ในการศึกษาทางคณิตศาสตร์ เกี่ยวกับ การนำความร้อนและการแพร่ความ ร้อน เคอร์เนลความร้อนคือคำตอบพื้นฐานของสมการความร้อนในโดเมนที่กำหนดพร้อมเงื่อนไขขอบเขต ที่เหมาะสม นอกจากนี้ยังเป็นหนึ่งในเครื่องมือหลักในการศึกษาสเปกตรัมของตัวดำเนินการลาปลาสและจึงมีความสำคัญในเชิงเสริมในฟิสิกส์เชิงคณิตศาสตร์เคอร์เนลความร้อนแสดงถึงวิวัฒนาการของอุณหภูมิในบริเวณที่มีขอบเขตคงที่ที่อุณหภูมิเฉพาะ (โดยทั่วไปคือศูนย์) โดยที่หน่วยพลังงานความร้อนเริ่มต้นถูกวางไว้ที่จุดหนึ่ง ณ เวลาt = 0

เคอร์เนลความร้อนที่รู้จักกันดีที่สุดคือเคอร์เนลความร้อนของปริภูมิยุคลิด^{มิติ d R d ซึ่งมีรูปแบบเป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนที่เปลี่ยนแปลงตามเวลา ซึ่งกำหนดไว้สำหรับทุก และ [ 1 ]}วิธีนี้แก้^สมการความร้อน สำหรับฟังก์ชัน^{ที่ไม่}ทราบค่า K โดยที่δคือการกระจายเดลต้าของดิแรกและลิมิตจะถูกพิจารณาในแง่ของการกระจายนั่นคือ สำหรับทุกฟังก์ชันϕในปริภูมิC$${\displaystyle K(t,x,y)={\frac {1}{\left(4\pi t\right)^{d/2}}}\exp \left(-{\frac {\left\|xy\right\|^{2}}{4t}}\right),}$$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{d}}$${\displaystyle t>0}$$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}&{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)\\&\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta (xy)=\delta _{x}(y)\end{aligned}}\right.}$$^∞ _c( R ^d )ของฟังก์ชันเรียบที่มีส่วนรองรับกระชับเรามี^{[ 2 ]}$${\displaystyle \lim _{t\to 0}\int _{\mathbb {R} ^{d}}K(t,x,y)\phi (y)\,dy=\phi (x).}$$

ในโดเมนทั่วไปΩในR ^dสูตรที่ชัดเจนเช่นนั้นโดยทั่วไปแล้วเป็นไปไม่ได้ กรณีที่ง่ายที่สุดถัดไปของวงกลมหรือสี่เหลี่ยมเกี่ยวข้องกับฟังก์ชันเบสเซลและฟังก์ชันเธตาของจาโคบีตามลำดับอย่างไรก็ตาม เคอร์เนลความร้อนยังคงมีอยู่และเรียบสำหรับt > 0ในโดเมนใดๆ และบนแมนิโฟลด์รีมันน์ ใดๆ ที่ มีขอบเขตตราบใดที่ขอบเขตนั้นมีความสม่ำเสมอเพียงพอ กล่าวคือ ในโดเมนทั่วไปเหล่านี้ เคอร์เนลความร้อนคือคำตอบของปัญหาค่าเริ่มต้นและค่าขอบเขต $${\displaystyle {\begin{cases}{\frac {\partial K}{\partial t}}(t,x,y)=\Delta _{x}K(t,x,y)&{\text{สำหรับทุก }}t>0{\text{ และ }}x,y\in \Omega \\[6pt]\lim _{t\to 0}K(t,x,y)=\delta _{x}(y)&{\text{สำหรับทุก }}x,y\in \Omega \\[6pt]K(t,x,y)=0&x\in \partial \Omega {\text{ หรือ }}y\in \partial \Omega \end{cases}}}$$

เพื่อให้ได้นิพจน์อย่างเป็นทางการสำหรับเคอร์เนลความร้อนบนโดเมนใดๆ ให้พิจารณาปัญหา Dirichlet ในโดเมนที่เชื่อมต่อกัน (หรือแมนิโฟลด์ที่มีขอบเขต) Uให้λ _nเป็นค่าลักษณะเฉพาะสำหรับปัญหา Dirichlet ของLaplacian ^{[ 3 ]} ให้ϕ _nแทนฟังก์ชันลักษณะเฉพาะ ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งถูกทำให้เป็นมาตรฐานให้เป็นฟังก์ชันตั้งฉากในL ² ( U ) Laplacian Dirichlet ผกผันΔ ⁻¹เป็นตัวดำเนินการแบบกระชับและ สมมาตรในตัวเอง ดังนั้นทฤษฎีบทสเปกตรัมจึงบ่งชี้ว่าค่าลักษณะเฉพาะของΔเป็นไป ตามเงื่อนไข เคอร์เนลความร้อนมีนิพจน์ดังต่อไปนี้: การหาอนุพันธ์อย่างเป็นทางการของอนุกรมภายใต้เครื่องหมายของผลรวมแสดงให้เห็นว่าสิ่งนี้ควรเป็นไปตามสมการความร้อน อย่างไรก็ตาม การลู่เข้าและความสม่ำเสมอของอนุกรมนั้นค่อนข้างละเอียดอ่อน $${\displaystyle {\begin{cases}\Delta \phi +\lambda \phi =0&{\text{in }}U,\\\phi =0&{\text{on }}\ \partial U.\end{cases}}}$$$${\displaystyle 0<\lambda _{1}\leq \lambda _{2}\leq \lambda _{3}\leq \cdots ,\quad \lambda _{n}\to \infty .}$$$${\displaystyle K(t,x,y)=\sum _{n=0}^{\infty }e^{-\lambda _{n}t}\phi _{n}(x)\phi _{n}(y)}$$

บางครั้งเคอร์เนลความร้อนก็ถูกระบุด้วยการแปลงอินทิกรัล ที่เกี่ยวข้อง ซึ่งกำหนดไว้สำหรับϕ เรียบที่รองรับอย่างกะทัดรัด โดย ทฤษฎีบทการแมปสเปกตรัมให้การแสดงแทนของTในรูปแบบเซมิกรุป^{[ 4 ] [ 5 ]}$${\displaystyle T\phi =\int _{\Omega }K(t,x,y)\phi (y)\,dy.}$$

$${\displaystyle T=e^{t\Delta }.}$$

มีผลลัพธ์ทางเรขาคณิตหลายประการเกี่ยวกับเคอร์เนลความร้อนบนแมนิโฟลด์ เช่น แนวโน้มในระยะเวลาสั้น แนวโน้มในระยะยาว และขอบเขตบน/ล่างของประเภทเกาส์เซียน

• ลายเซ็นแกนความร้อน
• ฟังก์ชันมินักชิซุนดาราม–เปลเยลซีตา
• เคอร์เนลเมห์เลอร์
• การแปลงไวเออร์สตรัส § การสรุปทั่วไป