ในทางคณิตศาสตร์ทรงกลมหน่วยคือทรงกลมที่มีรัศมี หนึ่งหน่วย : เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางในปริภูมิสามมิติเป็นระยะทางแบบยุคลิดเท่ากับ 1 โดยทั่วไปแล้ว ทรงกลมหน่วย คือ ทรงกลมที่มีรัศมีหนึ่งหน่วยในปริภูมิยุคลิดมิติ nวงกลมหน่วยเป็นกรณีพิเศษคือทรงกลมหน่วยในระนาบลูกบอลหน่วย( แบบเปิด) คือบริเวณภายในทรงกลมหน่วย เซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางน้อยกว่า 1 ${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+1)}$${\displaystyle 1}$

ทรงกลมหน่วยหรือลูกบอลหน่วยที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิดของปริภูมิ เรียกว่าทรงกลมหน่วย (แบบมาตรฐาน) หรือลูกบอลหน่วย (แบบมาตรฐาน) ทรงกลมใดๆ ก็สามารถแปลงเป็นทรงกลมหน่วยได้โดยใช้การเลื่อนและการปรับขนาดดังนั้นการศึกษาเกี่ยวกับทรงกลมโดยทั่วไปจึงมักลดทอนลงเหลือเพียงการศึกษาเกี่ยวกับทรงกลมหน่วยได้

ทรงกลมหน่วยมักถูกใช้เป็นแบบจำลองสำหรับเรขาคณิตทรงกลมเนื่องจากมีความโค้งภาคตัดขวาง คงที่ เท่ากับ 1 ซึ่งทำให้การคำนวณง่ายขึ้น ในตรีโกณมิติความยาวส่วนโค้งบนวงกลมหน่วยเรียกว่าเรเดียนและใช้ในการวัดระยะเชิงมุมในตรีโกณมิติทรงกลมพื้นที่ผิวบนทรงกลมหน่วยเรียกว่าสเตอเรเดียนและใช้ในการวัดมุม ตัน

ในบริบททั่วไปทรงกลมหน่วยคือเซตของจุดที่อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางคงที่เท่ากับ 1 โดยสามารถใช้ค่ามาตรฐาน ต่างๆ เป็นแนวคิดทั่วไปของ "ระยะทาง" และลูกบอลหน่วย (แบบเปิด) คือบริเวณภายในทรง กลมหน่วยนั้น

ในปริภูมิยูคลิดที่มีมิติ⁠ ⁠ ทรงกลมหน่วย ${\displaystyle n}$มิติ⁠ ⁠ ${\displaystyle (n-1)}$คือเซตของจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการ ${\displaystyle (x_{1},\ldots ,x_{n})}$$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}=1.}$$

ลูกบอล${\displaystyle n}$หน่วยเปิดคือเซตของจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ และลูกบอลหน่วยปิดคือเซตของจุดทั้งหมดที่สอดคล้องกับอสมการ $${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}<1,}$$${\displaystyle n}$$${\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\leq 1.}$$

สมการคลาสสิกของทรงกลมหน่วยคือสมการของทรงรีที่มีรัศมี 1 และไม่มีการเปลี่ยนแปลงแกน⁠ ⁠${\displaystyle x}$ -, ⁠ ⁠${\displaystyle y}$ - หรือ⁠ ⁠${\displaystyle z}$ -: $${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=1}$$

ปริมาตรของทรงกลมหน่วยในปริภูมิยูคลิด⁠ ⁠${\displaystyle n}$มิติ และพื้นที่ผิวของทรงกลมหน่วย ปรากฏอยู่ในสูตรสำคัญหลายสูตรของการวิเคราะห์ปริมาตรของทรงกลมหน่วย⁠ ⁠${\displaystyle n}$มิติ ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์สามารถแสดงได้โดยใช้ฟังก์ชันแกมมาโดย ที่คือ แฟกทอเรี ยล คู่${\displaystyle V_{n},}$$${\displaystyle V_{n}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\begin{cases}{\pi ^{n/2}}/{(n/2)!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{n!!}&\mathrm {if~} n\geq 0\mathrm {~is~odd,} \end{cases}}}$$${\displaystyle n!!}$

ปริมาตรไฮเปอร์ของ ทรงกลมหน่วย มิติn${\displaystyle (n-1)}$ ( เช่น "พื้นที่" ของขอบของ ทรงกลมหน่วย มิติn${\displaystyle n}$ ) ซึ่งเราใช้สัญลักษณ์สามารถแสดงได้ดังนี้ ตัวอย่างเช่นคือ "พื้นที่" ของขอบของทรงกลมหน่วยซึ่งนับจุดสองจุด จากนั้นคือ "พื้นที่" ของขอบของจานหน่วย ซึ่งก็คือเส้นรอบวงของวงกลมหน่วยคือพื้นที่ของขอบของทรงกลมหน่วย ซึ่ง ก็ คือพื้นที่ผิวของทรงกลมหน่วย${\displaystyle A_{n-1},}$$${\displaystyle A_{n-1}=nV_{n}={\frac {n\pi ^{n/2}}{\Gamma (1+n/2)}}={\frac {2\pi ^{n/2}}{\Gamma (n/2)}}={\begin{cases}{2\pi ^{n/2}}/{(n/2-1)!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~even} \\[6mu]{2(2\pi )^{(n-1)/2}}/{(n-2)!!}&\mathrm {if~} n\geq 1\mathrm {~is~odd.} \end{cases}}}$$${\displaystyle A_{0}=2}$${\displaystyle [-1,1]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle A_{1}=2\pi }$${\displaystyle A_{2}=4\pi }$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}\leq 1\}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{3}:x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1\}}$

พื้นที่ผิวและปริมาตรสำหรับค่าบางค่าของมีดัง${\displaystyle n}$ต่อไปนี้:

⁠ ⁠${\displaystyle n}$	${\displaystyle A_{n-1}}$(พื้นที่ผิว)		${\displaystyle V_{n}}$(ปริมาณ)
0			${\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}}$	1
1	${\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2	${\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2
2	${\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi }$	6.283	${\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi }$	3.141
3	${\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi }$	12.57	${\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi }$	4.189
4	${\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}}$	19.74	${\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}}$	4.935
5	${\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}}$	26.32	${\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}}$	5.264
6	${\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}}$	31.01	${\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}}$	5.168
7	${\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}}$	33.07	${\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}}$	4.725
8	${\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}}$	32.47	${\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}}$	4.059
9	${\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}}$	29.69	${\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}}$	3.299
10	${\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}}$	25.50	${\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}}$	2.550

โดยค่าทศนิยมที่ขยายแล้วจะถูกปัดเศษให้มีความแม่นยำตามที่แสดง ${\displaystyle n\geq 2}$

ค่าเหล่า นี้สอดคล้องกับการเรียกซ้ำ: สำหรับ⁠ ⁠ . ${\displaystyle A_{n}}$$${\displaystyle A_{0}=2}$$$${\displaystyle A_{1}=2\pi }$$$${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-1}}A_{n-2}}$$${\displaystyle n>1}$

ค่าเหล่า นี้สอดคล้องกับการเรียกซ้ำ: สำหรับ⁠ ⁠ . ${\displaystyle V_{n}}$$${\displaystyle V_{0}=1}$$$${\displaystyle V_{1}=2}$$$${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$$${\displaystyle n>1}$

บางครั้ง ค่าที่ค่าจริงที่ไม่เป็นลบของ⁠ ⁠จะถูกใช้สำหรับการทำให้เป็นมาตรฐานของการวัด Hausdorff ^{[ 1 ] [ 2 ]}${\textstyle 2^{-n}V_{n}=\pi ^{n/2}{\big /}\,2^{n}\Gamma {\bigl (}1+{\tfrac {1}{2}}n{\bigr )}}$${\displaystyle n}$

พื้นที่ผิวของ ทรงกลม n มิติ${\displaystyle (n-1)}$ที่มีรัศมีn${\displaystyle r}$คือและปริมาตรของ ทรงกลม n มิติ ที่ มีรัศมีn คือ ตัวอย่างเช่น พื้นที่ผิวของทรงกลมสามมิติที่มีรัศมี n คือ และปริมาตร ของ ทรงกลมสามมิติที่มีรัศมี  n คือ${\displaystyle A_{n-1}r^{n-1}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r}$${\displaystyle V_{n}r^{n}.}$${\displaystyle A_{2}=4\pi r^{2}}$${\displaystyle r.}$${\displaystyle V_{3}={\tfrac {4}{3}}\pi r^{3}}$${\displaystyle r}$

ทรงกลมหน่วยเปิดของปริภูมิเวกเตอร์ที่ มีบรรทัดฐาน⁠ ⁠${\displaystyle V}$กำหนดโดย ${\displaystyle \|\cdot \|}$$${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$$

มันคือส่วนภายในเชิงโทโพโลยีของทรงกลมหน่วยปิดของ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$$${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$$

ส่วนหลังเป็นผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของส่วนแรกและขอบเขตร่วมกันของทั้งสองส่วน ซึ่งก็คือทรงกลมหน่วยของ${\displaystyle (V,\|\cdot \|)\colon }$$${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$$

"รูปทรง" ของลูกบอลหน่วยนั้นขึ้นอยู่กับบรรทัดฐานที่เลือกโดยสิ้นเชิง มันอาจมี "มุม" และตัวอย่างเช่น อาจมีลักษณะเหมือนในกรณีของบรรทัดฐานสูงสุดใน⁠ ⁠จะได้ลูกบอลกลม ตามธรรมชาติ เป็นลูกบอลหน่วยที่เกี่ยวข้องกับ บรรทัดฐานของปริภูมิ ฮิลเบิร์ต ตามปกติ ซึ่งในกรณีมิติจำกัดจะอิงตามระยะทางแบบยุคลิดขอบของมันคือสิ่งที่โดยทั่วไปหมายถึง ทรง กลม หน่วย${\displaystyle [-1,1]^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ให้ กำหนดนอร์ม ⁠ ⁠ปกติสำหรับเป็นดังนี้: ${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$$${\displaystyle \|x\|_{p}={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p}{\biggr )}^{1/p}}$$

ดังนั้น จึง เป็น บรรทัดฐาน ของปริภูมิฮิลเบิร์ตตามปกติเรียกว่าบรรทัดฐานแฮมมิง หรือ บรรทัดฐาน ⁠ ⁠เงื่อนไขนี้จำเป็นในนิยามของบรรทัดฐาน เนื่องจากลูกบอลหน่วยในปริภูมิที่มีบรรทัดฐานใดๆ จะต้องเป็นทรง นูนอันเป็นผลมาจากอสมการสามเหลี่ยมให้แทนบรรทัดฐานสูงสุด หรือ บรรทัดฐาน ⁠ ⁠ของ⁠ ⁠${\displaystyle \|x\|_{2}}$${\displaystyle \|x\|_{1}}$${\displaystyle \ell _{1}}$${\displaystyle p\geq 1}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$${\displaystyle \ell _{\infty }}$${\displaystyle x}$

โปรดทราบว่าสำหรับเส้นรอบวงหนึ่งมิติของลูกบอลหน่วยสองมิติ เราจะได้ว่า: คือค่าต่ำสุด คือค่าสูงสุด ${\displaystyle C_{p}}$$${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$$$${\displaystyle C_{2}=2\pi }$$$${\displaystyle C_{\infty }=8}$$

นิยามทั้งสามข้างต้นสามารถขยายความทั่วไปไปยังปริภูมิเมตริก ได้โดยตรง โดยสัมพันธ์กับจุดกำเนิดที่เลือกไว้ อย่างไรก็ตาม การพิจารณาทางด้านโทโพโลยี (ภายใน การปิด ขอบเขต) ไม่จำเป็นต้องนำไปใช้ในลักษณะเดียวกัน (เช่น ใน ปริภูมิ อัลตราเมตริกทั้งสามอย่างนี้เป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิดพร้อมกัน) และทรงกลมหน่วยอาจว่างเปล่าในปริภูมิเมตริกบางแห่งด้วยซ้ำ

ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle V}$เป็นปริภูมิเชิงเส้นที่มีรูปแบบกำลังสอง จริง อาจเรียกว่าทรงกลมหน่วย^{[ 3 ] [ 4 ]}หรือทรงกลมกึ่งหน่วยของตัวอย่างเช่น รูปแบบกำลังสอง⁠ ⁠เมื่อกำหนดให้เท่ากับหนึ่ง จะสร้างไฮเปอร์โบลาหน่วยซึ่งทำหน้าที่เป็น "วงกลมหน่วย" ในระนาบของจำนวนเชิงซ้อนแบบแยกส่วน ใน ทำนองเดียวกัน รูปแบบกำลังสองจะให้เส้นคู่หนึ่งสำหรับทรงกลมหน่วยในระนาบ จำนวนคู่${\displaystyle F:V\to \mathbb {R} ,}$${\displaystyle \{p\in V:F(p)=1\}}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$${\displaystyle x^{2}}$

• ลูกบอล
• - ทรง${\displaystyle n}$กลม
• ทรงกลม
• ซูเปอร์เอลลิปส์
• วงกลมหน่วย
• ดิสก์ยูนิต
• มัดสัมผัสหน่วย
• ตารางหน่วย

• Mahlon M. Day (1958) Normed Linear Spacesหน้า 24, Springer- Verlag
• เดซ่า อี. ; Deza, M. (2006), พจนานุกรมระยะทาง , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2ได้รับการวิจารณ์ในจดหมายข่าวของสมาคมคณิตศาสตร์ยุโรป ฉบับที่ 64 (มิถุนายน 2550)หน้า 57 หนังสือเล่มนี้จัดเรียงเป็นรายการระยะทางหลายประเภท โดยแต่ละประเภทมีคำอธิบายสั้น ๆ

ค้นหาคำว่า "unit sphere"ใน Wiktionary ซึ่งเป็นพจนานุกรมออนไลน์ฟรี

• ไวส์สไตน์, เอริก ดับเบิลยู. "Unit sphere" . แมทเวิลด์ .