ในแคลคูลัสการอินทิเกรตโดยการแทนที่หรือที่รู้จักกันในชื่อu - substitution , กฎลูกโซ่ย้อนกลับหรือการเปลี่ยนตัวแปร^{[ 1 ]}เป็นวิธีการประเมินอินทิกรัลและอนุพันธ์ผกผันเป็นสิ่งที่ตรงกันข้ามกับกฎลูกโซ่สำหรับการหาอนุพันธ์และอาจคิดอย่างคร่าวๆ ว่าเป็นการใช้กฎลูกโซ่ "ย้อนกลับ" ซึ่งเกี่ยวข้องกับ รูปแบบ เชิง อนุพันธ์

ก่อนที่จะกล่าวถึงผลลัพธ์อย่างเคร่งครัดลองพิจารณากรณีง่ายๆ โดยใช้ปริพันธ์ไม่จำกัดขอบเขตดูก่อน

คำนวณ^{[ 2 ]}${\textstyle \int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx.}$

กำหนดให้สิ่งนี้หมายถึงหรือเป็นรูปแบบเชิงอนุพันธ์ทีนี้ลองพิจารณาดู: ${\displaystyle u=2x^{3}+1.}$${\textstyle {\frac {du}{dx}}=6x^{2},}$${\textstyle du=6x^{2}\,dx.}$${\textstyle \int u^{7}du.}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int (2x^{3}+1)^{7}(x^{2})\,dx\\={\frac {1}{6}}\int \underbrace {(2x^{3}+1)^{7}} _{u^{7}}\underbrace {(6x^{2})\,dx} _{du}\\={\frac {1}{6}}\int u^{7}\,du={\frac {1}{6}}\left({\frac {1}{8}}u^{8}\right)+C\\={\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C,\end{aligned}}}$

โดยที่เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรตที่ ไม่เจาะจง${\displaystyle C}$

วิธีการนี้ใช้บ่อย แต่ไม่ใช่ว่าอินทิกรัลทุกตัวจะมีรูปแบบที่อนุญาตให้ใช้วิธีนี้ได้ อย่างไรก็ตาม ผลลัพธ์ควรได้รับการตรวจสอบโดยการหาอนุพันธ์และเปรียบเทียบกับฟังก์ชันที่ต้องการอินทิกรัลเดิม สำหรับอินทิกรัลจำกัดขอบเขต จะต้องปรับขอบเขตของการอินทิเกรตด้วย แต่ขั้นตอนโดยส่วนใหญ่ยังคงเหมือนเดิม $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\left[{\frac {1}{48}}(2x^{3}+1)^{8}+C\right]={\frac {1}{6}}(2x^{3}+1)^{7}(6x^{2})=(2x^{3}+1)^{7}(x^{2}).\end{aligned}}}$$

ให้เป็นฟังก์ชันที่หาอนุพันธ์ได้และ มีอนุพันธ์ ต่อเนื่องโดยที่เป็นช่วงสมมติว่าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว: ^{[ 3 ]}${\displaystyle g:[a,b]\to I}$${\displaystyle I\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\,dx=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du.}$$

ในสัญกรณ์ของไลบ์นิซ การแทนที่ให้ผลลัพธ์ดังนี้: การทำงานแบบฮิวริสติกกับปริมาณเล็กน้อยให้สมการ ที่ชี้แนะสูตรการแทนที่ข้างต้น (สมการนี้สามารถวางบนพื้นฐานที่เข้มงวดได้โดยการตีความว่าเป็นข้อความเกี่ยวกับรูปแบบเชิงอนุพันธ์ ) เราอาจมองวิธีการอินทิเกรตโดยการแทนที่ว่าเป็นข้อพิสูจน์บางส่วนของสัญกรณ์ของไลบ์นิซสำหรับอินทิกรัลและอนุพันธ์ ${\displaystyle u=g(x)}$$${\displaystyle {\frac {du}{dx}}=g'(x).}$$$${\displaystyle du=g'(x)\,dx,}$$

สูตรนี้ใช้ในการแปลงอินทิกรัลหนึ่งไปเป็นอินทิกรัลอีกอันที่คำนวณได้ง่ายกว่า ดังนั้นจึงสามารถอ่านสูตรได้จากซ้ายไปขวาหรือจากขวาไปซ้ายเพื่อลดรูปอินทิกรัลที่กำหนดให้ เมื่อใช้ในลักษณะแรก บางครั้งเรียกว่าการแทนที่แบบuหรือการแทนที่แบบwซึ่งตัวแปรใหม่ถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันของตัวแปรเดิมที่พบภายใน ฟังก์ชัน ประกอบคูณด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันภายใน ส่วนลักษณะหลังมักใช้ในการแทนที่ตรีโกณมิติโดยแทนที่ตัวแปรเดิมด้วยฟังก์ชันตรีโกณมิติของตัวแปรใหม่ และแทนที่อนุพันธ์ เดิม ด้วยอนุพันธ์ของฟังก์ชันตรีโกณมิติ

การอินทิเกรตโดยการแทนที่สามารถอนุมานได้จากทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัสดังนี้ ให้และเป็นฟังก์ชันสองฟังก์ชันที่สอดคล้องกับสมมติฐานข้างต้นที่ว่าต่อเนื่องบนและหาปริพันธ์ได้บนช่วงปิดดังนั้นฟังก์ชันก็หาปริพันธ์ได้บน เช่นกันดังนั้นปริพันธ์ และ จึงมีอยู่จริง และเหลือเพียงแสดงว่าปริพันธ์ทั้งสองเท่ากัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle f}$${\displaystyle I}$${\displaystyle g'}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle f(g(x))\cdot g'(x)}$${\displaystyle [a,b]}$$${\displaystyle \int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx}$$$${\displaystyle \int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\ du}$$

เนื่องจากเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง จึงมีอนุพันธ์ผกผัน จากนั้นจึงสามารถกำหนด ฟังก์ชันประกอบได้ เนื่องจากสามารถหาอนุพันธ์ได้ การรวมกฎลูกโซ่และนิยามของอนุพันธ์ผกผันจะได้: ${\displaystyle f}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F\circ g}$${\displaystyle g}$$${\displaystyle (F\circ g)'(x)=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x).}$$

การนำทฤษฎีบทพื้นฐานของแคลคูลัส มาใช้ สองครั้งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้: ซึ่งก็คือกฎการแทนที่ $${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{b}f(g(x))\cdot g'(x)\ dx&=\int _{a}^{b}(F\circ g)'(x)\ dx\\&=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&=F(g(b))-F(g(a))\\&=\int _{g(a)}^{g(b)}F'(u)\,du=\int _{g(a)}^{g(b)}f(u)\,du,\end{aligned}}}$$

สามารถใช้วิธีการแทนค่าเพื่อหาอนุพันธ์ผกผันได้ โดยเลือกความสัมพันธ์ระหว่างและหาความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันระหว่างและ โดยการหาอนุพันธ์ แล้วทำการแทนค่า เมื่อหาอนุพันธ์ผกผันของฟังก์ชันที่ถูกแทนค่าได้ แล้ว ก็จะสามารถหาได้ จากนั้นจึงทำการ ยกเลิกการแทนค่าเดิมระหว่างและ${\displaystyle x}$${\displaystyle u,}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle du}$${\displaystyle x}$${\displaystyle u}$

พิจารณาอินทิกรัล: ทำการแทนที่เพื่อให้ได้ความหมายดังนั้น: โดยที่เป็นค่าคงที่ของการอินทิเกรตที่ ไม่เจาะจง$${\displaystyle \int x\cos(x^{2}+1)\ dx.}$$${\textstyle u=x^{2}+1}$${\displaystyle du=2x\ dx,}$${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x^{2}+1)\,dx&={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin u+C\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C,\end{aligned}}}$$${\displaystyle C}$

ฟังก์ชันแทนเจนต์สามารถหาปริพันธ์ได้โดยใช้วิธีการแทนที่ โดยแสดงในรูปของฟังก์ชันไซน์และโคไซน์: . ${\displaystyle \tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}}$

การใช้การแทนที่ให้ผลลัพธ์ดังนี้ และ ${\displaystyle u=\cos x}$${\displaystyle du=-\sin x\,dx}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}}$$

ฟังก์ชันโคแทนเจนต์สามารถหาปริพันธ์ได้ในทำนองเดียวกันโดยแสดงในรูปและใช้การแทนที่: ${\displaystyle \cot x={\tfrac {\cos x}{\sin x}}}$${\displaystyle u=\sin {x},du=\cos {x}\,dx}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int \cot x\,dx&=\int {\frac {\cos x}{\sin x}}\,dx\\&=\int {\frac {du}{u}}\\&=\ln \left|u\right|+C\\&=\ln \left|\sin x\right|+C.\end{aligned}}}$$

เมื่อประเมินอินทิกรัลจำกัดโดยวิธีการแทนที่ เราอาจคำนวณอนุพันธ์ผกผันให้เสร็จสมบูรณ์ก่อน แล้วจึงใช้เงื่อนไขขอบเขต ในกรณีนั้น ไม่จำเป็นต้องแปลงพจน์ขอบเขต หรืออีกวิธีหนึ่ง เราอาจประเมินอินทิกรัลไม่จำกัดให้เสร็จสมบูรณ์ก่อน ( ดูด้านบน ) แล้วจึงใช้เงื่อนไขขอบเขต วิธีนี้จะมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อใช้การแทนที่หลายครั้ง

พิจารณาปริพันธ์: ทำการแทนที่เพื่อให้ได้ความหมายดังนั้น: เนื่องจากขีดจำกัดล่างถูกแทนที่ด้วยและขีดจำกัดบน ถูกแทนที่ ด้วยการแปลงกลับไปเป็นเงื่อนไขของจึงไม่จำเป็น $${\displaystyle \int _{0}^{2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}dx.}$$${\textstyle u=x^{2}+1}$${\displaystyle du=2x\ dx,}$${\textstyle x\ dx={\frac {1}{2}}\ du.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{x=0}^{x=2}{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}\ dx&={\frac {1}{2}}\int _{u=1}^{u=5}{\frac {du}{\sqrt {u}}}\\[6pt]&={\frac {1}{2}}\left(2{\sqrt {5}}-2{\sqrt {1}}\right)\\[6pt]&={\sqrt {5}}-1.\end{aligned}}}$$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle u=1,}$${\displaystyle x=2}$${\displaystyle 2^{2}+1=5,}$${\displaystyle x}$

สำหรับการหาปริพันธ์ จำเป็นต้องใช้วิธีการดัดแปลงจากขั้นตอนข้างต้น การแทนที่ที่บ่งบอกว่ามีประโยชน์เพราะเราจึงได้: $${\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx,}$$${\displaystyle x=\sin u}$${\displaystyle dx=\cos u\,du}$${\textstyle {\sqrt {1-\sin ^{2}u}}=\cos u.}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\ dx&=\int _{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\sin ^{2}u}}\cos u\ du\\[6pt]&=\int _{0}^{\pi /2}\cos ^{2}u\ du\\[6pt]&=\left[{\frac {u}{2}}+{\frac {\sin(2u)}{4}}\right]_{0}^{\pi /2}\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}+0\\[6pt]&={\frac {\pi }{4}}.\end{aligned}}}$$

สามารถคำนวณอินทิกรัลที่ได้โดยใช้การอินทิเกรตโดยส่วนหรือสูตรมุมสองเท่าตามด้วยการแทนค่าอีกครั้งหนึ่ง นอกจากนี้ยังสามารถสังเกตได้ว่าฟังก์ชันที่กำลังอินทิเกรตคือหนึ่งในสี่ส่วนบนขวาของวงกลมที่มีรัศมีหนึ่ง ดังนั้นการอินทิเกรตหนึ่งในสี่ส่วนบนขวาจากศูนย์ถึงหนึ่งจึงเทียบเท่าทางเรขาคณิตกับพื้นที่หนึ่งในสี่ของวงกลมหน่วย หรือ${\textstyle 2\cos ^{2}u=1+\cos(2u),}$${\displaystyle {\tfrac {\pi }{4}}.}$

นอกจากนี้ยังสามารถใช้วิธีการแทนที่เมื่อทำการอินทิเก รต ฟังก์ชันของตัวแปรหลายตัว ได้อีก ด้วย

ในที่นี้ ฟังก์ชันทดแทน( v ₁ ,..., v _n ) = φ ( u ₁ , ..., u _n )ต้องเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและอนุพันธ์ต่อเนื่อง และอนุพันธ์จะแปลงรูปดังนี้: โดยที่det( Dφ )( u ₁ , ..., u _n )หมายถึงดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนของอนุพันธ์ย่อยของφที่จุด( u ₁ , ..., u _n )สูตรนี้แสดงให้เห็นว่าค่าสัมบูรณ์ของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์เท่ากับปริมาตรของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่เกิดจากคอลัมน์หรือแถวของเมทริกซ์นั้น $${\displaystyle dv_{1}\cdots dv_{n}=\left|\det(D\varphi )(u_{1},\ldots ,u_{n})\right|\,du_{1}\cdots du_{n},}$$

กล่าว โดยละเอียด สูตร การเปลี่ยนตัวแปรนั้นระบุไว้ในทฤษฎีบทต่อไปนี้:

เงื่อนไขของทฤษฎีบทสามารถลดทอนได้หลายวิธี ประการแรก ข้อกำหนดที่ว่าφจะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องสามารถแทนที่ด้วยสมมติฐานที่อ่อนกว่าที่ว่าφจะต้องสามารถหาอนุพันธ์ได้และมีฟังก์ชันผกผันที่ต่อเนื่อง^{[ 4 ]}ซึ่งรับประกันว่าจะเป็นจริงหากφสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่องตามทฤษฎีบทฟังก์ชันผกผันหรืออีกทางหนึ่ง ข้อกำหนดที่ว่าdet( Dφ ) ≠ 0สามารถกำจัดได้โดยการใช้ทฤษฎีบทของ Sard ^{[ 5 ]}

สำหรับฟังก์ชันที่วัดได้ของ Lebesgue ทฤษฎีบทสามารถระบุได้ในรูปแบบต่อไปนี้: ^{[ 6 ]}

อีกเวอร์ชันทั่วไปในทฤษฎีการวัดคือดังต่อไปนี้: ^{[ 7 ]}

ในทฤษฎีการวัดทางเรขาคณิตการอินทิเกรตโดยการแทนที่ใช้กับฟังก์ชันลิปชิตซ์ฟังก์ชันไบ-ลิปชิตซ์ คือฟังก์ชันลิปชิตซ์φ  : U → R ⁿที่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง และฟังก์ชันผกผันφ ⁻¹  : φ ( U ) → Uก็เป็นฟังก์ชันลิปชิตซ์เช่นกัน ตามทฤษฎีบทของราเดมาเคอร์ การแมปไบ-ลิปชิตซ์สามารถหาอนุพันธ์ได้เกือบทุกที่ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์จาโคเบียนของการแมปไบ-ลิปชิตซ์det Dφนั้นกำหนดได้ดีเกือบทุกที่ ดังนั้นผลลัพธ์ต่อไปนี้จึงเป็นจริง:

ทฤษฎีบทข้างต้นได้รับการเสนอครั้งแรกโดยออยเลอร์เมื่อเขาพัฒนาแนวคิดของปริพันธ์สองชั้นในปี 1769 แม้ว่าลากรองจ์ จะขยายไปสู่ปริพันธ์สามชั้น ในปี 1773 และเลอจองเดอร์ลาปลาซและเกาส์ นำไปใช้ และ มิคาอิล ออสโตรกราดสกีได้ขยายไปสู่ตัวแปรn เป็นครั้งแรก ในปี 1836 แต่ก็ยังไม่สามารถพิสูจน์ได้อย่างเป็นทางการอย่างเข้มงวดเป็นเวลานานอย่างน่าประหลาดใจ และได้รับการแก้ไขอย่างน่าพอใจเป็นครั้งแรกในอีก 125 ปีต่อมา โดยเอลี คาร์ตันในชุดบทความที่เริ่มต้นในช่วงกลางทศวรรษ 1890 ^{[ 8 ] [ 9 ]}

สามารถใช้วิธีการแทนค่าเพื่อตอบคำถามสำคัญต่อไปนี้ในวิชาความน่าจะเป็นได้: เมื่อกำหนดตัวแปรสุ่มXที่มีฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นpXและตัวแปรสุ่มYโดยที่Y = ϕ ( X )สำหรับฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) _ϕแล้วฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็นของY คืออะไร ?

วิธีที่ง่ายที่สุดในการตอบคำถามนี้คือการตอบคำถามที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยก่อน นั่นคือ ความน่าจะเป็นที่Yจะมีค่าอยู่ในเซตย่อยS ใดๆ คืออะไร ? เราจะใช้สัญลักษณ์P ( Y ∈ S ) แทนความน่าจะเป็นนี้ แน่นอนว่า ถ้าYมีความหนาแน่นความน่าจะเป็น_pYแล้วคำตอบก็คือ: แต่คำตอบนี้ไม่ค่อยมีประโยชน์เท่าไหร่ เพราะเราไม่รู้_{ค่า pY}ซึ่งเป็นสิ่งที่เรากำลังพยายามหา เราสามารถหาคำตอบได้โดยพิจารณาปัญหาในตัวแปรX Yจะมีค่าอยู่ในSเมื่อใดก็ตามที่Xมีค่าอยู่ในเซตย่อย S ดังนั้น: $${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{S}p_{Y}(y)\,dy,}$$${\textstyle \phi ^{-1}(S),}$$${\displaystyle P(Y\in S)=P(X\in \phi ^{-1}(S))=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx.}$$

การเปลี่ยนจากตัวแปรxเป็นyจะได้: เมื่อรวมกับสมการแรกของเราจะได้: ดังนั้น: $${\displaystyle P(Y\in S)=\int _{\phi ^{-1}(S)}p_{X}(x)\,dx=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy.}$$$${\displaystyle \int _{S}p_{Y}(y)\,dy=\int _{S}p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|\,dy,}$$$${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|{\frac {d\phi ^{-1}}{dy}}\right|.}$$

ในกรณีที่XและYขึ้นอยู่กับตัวแปรที่ไม่เกี่ยวข้องกันหลายตัว (เช่นและ) สามารถหาค่าได้โดยการแทนค่าในตัวแปรหลายตัวที่กล่าวถึงข้างต้น ผลลัพธ์คือ: ${\textstyle p_{X}=p_{X}(x_{1},\ldots ,x_{n})}$${\displaystyle y=\phi (x)}$${\displaystyle p_{Y}}$$${\displaystyle p_{Y}(y)=p_{X}(\phi ^{-1}(y))\left|\det D\phi ^{-1}(y)\right|.}$$

• ฟังก์ชันความหนาแน่นความน่าจะเป็น
• การแทนที่ตัวแปร
• การแทนที่ตรีโกณมิติ
• การแทนที่ไวเออร์สตรัส
• การแทนที่ออยเลอร์
• ทฤษฎีบทหลักของกลาสเซอร์
• มาตรการผลักดันไปข้างหน้า

เว็บไซต์ Wikibook Calculusมีหน้าหนึ่งที่กล่าวถึงหัวข้อ: กฎการแทนที่

Wikiversity มีแหล่งข้อมูลการเรียนรู้เกี่ยวกับการบูรณาการโดยการทดแทน

• การอินทิเกรตโดยการแทนที่ในสารานุกรมคณิตศาสตร์
• สูตรพื้นที่ในสารานุกรมคณิตศาสตร์