ใน สาขาย่อย ทางคณิตศาสตร์ของการวิเคราะห์เชิงตัวเลขและการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์พหุนามตรีโกณมิติคือการรวมเชิงเส้น จำกัด ของฟังก์ชัน sin( nx ) และ cos( nx ) โดยที่nมีค่าเป็นจำนวนธรรมชาติ หนึ่งตัวหรือมากกว่า นั้น สัมประสิทธิ์อาจเป็นจำนวนจริงสำหรับฟังก์ชันที่มีค่าเป็นจำนวนจริง สำหรับสัมประสิทธิ์ที่เป็นจำนวนเชิงซ้อนจะไม่มีความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันดังกล่าวกับอนุกรมฟูริเยร์จำกัด

พหุนามตรีโกณมิติถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย ตัวอย่างเช่น ในการประมาณค่าแบบตรีโกณมิติที่ใช้กับ การประมาณค่าฟังก์ชันคาบนอกจากนี้ยังใช้ในการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่องอีก ด้วย

คำว่าพหุนามตรีโกณมิติสำหรับกรณีค่าจริงนั้น สามารถมองได้โดยใช้การเปรียบเทียบ : ฟังก์ชัน sin( nx ) และ cos( nx ) คล้ายกับฐานเอกนามสำหรับพหุนามในกรณีจำนวนเชิงซ้อน พหุนามตรีโกณมิติจะถูกสร้างขึ้นโดยกำลังบวกและลบของ nx กล่าวคือพหุ นามลอเรนต์ภายใต้การเปลี่ยนตัวแปร${\displaystyle e^{ix}}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x\mapsto z:=e^{ix}}$

ฟังก์ชันT ใดๆ ที่มีรูปแบบดังนี้

$${\displaystyle T(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{N}a_{n}\cos nx+\sum _{n=1}^{N}b_{n}\sin nx\qquad (x\in \mathbb {R} )}$$

พหุ นามตรีโกณมิติเชิงซ้อนที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนและและอย่างน้อยหนึ่งในสัมประสิทธิ์ที่มีดีกรีสูงสุดและไม่เป็นศูนย์ เรียกว่า พหุ นาม ตรีโกณมิติเชิงซ้อนดีกรีN ^{[ 1 ]}โคไซน์และไซน์ เป็นส่วนคู่และส่วนคี่ ของ เลขชี้กำลังของตัวแปรจินตภาพดังนั้น พหุนามตรีโกณมิติสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งเป็น โดย มี สัมประสิทธิ์เชิงซ้อนและ สำหรับทุกตั้งแต่1 ถึง${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle a_{N}}$${\displaystyle b_{N}}$$${\displaystyle \cos nx={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}e^{inx}+e^{-inx}{\bigr )},\quad \sin nx=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}e^{inx}-e^{-inx}{\bigr )},}$$$${\displaystyle T(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx}\qquad (x\in \mathbb {R} ),}$$${\displaystyle c_{0}=a_{0}}$$${\displaystyle \quad c_{k}={\tfrac {1}{2}}(a_{k}-b_{k}i),\quad c_{-k}={\tfrac {1}{2}}(a_{k}+b_{k}i),}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle N}$

ถ้าสัมประสิทธิ์และเป็นจำนวนจริงสำหรับทุก⁠ ⁠แล้ว⁠ ⁠เรียกว่า พหุนาม ตรีโกณมิติจริง^{[ 2 ]}เมื่อใช้รูปแบบเลขชี้กำลัง สัมประสิทธิ์เชิงซ้อนจะสอดคล้อง กับ สำหรับทุก^{[ 3 ]}${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T}$${\displaystyle c_{-n}={\overline {c}}_{n}}$${\displaystyle n\in [-N,N]}$

พหุนามตรีโกณมิติสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นฟังก์ชันคาบในเส้นจำนวนจริงโดยมีคาบเป็นตัวหารบางตัวของหรือเป็น${\displaystyle 2\pi }$ฟังก์ชันในวงกลม หน่วย

พหุนามตรีโกณมิติมีความหนาแน่นในปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องบนวงกลมหน่วย โดยมีบรรทัดฐานสม่ำเสมอ^{[ 4 ]}นี่เป็นกรณีพิเศษของทฤษฎีบทสโตน-ไวเออร์สตรัส กล่าวโดยละเอียด สำหรับทุกฟังก์ชันต่อเนื่อง⁠ ⁠${\displaystyle f}$และทุก⁠ ⁠${\displaystyle \epsilon >0}$จะมีพหุนามตรีโกณมิติ⁠ ⁠${\displaystyle T}$ อยู่ เช่นนั้นสำหรับทุก⁠ ⁠ ทฤษฎีบทของเฟเยอร์กล่าวว่าค่าเฉลี่ยเลขคณิตของผลรวมย่อยของอนุกรมฟูริเยร์ของ⁠ ⁠ ลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอไปยัง⁠ ⁠หาก⁠ ⁠ต่อเนื่องบนวงกลม ผลรวมย่อยเหล่านี้สามารถใช้เพื่อประมาณ⁠ ⁠ได้ ${\displaystyle |f(z)-T(z)|<\epsilon }$${\displaystyle z}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

พหุนามตรีโกณมิติดีกรี⁠ ⁠ ${\displaystyle N}$จะ มี ราก${\displaystyle 2N}$สูงสุดในช่วงจริง⁠ ⁠${\displaystyle [a,a+2\pi )}$เว้นแต่จะเป็นฟังก์ชันศูนย์^{[ 5 ]}

ทฤษฎีบท Fejér-Riesz กล่าวว่าพหุนามตรีโกณมิติ จริง บวกทุกตัว ที่สอดคล้อง กับ เงื่อนไข สำหรับทุกสามารถแสดงได้เป็นกำลังสองของค่าสัมบูรณ์ ของ พหุนามตรีโกณมิติอื่น (โดยปกติจะ เป็นพหุนาม เชิงซ้อน ) โดยที่: ^{[ 6 ]} หรือเทียบเท่าพหุนาม Laurent ทุกตัวที่มี ที่สอดคล้องกับ เงื่อนไขสำหรับทุกสามารถเขียนได้ดังนี้: สำหรับพหุนามบางตัว และสามารถเลือกให้ไม่มีศูนย์ในดิสก์หน่วยเปิด^{[ 7 ] [ 8 ]}ทฤษฎีบท Fejér-Riesz เกิดขึ้นตามธรรมชาติในทฤษฎีสเปกตรัมและการแยกตัวประกอบพหุนามยังเรียกว่าการแยกตัวประกอบสเปกตรัม (หรือการแยกตัวประกอบ Wiener-Hopf ) ของ^{[ 9 ]}$${\displaystyle t(x)=\sum _{n=-N}^{N}c_{n}e^{inx},}$$${\displaystyle t(x)>0}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle q(x)}$$${\displaystyle t(x)=|q(x)|^{2}=q(x){\overline {q(x)}}.}$$$${\displaystyle w(z)=\sum _{n=-N}^{N}w_{n}z^{n},}$$${\displaystyle w_{n}\in \mathbb {C} }$${\displaystyle w(\zeta )\geq 0}$${\displaystyle \zeta \in \mathbb {T} }$$${\displaystyle w(\zeta )=|p(\zeta )|^{2}=p(\zeta ){\overline {p(\zeta )}},}$$$${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+\cdots +p_{N}z^{N},}$$${\displaystyle p(z)}$${\displaystyle \mathbb {D} }$${\displaystyle w(\zeta )=p(\zeta ){\overline {p(\zeta )}}}$${\displaystyle w(\zeta )}$

• อนุกรมตรีโกณมิติ
• กึ่งพหุนาม
• พหุนามเลขชี้กำลัง