ในทางคณิตศาสตร์วงกลมหน่วยเปิด (หรือวงกลม ) รอบจุดP (โดยที่Pเป็นจุดที่กำหนดในระนาบ ) คือเซตของจุดที่มีระยะห่างจากPน้อยกว่า 1:

${\displaystyle D_{1}(P)=\{Q:\vert PQ\vert <1\}.\,}$

วงกลมปิดรอบ จุด Pคือเซตของจุดที่มีระยะห่างจากจุด Pน้อยกว่าหรือเท่ากับหนึ่ง:

${\displaystyle {\bar {D}}_{1}(P)=\{Q:|PQ|\leq 1\}.\,}$

ดิสก์หน่วยเป็นกรณีพิเศษของดิสก์และทรงกลมหน่วยกล่าวคือ ดิสก์หน่วยจะบรรจุพื้นที่ภายในของวงกลมหน่วยและในกรณีของดิสก์หน่วยปิด จะบรรจุวงกลมหน่วยเองด้วย

หากไม่มีการระบุรายละเอียดเพิ่มเติม คำว่า " วงกลมหน่วย" (unit disk)ใช้สำหรับวงกลมหน่วยเปิดรอบจุดกำเนิด ( φ ) โดยสัมพันธ์กับเมตริกยุคลิดมาตรฐานมันคือส่วนภายในของวงกลมรัศมี 1 ที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด เซตนี้สามารถระบุได้ว่าเป็นเซตของจำนวนเชิงซ้อน ทั้งหมด ที่มีค่าสัมบูรณ์น้อยกว่าหนึ่ง เมื่อมองว่าเป็นเซตย่อยของระนาบเชิงซ้อน ( C ) วงกลมหน่วยเปิดมักจะถูกแทนด้วย ซึ่งแตกต่างจาก กลุ่มวงกลม (C ) ที่มีสัญลักษณ์คล้ายกันวงกลมหน่วย (เปิด) ไม่ใช่กลุ่มการคูณ ${\displaystyle D_{1}(0)}$${\displaystyle \mathbb {D} =\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}}$${\displaystyle \mathbb {T} }$

ฟังก์ชัน

${\displaystyle f(z)={\frac {z}{1-|z|^{2}}}}$

เป็นตัวอย่างของ ฟังก์ชัน เชิงวิเคราะห์และ ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจากวงกลมหน่วยเปิดไปยังระนาบ และฟังก์ชันผกผันของมันก็เป็นฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์เช่นกัน เมื่อพิจารณาว่าเป็นแมนิโฟลด์เชิงวิเคราะห์ สองมิติเชิงจริง วงกลมหน่วยเปิดจึงสมมาตรกับระนาบทั้งหมด โดยเฉพาะอย่างยิ่ง วงกลมหน่วยเปิดสมมาตรกับระนาบทั้งหมด

อย่างไรก็ตาม ไม่มี แผนที่ แบบคอนฟอร์มอลแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างวงกลมหน่วยเปิดกับระนาบ เมื่อพิจารณาว่า วงกลมหน่วยเปิดเป็น พื้นผิวรีมันน์จึงแตกต่างจากระนาบ เชิงซ้อน

มีแผนที่แบบคอนฟอร์มอลแบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างวงกลมหน่วยเปิดและระนาบครึ่งบน เปิด ดังนั้นเมื่อพิจารณาว่าเป็นพื้นผิวรีมันน์ วงกลมหน่วยเปิดจึงสมมาตร (หรือ "สมมูลเชิงคอนฟอร์มอล") กับระนาบครึ่งบน และทั้งสองมักใช้แทนกันได้

โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทการแมปของรีมันน์กล่าวว่าเซตย่อยเปิดที่เชื่อมต่อกันอย่างง่าย ทุกเซต ในระนาบเชิงซ้อนซึ่งแตกต่างจากระนาบเชิงซ้อนเอง จะมีแผนที่แบบคอนฟอร์มอลและแบบหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงไปยังดิสก์หน่วยเปิด

การแปลงแบบคอนฟอร์มอลหนึ่งเดียวจากดิสก์หน่วยเปิดไปยังระนาบครึ่งบนเปิด คือการแปลงโมเบียส

${\displaystyle g(z)=i{\frac {1+z}{1-z}}}$   ซึ่งเป็นส่วนกลับของการแปลงเคย์ลีย์

ในทางเรขาคณิต เราสามารถจินตนาการได้ว่าแกนจริงถูกดัดและหดลง เพื่อให้ระนาบครึ่งบนกลายเป็นส่วนภายในของแผ่นดิสก์ และแกนจริงก่อตัวเป็นเส้นรอบวงของแผ่นดิสก์ ยกเว้นจุดหนึ่งที่ด้านบน ซึ่งเรียกว่า "จุดอนันต์" นอกจากนี้ยังสามารถสร้างแผนที่คอนฟอร์มอลแบบหนึ่งต่อหนึ่งจากแผ่นดิสก์หน่วยเปิดไปยังระนาบครึ่งบนเปิดได้โดยการประกอบกันของการฉายภาพสเตอริโอกราฟิก สองแบบ : ขั้นแรก แผ่นดิสก์หน่วยจะถูกฉายภาพสเตอริโอกราฟิกขึ้นไปบนครึ่งทรงกลมหน่วยด้านบน โดยใช้ "ขั้วใต้" ของทรงกลมหน่วยเป็นจุดศูนย์กลางการฉายภาพ จากนั้นครึ่งทรงกลมนี้จะถูกฉายภาพไปด้านข้างบนระนาบครึ่งแนวตั้งที่สัมผัสกับทรงกลม โดยใช้จุดบนครึ่งทรงกลมที่อยู่ตรงข้ามกับจุดสัมผัสเป็นจุดศูนย์กลางการฉายภาพ

วงกลมหน่วยและระนาบครึ่งบนไม่สามารถใช้แทนกันได้ในฐานะโดเมนสำหรับปริภูมิฮาร์ดีความแตกต่างนี้เกิดจากข้อเท็จจริงที่ว่าวงกลมหน่วยมีมาตรวัดเลเบส แบบจำกัด (หนึ่งมิติ) ในขณะที่เส้นจำนวนจริงไม่มี

ดิสก์หน่วยเปิดเป็นเซตของจุดสำหรับแบบจำลองดิสก์ปวงกาเรของระนาบไฮเปอร์โบลิก ส่วนโค้ง วงกลมที่ตั้งฉากกับวงกลมหน่วยก่อให้เกิด "เส้น" ในแบบจำลองนี้ วงกลมหน่วยคือค่าสัมบูรณ์ของเคย์ลีย์ที่กำหนดเมตริกบนดิสก์โดยใช้ค่าอัตราส่วนไขว้ในรูปแบบของเมตริกเคย์ลีย์-ไคลน์ในภาษาของเรขาคณิตเชิงอนุพันธ์ ส่วนโค้งวงกลมที่ตั้งฉากกับวงกลมหน่วยคือเส้นจีโอเด สิก ที่แสดงระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุดในแบบจำลอง แบบจำลองนี้รวมถึงการเคลื่อนที่ซึ่งแสดงโดยกลุ่มเอกภาพพิเศษSU(1,1)แบบจำลองดิสก์สามารถแปลงเป็นแบบจำลองระนาบครึ่งปวงกาเรได้โดยการแมปgที่กำหนดไว้ข้างต้น

ทั้งวงกลมปวงกาเรและระนาบครึ่งปวงกาเรเป็น แบบจำลอง เชิงคอนฟอร์มัลของระนาบไฮเปอร์โบลิก ซึ่งหมายความว่ามุมระหว่างเส้นโค้งที่ตัดกันจะถูกรักษาไว้โดยการเคลื่อนที่ของกลุ่มไอโซเมตรีของเส้นโค้งเหล่านั้น

แบบจำลองอีกแบบหนึ่งของปริภูมิไฮเปอร์โบลิกก็สร้างขึ้นบนดิสก์หน่วยเปิดเช่นกัน นั่นคือแบบจำลองเบลตรามิ-ไคลน์ แบบจำลองนี้ไม่ใช่แบบคอนฟอร์มอลแต่มีคุณสมบัติที่ว่าเส้นทางจีโอเดสิกเป็นเส้นตรง

นอกจากนี้ เรายังพิจารณาถึงวงกลมหน่วยโดยสัมพันธ์กับเมตริก อื่นๆ ด้วย ตัวอย่างเช่น เมื่อใช้เมตริกแท็กซี่และเมตริกเชบิเชฟวงกลมจะมีลักษณะคล้ายสี่เหลี่ยมจัตุรัส (แม้ว่าโทโพโลยี พื้นฐาน จะเหมือนกับแบบยุคลิดก็ตาม)

พื้นที่ของวงกลมหน่วยในเรขาคณิตยุคลิดคือπและเส้นรอบวงคือ 2π ในทางตรงกันข้าม เส้นรอบวง (เมื่อเทียบกับเมตริกแท็กซี่แคบ) ของวงกลมหน่วยในเรขาคณิตแท็กซี่แคบคือ 8 ในปี ค.ศ. 1932 สตานิสลาฟ โกวาบพิสูจน์ว่าในเมตริกที่ได้มาจากนอร์มเส้นรอบวงของวงกลมหน่วยสามารถมีค่าใดๆ ก็ได้ระหว่าง 6 ถึง 8 และค่าสุดขั้วเหล่านี้จะเกิดขึ้นได้ก็ต่อเมื่อวงกลมหน่วยเป็นรูปหกเหลี่ยม ด้านเท่า หรือรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานด้านเท่า ตามลำดับ

• กราฟดิสก์หน่วย
• ทรงกลมหน่วย
• ทฤษฎีบทของเดอ บรังจ์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "ดิสก์หน่วย" . แมธเวิลด์ .
• เกี่ยวกับเส้นรอบวงและพื้นที่ของวงกลมหน่วยโดย เจ.ซี. อัลวาเรซ ปาเวีย และ เอ.ซี. ทอมป์สัน