ในทางคณิตศาสตร์การแปลงไวเออร์สตรัส [ ^{1 ] ของ}ฟังก์ชันซึ่ง ตั้งชื่อตามคาร์ล ไวเออร์สตรัสคือเวอร์ชัน "เรียบ" ของที่ได้จากการหาค่าเฉลี่ยของค่าของโดยถ่วงน้ำหนักด้วยเกาส์เซียนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันคือฟังก์ชันที่กำหนดโดย ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F(x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(y)\;e^{-{\frac {(xy)^{2}}{4}}}\;dy={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)\;e^{-{\frac {y^{2}}{4}}}\;dy~,}$

การคอนโวลูชันของกับฟังก์ชันเกาส์เซียน${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}~.}$

เลือก ค่าตัวประกอบ เพื่อให้ฟังก์ชันเกาส์เซียนมีค่าอินทิกรัลรวมเท่ากับ 1 ซึ่งส่งผลให้ฟังก์ชันคงที่ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อทำการแปลงไวเออร์สตรัส${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}}$

แทนที่จะ เขียนแบบนั้น ก็เขียนแบบนี้แทนได้โปรดทราบว่าไม่จำเป็นต้องมีอยู่สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวนเมื่ออินทิกรัลที่กำหนดไม่ลู่เข้า ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle W[f](x)}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x}$

การแปลงไวเออร์สตรัสมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับสมการความร้อน (หรือเทียบเท่ากับสมการการแพร่ที่มีสัมประสิทธิ์การแพร่คงที่) ถ้าฟังก์ชันอธิบายถึงอุณหภูมิเริ่มต้นที่แต่ละจุดของแท่งยาวอนันต์ที่มีค่าการนำความร้อน คง ที่เท่ากับ 1 แล้ว การกระจายอุณหภูมิของแท่งในเวลาต่อมาจะกำหนดโดยฟังก์ชันโดยการใช้ค่า ที่แตกต่างจาก 1 เราสามารถกำหนดการแปลงไวเออร์สตรัสแบบทั่วไปของได้ ${\displaystyle f}$${\displaystyle t=1}$${\displaystyle F}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f}$

การแปลงเวียร์สตรัสแบบทั่วไปเป็นวิธีการหนึ่งในการประมาณฟังก์ชันที่หาปริพันธ์ได้ โดยใช้ ฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์ได้ อย่างแม่นยำตามอำเภอใจ${\displaystyle f}$

ไวเออร์สตรัสใช้การแปลงนี้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทการประมาณค่าไวเออร์สตรัส ในครั้งแรก การแปลง นี้ยังเป็นที่รู้จักกันในชื่อการแปลงเกาส์หรือการแปลงเกาส์-ไวเออร์สตรัสตามชื่อของคาร์ล ฟรีดริช เกาส์และการแปลงฮิลเลตามชื่อของไอนาร์ คาร์ล ฮิลเลผู้ศึกษาการแปลงนี้อย่างละเอียด การวางนัยทั่วไปที่กล่าวถึงด้านล่างนี้ ในทางวิเคราะห์สัญญาณ เรียก ว่าตัวกรองเกาส์เซียนและในการประมวลผลภาพ (เมื่อนำไปใช้กับ) เรียกว่าการเบลอแบบเกาส์เซียน ${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ฟังก์ชันคงที่ทุก ฟังก์ชันล้วน เป็นการแปลงเวียร์สตรัสของตัวเอง

การแปลงไวเออร์สตรัสของพหุนาม ใดๆ ก็ คือพหุนามที่มีดีกรีเดียวกัน และในความเป็นจริงแล้วมีสัมประสิทธิ์นำหน้าเดียวกัน ( การเติบโตเชิงอะซิมโทติกไม่เปลี่ยนแปลง) ที่จริงแล้ว ถ้าแทนพหุนามเฮอร์ไมต์ (ของนักฟิสิกส์)ที่มีดีกรีแล้วการแปลงไวเออร์สตรัสของ ก็คือซึ่งสามารถแสดงได้โดยใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าฟังก์ชันก่อกำเนิดของพหุนามเฮอร์ไมต์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับเคอร์เนลเกาส์เซียนที่ใช้ในการนิยามการแปลงไวเออร์สตรัส ${\displaystyle H_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle H_{n}(x/2)}$${\displaystyle x^{n}}$

การแปลงไวเออร์สตรัสของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง(โดยที่เป็นค่าคงที่ใดๆ) คือ. ดังนั้น ฟังก์ชันนี้ จึงเป็นฟังก์ชันเฉพาะของการแปลงไวเออร์สตรัส โดยมีค่าเฉพาะ. ^{[หมายเหตุ 1 ]}${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x\mapsto \exp(a^{2})\exp(ax)}$${\displaystyle \exp(ax)}$${\displaystyle \exp(a^{2})}$

เมื่อใช้การแปลงไวเออร์สตรัสของโดยที่เป็นค่าคงที่จริงใดๆ และเป็นหน่วยจินตนาการและใช้เอกลักษณ์ของออยเลอร์จะเห็นว่าการแปลงไวเออร์สตรัสของฟังก์ชันคือ และการแปลงไวเออ ร์ สตรัสของฟังก์ชันคือ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax)}$${\displaystyle a=bi}$${\displaystyle b}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \cos(bx)}$${\displaystyle \exp(-b^{2})\cos(bx)}$${\displaystyle \sin(bx)}$${\displaystyle \exp(-b^{2})\sin(bx)}$

การแปลงไวเออร์สตรัสของฟังก์ชันคือ สิ่งที่น่าสังเกตเป็นพิเศษคือเมื่อเลือกให้เป็นค่าลบ ถ้าแล้วจะเป็นฟังก์ชันเกาส์เซียน และการแปลงไวเออร์สตรัสของมันก็เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนเช่นกัน แต่เป็นฟังก์ชันเกาส์เซียนที่ "กว้างกว่า" ${\displaystyle x\mapsto \exp(ax^{2})}$$${\displaystyle F(x)={\begin{cases}{\dfrac {1}{\sqrt {1-4a}}}\exp \left({\dfrac {ax^{2}}{1-4a}}\right)&{\text{ถ้า }}a<1/4\\[5pt]{\text{ไม่นิยาม}}&{\text{ถ้า }}a\geq 1/4.\end{cases}}}$$${\displaystyle a}$${\displaystyle a<0}$${\displaystyle \exp(ax^{2})}$

การแปลงไวเออร์สตรัสส์กำหนดฟังก์ชันใหม่ ให้กับแต่ละฟังก์ชัน การกำหนดนี้เป็นแบบเชิงเส้นนอกจากนี้ยังไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อนตำแหน่ง หมายความว่าการแปลงของฟังก์ชันนั้นเป็น แบบเชิงเส้น ข้อเท็จจริงทั้งสองนี้เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับการแปลงเชิงปริพันธ์ ใดๆ ที่กำหนดผ่านการสังเคราะห์ ${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f(x+a)}$${\displaystyle F(x+a)}$

ถ้าการแปลงมีอยู่สำหรับจำนวนจริงและแล้ว การแปลงนั้นก็จะมีอยู่สำหรับค่าจริงทั้งหมดที่อยู่ระหว่าง และก่อให้เกิดฟังก์ชันวิเคราะห์ ณ ที่นั้น ยิ่งไปกว่านั้นจะมีอยู่สำหรับค่าเชิงซ้อน ทั้งหมดของ โดยที่และก่อให้เกิดฟังก์ชันโฮโลมอร์ฟิกบนแถบระนาบเชิงซ้อน นั้น นี่คือคำอธิบายอย่างเป็นทางการของ "ความเรียบ" ของที่กล่าวถึงข้างต้น ${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x=a}$${\displaystyle x=b}$${\displaystyle F(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle a\leq \Re (x)\leq b}$${\displaystyle F}$

ถ้าสามารถหาปริพันธ์ได้ตลอดทั้งแกนจริง (เช่น) แล้ว การแปลงไวเออร์สตรัสของมันก็สามารถหาปริพันธ์ได้เช่นกันและถ้ายิ่งไปกว่านั้นสำหรับทุกค่าแล้วสำหรับทุกค่าและปริพันธ์ของและจะเท่ากัน สิ่งนี้แสดงให้เห็นถึงข้อเท็จจริงทางกายภาพที่ว่า พลังงานความร้อนทั้งหมดหรือความร้อนโดยรวมนั้นได้รับการอนุรักษ์โดยสมการความร้อน หรือปริมาณรวมของวัสดุที่แพร่กระจายนั้นได้รับการอนุรักษ์โดยสมการการแพร่กระจาย ${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle f(x)\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F(x)\geq 0}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$

จากการใช้ข้างต้น เราสามารถแสดงได้ว่าสำหรับและเราจะได้และการแปลงไวเออร์สตรัสจึงให้ผลลัพธ์เป็นตัว ดำเนินการที่มีขอบเขต${\displaystyle 1\leq p\leq +\infty }$${\displaystyle f\in L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle F\in L^{p}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle \left\|F\right\|_{p}\leq \left\|f\right\|_{p}}$${\displaystyle W:L^{p}(\mathbb {R} )\to L^{p}(\mathbb {R} )}$

ถ้ามีความเรียบเนียนเพียงพอ การแปลงไวเออร์สตรัสของอนุพันธ์อันดับที่ของจะเท่ากับอนุพันธ์อันดับที่ ของการแปลงไวเออร์สตรัสของ ${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f}$

มีสูตรที่เชื่อมโยงการแปลงไวเออร์สตรัสWกับการแปลงลาปลาสแบบสองด้าน ถ้าเรากำหนด ${\displaystyle L}$

${\displaystyle g(x)=e^{-{\frac {x^{2}}{4}}}f(x)}$

แล้ว

${\displaystyle W[f](x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}L[g]\left(-{\frac {x}{2}}\right).}$

เราได้เห็นข้างต้นแล้วว่าการแปลงไวเออร์สตรัสของคือและในทำนองเดียวกันสำหรับในแง่ของการวิเคราะห์สัญญาณนี่แสดงให้เห็นว่าหากสัญญาณมีความถี่(กล่าวคือมีพจน์ที่เป็นการรวมกันของและ) สัญญาณที่แปลงแล้วจะมีความถี่เดียวกัน แต่มีแอมพลิจูดคูณด้วยตัวประกอบ ซึ่งส่งผลให้ความถี่สูงลดลงมากกว่าความถี่ต่ำ และการแปลงไวเออร์สตรัสจึงทำหน้าที่เป็นตัวกรองความถี่ต่ำสิ่งนี้สามารถแสดงได้ด้วยการแปลงฟูริเยร์แบบต่อเนื่องดังนี้ การแปลงฟูริเยร์วิเคราะห์สัญญาณในแง่ของความถี่ แปลงคอนโวลูชันเป็นผลคูณ และแปลงเกาส์เซียนเป็นเกาส์เซียน การแปลงไวเออร์สตรัสคือคอนโวลูชันกับเกาส์เซียน ดังนั้นจึงเป็นการคูณสัญญาณที่แปลงฟูริเยร์แล้วกับเกาส์เซียน ตามด้วยการใช้การแปลงฟูริเยร์ผกผัน การคูณด้วยฟังก์ชันเกาส์เซียนในพื้นที่ความถี่นี้จะลดทอนความถี่สูง ซึ่งเป็นอีกวิธีหนึ่งในการอธิบายคุณสมบัติ "การทำให้เรียบ" ของการแปลงไวเออร์สตรัส ${\displaystyle \cos(bx)}$${\displaystyle e^{-b^{2}}\cos(bx)}$${\displaystyle \sin(bx)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle b}$${\displaystyle \sin(bx)}$${\displaystyle \cos(bx)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle e^{-b^{2}}}$

สูตรต่อไปนี้ ซึ่งมีความเกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับการแปลงลาปลาสของฟังก์ชันเกาส์เซียน และเป็นสิ่งที่เทียบเคียงได้กับการแปลงฮับบาร์ด-สแตรโทโนวิชสามารถพิสูจน์ได้ค่อนข้างง่าย:

${\displaystyle e^{u^{2}}={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-uy}e^{-y^{2}/4}\;dy.}$

ทีนี้ให้แทนที่uด้วยตัวดำเนินการหาอนุพันธ์อย่างเป็นทางการD  =  d / dxแล้วใช้ตัวดำเนินการเลื่อนลาก รางจ์

${\displaystyle e^{-yD}f(x)=f(xy)}$,

(ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจาก สูตรอนุกรม เทย์เลอร์และนิยามของฟังก์ชันเลขชี้กำลัง ) เพื่อให้ได้

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{D^{2}}f(x)&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }e^{-yD}f(x)e^{-y^{2}/4}\;dy\\&={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(xy)e^{-y^{2}/4}\;dy=W[f](x)\end{aligned}}}$

เพื่อให้ได้นิพจน์อย่างเป็นทางการต่อไปนี้สำหรับการแปลงไวเออร์สตรัส ${\displaystyle W}$

โดยที่ตัวดำเนินการทางด้านขวาจะต้องเข้าใจว่ากระทำต่อฟังก์ชันf ( x ) ดังนี้

${\displaystyle e^{D^{2}}f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {D^{2k}f(x)}{k!}}~.}$

การพิสูจน์อย่างเป็นทางการข้างต้นละเลยรายละเอียดของการลู่เข้า ดังนั้นสูตรจึงไม่ถูกต้องในทุกกรณี มีฟังก์ชันหลายฟังก์ชันที่มีการแปลงไวเออร์สตรัสที่กำหนดไว้อย่างชัดเจน แต่ไม่สามารถกำหนดความหมายได้อย่างมีความหมาย ${\displaystyle W=e^{D^{2}}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle e^{D^{2}}(f)}$

อย่างไรก็ตาม กฎนี้ยังคงมีประโยชน์มาก และสามารถนำไปใช้ในการหาอนุพันธ์ของการแปลงไวเออร์สตรัสของพหุนาม ฟังก์ชันเลขชี้กำลัง และฟังก์ชันตรีโกณมิติที่กล่าวถึงข้างต้นได้

ดังนั้น ตัวผกผันอย่างเป็นทางการของการแปลงไวเออร์สตรัสจึงกำหนดโดย

${\displaystyle W^{-1}=e^{-D^{2}}~.}$

อีกครั้ง สูตรนี้ไม่ถูกต้องในทุกกรณี แต่สามารถใช้เป็นแนวทางได้ สามารถแสดงให้เห็นว่าถูกต้องสำหรับฟังก์ชันบางประเภทหากตัวดำเนินการด้านขวามือได้รับการกำหนดอย่างเหมาะสม^{[ 2 ]}

อีกทางเลือกหนึ่ง อาจลองแปลงกลับของไวเออร์สตรัสด้วยวิธีที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย โดยกำหนดฟังก์ชันเชิงวิเคราะห์

${\displaystyle F(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}~,}$

ยื่นขอรับ ${\displaystyle W^{-1}}$

${\displaystyle f(x)=W^{-1}[F(x)]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}W^{-1}[x^{n}]=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}H_{n}(x/2)}$

โดยใช้คุณสมบัติพื้นฐานของพหุนามเฮอร์ไมต์ (ของนักฟิสิกส์ ) อีกครั้ง${\displaystyle H_{n}}$

อีกครั้ง สูตรนี้สำหรับ นั้นเป็นเพียงรูปแบบเท่านั้น เนื่องจากไม่ได้ตรวจสอบว่าอนุกรมสุดท้ายลู่เข้าหรือไม่ แต่ถ้าตัวอย่างเช่นแล้วความรู้เกี่ยวกับอนุพันธ์ทั้งหมดของที่ ก็เพียงพอที่จะให้ค่าสัมประสิทธิ์และเพื่อสร้างใหม่เป็นอนุกรมของพหุนามเฮอร์ไมต์ได้ ${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} )}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle f}$

วิธีที่สามในการผกผันการแปลงไวเออร์สตรัสใช้ประโยชน์จากความเชื่อมโยงกับการแปลงลาปลาสที่กล่าวถึงข้างต้น และสูตรการผกผันที่รู้จักกันดีสำหรับการแปลงลาปลาส ผลลัพธ์สำหรับฟังก์ชันการแจกแจงแสดงไว้ด้านล่าง

เราสามารถใช้การคอนโวลูชันกับเคอร์เนลเกาส์เซียนแทนการกำหนดตัวดำเนินการW _t ซึ่ง ก็คือการแปลงเวียร์สตรัสแบบทั่วไปได้ $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},\quad t>0,}$$$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{4}}},}$$

สำหรับค่า ที่มีขนาดเล็กจะใกล้เคียงกับ มากแต่จะเรียบเนียนกว่า ยิ่งค่า มีขนาดใหญ่ขึ้นตัวดำเนินการนี้ก็จะยิ่งเฉลี่ยค่าและเปลี่ยนแปลง มากขึ้นในทางกายภาพสอดคล้องกับการปฏิบัติตามสมการความร้อน (หรือการแพร่) สำหรับหน่วยเวลา และนี่เป็นการบวก ซึ่ง สอดคล้องกับ "การแพร่สำหรับหน่วยเวลา จากนั้น หน่วยเวลา เทียบเท่ากับการแพร่สำหรับหน่วยเวลา" เราสามารถขยายสิ่งนี้ไปยัง ได้โดยกำหนดให้ เป็นตัวดำเนินการเอกลักษณ์ (เช่น การสังเคราะห์ร่วมกับฟังก์ชันเดลต้าของ Dirac ) และสิ่งเหล่านี้จะก่อให้เกิด เซมิกรุป ของตัวดำเนินการ แบบพารามิเตอร์เดียว${\displaystyle t}$${\displaystyle W_{t}[f]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle t}$${\displaystyle f}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle t}$$${\displaystyle W_{s}\circ W_{t}=W_{s+t},}$$${\displaystyle t}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s+t}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle W_{0}}$

เคอร์เนลที่ใช้สำหรับการแปลงไวเออร์สตรัสแบบทั่วไปบางครั้งเรียกว่าเคอร์เนลเกาส์-ไวเออร์สตรัสและเป็นฟังก์ชันกรีนสำหรับสมการการแพร่บนสามารถคำนวณได้จาก: เมื่อกำหนดฟังก์ชันให้กำหนดฟังก์ชันใหม่จาก นั้นผลลัพธ์ของ กฎ การ แทนที่$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi t}}}e^{-{\frac {x^{2}}{4t}}},}$$$${\displaystyle (\partial _{t}-D^{2})(e^{tD^{2}}f(x))=0,}$$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle f_{t}(x):=f(x{\sqrt {t}}),}$$$${\displaystyle W_{t}[f](x)=W[f_{t}](x{\sqrt {t}}),}$$

การแปลง Weierstrass สามารถกำหนดได้สำหรับคลาสการแจกแจงหรือ "ฟังก์ชันทั่วไป" บางคลาส ^{[ 3 ]}ตัวอย่างเช่น การแปลง Weierstrass ของเดลต้า Diracคือ Gaussian ในบริบทนี้ สูตรการผกผันที่เข้มงวดสามารถพิสูจน์ได้ เช่น โดย ที่ เป็นจำนวนจริง คง ที่ ใดๆ ที่มีอยู่ อินทิกรัลขยายไปตามเส้นแนวตั้งในระนาบเชิงซ้อนที่มีส่วนจริงและลิมิตจะต้องพิจารณาในแง่ของการแจกแจง $${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}e^{-x^{2}/4}.}$$$${\displaystyle f(x)=\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{i{\sqrt {4\pi }}}}\int _{x_{0}-ir}^{x_{0}+ir}F(z)e^{\frac {(x-z)^{2}}{4}}\;dz,}$$${\displaystyle x_{0}}$${\displaystyle F(x_{0})}$${\displaystyle x_{0}}$

นอกจากนี้ การแปลงไวเออร์สตรัสสามารถกำหนดได้สำหรับฟังก์ชัน (หรือการแจกแจง) ที่มีค่าเป็นจำนวนจริง (หรือจำนวนเชิงซ้อน) ที่กำหนดบนเราใช้สูตรการสังเคราะห์แบบเดียวกันกับข้างต้น แต่ตีความปริพันธ์ว่าครอบคลุมทั้งหมดของและนิพจน์เป็นกำลังสองของความยาวแบบยุคลิดของเวกเตอร์ตัวประกอบด้านหน้าของปริพันธ์จะต้องได้รับการปรับเพื่อให้ค่าปริพันธ์รวมของฟังก์ชันเกาส์เซียนเท่ากับ 1 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle (x-y)^{2}}$${\displaystyle x-y}$

โดยทั่วไปแล้ว การแปลงไวเออร์สตรัสสามารถกำหนดได้บนแมนิโฟลด์แบบรีมันน์ ใดๆ ก็ได้ กล่าว คือ สมการความร้อนสามารถกำหนดได้ที่นั่น (โดยใช้ตัวดำเนินการลาปลาส-เบลทรามี ของแมนิโฟลด์ ) และการแปลงไวเออร์สตรัสจะได้รับจากการติดตามคำตอบของสมการความร้อนสำหรับหนึ่งหน่วยเวลา โดยเริ่มต้นจาก "การกระจายอุณหภูมิ" เริ่มต้น ${\displaystyle W[f]}$${\displaystyle f}$

หากพิจารณาการคอนโวลูชันกับเคอร์เนล แทนที่จะเป็นแบบเกาส์เซียน จะได้การแปลงปัวซงซึ่งจะทำให้ฟังก์ชันที่กำหนดเรียบและหาค่าเฉลี่ยในลักษณะที่คล้ายกับการแปลงไวเออร์สตรัส ${\displaystyle {\frac {1}{(1+x^{2})\pi }}}$

• การเบลอแบบเกาส์เซียน
• ตัวกรองเกาส์เซียน
• การเป็นตัวแทนของ Husimi Q
• สมการความร้อน #วิธีแก้ปัญหาพื้นฐาน