ในทางคณิตศาสตร์พหุนามจาโคบี (บางครั้งเรียกว่าพหุนามไฮเปอร์จีโอเมตริก ) เป็นพหุนามเชิงตั้งฉากแบบคลาสสิ ก พหุ นามเหล่านี้ตั้งฉากกับน้ำหนัก บนช่วง พหุนามเกเกนบาวเออร์และด้วยเหตุนี้ พหุ นามเลอจองเดอร์เซอร์นิเกและเชบิเชฟจึงเป็นกรณีพิเศษของพหุนามจาโคบี^{[ 1 ]}${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)}$${\displaystyle (1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }}$${\displaystyle [-1,1]}$

พหุนามจาโคบีได้รับการแนะนำโดยคาร์ล กุสตาฟ จาโคบี

พหุนามจาโคบีถูกกำหนดผ่านฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกดังต่อไปนี้: ^{[ 2 ] [ 1 ] : IV.1}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,{}_{2}F_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\tfrac {1}{2}}(1-z)\right),}$

โดยที่คือสัญลักษณ์ของ Pochhammer (สำหรับแฟกทอเรียลที่เพิ่มขึ้น) ในกรณีนี้ อนุกรมสำหรับฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกมีค่าจำกัด ดังนั้นจึงได้นิพจน์ที่เทียบเท่ากันดังต่อไปนี้: ${\displaystyle (\alpha +1)_{n}}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum _{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m}.}$

นิยามที่เทียบเท่ากันนี้กำหนดโดยสูตรของ Rodrigues : ^{[ 1 ] : IV.3 [ 3 ]}

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }\left(1-z^{2}\right)^{n}\right\}.}$

ถ้าเช่นนั้น มันจะลดรูปเป็นพหุนามเลอจองเดอร์ : ${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

${\displaystyle P_{n}(z)={\frac {1}{2^{n}n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}(z^{2}-1)^{n}\;.}$

พหุนาม Jacobi เป็นคำตอบพหุนามที่ไม่ซ้ำกันของปัญหา Sturm–Liouville ^{[ 1 ] : IV.2 โดยขึ้นอยู่กับการปรับขนาด}${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$

${\displaystyle \left(1-x^{2}\right)y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'=\lambda y}$

โดยที่. วิธีแก้ปัญหาอีกวิธีหนึ่งเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันลอการิทึมทฤษฎีบทของบอคเนอร์กล่าวว่าพหุนามจาโคบีมีลักษณะเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันในฐานะคำตอบพหุนามของปัญหาสเติร์ม-ลิอูวิลล์ที่มีสัมประสิทธิ์พหุนาม ${\displaystyle \lambda =-n(n+\alpha +\beta +1)}$

ในความเป็นจริงพหุนามจาโคบีสามารถเขียนได้อีกแบบหนึ่งดังนี้ ${\displaystyle x}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum _{s=0}^{n}{n+\alpha \choose ns}{n+\beta \choose s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{ns}}$

และสำหรับจำนวนเต็ม${\displaystyle n}$

${\displaystyle {z \choose n}={\begin{cases}{\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}}&n\geq 0\\0&n<0\end{cases}}}$

ฟังก์ชันแกมมา อยู่ที่ไหน${\displaystyle \Gamma (z)}$

ในกรณีพิเศษที่ปริมาณทั้งสี่, , , เป็นจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ พหุนามจาโคบีสามารถเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle n}$${\displaystyle n+\alpha }$${\displaystyle n+\beta }$${\displaystyle n+\alpha +\beta }$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum _{s=0}^{n}{\frac {1}{s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(ns)!}}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{ns}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}$

1

ผลรวมนั้นครอบคลุมค่าจำนวนเต็มทั้งหมดของซึ่งค่าอาร์กิวเมนต์ของแฟกทอเรียลเป็นค่าที่ไม่เป็นลบ ${\displaystyle s}$

${\displaystyle P_{0}^{(\alpha ,\beta )}(z)=1,}$

${\displaystyle P_{1}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(\alpha +1)+(\alpha +\beta +2){\frac {z-1}{2}},}$

${\displaystyle P_{2}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}+(\alpha +2)(\alpha +\beta +3){\frac {z-1}{2}}+{\frac {(\alpha +\beta +3)(\alpha +\beta +4)}{2}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{2}.}$

$${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (1+2n+\alpha +\beta )}{\Gamma (1+n)\Gamma (1+n+\alpha +\beta )}}\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}+{\text{ lower-degree terms }}}$$ดังนั้น สัมประสิทธิ์นำหน้าคือ. ${\displaystyle {\frac {\Gamma (1+2n+\alpha +\beta )}{2^{n}n!\Gamma (1+n+\alpha +\beta )}}}$

พหุนามจาโคบีเป็นไปตามเงื่อนไขความเป็นตั้งฉาก

${\displaystyle \int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\,dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm},\qquad \alpha ,\ \beta >-1.}$

ตามคำจำกัดความ พวกมันไม่มีค่ามาตรฐานหน่วยเมื่อเทียบกับน้ำหนัก สามารถแก้ไขได้โดยการหารด้วยรากที่สองของด้านขวามือของสมการข้างต้นเมื่อ ${\displaystyle n=m}$

แม้ว่าวิธีนี้จะไม่ให้ฐานตั้งฉากปกติแต่บางครั้งก็นิยมใช้วิธีการปรับมาตรฐานแบบอื่นเนื่องจากมีความเรียบง่ายกว่า:

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}$

พหุนามเหล่านี้มีความสัมพันธ์สมมาตร

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z);}$

ดังนั้นค่าปลายทางอื่นคือ

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}$

อนุพันธ์อันดับที่ ของนิพจน์ที่ระบุอย่างชัดเจนนำไปสู่ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dz^{k}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}$

ความสัมพันธ์เวียนเกิด 3 เทอมสำหรับพหุนาม Jacobi ของค่าคงที่คือ: ^{[ 1 ] : IV.5} ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}&2n(n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)\\&\qquad =(2n+\alpha +\beta -1){\Big \{}(2n+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta -2)z+\alpha ^{2}-\beta ^{2}{\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(n+\alpha -1)(n+\beta -1)(2n+\alpha +\beta )P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z),\end{aligned}}}$

สำหรับ. เพื่อความกระชับในการเขียนและ สิ่งนี้จึงกลายเป็น ในแง่ของ${\displaystyle n=2,3,\ldots }$${\displaystyle a:=n+\alpha }$${\displaystyle b:=n+\beta }$${\displaystyle c:=a+b=2n+\alpha +\beta }$${\displaystyle a,b,c}$

${\displaystyle 2n(c-n)(c-2)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)=(c-1){\Big \{}c(c-2)z+(a-b)(c-2n){\Big \}}P_{n-1}^{(\alpha ,\beta )}(z)-2(a-1)(b-1)c\;P_{n-2}^{(\alpha ,\beta )}(z).}$

เนื่องจากพหุนาม Jacobi สามารถอธิบายได้ในแง่ของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริก ความสัมพันธ์เวียนเกิดของฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกจึงให้ความสัมพันธ์เวียนเกิดที่เทียบเท่ากับพหุนาม Jacobi โดยเฉพาะอย่างยิ่งความสัมพันธ์ต่อเนื่อง ของ Gauss สอดคล้องกับเอกลักษณ์^{[ 4 ] : ภาคผนวก B}

${\displaystyle {\begin{aligned}(z-1){\frac {d}{dz}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)&={\frac {1}{2}}(z-1)(1+\alpha +\beta +n)P_{n-1}^{(\alpha +1,\beta +1)}\\&=nP_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\alpha +n)P_{n-1}^{(\alpha ,\beta +1)}\\&=(1+\alpha +\beta +n)\left(P_{n}^{(\alpha ,\beta +1)}-P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)\\&=(\alpha +n)P_{n}^{(\alpha -1,\beta +1)}-\alpha P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\\&={\frac {2(n+1)P_{n+1}^{(\alpha ,\beta -1)}-\left(z(1+\alpha +\beta +n)+\alpha +1+n-\beta \right)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}{1+z}}\\&={\frac {(2\beta +n+nz)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-2(\beta +n)P_{n}^{(\alpha ,\beta -1)}}{1+z}}\\&={\frac {1-z}{1+z}}\left(\beta P_{n}^{(\alpha ,\beta )}-(\beta +n)P_{n}^{(\alpha +1,\beta -1)}\right)\,.\end{aligned}}}$

ฟังก์ชันก่อกำเนิดของพหุนามจาโคบีมีค่าดังนี้

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)t^{n}=2^{\alpha +\beta }R^{-1}(1-t+R)^{-\alpha }(1+t+R)^{-\beta },}$

ที่ไหน

${\displaystyle R=R(z,t)=\left(1-2zt+t^{2}\right)^{\frac {1}{2}}~,}$

และเลือกสาขา ของรากที่สองเพื่อ ให้^{[ 1 ] : IV.4} ${\displaystyle R(z,0)=1}$

พหุนาม Jacobi ลดรูปเป็นพหุนามคลาสสิกอื่นๆ^{[ 5 ]}

ทรงกลมพิเศษ : ตำนาน : Chebyshev : Laguerre : Hermite:$${\displaystyle {\begin{aligned}C_{n}^{(\lambda )}(x)&={\frac {(2\lambda )_{n}}{\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)_{n}}}P_{n}^{\left(\lambda -{\frac {1}{2}},\lambda -{\frac {1}{2}}\right)}(x),\\P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}(x)&={\frac {(\alpha +1)_{n}}{(2\alpha +1)_{n}}}C_{n}^{\left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)}(x).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle P_{n}(x)=C_{n}^{\left({\frac {1}{2}}\right)}(x)=P_{n}^{(0,0)}(x)}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}(x)&=P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\U_{n}(x)&=C_{n}^{(1)}(x)=(n+1)P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\V_{n}(x)&=P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right)}(1),\\W_{n}(x)&=(2n+1)P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(x)/P_{n}^{\left({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}\right)}(1).\\T_{n}^{*}(x)&=T_{n}(2x-1),\\U_{n}^{*}(x)&=U_{n}(2x-1).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{\beta \rightarrow \infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-(2x/\beta ))&=L_{n}^{(\alpha )}(x).\\\lim _{\alpha \rightarrow \infty }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}((2x/\alpha )-1)&=(-1)^{n}L_{n}^{(\beta )}(x).\end{aligned}}}$$$${\displaystyle \lim _{\alpha \rightarrow \infty }\alpha ^{-{\frac {1}{2}}n}P_{n}^{(\alpha ,\alpha )}\left(\alpha ^{-{\frac {1}{2}}}x\right)={\frac {H_{n}(x)}{2^{n}n!}}}$$

พหุนามจาโคบีปรากฏเป็นฟังก์ชันลักษณะเฉพาะของกระบวนการมาร์คอฟที่กำหนดไว้จนถึงเวลาที่มันกระทบขอบเขต สำหรับเรามีดังนั้นกระบวนการนี้จึงเรียกว่ากระบวนการจาโคบี^{[ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle [-1,+1]}$$${\displaystyle {\mathcal {L}}=\left(1-x^{2}\right){\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+(px+q){\frac {\partial }{\partial x}}}$$${\displaystyle p=-(\beta +\alpha +2),q=\beta -\alpha }$$${\displaystyle {\mathcal {L}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}=-n(n+\alpha +\beta +1)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$$

อนุญาต

• ${\displaystyle J^{(\alpha ,\beta )}:=-\left(1-x^{2}\right){\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-[\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x]{\frac {d}{dx}}}$
• ${\displaystyle T_{t}^{(\alpha ,\beta )}:=e^{-tJ^{(\alpha ,\beta )}}}$
• ${\displaystyle h_{n}^{(\alpha ,\beta )}=\int _{-1}^{1}\left[P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\right]^{2}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{(2n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+\alpha +\beta +1)\Gamma (n+1)}}}$
• ${\displaystyle G_{t}^{(\alpha ,\beta )}(x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }\exp(-tn(n+\alpha +\beta +1)){\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(y)}{h_{n}^{(\alpha ,\beta )}}},\quad x,y\in [-1,1],\quad t>0,}$
• ${\displaystyle d\rho _{(\alpha ,\beta )}(x)=(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }dx}$

จากนั้นสำหรับใดๆ[ ^{8 ] ดังนั้น}จึงเรียกว่าเคอร์เนลความร้อนของจาโคบี ${\displaystyle f\in L^{1}\left(d\rho _{(\alpha ,\beta )}\right)}$$${\displaystyle T_{t}^{(\alpha ,\beta )}f(x)=\int _{-1}^{1}G_{t}^{(\alpha ,\beta )}(x,y)f(y)d\varrho _{(\alpha ,\beta )}(y)}$$${\displaystyle G_{t}^{(\alpha ,\beta )}}$

ตัวแยกแยะคือ^{[ 9 ]}สูตรของ Bailey : ^{[ 8 ] [ 10 ]}โดยที่และคือฟังก์ชันไฮเปอร์จีโอเมตริกของ Appel สำหรับตัวแปรสองตัวนี่คืออนาล็อกของเคอร์เนล Mehlerสำหรับพหุนาม Hermiteและสูตร Hardy–Hilleสำหรับพหุนาม Laguerre $${\displaystyle \operatorname {Disc} \left(P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\right)=2^{-n(n-1)}\prod _{j=1}^{n}j^{j-2n+2}(j+\alpha )^{j-1}(j+\beta )^{j-1}(n+j+\alpha +\beta )^{n-j}}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}&\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \varphi )}{h_{n}^{(\alpha ,\beta )}}}r^{n}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +2)}{2^{\alpha +\beta +1}\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta +1)}}{\frac {1-r}{(1+r)^{\alpha +\beta +2}}}\\&\quad \times F_{4}\left({\frac {\alpha +\beta +2}{2}},{\frac {\alpha +\beta +3}{2}};\alpha +1,\beta +1;\left({\frac {2\sin {\frac {\theta }{2}}\sin {\frac {\varphi }{2}}}{r^{1/2}+r^{-1/2}}}\right)^{2},\left({\frac {2\cos {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\varphi }{2}}}{r^{1/2}+r^{-1/2}}}\right)^{2}\right)\end{aligned}}}$$${\displaystyle |r|<1,\alpha ,\beta >-1}$${\displaystyle F_{4}}$

การแสดงผลอินทิกรัลแบบลาปลาซ : ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}^{\left(\alpha ,\beta \right)}\left(1-2t^{2}\right)=&{\frac {(-1)^{n}2^{2n}}{\pi (2n)!}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma \left(\alpha +{\frac {1}{2}}\right)\Gamma \left(\beta +{\frac {1}{2}}\right)}}.\\&\int _{-1}^{1}\int _{-1}^{1}\left(tu\pm i{\sqrt {1-t^{2}}}v\right)^{2n}\left(1-u^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\left(1-v^{2}\right)^{\beta -{\frac {1}{2}}}dudv.\end{aligned}}}$$

ถ้าเช่นนั้นจะมีรากจริง ดังนั้นในส่วนนี้เราจึงถือว่าโดยค่าเริ่มต้น ส่วนนี้อ้างอิงจาก^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle \alpha ,\beta >-1}$${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha ,\beta >-1}$

กำหนด:

• ${\displaystyle j_{\alpha ,m}}$คือค่าศูนย์บวกของฟังก์ชันเบสเซลชนิดแรก เรียงลำดับตามเงื่อนไข${\displaystyle J_{\alpha }}$${\displaystyle 0<j_{\alpha ,1}<j_{\alpha ,2}<\cdots }$
• ${\displaystyle \theta _{n,m}=\theta _{n,m}^{(\alpha ,\beta )}}$คือค่าศูนย์ของ โดยเรียง ลำดับตามเงื่อนไข${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)}$${\displaystyle 0<\theta _{n,1}<\theta _{n,2}<\cdots <\theta _{n,n}<\pi }$
• ${\displaystyle \rho =n+{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta +1)}$
• ${\displaystyle \phi _{m}=j_{\alpha ,m}/\rho }$

${\displaystyle \theta _{n,m}}$เพิ่มขึ้นอย่างต่อเนื่องอย่างเคร่งครัดกับ^และลดลงอย่างต่อเนื่องอย่างเคร่งครัดกับ^{[ 12} ]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

ถ้าและแล้ว จะเพิ่มขึ้น ^{อย่าง}ต่อเนื่องอย่างเคร่งครัดกับ[ ^{12 ]}${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle m<n/2}$${\displaystyle \theta _{n,m}}$${\displaystyle \alpha }$

เมื่อ[ ^{12 ]​}${\displaystyle \alpha ,\beta \in [-1/2,+1/2]}$

• ${\displaystyle \theta _{n,m}^{(-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}={\frac {(m-{\tfrac {1}{2}})\pi }{n+{\tfrac {1}{2}}}}\leq \theta _{n,m}^{(\alpha ,\beta )}\leq {\frac {m\pi }{n+{\tfrac {1}{2}}}}=\theta _{n,m}^{({\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}})}}$
• ${\displaystyle \theta _{n,m}^{(-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}})}={\frac {(m-{\tfrac {1}{2}})\pi }{n}}\leq \theta _{n,m}^{(\alpha ,\alpha )}\leq {\frac {m\pi }{n+1}}=\theta _{n,m}^{({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}})}}$สำหรับ${\displaystyle m\leq n/2}$
• ${\displaystyle {{\frac {\left(m+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta -1)\right)\pi }{\rho }}<\theta _{n,m}<{\frac {m\pi }{\rho }}}}$ยกเว้นเมื่อ${\displaystyle \alpha ^{2}=\beta ^{2}={\tfrac {1}{4}}}$
• ${\displaystyle \theta _{n,m}^{(\alpha ,\alpha )}>{\frac {\left(m+{\tfrac {1}{2}}\alpha -{\tfrac {1}{4}}\right){\pi }}{n+\alpha +{\tfrac {1}{2}}}}}$สำหรับยกเว้นเมื่อ${\displaystyle m\leq n/2}$${\displaystyle \alpha ^{2}={\tfrac {1}{4}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \theta _{n,m}\displaystyle \leq {\frac {j_{\alpha ,m}}{\left(\rho ^{2}+{\tfrac {1}{12}}\left(1-\alpha ^{2}-3\beta ^{2}\right)\right)^{\frac {1}{2}}}}}$
• ${\displaystyle \displaystyle \theta _{n,m}\displaystyle \geq {\frac {j_{\alpha ,m}}{\left(\rho ^{2}+{\tfrac {1}{4}}-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2})-{\pi }^{-2}(1-4\alpha ^{2})\right)^{\frac {1}{2}}}}}$สำหรับ${\displaystyle m\leq n/2}$

แก้ไขแก้ไข​ ${\displaystyle \alpha >-1/2,\beta \geq -1-\alpha }$${\displaystyle c\in (0,1)}$

$${\displaystyle \theta _{n,m}=\phi _{m}+\left(\left(\alpha ^{2}-{\tfrac {1}{4}}\right){\frac {1-\phi _{m}\cot \phi _{m}}{2\phi _{m}}}-{\tfrac {1}{4}}(\alpha ^{2}-\beta ^{2})\tan \left({\tfrac {1}{2}}\phi _{m}\right)\right){\frac {1}{\rho ^{2}}}+\phi _{m}^{2}O\left({\frac {1}{\rho ^{3}}}\right)}$$

อย่างสม่ำเสมอสำหรับ. ${\displaystyle m=1,2,\dots ,\left\lfloor cn\right\rfloor }$

ศูนย์เหล่านี้สอดคล้องกับความสัมพันธ์ ของ Stieltjes : ^{[ 14 ] [ 15 ]} ความสัมพันธ์แรกสามารถตีความได้ทางกายภาพ กำหนดอนุภาคไฟฟ้าที่ +1 ที่มีประจุและอนุภาคอีกตัวที่ -1 ที่มีประจุจากนั้นวางอนุภาคไฟฟ้าที่มีประจุความสัมพันธ์แรกระบุว่าศูนย์ของคือตำแหน่งสมดุลของอนุภาค สมดุลนี้มีเสถียรภาพและเป็นเอกลักษณ์^{[ 15 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{i}-x_{j}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {\alpha +1}{1-x_{i}}}-{\frac {\beta +1}{1+x_{i}}}\right)\\\sum _{1\leq j\leq n}{\frac {1}{1-x_{j}}}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +1)}{2(\alpha +1)}}\\\sum _{1\leq j\leq n}{\frac {1}{1+x_{j}}}&={\frac {n(n+\alpha +\beta +1)}{2(\beta +1)}}\\\sum _{1\leq j\leq n}x_{j}&={\frac {n(\beta -\alpha )}{2n+\alpha +\beta }}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\frac {1+\alpha }{2}}}$${\displaystyle {\frac {1+\beta }{2}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle +1}$${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$

ความสัมพันธ์อื่นๆ เช่นเป็นที่รู้จักในรูปแบบปิด^{[ 14 ]}${\displaystyle \sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{2}}},\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{(x_{i}-x_{j})^{3}}}}$

เนื่องจากค่าศูนย์ระบุพหุนามได้จนถึงระดับการปรับขนาด จึงเป็นอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดลักษณะเฉพาะของพหุนามจาโคบีได้อย่างไม่ซ้ำกัน

การตีความตามหลักไฟฟ้าสถิตช่วยให้มองเห็นความสัมพันธ์หลายอย่างได้โดยสัญชาตญาณ ตัวอย่างเช่น:

• ความสัมพันธ์สมมาตรระหว่างและ;${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$${\displaystyle P_{n}^{(\beta ,\alpha )}}$
• รากจะลดลงอย่างต่อเนื่องเมื่อเพิ่มขึ้น${\displaystyle \alpha }$

เนื่องจากความสัมพันธ์ของ Stieltjes มีอยู่สำหรับพหุนาม Hermite และพหุนาม Laguerre ด้วย ดังนั้นโดยการหาลิมิตที่เหมาะสมของ จึงสามารถอนุมานความสัมพันธ์ลิมิตได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับพหุนาม Hermite ค่าศูนย์จะสอดคล้องกับดังนั้นโดยการหาลิมิต อนุภาคไฟฟ้าทั้งหมดจะถูกบีบให้เข้าไปอยู่ในบริเวณใกล้เคียงจุดกำเนิดที่มีขนาดเล็กมาก ซึ่งความแรงของสนามเป็นเชิงเส้น จากนั้นหลังจากปรับขนาดเส้น เราจะได้การจัดเรียงทางไฟฟ้าสถิตแบบเดียวกันสำหรับค่าศูนย์ของพหุนาม Hermite ${\displaystyle \alpha ,\beta }$$${\displaystyle -x_{i}+\sum _{1\leq j\leq n,i\neq j}{\frac {1}{x_{i}-x_{j}}}=0}$$${\displaystyle \alpha =\beta \to \infty }$

สำหรับภายในของ ค่าเชิงอะซิมโทติกของสำหรับค่าขนาดใหญ่จะได้รับจากสูตรของ Darboux ^{[ 1 ] : VIII.2} ${\displaystyle x}$${\displaystyle [-1,1]}$${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(\cos \theta )=n^{-{\frac {1}{2}}}k(\theta )\cos(N\theta +\gamma )+O\left(n^{-{\frac {3}{2}}}\right),}$

ที่ไหน

${\displaystyle {\begin{aligned}k(\theta )&=\pi ^{-{\frac {1}{2}}}\sin ^{-\alpha -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}}\cos ^{-\beta -{\frac {1}{2}}}{\tfrac {\theta }{2}},\\N&=n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1),\\\gamma &=-{\tfrac {\pi }{2}}\left(\alpha +{\tfrac {1}{2}}\right),\\0<\theta &<\pi \end{aligned}}}$

และพจน์ " " มีค่าสม่ำเสมอในช่วงสำหรับทุกๆ ${\displaystyle O}$${\displaystyle [\varepsilon ,\pi -\varepsilon ]}$${\displaystyle \varepsilon >0}$

สำหรับลำดับที่สูงกว่า ให้กำหนด: ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle \mathrm {B} }$คือฟังก์ชันเบต้าของออยเลอร์
• ${\displaystyle (\cdot )_{m}}$คือ แฟกทอเรี ยลที่ลดลง
• ${\displaystyle f_{m}(\theta )=\sum _{\ell =0}^{m}{\frac {C_{m,\ell }(\alpha ,\beta )}{\ell !(m-\ell )!}}{\frac {\cos \theta _{n,m,\ell }}{\left(\sin {\frac {1}{2}}\theta \right)^{\ell }\left(\cos {\frac {1}{2}}\theta \right)^{m-\ell }}}}$
• ${\displaystyle C_{m,\ell }(\alpha ,\beta )={\left({\tfrac {1}{2}}+\alpha \right)_{\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}-\alpha \right)_{\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}+\beta \right)_{m-\ell }}{\left({\tfrac {1}{2}}-\beta \right)_{m-\ell }}}$
• ${\displaystyle \theta _{n,m,\ell }={\tfrac {1}{2}}(2n+\alpha +\beta +m+1)\theta -{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\ell +{\tfrac {1}{2}})\pi }$

แก้ไขของจริงแก้ไขแก้ไขอย่างสม่ำเสมอสำหรับทุกคน ${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle M=1,2,\dots }$${\displaystyle \delta \in (0,\pi /2)}$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle \left(\sin {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{\alpha +{\frac {1}{2}}}\left(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{\beta +{\frac {1}{2}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)={\pi }^{-1}2^{2n+\alpha +\beta +1}\mathrm {B} \left(n+\alpha +1,n+\beta +1\right)\left(\sum _{m=0}^{M-1}{\frac {f_{m}(\theta )}{2^{m}{\left(2n+\alpha +\beta +2\right)_{m}}}}+O\left(n^{-M}\right)\right)}$$${\displaystyle \theta \in [\delta ,\pi -\delta ]}$

กรณีดังกล่าวคือสูตรของ Darboux ที่กล่าวมาข้างต้น ${\displaystyle M=1}$

กำหนด: ^{[ 12 ]}

• ${\displaystyle J_{\nu }}$คือฟังก์ชันเบสเซล
• ${\displaystyle \rho =n+{\tfrac {1}{2}}(\alpha +\beta +1)}$
• ${\displaystyle g(\theta )=\left({\tfrac {1}{4}}-\alpha ^{2}\right)\left(\cot \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)-\left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)^{-1}\right)-\left({\tfrac {1}{4}}-\beta ^{2}\right)\tan \left({\tfrac {1}{2}}\theta \right)}$

แก้ไขจริงแก้ไขเนื่องจากเรามีสูตรประเภทของ Hilb : ^{[ 16 ]}โดยที่เป็นฟังก์ชันของรายการแรกๆ มีดังนี้:${\displaystyle \alpha ,\beta }$${\displaystyle M=0,1,2,\dots }$${\displaystyle n\to \infty }$$${\displaystyle (\sin {\tfrac {1}{2}}\theta )^{\alpha +{\frac {1}{2}}}(\cos {\tfrac {1}{2}}\theta )^{\beta +{\frac {1}{2}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \theta \right)={\frac {\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}{2^{\frac {1}{2}}\rho ^{\alpha }n!}}\left(\theta ^{\frac {1}{2}}J_{\alpha }\left(\rho \theta \right)\sum _{m=0}^{M}{\dfrac {A_{m}(\theta )}{\rho ^{2m}}}+\theta ^{\frac {3}{2}}J_{\alpha +1}\left(\rho \theta \right)\sum _{m=0}^{M-1}{\dfrac {B_{m}(\theta )}{\rho ^{2m+1}}}+\varepsilon _{M}(\rho ,\theta )\right)}$$${\displaystyle A_{m},B_{m}}$${\displaystyle \theta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{0}(\theta )&=1\\\theta B_{0}(\theta )&={\frac {1}{4}}g(\theta )\\A_{1}(\theta )&={\frac {1}{8}}g^{\prime }(\theta )-{\frac {1+2\alpha }{8}}{\frac {g(\theta )}{\theta }}-{\frac {1}{32}}(g(\theta ))^{2}\end{aligned}}}$$

สำหรับค่าคงที่ใดๆ ที่กำหนดไว้พจน์ความคลาดเคลื่อนจะเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้${\displaystyle c>0}$$${\displaystyle \varepsilon _{M}(\rho ,\theta )={\begin{cases}\theta O\left(\rho ^{-2M-(3/2)}\right),&c\rho ^{-1}\leq \theta \leq \pi -\delta ,\\\theta ^{\alpha +(5/2)}O\left(\rho ^{-2M+\alpha }\right),&0\leq \theta \leq c\rho ^{-1},\end{cases}}}$$

สูตรของเมห์เลอร์-ไฮน์ให้ค่าประมาณเชิงอนุกรมของพหุนามจาโคบีบริเวณจุดต่างๆ${\displaystyle \pm 1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\to \infty }n^{-\alpha }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left({\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\alpha }J_{\alpha }(z)\\\lim _{n\to \infty }n^{-\beta }P_{n}^{(\alpha ,\beta )}\left(\cos \left(\pi -{\tfrac {z}{n}}\right)\right)&=\left({\tfrac {z}{2}}\right)^{-\beta }J_{\beta }(z)\end{aligned}}}$

โดยที่ขอบเขตมีความสม่ำเสมอในโดเมนที่ มีขอบเขต${\displaystyle z}$

ลักษณะเชิงอนุกรมภายนอกนั้นไม่ชัดเจนนัก ${\displaystyle [-1,1]}$

นิพจน์ ( 1 ) อนุญาตให้แสดงเมทริกซ์ Wigner d (สำหรับ) ในรูปของพหุนาม Jacobi: ^{[ 17 ]}${\displaystyle d_{m',m}^{j}(\phi )}$${\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }$

${\displaystyle d_{m'm}^{j}(\phi )=(-1)^{\frac {m-m'-|m-m'|}{2}}\left[{\frac {(j+M)!(j-M)!}{(j+N)!(j-N)!}}\right]^{\frac {1}{2}}\left(\sin {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m-m'|}\left(\cos {\tfrac {\phi }{2}}\right)^{|m+m'|}P_{j-M}^{(|m-m'|,|m+m'|)}(\cos \phi ),}$

ที่ไหน. ${\displaystyle M=\max(|m|,|m'|),N=\min(|m|,|m'|)}$

• อสมการแอสกี-แกสเปอร์
• พหุนาม q-Jacobi ขนาดใหญ่
• พหุนาม q-Jacobi ต่อเนื่อง
• พหุนาม q-Jacobi ขนาดเล็ก
• พหุนามจาโคบีเทียม
• พหุนามเกเกนบาวเออร์
• พหุนามโรมานอฟสกี