ในทางคณิตศาสตร์พหุนามคือนิพจน์ทางคณิตศาสตร์ที่ประกอบด้วยตัวแปรและสัมประสิทธิ์ซึ่งใช้เฉพาะการดำเนินการบวกลบคูณและยกกำลังด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบและมีจำนวนพจน์จำกัด ตัวอย่างของพหุนามที่มีตัวแปรเดียวคือตัวอย่างที่มีตัวแปรสามตัวคือ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{2}-4x+7}$${\displaystyle x^{3}+2xyz^{2}-yz+1}$

พหุนามปรากฏอยู่ในหลายสาขาของคณิตศาสตร์และวิทยาศาสตร์ตัวอย่างเช่น พหุนามถูกใช้ในการสร้างสมการพหุนามซึ่งเข้ารหัสปัญหาต่างๆ มากมาย ตั้งแต่ปัญหาคำถาม พื้นฐาน ไปจนถึงปัญหาทางวิทยาศาสตร์ที่ซับซ้อน พหุนามถูกใช้ในการกำหนดฟังก์ชันพหุนามซึ่งปรากฏในบริบทต่างๆ ตั้งแต่เคมีและฟิสิกส์ พื้นฐาน ไปจนถึงเศรษฐศาสตร์และสังคมศาสตร์และพหุนามถูกใช้ในแคลคูลัสและการวิเคราะห์เชิงตัวเลขเพื่อประมาณค่าฟังก์ชันอื่นๆ ในคณิตศาสตร์ขั้นสูง พหุนามถูกใช้ในการสร้างวงแหวนพหุนามและวาไรตี้เชิง พีชคณิต ซึ่งเป็นแนวคิดหลักในพีชคณิตและเรขาคณิตเชิงพีชคณิต

คำว่าพหุนามมาจากรากศัพท์สองคำที่แตกต่างกัน คือ polyในภาษากรีกซึ่งหมายถึง "หลาย" และnomen ในภาษาละติน หรือ "ชื่อ" คำนี้ได้มาจากคำว่าทวินามโดยแทนที่รากศัพท์ภาษาละตินbi- ด้วย poly-ในภาษากรีกนั่นคือ หมายถึงผลรวมของพจน์จำนวนมาก ( เอกนาม จำนวนมาก ) คำว่าพหุนามถูกใช้ครั้งแรกในศตวรรษที่ 17 ^{[ 1 ]}

ตัวแปรที่ปรากฏในพหุนามมักเรียกว่าตัวแปรหรือค่าที่ไม่แน่นอน [ ^{2 ] เมื่อ}พิจารณาพหุนามเป็นนิพจน์ ตัวแปรจะเป็นสัญลักษณ์คงที่ซึ่งไม่มีค่าใดๆ (ค่าของมันคือ "ค่าที่ไม่แน่นอน") อย่างไรก็ตาม เมื่อพิจารณาฟังก์ชันที่กำหนดโดยพหุนาม ตัวแปรจะแสดงถึงอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชัน และจึงเรียกว่า "ตัวแปร" ผู้เขียนหลายคนใช้สองคำนี้สลับกันได้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

^โดย ทั่วไปแล้ว พหุนามในตัวแปรไม่กำหนดจะถูกแทนด้วยตัวอักษรพิมพ์ใหญ่หรือพิมพ์เล็ก เช่นหรืออย่างไรก็ตาม พหุนามสามารถแทนด้วยสัญลักษณ์เชิงฟังก์ชันหรือ[ ^{3 ]}ซึ่งการใช้งานนั้นมีมาตั้งแต่สมัยที่ความแตกต่างระหว่างพหุนามและฟังก์ชันที่เกี่ยวข้องยังไม่ชัดเจน ยิ่งไปกว่านั้น สัญลักษณ์เชิงฟังก์ชันมักมีประโยชน์สำหรับการระบุพหุนามและตัวแปรไม่กำหนดในวลีเดียว ตัวอย่างเช่น "ให้เป็นพหุนาม" เป็นคำย่อของ "ให้เป็นพหุนามในตัวแปรไม่กำหนด" ในทางกลับกัน เมื่อไม่จำเป็นต้องเน้นชื่อของตัวแปรไม่กำหนด สูตรหลายสูตรจะง่ายกว่าและอ่านง่ายกว่ามากหากชื่อของตัวแปรไม่กำหนดไม่ปรากฏในแต่ละครั้งที่พหุนามปรากฏ ${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle P(x)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$

ความกำกวมของการมีสัญลักษณ์สองแบบสำหรับวัตถุทางคณิตศาสตร์เดียวกัน อาจได้รับการแก้ไขอย่างเป็นทางการโดยการพิจารณาความหมายทั่วไปของสัญลักษณ์เชิงฟังก์ชันสำหรับพหุนาม ถ้าแทนจำนวน ตัวแปร พหุนามอื่น หรือโดยทั่วไปแล้วนิพจน์ใดๆ แล้วจะแทนผลลัพธ์ของการแทนค่า ใน ตามธรรมเนียมดังนั้นพหุนาม จึงกำหนดฟังก์ชัน ซึ่งเป็นฟังก์ชันพหุนามที่เกี่ยวข้องกับบ่อยครั้ง เมื่อใช้สัญลักษณ์นี้ เราจะถือว่าเป็นจำนวน อย่างไรก็ตาม เราอาจใช้มันกับโดเมนใดๆ ที่กำหนดนิยามของการบวกและการคูณ (นั่นคือวงแหวน ใดๆ ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นพหุนาม แล้วก็เป็นพหุนามด้วย ${\displaystyle a}$${\displaystyle P(a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$$${\displaystyle a\mapsto P(a),}$$${\displaystyle P}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle P(a)}$

กล่าวให้เจาะจงยิ่งขึ้น เมื่อเป็นค่าที่ไม่แน่นอนภาพของโดยฟังก์ชันนี้ คือพหุนามนั้นเอง (การแทนที่ด้วยไม่เปลี่ยนแปลงอะไร) กล่าวอีกนัยหนึ่ง ซึ่ง เป็นการ ยืนยันอย่างเป็นทางการถึงการมีอยู่ของสัญลักษณ์สองแบบสำหรับพหุนามเดียวกัน ${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$$${\displaystyle P(x)=P,}$$

พหุนามคือการแสดงออกที่สามารถสร้างขึ้นจากค่าคงที่และสัญลักษณ์ที่เรียกว่าตัวแปรหรือ ค่า ที่ไม่กำหนดโดยวิธีการบวกการคูณและการยกกำลังด้วย กำลัง จำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบค่าคงที่โดยทั่วไปคือตัวเลขแต่อาจเป็นวัตถุทางคณิตศาสตร์ ใดๆ ก็ได้ ที่ไม่เกี่ยวข้องกับค่าที่ไม่กำหนดและสามารถบวกและคูณได้ พหุนามสองนิพจน์ถือว่ากำหนดพหุนาม เดียวกัน หากสามารถแปลงจากนิพจน์หนึ่งไปเป็นอีกนิพจน์หนึ่งได้โดยใช้คุณสมบัติการสลับที่ การจัด กลุ่มและการกระจายของการบวกและการคูณตามปกติ ตัวอย่างเช่นและเป็นพหุนามสองนิพจน์ที่แสดงถึงพหุนามเดียวกัน ดังนั้น จึงมีความเท่าเทียมกัน^{[ 3 ]}${\displaystyle (x-1)(x-2)}$${\displaystyle x^{2}-3x+2}$${\displaystyle (x-1)(x-2)=x^{2}-3x+2}$

พหุนามในตัวแปรx ตัวเดียว สามารถเขียน (หรือเขียนใหม่) ได้เสมอในรูปแบบ ที่เป็นค่าคงที่ที่เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของพหุนาม และเป็นตัวแปรที่ไม่กำหนด คำว่า "ไม่กำหนด" หมายความว่าไม่ได้แทนค่าใดๆ โดยเฉพาะ แม้ว่าจะสามารถแทนที่ด้วยค่าใดๆ ก็ได้ การแมปที่เชื่อมโยงผลลัพธ์ของการแทนที่นี้กับค่าที่ถูกแทนที่เรียกว่าฟังก์ชัน เรียกว่า ฟังก์ชันพหุนามดู§ ฟังก์ชันพหุนาม^{[ 4 ]}$${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0},}$$${\displaystyle a_{0},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

สามารถแสดงสิ่งนี้ได้อย่างกระชับยิ่งขึ้นโดยใช้สัญกรณ์ผลรวม กล่าวคือ พหุนามอาจเป็นศูนย์หรือสามารถเขียนได้เป็นผลรวมของพจน์ ที่ไม่เป็นศูนย์จำนวนจำกัด แต่ละพจน์ประกอบด้วยผลคูณของจำนวน – เรียกว่าสัมประสิทธิ์ของพจน์^{[ a ]}  – และตัวแปรที่ไม่ทราบค่าจำนวนจำกัด ซึ่งยกกำลังด้วยจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ $${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}a_{k}x^{k}}$$

เลขชี้กำลังของตัวแปรที่ไม่กำหนดในพจน์เรียกว่าดีกรีของตัวแปรที่ไม่กำหนดในพจน์นั้น ดีกรีของพจน์คือผลรวมของดีกรีของตัวแปรที่ไม่กำหนดในพจน์นั้น และดีกรีของพหุนามคือดีกรีที่ใหญ่ที่สุดของพจน์ใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ เนื่องจากดีกรีของตัวแปรที่ไม่กำหนดที่ไม่มีเลขชี้กำลังเขียนคือหนึ่ง^{[ 5 ]}${\displaystyle x=x^{1}}$

พจน์ที่ไม่มีตัวแปรกำหนดและพหุนามที่ไม่มีตัวแปรกำหนดเรียกว่าพจน์คงที่และ พหุ นามคงที่ ตามลำดับ ^{[ 5 ] [ b ]}ดีกรีของพจน์คงที่และพหุนามคงที่ที่ไม่เป็นศูนย์คือดีกรีของพหุนามศูนย์(ซึ่งไม่มีพจน์เลย) โดยทั่วไปถือว่าไม่มีนิยาม (แต่ดูด้านล่าง) ^{[ 6 ]}${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

ตัวอย่างเช่น: เป็นพจน์หนึ่ง สัมประสิทธิ์คือตัวแปรอิสระคือและดีกรีของคือสอง ในขณะที่ดีกรีของคือหนึ่ง ดีกรีของพจน์ทั้งหมดคือผลรวมของดีกรีของตัวแปรอิสระแต่ละตัวในพจน์นั้น ดังนั้นในตัวอย่างนี้ ดีกรีคือ $${\displaystyle -5x^{2}y}$$${\displaystyle -5}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 2+1=3}$

การนำพจน์หลายๆ พจน์มาบวกกันจะได้เป็นพหุนาม ตัวอย่างเช่น พหุนามต่อไปนี้ ประกอบด้วยสามพจน์ คือ พจน์แรกมีดีกรีสอง พจน์ที่สองมีดีกรีหนึ่ง และพจน์ที่สามมีดีกรีศูนย์ $${\displaystyle \underbrace {_{\,}3x^{2}} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {1} \end{smallmatrix}}\underbrace {-_{\,}5x} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {2} \end{smallmatrix}}\underbrace {+_{\,}4} _{\begin{smallmatrix}\mathrm {term} \\\mathrm {3} \end{smallmatrix}}.}$$

พหุนามดีกรีน้อยได้รับการตั้งชื่อเฉพาะ พหุนามดีกรีศูนย์คือพหุนามคงที่หรือเรียกง่ายๆ ว่าค่าคงที่พหุนามดีกรีหนึ่ง สอง หรือสาม คือพหุนามเชิงเส้น พหุนามกำลังสอง และพหุนามกำลังสาม ตามลำดับ[ 7 ]สำหรับดีกรีที่^{สูงกว่านั้น}ไม่ค่อยมีการใช้ชื่อเฉพาะ แม้ว่า บางครั้งจะใช้ พหุนามกำลังสี่ (สำหรับดีกรีสี่) และพหุนามกำลังห้า (สำหรับดีกรีห้า) ก็ตาม ชื่อสำหรับดีกรีอาจนำไปใช้กับพหุนามหรือพจน์ของมัน ตัวอย่างเช่น พจน์ในเป็นพจน์เชิงเส้นในพหุนามกำลังสอง ${\displaystyle 2x}$${\displaystyle x^{2}+2x+1}$

พหุนามซึ่งอาจถือได้ว่าไม่มีพจน์ใด ๆ เลย เรียกว่า พหุ นามศูนย์^{[ 8 ]}แตกต่างจากพหุนามคงที่อื่น ๆ ดีกรีของมันไม่ใช่ศูนย์ แต่ดีกรีของพหุนามศูนย์นั้นอาจไม่ได้กำหนดไว้อย่างชัดเจน หรือกำหนดเป็นค่าลบ (−1 หรือ) ^{[ 9 ] [ 3 ]} พหุนามศูนย์ยังมีความพิเศษตรงที่เป็นพหุนามเดียวในตัวแปรหนึ่งตัวที่มี รากอนันต์จำนวนหนึ่งกราฟของพหุนามศูนย์คือแกน x ${\displaystyle 0}$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle f(x)=0}$${\displaystyle x}$

ในกรณีของพหุนามที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว พหุนามจะเรียกว่า พหุนาม เอกพันธุ์ดีกรีถ้าพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด มีดีกรี พหุนามศูนย์เป็นพหุนามเอกพันธุ์ และเนื่องจากเป็นพหุนามเอกพันธุ์ ดีกรีของมันจึงไม่ถูกกำหนด^{[ c ]}ตัวอย่างเช่นเป็นพหุนามเอกพันธุ์ดีกรีสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูพหุ นามเอกพันธุ์${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x^{3}y^{2}+7x^{2}y^{3}-3x^{5}}$${\displaystyle 5}$

กฎการสลับที่ของการบวกสามารถใช้จัดเรียงพจน์ใหม่ตามลำดับที่ต้องการได้ ในพหุนามที่มีตัวแปรหนึ่งตัว พจน์มักจะเรียงลำดับตามดีกรี ไม่ว่าจะเป็น "กำลังของที่ลดลง" โดยพจน์ที่มีดีกรีมากที่สุดอยู่ก่อน หรือ "กำลังของที่เพิ่มขึ้น" พหุนามเขียนในรูปกำลังของที่ลดลงพจน์แรกมีสัมประสิทธิ์ตัวแปรและเลขชี้กำลังในพจน์ที่สอง สัมประสิทธิ์คือพจน์ที่สามเป็นค่าคงที่ เนื่องจากดีกรีของพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์คือดีกรีที่มากที่สุดของพจน์ใดพจน์หนึ่ง พหุนามนี้จึงมีดีกรีสอง^{[ 10 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 3x^{2}-5x+4}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle -5}$

สองพจน์ที่มีตัวแปรไม่แน่นอนเดียวกันที่ยกกำลังเดียวกันเรียกว่า "พจน์ที่คล้ายกัน" หรือ "พจน์ที่เหมือนกัน" และสามารถรวมกันได้โดยใช้กฎการกระจายเป็นพจน์เดียวที่มีสัมประสิทธิ์เป็นผลรวมของสัมประสิทธิ์ของพจน์ที่รวมกัน อาจเกิดขึ้นได้ว่าสัมประสิทธิ์จะเป็น^{[ 11 ]}${\displaystyle 0}$

พหุนามสามารถจำแนกได้ตามจำนวนพจน์ที่มีสัมประสิทธิ์ไม่เป็นศูนย์ โดยพหุนามหนึ่งพจน์เรียกว่า^เอกนาม [ ^{d ]}พหุนามสองพจน์เรียกว่าทวินามและพหุนามสามพจน์เรียกว่าไตรนาม พหุนามที่มีสองพจน์ขึ้นไปเรียกว่าพหุนาม^{[ 12 ] [ 13 ]}

พหุนามจริงคือ พหุนามที่มี สัมประสิทธิ์เป็นจำนวน จริงเมื่อใช้ในการกำหนดฟังก์ชันโดเมนจะไม่ถูกจำกัดมากนัก อย่างไรก็ตามฟังก์ชันพหุนามจริงคือ ฟังก์ชันจากจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง ซึ่งกำหนดโดยพหุนามจริง ในทำนองเดียวกันพหุนามจำนวนเต็มคือ พหุนามที่มี สัมประสิทธิ์ เป็นจำนวนเต็มและพหุนามเชิงซ้อนคือ พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อน

พหุนามที่มีตัวแปรหนึ่งตัวเรียกว่าพหุนามเอกตัวแปรพหุนามที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัวเรียกว่า พหุนาม พหุตัวแปร^{[ 14 ]}พหุนามที่มีตัวแปรสองตัวเรียกว่าพหุนามทวิตัวแปร^{[ 15 ]}แนวคิดเหล่านี้หมายถึงชนิดของพหุนามที่เราใช้โดยทั่วไปมากกว่าพหุนามแต่ละตัว ตัวอย่างเช่น เมื่อทำงานกับพหุนามเอกตัวแปร เราไม่ได้ตัดพหุนามคงที่ออกไป (ซึ่งอาจเกิดจากการลบพหุนามที่ไม่คงที่) แม้ว่าโดยหลักแล้วพหุนามคงที่จะไม่มีตัวแปรใดๆ เลยก็ตาม เป็นไปได้ที่จะจำแนกพหุนามพหุตัวแปรออกเป็นพหุนามทวิตัวแปรพหุนามไตรตัวแปรและอื่นๆ ตามจำนวนตัวแปรสูงสุดที่อนุญาต อีกครั้ง เพื่อให้เซตของวัตถุที่กำลังพิจารณาปิดภายใต้การลบ การศึกษาพหุนามสามตัวแปรมักจะอนุญาตให้ใช้พหุนามสองตัวแปร และอื่นๆ นอกจากนี้ยังเป็นเรื่องปกติที่จะกล่าวอย่างง่ายๆ ว่า "พหุนามในและ" โดยระบุตัวแปรที่อนุญาต^{[ 16 ]}${\displaystyle x,y}$${\displaystyle z}$

พหุนามสามารถบวกกันได้โดยใช้กฎการสลับที่ของการบวก (โดยจัดกลุ่มพจน์ทั้งหมดเข้าด้วยกันเป็นผลรวมเดียว) อาจตามด้วยการเรียงลำดับใหม่ (โดยใช้กฎการสลับที่ ) และการรวมพจน์ที่เหมือนกัน^{[ 11 ] [ 17 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้า และ ผลรวม สามารถเรียงลำดับใหม่และจัดกลุ่มใหม่ได้เป็น และจากนั้นทำให้ง่ายขึ้นเป็น เมื่อบวกพหุนามเข้าด้วยกัน ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นพหุนามอีกตัวหนึ่ง^{[ 18 ]}$${\displaystyle P=3x^{2}-2x+5xy-2}$$$${\displaystyle Q=-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$$${\displaystyle P+Q=3x^{2}-2x+5xy-2-3x^{2}+3x+4y^{2}+8}$$$${\displaystyle P+Q=(3x^{2}-3x^{2})+(-2x+3x)+5xy+4y^{2}+(8-2)}$$$${\displaystyle P+Q=x+5xy+4y^{2}+6.}$$

การลบพหุนามก็คล้ายกัน

พหุนามสามารถคูณกันได้เช่นกัน ในการขยายผลคูณของพหุนามสองตัวให้เป็นผลรวมของพจน์ จะใช้กฎการกระจายซ้ำๆ ซึ่งส่งผลให้แต่ละพจน์ของพหุนามตัวหนึ่งถูกคูณด้วยทุกพจน์ของพหุนามอีกตัวหนึ่ง^{[ 11 ]}ตัวอย่างเช่น ถ้า แล้ว การคูณในแต่ละพจน์จะได้ การรวมพจน์ที่คล้ายกันจะ ได้ ซึ่งสามารถทำให้ง่ายขึ้นเป็น ดัง เช่นในตัวอย่าง ผลคูณของพหุนามจะเป็นพหุนามเสมอ^{[ 18 ] [ 19 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\color {Red}P\,&\color {Red}{=2x+3y+5}\\\color {Blue}Q\,&{\color {Blue}{=2x+5y+xy+1}},\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}{\color {Red}{P}}{\color {Blue}{Q}}&{=}&&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{2x}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{3y}}\cdot {\color {Blue}{1}})\\&&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{2x}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{5y}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{xy}})&+&({\color {Red}{5}}\cdot {\color {Blue}{1}})\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&10xy&+&2x^{2}y&+&2x\\&&+&6xy&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&3y\\&&+&10x&+&25y&+&5xy&+&5.\end{array}}}$$$${\displaystyle {\begin{array}{rcccrcrcrcr}PQ&=&&4x^{2}&+&(10xy+6xy+5xy)&+&2x^{2}y&+&(2x+10x)\\&&+&15y^{2}&+&3xy^{2}&+&(3y+25y)&+&5\end{array}}}$$$${\displaystyle PQ=4x^{2}+21xy+2x^{2}y+12x+15y^{2}+3xy^{2}+28y+5.}$$

เมื่อกำหนดพหุนามตัวแปรเดียวและพหุนามอีกตัวหนึ่งที่มีตัวแปรจำนวนใดก็ได้การประกอบพหุนามจะได้มาจากการแทนที่ตัวแปรแต่ละตัวของพหุนามตัวแรกด้วยพหุนามตัวที่สอง^{[ 19 ]} ตัวอย่างเช่น ถ้าและแล้ว การประกอบพหุนามสามารถขยายเป็นผลรวมของพจน์โดยใช้กฎการคูณและการหารพหุนาม การประกอบพหุนามสองตัวคือพหุนามอีกตัวหนึ่ง^{[ 20 ]}${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f\circ g}$${\displaystyle f(x)=x^{2}+2x}$${\displaystyle g(x)=3x+2}$$${\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))=(3x+2)^{2}+2(3x+2).}$$

การหารพหุนามหนึ่งด้วยพหุนามอีกพหุนามหนึ่งโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่พหุนาม แต่สัดส่วนดังกล่าวเป็นกลุ่มของวัตถุทั่วไปที่เรียกว่าเศษส่วนตรรกยะนิพจน์ตรรกยะหรือฟังก์ชันตรรกยะขึ้นอยู่กับบริบท^{[ 21 ]} ซึ่งคล้ายคลึงกับข้อเท็จจริงที่ว่าอัตราส่วนของจำนวนเต็ม สองจำนวน เป็นจำนวนตรรกยะไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนเต็ม^{[ 22 ] [ 23 ]} ตัวอย่างเช่น เศษส่วนไม่ใช่พหุนาม และไม่สามารถเขียนเป็นผลรวมจำกัดของกำลังของตัวแปรได้ ${\displaystyle 1/(x^{2}+1)}$${\displaystyle x}$

สำหรับพหุนามในตัวแปรเดียว มีแนวคิดเรื่องการหารพหุนามแบบยุคลิดซึ่งเป็นการขยาย แนวคิดการหาร จำนวนเต็มแบบยุคลิด^{[ e ]} แนวคิดการหารนี้ส่งผลให้ได้พหุนามสองตัวผลหารและเศษเหลือโดยที่และโดยที่คือดีกรีของผลหารและเศษเหลือสามารถคำนวณได้โดยใช้อัลกอริธึมหลายวิธี รวมถึงการหารพหุนามแบบยาวและ การ หารสังเคราะห์^{[ 24 ]}${\displaystyle a(x)/b(x)}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle r(x)}$${\displaystyle a=bq+r}$${\displaystyle \deg(r)<\deg(b)}$${\displaystyle \deg(p)}$${\displaystyle p}$

เมื่อตัวส่วนเป็นเอกนามและเชิงเส้น นั่นคือสำหรับค่าคงที่บางค่าทฤษฎีบทเศษเหลือพหุนามจะยืนยันว่าเศษเหลือของการหารด้วยคือการประเมินค่า [ ^{23 ] ใน} กรณีนี้ ผลหารสามารถคำนวณได้โดยใช้กฎของ Ruffiniซึ่งเป็นกรณีพิเศษของการหารสังเคราะห์^{[ 25 ]}${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle b(x)=x-c}$${\displaystyle c}$${\displaystyle a(x)}$${\displaystyle b(x)}$${\displaystyle a(c)}$

พหุนามทั้งหมดที่มีสัมประสิทธิ์ในโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกัน (เช่น จำนวนเต็มหรือฟิลด์ ) ยังมีรูปแบบการแยกตัวประกอบซึ่งพหุนามนั้นเขียนเป็นผลคูณของพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้และค่าคงที่ รูปแบบการแยกตัวประกอบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงลำดับของตัวประกอบและการคูณด้วยค่าคงที่ที่ผกผันได้ ในกรณีของฟิลด์ของจำนวนเชิงซ้อนตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้จะเป็นเชิงเส้น บนจำนวนจริงตัวประกอบเหล่านี้จะมีดีกรีหนึ่งหรือสอง บนจำนวนเต็มและจำนวนตรรกยะตัวประกอบที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้อาจมีดีกรีใดก็ได้^{[ 26 ]}ตัวอย่างเช่น รูปแบบการแยกตัวประกอบของ คือ บนจำนวนเต็มและจำนวนจริง และ บนจำนวนเชิงซ้อน $${\displaystyle 5x^{3}-5}$$$${\displaystyle 5(x-1)\left(x^{2}+x+1\right)}$$$${\displaystyle 5(x-1)\left(x+{\frac {1+i{\sqrt {3}}}{2}}\right)\left(x+{\frac {1-i{\sqrt {3}}}{2}}\right)}$$

โดยทั่วไปแล้ว การคำนวณหาตัวประกอบของพหุนามนั้นยากเกินกว่าจะคำนวณด้วยมือได้ อย่างไรก็ตามระบบ คอมพิวเตอร์ทางพีชคณิตส่วนใหญ่มีอัลกอริธึมการแยกตัวประกอบพหุนาม ที่มีประสิทธิภาพอยู่แล้ว

การคำนวณอนุพันธ์และปริพันธ์ของพหุนามนั้นง่ายเป็นพิเศษ เมื่อเทียบกับฟังก์ชันประเภทอื่นๆอนุพันธ์ของพหุนามเทียบกับคือ พหุนาม ในทำนองเดียวกัน ปฏิอนุพันธ์ ทั่วไป(หรือปริพันธ์ไม่จำกัด) ของคือ โดยที่เป็นค่าคงที่ใดๆ ตัวอย่างเช่น ปฏิอนุพันธ์ของมีรูปแบบ $${\displaystyle P=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}x^{i}}$$${\displaystyle x}$$${\displaystyle na_{n}x^{n-1}+(n-1)a_{n-1}x^{n-2}+\dots +2a_{2}x+a_{1}=\sum _{i=1}^{n}ia_{i}x^{i-1}.}$$${\displaystyle P}$$${\displaystyle {\frac {a_{n}x^{n+1}}{n+1}}+{\frac {a_{n-1}x^{n}}{n}}+\dots +{\frac {a_{2}x^{3}}{3}}+{\frac {a_{1}x^{2}}{2}}+a_{0}x+c=c+\sum _{i=0}^{n}{\frac {a_{i}x^{i+1}}{i+1}}}$$${\displaystyle c}$${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle {\frac {1}{3}}x^{3}+x+c}$

สำหรับพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์มาจากบริบทที่เป็นนามธรรมมากขึ้น (ตัวอย่างเช่น หากสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็มมอดูลจำนวนเฉพาะ บางตัวหรือองค์ประกอบของวงแหวนใดๆ) สูตรสำหรับอนุพันธ์ยังคงสามารถตีความได้อย่างเป็นทางการ โดยเข้าใจว่าสัมประสิทธิ์หมายถึงผลรวมของสำเนาของ ตัวอย่างเช่น เหนือจำนวนเต็มมอดูล อนุพันธ์ของพหุนามคือพหุนาม^{[ 27 ]}${\displaystyle p}$${\displaystyle ka_{k}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle a_{k}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle x^{p}+x}$${\displaystyle 1}$

ฟังก์ชันพหุนามคือฟังก์ชันที่กำหนดโดยการประเมินพหุนาม กล่าวคือ ฟังก์ชัน ที่มี อาร์กิวเมนต์เดียวจากโดเมนที่กำหนดจะเป็นฟังก์ชันพหุนามก็ต่อเมื่อมีพหุนาม ที่ประเมินค่าเป็นสำหรับทุกxในโดเมนของ(ในที่นี้เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และเป็นสัมประสิทธิ์คงที่) ^{[ 4 ]} โดยทั่วไป เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ฟังก์ชันพหุนามจะมีสัมประสิทธิ์อาร์กิวเมนต์ และค่าเป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยเฉพาะอย่างยิ่ง พหุนามที่จำกัดให้มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริง จะกำหนดฟังก์ชันจากจำนวนเชิงซ้อนไปยังจำนวนเชิงซ้อน หากโดเมนของฟังก์ชันนี้ถูกจำกัดให้เป็นจำนวนจริงด้วย ฟังก์ชันที่ได้จะเป็นฟังก์ชันจริงที่แมปจำนวนจริงไปยังจำนวนจริง ${\displaystyle f}$$${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}}$

ตัวอย่างเช่น ฟังก์ชันที่กำหนดโดย เป็นฟังก์ชันพหุนามของตัวแปรเดียว ฟังก์ชันพหุนามของหลายตัวแปรก็กำหนดในทำนองเดียวกัน โดยใช้พหุนามในตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว ดังเช่น ตามนิยามของฟังก์ชันพหุนาม อาจมีนิพจน์ที่เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่พหุนาม แต่ก็ยังกำหนดฟังก์ชันพหุนามได้ ตัวอย่างเช่น นิพจน์ซึ่งมีค่าเดียวกันกับพหุนามในช่วงและดังนั้นทั้งสองนิพจน์จึงกำหนดฟังก์ชันพหุนามเดียวกันในช่วงนี้ ${\displaystyle f}$$${\displaystyle f(x)=x^{3}-x,}$$$${\displaystyle f(x,y)=2x^{3}+4x^{2}y+xy^{5}+y^{2}-7.}$$${\displaystyle \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)^{2},}$${\displaystyle 1-x^{2}}$${\displaystyle [-1,1]}$

ฟังก์ชันพหุ นาม ทุกฟังก์ชันมีความต่อเนื่องเรียบและสมบูรณ์

การประเมินค่าพหุนามคือการคำนวณฟังก์ชันพหุนามที่เกี่ยวข้อง กล่าวคือ การประเมินค่าประกอบด้วยการแทนค่าตัวเลขลงในตัวแปรแต่ละตัว และดำเนินการคูณและบวกตามที่ระบุไว้

สำหรับพหุนามที่มีตัวแปรหนึ่งตัว การคำนวณมักจะมีประสิทธิภาพมากกว่า (จำนวนการคำนวณทางคณิตศาสตร์น้อยกว่า) โดยใช้วิธีของ Hornerซึ่งประกอบด้วยการเขียนพหุนามใหม่เป็น $${\displaystyle (((((a_{n}x+a_{n-1})x+a_{n-2})x+\dotsb +a_{3})x+a_{2})x+a_{1})x+a_{0}.}$$

ฟังก์ชันพหุนามในตัวแปรจริงหนึ่ง ตัว สามารถแสดงได้ด้วยกราฟ

• กราฟของพหุนามศูนย์
  f ( x ) = 0
  คือแกน x
• กราฟของพหุนามดีกรี 0
  f ( x ) = a ₀โดยที่ a ₀ ≠ 0
  เป็นเส้นตรงแนวนอนที่มี_จุดตัดแกนy เท่ากับ 0
• กราฟของพหุนามดีกรี 1 (หรือฟังก์ชันเชิงเส้น)
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x , โดยที่ a ₁ ≠ 0 ,
  เป็นเส้นตรงเฉียงที่มีจุดตัดแกนy เท่ากับ a ₀และความชัน เท่ากับ a ₁
• กราฟของพหุนามดีกรี 2
  f ( x ) = a0 + a1x + a2x2โดย_ที่a2 ^≠ 0_​​​_​
  เป็นพาราโบลา​
• กราฟของพหุนามดีกรี 3
  f ( x ) = a₀ + a₁x + a₂x² + ^a₃x³โดย_ที่a₃ ≠ ⁰_​​​_​​​_​
  เป็นเส้นโค้งลูกบาศก์
• กราฟของพหุนามใดๆ ที่มีดีกรี 2 หรือมากกว่า
  f ( x ) = a ₀ + a ₁ x + a ₂ x ² + ⋯ + a _n x ⁿโดยที่ a _n ≠ 0 และn ≥ 2
  เป็นเส้นโค้งต่อเนื่องที่ไม่เป็นเชิงเส้น

ฟังก์ชันพหุนามที่ไม่คงที่นั้นมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์เมื่อตัวแปรเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ในค่าสัมบูรณ์ ) ถ้าดีกรีสูงกว่าหนึ่ง กราฟจะไม่มีเส้นกำกับ โดยจะมี ส่วนโค้งพาราโบลาสอง ส่วน ที่มีทิศทางตั้งฉาก (ส่วนหนึ่งสำหรับค่าx บวก และอีกส่วนหนึ่งสำหรับค่าx ลบ )

ในวิชาแคลคูลัส กราฟพหุนามจะถูกวิเคราะห์โดยใช้จุดตัดแกน ความชัน ความเว้า และพฤติกรรมปลายกราฟ

สมการพหุนามหรือที่เรียกว่าสมการพีชคณิตคือสมการในรูปแบบ^{[ 28 ]} ตัวอย่างเช่น เป็นสมการพหุนาม $${\displaystyle a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}=0.}$$$${\displaystyle 3x^{2}+4x-5=0}$$

เมื่อพิจารณาสมการ ตัวแปร (ค่าที่ไม่ทราบค่า) ของพหุนามเรียกว่าตัวไม่ทราบค่าและคำตอบคือค่าที่เป็นไปได้ของตัวแปรเหล่านั้นที่ทำให้สมการเป็นจริง (โดยทั่วไปอาจมีคำตอบมากกว่าหนึ่งคำตอบ) สมการพหุนามแตกต่างจากเอกลักษณ์พหุนามเช่นซึ่งทั้งสองนิพจน์แสดงถึงพหุนามเดียวกันในรูปแบบที่แตกต่างกัน และด้วยเหตุนี้ การประเมินค่าใดๆ ของทั้งสองนิพจน์จึงให้ผลลัพธ์ที่เท่ากัน ${\displaystyle (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}}$

ในพีชคณิต เบื้องต้น วิธีการต่างๆ เช่นสูตรกำลังสองจะถูกสอนเพื่อแก้สมการพหุนามกำลังหนึ่งและกำลังสองในตัวแปรเดียวทั้งหมด นอกจากนี้ยังมีสูตรสำหรับสม การ กำลังสามและกำลังสี่ ด้วย สำหรับดีกรีที่สูงกว่านั้นทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินีกล่าวว่าไม่มีสูตรทั่วไปในรากที่สอง อย่างไรก็ตามอาจใช้อัลกอริทึมการหาค่าราก เพื่อหา ค่าประมาณเชิงตัวเลขของรากของนิพจน์พหุนามทุกดีกรีได้

จำนวนคำตอบของสมการพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงต้องไม่เกินดีกรี และจะเท่ากับดีกรีเมื่อนับรวมคำตอบเชิงซ้อน พร้อมกับ จำนวนครั้ง ที่ปรากฏ ข้อเท็จจริงนี้เรียกว่าทฤษฎีบทพื้นฐานของพีชคณิต

รากของพหุนามเอกตัวแปรที่ไม่เป็นศูนย์Pคือค่าaของxที่ทำให้P ( a ) = 0กล่าวอีกนัยหนึ่ง รากของPคือคำตอบของสมการพหุนามP ( x ) = 0หรือเป็นศูนย์ของฟังก์ชันพหุนามที่กำหนดโดยPในกรณีของพหุนามศูนย์ ทุกจำนวนเป็นศูนย์ของฟังก์ชันที่เกี่ยวข้อง และแนวคิดของรากจึงไม่ค่อยถูกนำมาพิจารณา

จำนวนaเป็นรากของพหุนามPก็ต่อเมื่อพหุนามเชิงเส้นx − a หาร Pลงตัวนั่นคือ ถ้ามีพหุนามQ อีกตัวหนึ่ง ที่ทำให้P = ( x − a ) Qอาจเกิดขึ้นได้ว่ากำลัง (มากกว่า1 ) ของx − a หาร Pลงตัวในกรณีนี้aเป็นรากซ้ำของPและมิฉะนั้นaเป็นรากเดี่ยวของPถ้าPเป็นพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์ จะมีกำลังสูงสุดmที่ทำให้( x − a ) ^m หาร Pลงตัวซึ่งเรียกว่าความซ้ำซ้อนของaในฐานะรากของPจำนวนรากของพหุนามที่ไม่ใช่ศูนย์Pเมื่อนับรวมกับความซ้ำซ้อนแล้ว จะไม่เกินดีกรีของP [ ^{29 ]} และเท่ากับดีกรีนี้หากพิจารณาราก เชิงซ้อนทั้งหมด(นี่เป็นผลสืบเนื่องมาจาก^{ทฤษฎีบท}พื้นฐานของพีชคณิต ) สัมประสิทธิ์ของพหุนามและรากของมันมีความสัมพันธ์กันโดยสูตรของ Vieta

พหุนามบางตัว เช่นx² + 1ไม่มีรากใดอยู่ในกลุ่มจำนวนจริงอย่างไรก็ตาม หากขยายเซตของคำตอบที่ยอมรับได้ไปยังจำนวนเชิงซ้อนพหุนามที่ไม่ใช่ค่าคงที่ทุกตัวจะมีรากอย่างน้อยหนึ่งราก นี่คือ^{ทฤษฎีบท}พื้นฐานของพีชคณิตโดยการหารตัวประกอบx − a ออกไปเรื่อยๆ จะเห็นว่าพหุนามใดๆ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเชิงซ้อนสามารถเขียนได้เป็นค่าคงที่ (สัมประสิทธิ์นำหน้า) คูณด้วยผลคูณของตัวประกอบพหุนามดีกรี 1 ดังกล่าว ดังนั้น จำนวนราก (เชิงซ้อน) ที่นับรวมความซ้ำซ้อนจึงเท่ากับดีกรีของพหุนามพอดี

การ "แก้สมการ"อาจมีความหมายได้หลายอย่างบางคนอาจต้องการแสดงคำตอบเป็นตัวเลขที่ชัดเจน เช่น คำตอบเดียวของสมการ2x − 1 = 0คือ1/2ซึ่งโดยทั่วไปแล้วเป็นไปไม่ได้สำหรับสมการที่มีดีกรีมากกว่าหนึ่ง และตั้งแต่สมัยโบราณ นักคณิตศาสตร์ได้พยายามค้นหาวิธีที่จะแสดงคำตอบในรูปนิพจน์พีชคณิตเช่นอัตราส่วนทองคำ(1 + √5 )/2เป็นคำตอบบวกเดียวของสมการx² − x − ¹ = 0ในสมัยโบราณ พวกเขาทำได้สำเร็จเฉพาะสมการดีกรีหนึ่งและสองเท่านั้น สำหรับสมการกำลังสอง สูตรกำลังสองจะให้การแสดงออกของคำตอบดังกล่าว ตั้งแต่ศตวรรษที่ 16 เป็นต้นมา มีสูตรที่คล้ายกัน (โดยใช้รากที่สามนอกเหนือจากรากที่สอง) แม้ว่าจะซับซ้อนกว่ามาก สำหรับสมการดีกรีสามและสี่ (ดูสมการกำลังสามและสมการกำลังสี่ ) แต่สูตรสำหรับสมการดีกรี 5 ขึ้นไปยังคงเป็นสิ่งที่นักวิจัยค้นหามาหลายศตวรรษ ในปี ค.ศ. 1824 นีลส์ เฮนริก อาเบลได้พิสูจน์ผลลัพธ์ที่น่าทึ่งว่ามีสมการดีกรี 5 บางสมการที่ไม่สามารถแสดงคำตอบได้ด้วยสูตร (จำกัด) ที่เกี่ยวข้องเฉพาะการดำเนินการทางคณิตศาสตร์และรากที่สองเท่านั้น (ดูทฤษฎีบทอาเบล-รัฟฟินี ) ในปี ค.ศ. 1830 เอวาริสต์ กาโลอิสได้พิสูจน์ว่าสมการส่วนใหญ่ที่มีดีกรีสูงกว่าสี่ไม่สามารถแก้ได้ด้วยรากที่สอง และแสดงให้เห็นว่าสำหรับแต่ละสมการ เราสามารถตัดสินได้ว่าสมการนั้นสามารถแก้ได้ด้วยรากที่สองหรือไม่ และถ้าได้ ก็สามารถแก้สมการนั้นได้ ผลลัพธ์นี้เป็นจุดเริ่มต้นของทฤษฎีของกาโลอิสและทฤษฎีกลุ่มซึ่งเป็นสองสาขาสำคัญของพีชคณิต สมัยใหม่ กาโลอิสเองก็ตั้งข้อสังเกตว่าการคำนวณที่ได้จากวิธีการของเขานั้นไม่สามารถนำไปปฏิบัติได้จริง อย่างไรก็ตาม สูตรสำหรับสมการดีกรี 5 และ 6 ที่แก้ได้นั้นได้รับการตีพิมพ์แล้ว (ดูฟังก์ชันกำลังห้าและสมการกำลังหก )

เมื่อไม่มีนิพจน์พีชคณิตสำหรับราก และเมื่อมีนิพจน์พีชคณิตอยู่แต่ซับซ้อนเกินกว่าจะใช้ประโยชน์ได้ วิธีแก้ปัญหาเพียงวิธีเดียวคือการคำนวณค่าประมาณเชิงตัวเลขของคำตอบ^{[ 30 ]}มีหลายวิธีสำหรับเรื่องนี้ บางวิธีจำกัดเฉพาะพหุนาม และบางวิธีอาจใช้ได้กับฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ อัลกอริทึมที่มีประสิทธิภาพมากที่สุด ช่วยให้สามารถแก้ สมการพหุนามที่มีดีกรีสูงกว่า 1,000 ได้อย่างง่ายดาย (บนคอมพิวเตอร์ ) (ดู อัลกอริทึมการค้นหาราก )

สำหรับพหุนามที่มีตัวแปรมากกว่าหนึ่งตัว ค่าของตัวแปรที่ทำให้ฟังก์ชันพหุนามมีค่าเป็นศูนย์นั้น โดยทั่วไปเรียกว่า " ศูนย์ " แทนที่จะเรียกว่า "ราก" การศึกษาเซตของศูนย์ของพหุนามเป็นเป้าหมายของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตสำหรับชุดสมการพหุนามที่มีตัวแปรหลายตัว มีอัลกอริทึม ที่จะตัดสินว่าสมการเหล่านั้นมีจำนวนคำตอบ เชิงซ้อนที่จำกัดหรือไม่และถ้าจำนวนนั้นจำกัด ก็สามารถคำนวณคำตอบได้ ดูระบบสมการพหุนาม

กรณีพิเศษที่พหุนามทั้งหมดมีดีกรีหนึ่งเรียกว่าระบบสมการเชิงเส้น ซึ่ง มีวิธีการแก้ปัญหาที่หลากหลาย รวมถึง วิธีการกำจัดแบบเกาส์เซียน แบบ ดั้งเดิม

สมการพหุนามที่เราสนใจเฉพาะคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มเรียกว่า สมการไดโอแฟนไทน์การแก้สมการไดโอแฟนไทน์โดยทั่วไปเป็นงานที่ยากมาก มีการพิสูจน์แล้วว่าไม่มีอัลกอริทึม ทั่วไปใด ๆ ที่สามารถใช้ในการแก้สมการเหล่านี้ได้ หรือแม้แต่ใช้ในการตัดสินว่าเซตของคำตอบนั้นว่างเปล่าหรือไม่ (ดูปัญหาข้อที่สิบของฮิลเบิร์ต ) ปัญหาที่มีชื่อเสียงที่สุดบางส่วนที่ได้รับการแก้ไขในช่วงห้าสิบปีที่ผ่านมานั้นเกี่ยวข้องกับสมการไดโอแฟนไทน์ เช่นทฤษฎีบทสุดท้ายของแฟร์มาต์

พหุนามที่แทนที่ตัวแปรที่ไม่ทราบค่าด้วยวัตถุทางคณิตศาสตร์อื่น ๆ มักถูกนำมาพิจารณา และบางครั้งก็มีชื่อเรียกเฉพาะ

พหุนามตรีโกณมิติ เป็น ผลรวมเชิงเส้นจำกัดของฟังก์ชัน sin( nx ) และ cos( nx ) โดยที่nมีค่าเป็นจำนวนธรรมชาติหนึ่งตัวหรือมากกว่า[ 31 ^{]สัมประสิทธิ์อาจ}ถือเป็นจำนวนจริงสำหรับฟังก์ชันค่าจริง

ถ้าเราขยาย sin( nx ) และ cos( nx ) ในรูปของ sin( x ) และ cos( x ) พหุนามตรีโกณมิติจะกลายเป็นพหุนามในตัวแปรสองตัวคือ sin( x ) และ cos( x ) (โดยใช้สูตรมุมทวีคูณ ) ในทางกลับกัน พหุนามทุกตัวใน sin( x ) และ cos( x ) สามารถแปลงได้โดยใช้เอกลักษณ์ผลคูณเป็นผลบวก ให้เป็นผลรวมเชิงเส้นของฟังก์ชัน sin( nx ) และ cos( nx ) ความเท่าเทียมกันนี้อธิบายว่าทำไมผลรวมเชิงเส้นจึงเรียกว่าพหุนาม

สำหรับสัมประสิทธิ์เชิงซ้อน ฟังก์ชันดังกล่าวจะไม่มีความแตกต่างจากอนุกรมฟูริเยร์แบบ จำกัด

พหุนามตรีโกณมิติถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลาย ตัวอย่างเช่น ในการประมาณค่าแบบตรีโกณมิติที่ใช้กับการประมาณค่าฟังก์ชันคาบนอกจากนี้ยังใช้ในการแปลงฟูริเยร์แบบไม่ต่อเนื่อง อีก ด้วย

พหุนามเมทริกซ์คือพหุนามที่มีเมทริกซ์จัตุรัสเป็นตัวแปร^{[ 32 ]}เมื่อกำหนดพหุนามธรรมดาที่มีค่าเป็นสเกลาร์ พหุนามนี้เมื่อประเมินค่าที่เมทริกซ์Aคือ โดยที่Iคือ เมทริก ซ์เอกลักษณ์^{[ 33 ]}$${\displaystyle P(x)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}x^{i}}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\cdots +a_{n}x^{n},}$$$${\displaystyle P(A)=\sum _{i=0}^{n}{a_{i}A^{i}}=a_{0}I+a_{1}A+a_{2}A^{2}+\cdots +a_{n}A^{n},}$$

สมการพหุนามเมทริกซ์คือ ความเท่าเทียมกันระหว่างพหุนามเมทริกซ์สองตัว ซึ่งเป็นจริงสำหรับเมทริกซ์เฉพาะที่กล่าวถึงเอกลักษณ์พหุนามเมทริกซ์ คือ สมการพหุนามเมทริกซ์ที่เป็นจริงสำหรับเมทริกซ์ Aทั้งหมดในวงแหวนเมทริกซ์M _n ( R ) ที่กำหนด

พหุนามสองตัวแปรที่ตัวแปรที่สองถูกแทนที่ด้วยฟังก์ชันเลขชี้กำลังที่ใช้กับตัวแปรแรก เช่นP ( x , e^ ^x )อาจเรียกว่าพหุนามเลขชี้กำลัง

เศษส่วนตรรกยะคือผลหาร ( เศษส่วนพีชคณิต ) ของพหุนามสองตัวนิพจน์พีชคณิต ใดๆ ที่สามารถเขียนใหม่ให้อยู่ในรูปเศษส่วนตรรกยะได้ ก็เรียกว่าฟังก์ชันตรรกยะ

ฟังก์ชันพหุนามสามารถนิยามได้สำหรับทุกค่าของตัวแปร แต่ฟังก์ชันตรรกยะสามารถนิยามได้เฉพาะสำหรับค่าของตัวแปรที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์เท่านั้น

เศษส่วนตรรกยะนั้นรวมถึงพหุนามลอเรนต์ แต่ไม่ได้จำกัดตัวส่วนให้เป็นกำลังของจำนวนที่ไม่กำหนด

พหุนามลอเรนต์นั้นคล้ายกับพหุนามทั่วไป แต่จะอนุญาตให้มีเลขชี้กำลังติดลบของตัวแปรได้

อนุกรมกำลังแบบเป็นทางการนั้นคล้ายกับพหุนาม แต่ยอมให้มีพจน์ที่ไม่เป็นศูนย์ได้ไม่จำกัดจำนวน ดังนั้นจึงไม่มีดีกรีจำกัด ต่างจากพหุนามตรงที่โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถเขียนอนุกรมกำลังแบบเป็นทางการได้อย่างชัดเจนและสมบูรณ์ (เช่นเดียวกับจำนวนอตรรกยะ ) แต่กฎสำหรับการจัดการพจน์ต่างๆ นั้นเหมือนกับพหุนามอนุกรมกำลัง แบบไม่เป็นทางการ ก็เป็นการขยายความของพหุนามเช่นกัน แต่การคูณอนุกรมกำลังสองอนุกรมอาจไม่ลู่เข้า

พหุนามfบนวงแหวนสลับที่Rคือพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์ทั้งหมดอยู่ในRเป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าพหุนามในชุดตัวแปรที่ไม่กำหนดค่าที่กำหนดบนRนั้นก่อให้เกิดวงแหวนสลับที่ ซึ่งเรียกว่าวงแหวนพหุนามในตัวแปรที่ไม่กำหนดค่าเหล่านั้น โดยใช้สัญลักษณ์ในกรณีตัวแปรเดียว และในกรณีตัวแปรหลายตัว ${\displaystyle R[x]}$${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]}$

กล่าวคือ ทฤษฎีส่วนใหญ่ของกรณีหลายตัวแปรสามารถลดทอนลงเหลือกรณีตัวแปรเดียวแบบวนซ้ำได้ $${\displaystyle R[x_{1},\ldots ,x_{n}]=\left(R[x_{1},\ldots ,x_{n-1}]\right)[x_{n}].}$$

แผนที่จากRไปยังR [ x ]โดยส่งrไปยังตัวมันเองซึ่งถือว่าเป็นพหุนามคงที่ เป็นโฮโมมอร์ฟิ ซึมแบบวงแหวนหนึ่งต่อ หนึ่ง ซึ่งทำให้Rถูกมองว่าเป็นวงแหวนย่อยของR [ x ]โดยเฉพาะอย่างยิ่งR [ x ]เป็นพีชคณิตเหนือR

เราอาจมองว่าวงแหวนR [ x ]เกิดขึ้นจากRโดยการเพิ่มสมาชิกใหม่x หนึ่งตัว ลงในRและขยายออกไปในลักษณะขั้นต่ำสุดจนได้วงแหวนที่xไม่สอดคล้องกับความสัมพันธ์อื่นใดนอกจากความสัมพันธ์ที่จำเป็น บวกกับการสลับตำแหน่งกับสมาชิกทั้งหมดของR (นั่นคือxr = rx ) ในการทำเช่นนี้ เราต้องเพิ่มกำลังทั้งหมดของxและการรวมเชิงเส้นของกำลังเหล่านั้นด้วย

การสร้างวงแหวนพหุนาม ร่วมกับการสร้างวงแหวนตัวประกอบโดยการแยกตัวประกอบไอเดียลเป็นเครื่องมือสำคัญในการสร้างวงแหวนใหม่จากวงแหวนที่รู้จักอยู่แล้ว ตัวอย่างเช่น วงแหวน (ที่จริงแล้วคือฟิลด์) ของจำนวนเชิงซ้อน ซึ่งสามารถสร้างได้จากวงแหวนพหุนาม^R [ x ]เหนือจำนวนจริง โดยการแยกตัวประกอบไอเดียลของพหุนามx² + 1อีกตัวอย่างหนึ่งคือการสร้างฟิลด์จำกัดซึ่งดำเนินการในทำนองเดียวกัน โดยเริ่มต้นจากฟิลด์ของจำนวนเต็มมอดูลจำนวนเฉพาะ บางตัว เป็นวงแหวนสัมประสิทธิ์R (ดูเลขคณิตมอดูลาร์ )

ถ้าRเป็นริงสลับที่ได้ เราสามารถเชื่อมโยงพหุนามP ทุกตัว ในR [ x ] กับ ฟังก์ชันพหุนามfที่มีโดเมนและเรนจ์เท่ากับR ได้ (โดยทั่วไปแล้ว เราสามารถเลือกโดเมนและเรนจ์เป็นพีชคณิตแบบเชื่อมโยงที่มีเอกลักษณ์ ใดๆ บนRก็ได้) เราจะได้ค่าf ( r )โดยการแทนค่าr ลง ในสัญลักษณ์xในPเหตุผลหนึ่งที่ต้องแยกความแตกต่างระหว่างพหุนามและฟังก์ชันพหุนามก็คือ บนริงบางริง พหุนามที่แตกต่างกันอาจก่อให้เกิดฟังก์ชันพหุนามเดียวกันได้ (ดูทฤษฎีบทเล็กของแฟร์มาต์เป็นตัวอย่าง โดยที่Rคือจำนวนเต็มมอดูล p ) ซึ่งจะไม่เป็นเช่นนั้นเมื่อR คือจำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อน ดังนั้นแนวคิดทั้งสองจึงไม่ได้ถูกแยกความแตกต่างกันเสมอไปในทางวิเคราะห์เหตุผลที่สำคัญยิ่งกว่าในการแยกแยะความแตกต่างระหว่างพหุนามและฟังก์ชันพหุนามก็คือ การดำเนินการหลายอย่างกับพหุนาม (เช่นการหารแบบยุคลิด ) จำเป็นต้องพิจารณาส่วนประกอบของพหุนามในรูปของนิพจน์ แทนที่จะประเมินค่าที่ค่าคงที่บางค่าสำหรับ x

ถ้าRเป็นโดเมนอินทิกรัลและfและgเป็นพหุนามในR [ x ]จะกล่าวได้ว่าfหารgหรือfเป็นตัวหารของgถ้ามีพหุนามqในR [ x ]ที่ทำให้f q = gแล้วaจะเป็นรากของfก็ต่อเมื่อหารf ลงตัวในกรณีนี้ ผลหารสามารถคำนวณได้โดยใช้การหารยาวของพหุนาม^{[ 34 ] [ 35 ]}${\displaystyle a\in R,}$${\displaystyle x-a}$

ถ้าFเป็นฟิลด์และfกับgเป็นพหุนามในF [ x ]โดยที่g ≠ 0แล้วจะมีพหุนามqและr ที่ไม่ซ้ำกัน ในF [ x ]โดยที่ q และ g ≠ 0 และ g ≠ 0 ตามลำดับ ซึ่งดีกรีของrน้อยกว่าดีกรีของg (โดยใช้ข้อตกลงว่าพหุนาม 0 มีดีกรีเป็นลบ) พหุนามqและrถูกกำหนดโดยfและg ที่ไม่ซ้ำกัน นี่เรียกว่าการหารแบบยุคลิดการหารแบบมีเศษเหลือหรือการหารพหุนามแบบยาวและแสดงให้เห็นว่าริงF [ x ]เป็น โดเมนแบบ ยุค ลิด$${\displaystyle f=q\,g+r}$$

ในทำนอง เดียวกันพหุนามเฉพาะ (หรือที่ถูกต้องกว่าคือพหุนามที่แยกตัวประกอบไม่ได้ ) สามารถนิยามได้ว่าเป็นพหุนามที่ไม่เป็นศูนย์ซึ่งไม่สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของพหุนามที่ไม่ใช่ค่าคงที่สองตัวได้ในกรณีของสัมประสิทธิ์ในริง คำว่า"ไม่ใช่ค่าคงที่"ต้องถูกแทนที่ด้วย"ไม่ใช่ค่าคงที่หรือไม่ใช่หน่วย " (ทั้งสองนิยามนี้สอดคล้องกันในกรณีของสัมประสิทธิ์ในฟิลด์) พหุนามใดๆ ก็สามารถแยกตัวประกอบเป็นผลคูณของค่าคงที่ที่ผกผันได้กับผลคูณของพหุนามที่แยกตัวประกอบไม่ได้ หากสัมประสิทธิ์อยู่ในฟิลด์หรือโดเมนการแยกตัวประกอบที่ไม่ซ้ำกันการแยกตัวประกอบนี้จะมีความเป็นเอกลักษณ์จนถึงอันดับของตัวประกอบและการคูณตัวประกอบที่ไม่ใช่หน่วยใดๆ ด้วยหน่วย (และการหารตัวประกอบหน่วยด้วยหน่วยเดียวกัน) เมื่อสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม จำนวนตรรกยะ หรือฟิลด์จำกัด จะมีอัลกอริทึมสำหรับทดสอบความไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ และคำนวณการแยกตัวประกอบเป็นพหุนามที่ไม่สามารถแยกตัวประกอบได้ (ดูการแยกตัวประกอบของพหุนาม ) อัลกอริทึมเหล่านี้ไม่สามารถคำนวณด้วยมือได้ แต่มีอยู่ในระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์ ใดๆ ก็ได้ นอกจากนี้ เกณฑ์ของไอเซนสไตน์ยังสามารถใช้ในบางกรณีเพื่อพิจารณาความไม่สามารถแยกตัวประกอบ ได้

ในระบบเลขตำแหน่งสมัยใหม่ เช่นระบบเลขฐานสิบ ตัวเลขและตำแหน่งของตัวเลขในการแสดงจำนวนเต็ม เช่น 45 เป็นสัญลักษณ์ย่อของพหุนามในฐานหรือราก ในกรณีนี้คือ4 × 10¹ ⁺ 5 × ^10⁰อีกตัวอย่างหนึ่ง ในฐาน 5 สตริงของตัวเลขเช่น 132 แทนจำนวน (ทศนิยม) 1 × 5² ⁺ 3 × ^5¹ + 2 × 5⁰ ⁼ 42 การแสดงแบบนี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัว ให้bเป็นจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 แล้วจำนวนเต็มบวกa ทุกตัว สามารถแสดงได้อย่างมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวในรูปแบบ

$${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$$ โดยที่mเป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ และr เป็นจำนวนเต็มซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้

0 < r _m < bและ0 ≤ r _i < bสำหรับi = 0, 1, . . . , m − 1 . ^{[ 36 ]}

โครงสร้างที่เรียบง่ายของฟังก์ชันพหุนามทำให้มีประโยชน์อย่างมากในการวิเคราะห์ฟังก์ชันทั่วไปโดยใช้การประมาณค่าพหุนาม ตัวอย่างที่สำคัญในแคลคูลัสคือทฤษฎีบทของเทย์เลอร์ซึ่งกล่าวโดยคร่าวๆ ว่าฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้ ทุกฟังก์ชันจะ มีลักษณะเหมือนฟังก์ชันพหุนามในระดับท้องถิ่น และทฤษฎีบทสโตน-ไวเออร์สตรัสซึ่งกล่าวว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง ทุกฟังก์ชัน ที่กำหนดบนช่วงกระชับ ของแกนจริงสามารถประมาณค่าบนช่วงทั้งหมดได้ใกล้เคียงตามที่ต้องการโดยใช้ฟังก์ชันพหุนาม วิธีการประมาณค่าในทางปฏิบัติ ได้แก่การแทรกสอดพหุนามและการใช้สปลาย^{[ 37 ]}

พหุนามมักใช้ในการเข้ารหัสข้อมูลเกี่ยวกับวัตถุอื่น ในพีชคณิตเชิงเส้นพหุนามลักษณะเฉพาะของเมทริกซ์หรือตัวดำเนินการเชิงเส้นจะมีข้อมูลเกี่ยวกับค่าลักษณะเฉพาะ ของตัวดำเนินการนั้น ในทฤษฎีฟิลด์พหุนามขั้นต่ำขององค์ประกอบพีชคณิตจะบันทึกความสัมพันธ์พีชคณิตที่ง่ายที่สุดที่องค์ประกอบนั้นเป็นไปตาม^{[ 38 ]}ในทฤษฎีกราฟ พีชคณิต พหุนามสีของกราฟจะนับจำนวนการระบายสีที่เหมาะสมของกราฟนั้น^{[ 39 ]}

คำว่า "พหุนาม" ในฐานะคำคุณศัพท์ สามารถใช้กับปริมาณหรือฟังก์ชันที่สามารถเขียนในรูปพหุนามได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ในทฤษฎีความซับซ้อนของการคำนวณวลี " เวลาพหุนาม"หมายความว่า เวลาที่ใช้ในการดำเนินการอัลกอริทึมนั้นถูกจำกัดด้วยฟังก์ชันพหุนามของตัวแปรบางตัว เช่น ขนาดของข้อมูลป้อนเข้า

การหาค่ารากของพหุนาม หรือ "การแก้สมการพีชคณิต" เป็นหนึ่งในปัญหาที่เก่าแก่ที่สุดในคณิตศาสตร์ อย่างไรก็ตาม สัญลักษณ์ที่เราใช้ในปัจจุบันเพิ่งพัฒนาขึ้นในศตวรรษที่ 15 ก่อนหน้านั้น สมการจะถูกเขียนออกมาเป็นคำพูด ตัวอย่างเช่น ปัญหาพีชคณิตจากตำราเลขคณิตเก้าส่วนของจีน ประมาณ 200 ปีก่อน คริสตกาล เริ่มต้นด้วย ประโยคว่า "ฟ่อนข้าวที่ดีสามฟ่อน ฟ่อนข้าวปานกลางสองฟ่อน และฟ่อนข้าวที่เสียหนึ่งฟ่อน ขายได้ 29 โด่ว" เราจะเขียนว่า3x + 2y + z = 29

การใช้เครื่องหมายเท่ากับที่เก่าแก่ที่สุดเท่าที่ทราบคือในหนังสือThe Whetstone of WitteของRobert Recordeในปี 1557 เครื่องหมาย + สำหรับการบวก − สำหรับการลบ และการใช้ตัวอักษรแทนตัวแปรที่ไม่ทราบค่า ปรากฏในหนังสือArithemetica integraของMichael Stifelในปี 1544 René Descartesในหนังสือ La géometrieในปี 1637 ได้แนะนำแนวคิดของกราฟของสมการพหุนาม เขาทำให้การใช้ตัวอักษรจากต้นตัวอักษรเพื่อแทนค่าคงที่และตัวอักษรจากท้ายตัวอักษรเพื่อแทนตัวแปรเป็นที่นิยม ดังที่เห็นได้ข้างต้นในสูตรทั่วไปสำหรับพหุนามในตัวแปรเดียว โดยที่aแทนค่าคงที่และxแทนตัวแปร Descartes ยังได้แนะนำการใช้ตัวยกเพื่อแทนเลขชี้กำลังด้วย^{[ 40 ]}

• ปัญหาข้อที่สิบเจ็ดของฮิลเบิร์ต
• รายการหัวข้อพหุนาม

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับพหุนาม

ค้นหาคำว่า "พหุนาม"ในวิกิพีเดีย ซึ่งเป็นพจนานุกรมฟรี

• Markushevich, AI (2001) [1994], "พหุนาม" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press
• "การสืบสวนของออยเลอร์เกี่ยวกับรากของสมการ"เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 24 กันยายน 2012