของพหุนามในรูปตรีโกณมิติ จะสามารถแสดงได้ว่า: สูตรสองสูตรสุดท้ายอาจมีปัญหาทางตัวเลขเนื่องจากการหารด้วยศูนย์ ( ⁠$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} T_{n}}{\mathrm {d} x}}&=nU_{n-1}\\{\frac {\mathrm {d} U_{n}}{\mathrm {d} x}}&={\frac {(n+1)T_{n+1}-xU_{n}}{x^{2}-1}}\\{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}&=n{\frac {nT_{n}-xU_{n-1}}{x^{2}-1}}=n{\frac {(n+1)T_{n}-U_{n}}{x^{2}-1}}.\end{aligned}}}$$0/0รูปแบบที่ไม่แน่นอน(โดยเฉพาะ) ที่และตามกฎของ L'Hôpital : โดยทั่วไปซึ่งมีประโยชน์อย่างมากในการแก้ปัญหา ค่าลักษณะเฉพาะ ด้วยวิธีเชิงตัวเลข${\displaystyle x=1}$${\displaystyle x=-1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=1}\!\!&={\frac {n^{4}-n^{2}}{3}},\\\left.{\frac {\mathrm {d} ^{2}T_{n}}{\mathrm {d} x^{2}}}\right|_{x=-1}\!\!&=(-1)^{n}{\frac {n^{4}-n^{2}}{3}}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{p}T_{n}}{\mathrm {d} x^{p}}}\right|_{x=\pm 1}\!\!=(\pm 1)^{n+p}\prod _{k=0}^{p-1}{\frac {n^{2}-k^{2}}{2k+1}},}$$

นอกจากนี้ เรายังมี: โดยที่เครื่องหมายไพรม์ที่อยู่ข้างสัญลักษณ์ผลรวมหมายความว่า พจน์ที่เกิดจากk = 0จะถูกหารครึ่ง หากปรากฏขึ้น $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{p}}{\mathrm {d} x^{p}}}T_{n}(x)=2^{p}n\mathop {{\sum }'} _{0\leq k\leq n-p \atop k\equiv n-p{\pmod {2}}}{\binom {{\frac {n+p-k}{2}}-1}{\frac {n-p-k}{2}}}{\frac {\left({\frac {n+p+k}{2}}-1\right)!}{\left({\frac {n-p+k}{2}}\right)!}}T_{k}(x),\qquad p\geq 1,}$$

ในส่วนของการอินทิเกรต อนุพันธ์อันดับแรกของT _nบ่งชี้ว่า: และความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับพหุนามชนิดแรกที่เกี่ยวข้องกับอนุพันธ์กำหนดว่าสำหรับ: สูตรสุดท้ายสามารถปรับเปลี่ยนเพิ่มเติมเพื่อแสดงอินทิกรัลของเป็นฟังก์ชันของพหุนามเชบิเชฟชนิดแรกเท่านั้น: ยิ่งไปกว่านั้น เรายังมี:$${\displaystyle \int U_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {T_{n+1}}{n+1}}}$$${\displaystyle n\geq 2}$$${\displaystyle \int T_{n}\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}\left({\frac {T_{n+1}}{n+1}}-{\frac {T_{n-1}}{n-1}}\right)={\frac {n\,T_{n+1}}{n^{2}-1}}-{\frac {xT_{n}}{n-1}}.}$$${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int T_{n}\,\mathrm {d} x&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{n-1}}T_{1}T_{n}\\&={\frac {n}{n^{2}-1}}T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}(T_{n+1}+T_{n-1})\\&={\frac {1}{2(n+1)}}T_{n+1}-{\frac {1}{2(n-1)}}T_{n-1}.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,\mathrm {d} x={\begin{cases}{\dfrac {(-1)^{n}+1}{1-n^{2}}}&{\text{ if }}n\neq 1\\[3mu]0&{\text{ if }}n=1.\end{cases}}}$$

พหุนามเชบิเชฟชนิดแรกเป็นไปตามความสัมพันธ์สำหรับค่าที่ไม่เป็นลบทั้งหมดของ⁠ ⁠และ⁠ ⁠ซึ่งพิสูจน์ได้ง่ายจากสูตรผลคูณเป็นผลบวกสำหรับโคไซน์: สำหรับผลลัพธ์นี้จะได้สูตรความสัมพันธ์เวียนเกิดที่ทราบกันอยู่แล้ว เพียงแต่จัดเรียงต่างกัน และด้วยสูตรนี้จะสร้างความสัมพันธ์เวียนเกิดสำหรับพหุนามเชบิเชฟที่มีดัชนีเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับความเป็นคู่หรือเลขคี่ของm ที่ต่ำที่สุด ) ซึ่งบ่งบอกถึงความเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ของพหุนามเหล่านี้ สูตรที่มีประโยชน์อีกสามสูตรสำหรับการประเมินพหุนามเชบิเชฟสามารถสรุปได้จากการขยายผลคูณนี้: พหุนามชนิดที่สองเป็นไปตามความสัมพันธ์ที่คล้ายกัน: (โดยมีนิยามตามธรรมเนียม) พวกมันยังเป็นไปตาม: สำหรับสำหรับความสัมพันธ์เวียนเกิดนี้จะลดลงเหลือ: ซึ่งกำหนดความเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ของพหุนามเชบิเชฟชนิดที่สองที่มีดัชนีเป็นเลขคู่หรือเลขคี่ ขึ้นอยู่กับว่าเริ่มต้นด้วย 2 หรือ 3 $${\displaystyle T_{m}(x)\,T_{n}(x)={\tfrac {1}{2}}{\left(T_{m+n}(x)+T_{|m-n|}(x)\right)},}$$${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle 2\cos \alpha \,\cos \beta =\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta ).}$$${\displaystyle n=1}$${\displaystyle n=2}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{2n}(x)&=2T_{n}^{2}(x)-T_{0}(x)&&=2T_{n}^{2}(x)-1,\\[3mu]T_{2n+1}(x)&=2T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2T_{n+1}(x)\,T_{n}(x)-x,\\[3mu]T_{2n-1}(x)&=2T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-T_{1}(x)&&=2T_{n-1}(x)\,T_{n}(x)-x.\end{aligned}}}$$$${\displaystyle T_{m}(x)U_{n}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\bigl (}U_{m+n}(x)+U_{n-m}(x){\bigr )},&{\text{ if }}n\geq m-1,\\[5mu]{\frac {1}{2}}{\bigl (}U_{m+n}(x)-U_{m-n-2}(x){\bigr )},&{\text{ if }}n\leq m-2.\end{cases}}}$$${\displaystyle U_{-1}\equiv 0}$$${\displaystyle U_{m}(x)\,U_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}U_{m-n+2k}(x)=\sum _{\underset {\text{ step 2 }}{p=m-n}}^{m+n}U_{p}(x).}$$${\displaystyle m\geq n}$${\displaystyle n=2}$$${\displaystyle {\begin{aligned}U_{m+2}(x)&=U_{2}(x)\,U_{m}(x)-U_{m}(x)-U_{m-2}(x)\\&=U_{m}(x){\big (}U_{2}(x)-1{\big )}-U_{m-2}(x),\end{aligned}}}$$${\displaystyle m}$

นิยามตรีโกณมิติของและบ่งบอกถึงคุณสมบัติการประกอบหรือการซ้อนกัน: ^{[ 15 ]}เนื่องจากลำดับของการประกอบอาจกลับกันได้ ทำให้ตระกูลของฟังก์ชันพหุนามเป็นเซมิกรุปสลับที่ได้ภายใต้การประกอบ ${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle U_{n}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{mn}(x)&=T_{m}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )},\\[3mu]U_{mn-1}(x)&=U_{m-1}{\bigl (}T_{n}(x){\bigr )}\,U_{n-1}(x).\end{aligned}}}$$${\displaystyle T_{mn}}$${\displaystyle T_{n}}$

เนื่องจากหารลงตัวด้วยถ้าเป็นจำนวนคี่ ดังนั้น จึงสรุปได้ว่าหารลงตัวด้วยถ้าเป็นจำนวนคี่ ยิ่งไปกว่านั้นหารลงตัวด้วยและในกรณีที่เป็นจำนวนคู่ หารลงตัวด้วย ${\displaystyle T_{m}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T_{mn}(x)}$${\displaystyle T_{n}(x)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle U_{mn-1}(x)}$${\displaystyle U_{n-1}(x)}$${\displaystyle m}$${\displaystyle T_{n}(x)\,U_{n-1}(x)}$

ทั้งสองและก่อให้เกิดลำดับของพหุนามเชิงตั้งฉากพหุนามชนิดแรกเป็นพหุนามเชิงตั้งฉากโดยสัมพันธ์กับน้ำหนัก: บนช่วง[−1, 1]กล่าวคือ เรามีสิ่งนี้ ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยการให้และใช้เอกลักษณ์นิยาม ${\displaystyle T_{n}}$${\displaystyle U_{n}}$${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}},}$$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}T_{n}(x)\,T_{m}(x){\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\neq m,\\[5mu]\pi &{\text{ if }}n=m=0,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&{\text{ if }}n=m\neq 0.\end{cases}}}$$${\displaystyle x=\cos(\theta )}$${\displaystyle T_{n}(\cos(\theta ))=\cos(n\theta )}$

ในทำนองเดียวกัน พหุนามชนิดที่สองU _nจะตั้งฉากกันโดยสัมพันธ์กับน้ำหนักในช่วง[−1, 1]กล่าวคือ เรามี(การวัดนี้เมื่อพิจารณาภายในค่าคงที่มาตรฐานจะเป็นการกระจายแบบครึ่งวงกลมของ วิกเนอร์ ) $${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}}$$$${\displaystyle \int _{-1}^{1}U_{n}(x)\,U_{m}(x){\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x={\begin{cases}0&{\text{ if }}n\neq m,\\[5mu]{\frac {\pi }{2}}&{\text{ if }}n=m.\end{cases}}}$$${\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\,\mathrm {d} x}$

คุณสมบัติความเป็นตั้งฉากเหล่านี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าพหุนามเชบิเชฟเป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์เชบิเชฟซึ่งเป็นสมการเชิงอนุพันธ์สเติร์ม-ลิอูวิลล์ลักษณะทั่วไปของสมการเชิงอนุพันธ์ ดังกล่าว คือมีเซตคำตอบเชิงตั้งฉากปกติที่โดดเด่น (อีกวิธีหนึ่งในการนิยามพหุนามเชบิเชฟคือเป็นคำตอบของสมการเหล่านั้น ) $${\displaystyle {\begin{aligned}(1-x^{2})T_{n}''-xT_{n}'+n^{2}T_{n}&=0,\\[1ex](1-x^{2})U_{n}''-3xU_{n}'+n(n+2)U_{n}&=0,\end{aligned}}}$$

นอกจากนี้ ยังเป็นไปตามเงื่อนไขความเป็นตั้งฉากแบบไม่ต่อเนื่องด้วยโดยที่ เป็นจำนวนเต็มใดๆ ที่มากกว่า^{[ 10 ]}และเป็นโหนดเชบิเชฟ (ดูด้านบน) ของ: สำหรับพหุนามชนิดที่สองและจำนวนเต็มใดๆที่มีโหนดเชบิเชฟเดียวกันจะมีผลรวมที่คล้ายกันดังนี้: และโดยไม่มีฟังก์ชันน้ำหนัก : สำหรับจำนวนเต็มใดๆโดยอิงจากศูนย์ } ของ: สามารถหาผลรวมได้ดังนี้: และอีกครั้งโดยไม่มีฟังก์ชันน้ำหนัก:${\displaystyle T_{n}}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{T_{i}(x_{k})\,T_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]N&{\text{ if }}i=j=0,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}i=j\neq 0,\end{cases}}}$$${\displaystyle N}$${\displaystyle \max(i,j)}$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle T_{N}(x)}$$${\displaystyle x_{k}=\cos \left(\pi {\frac {2k+1}{2N}}\right)\quad {\text{ for }}k=0,1,\dots ,N-1.}$$${\displaystyle N>i+j}$${\displaystyle x_{k}}$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})\left(1-x_{k}^{2}\right)}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N}{2}}&{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(x_{k})\,U_{j}(x_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]N\cdot (1+\min\{i,j\})&{\text{ if }}i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$${\displaystyle N>i+j}$${\displaystyle N}$${\displaystyle U_{N}(x)}$$${\displaystyle y_{k}=\cos \left(\pi {\frac {k+1}{N+1}}\right)\quad {\text{ for }}k=0,1,\dots ,N-1,}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})(1-y_{k}^{2})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\neq j,\\[5mu]{\frac {N+1}{2}}&{\text{ if }}i=j,\end{cases}}}$$$${\displaystyle \sum _{k=0}^{N-1}{U_{i}(y_{k})\,U_{j}(y_{k})}={\begin{cases}0&{\text{ if }}i\not \equiv j{\pmod {2}},\\[5mu]{\bigl (}\min\{i,j\}+1{\bigr )}{\bigl (}N-\max\{i,j\}{\bigr )}&{\text{ if }}i\equiv j{\pmod {2}}.\end{cases}}}$$

สำหรับค่าใดๆในบรรดาพหุนามดีกรี1 ที่มีสัมประสิทธิ์นำหน้าเป็น 1 ( พหุ นามเอกลักษณ์ ): พหุนามที่มีค่าสัมบูรณ์สูงสุดในช่วง[−1, 1]น้อยที่สุด ${\displaystyle n\geq 1}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2^{n-1}}}T_{n}(x)}$$

ค่าสัมบูรณ์สูงสุดนี้คือ: และจะถึงค่าสูงสุดนี้จำนวนครั้งพอดีที่: $${\displaystyle {\frac {1}{2^{n-1}}}}$$${\displaystyle |f(x)|}$${\displaystyle n+1}$$${\displaystyle x=\cos {\frac {k\pi }{n}}\quad {\text{for }}0\leq k\leq n.}$$