ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมเรขาคณิตคืออนุกรมที่บวกพจน์ของลำดับเรขาคณิตอนันต์ซึ่งอัตราส่วนของพจน์ที่อยู่ติดกันมีค่าคงที่ ตัวอย่างเช่นอนุกรม${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{8}}+\cdots }$เป็นอนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมซึ่งลู่เข้าสู่ผลรวมของแต่ละพจน์ในอนุกรมเรขาคณิตคือค่าเฉลี่ยเรขาคณิตของพจน์ก่อนหน้าและพจน์ถัดไป ในทำนองเดียวกันกับที่แต่ละพจน์ในอนุกรมเลขคณิตคือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของพจน์ข้างเคียง ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle 1}$

แม้ว่าปริศนาเกี่ยวกับเวลาและการเคลื่อนที่ของซีโน นักคณิตศาสตร์ชาวกรีก (ศตวรรษที่ 5 ก่อนคริสต์ศักราช) จะถูกตีความว่าเกี่ยวข้องกับอนุกรมเรขาคณิต แต่แท้จริงแล้วอนุกรมดังกล่าวได้รับการศึกษาและนำไปประยุกต์ใช้อย่างเป็นทางการในอีกหนึ่งหรือสองศตวรรษต่อมาโดยนักคณิตศาสตร์ชาวกรีกตัวอย่างเช่นอาร์คิมิดีส ใช้ ในการคำนวณพื้นที่ภายในพาราโบลา (ศตวรรษที่ 3 ก่อนคริสต์ศักราช) ปัจจุบัน อนุกรมเรขาคณิตถูกนำมาใช้ในด้านการเงินเชิงคณิตศาสตร์การคำนวณพื้นที่ของแฟรกทัล และหัวข้อต่างๆ ในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์

แม้ว่าอนุกรมเรขาคณิตส่วนใหญ่จะเกี่ยวข้องกับ จำนวน จริงหรือจำนวนเชิงซ้อนแต่ก็ยังมีผลลัพธ์และการประยุกต์ใช้ที่สำคัญสำหรับอนุกรมเรขาคณิตที่มีค่าเป็นเมทริก ซ์ อนุกรมเรขาคณิตที่มีค่า เป็น ฟังก์ชัน อนุกรมเรขาคณิตของ จำนวน adic และโดยทั่วไปแล้วอนุกรมเรขาคณิตขององค์ประกอบของ ฟิลด์พีชคณิตนามธรรมวงแหวนและเซมิริง ${\displaystyle p}$

อนุกรมเรขาคณิตเป็นอนุกรมที่ได้มาจากลำดับประเภทพิเศษที่เรียกว่าลำดับเรขาคณิตลำดับเรขาคณิตคือลำดับที่ได้จากพจน์เริ่มต้น โดยสร้างพจน์ถัดไปโดยการคูณพจน์นั้นด้วยค่าคงที่จากพจน์ก่อนหน้า และดำเนินกระบวนการต่อไปด้วยค่าคงที่เดียวกัน ค่าคงที่ดังกล่าวเรียกว่าอัตราส่วนร่วม^[ก]ให้เป็นพจน์เริ่มต้น และเป็นอัตราส่วนร่วมของลำดับเรขาคณิต สำหรับจำนวนพจน์ที่จำกัด ลำดับเรขาคณิตประกอบด้วยองค์ประกอบจนถึงพจน์ที่ ซึ่งเขียนเป็น การรวมพจน์ทั้งหมดข้างต้นทำให้เกิดอนุกรมเรขาคณิตจำกัดซึ่งแสดงเป็น^{[ 1 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle n}$${\textstyle a,ar,ar^{2},ar^{3},\ldots ,ar^{n}}$$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k}.}$$

เมื่อมักเรียกว่าอัตราการเติบโตหรืออัตราการขยายตัว เมื่อมักเรียกว่าอัตราการลดลงหรืออัตราการหดตัว โดยที่แนวคิดที่ว่ามันคือ "อัตรา" มาจากการตีความว่าเป็นตัวแปรเวลาแบบไม่ต่อเนื่อง เมื่อพื้นที่การใช้งานมีคำศัพท์เฉพาะสำหรับการเติบโต การขยายตัว การหดตัว และการลดลงประเภทต่างๆ คำศัพท์นั้นมักจะถูกนำมาใช้ตั้งชื่อพารามิเตอร์ของอนุกรมเรขาคณิตด้วย ตัวอย่างเช่น ในทางเศรษฐศาสตร์อัตราการเพิ่มขึ้นและลดลงของระดับราคาเรียกว่า อัตรา เงินเฟ้อและ อัตรา เงินฝืดในขณะที่อัตราการเพิ่มขึ้นของมูลค่าการลงทุนรวมถึงอัตราผลตอบแทนและอัตราดอกเบี้ย^{[ 2 ]}${\displaystyle r>1}$${\displaystyle 0<r<1}$${\displaystyle k}$${\displaystyle r}$

สำหรับผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตจำกัดที่เริ่มต้นจากพจน์ที่ 0 จนถึงพจน์ที่ -th จะถูกกำหนดเป็นสูตรดังนี้: ^{[ 1 ]}${\displaystyle r\neq 1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle S_{n}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}.}$$

เมื่อมีพจน์จำนวนอนันต์ในลำดับเรขาคณิต อนุกรมเรขาคณิตจะเป็นดังนี้: ^{[ 3 ]}ผลลัพธ์ของอนุกรมอนันต์อาจเป็นการลู่เข้าหรือลู่ออกการลู่เข้าหมายถึงมีค่าหลังจากบวกพจน์จำนวนอนันต์ ในขณะที่การลู่ออกหมายถึงไม่มีค่าหลังจากบวก การลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิตสามารถอธิบายได้โดยขึ้นอยู่กับค่าของอัตราส่วนร่วม ตัวอย่างเช่นอนุกรมของ Grandiเป็นอนุกรมเรขาคณิตลู่ออกที่สามารถแสดงได้เป็น โดยที่พจน์เริ่มต้นคือและอัตราส่วนร่วมคือเนื่องจากมีค่าที่แตกต่างกันสาม ค่า จำนวน ทศนิยมที่มีรูปแบบซ้ำกันที่ต่อเนื่องไปเรื่อยๆสามารถตีความได้ว่าเป็นอนุกรมเรขาคณิตและแปลงเป็นนิพจน์ของอัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวนได้^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่น เศษส่วนทศนิยมซ้ำสามารถเขียนได้เป็นอนุกรมเรขาคณิตโดยที่พจน์เริ่มต้นคือและอัตราส่วนร่วมคือ $${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots =\sum _{k=0}^{\infty }ar^{k}.}$$${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0.7777\ldots }$$${\displaystyle 0.7777\ldots ={\frac {7}{10}}+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{2}}}\right)+{\frac {7}{10}}\left({\frac {1}{10^{3}}}\right)+\cdots ,}$$${\displaystyle a={\tfrac {7}{10}}}$${\displaystyle r={\tfrac {1}{10}}}$

ในการตรวจสอบการลู่เข้า สามารถดูได้จากขนาดของอัตราส่วนร่วมเพียงอย่างเดียว: ${\displaystyle r}$

• ถ้าเงื่อนไขของอนุกรมเข้าใกล้ศูนย์ (ขนาดจะเล็กลงเรื่อยๆ) และลำดับของผลรวมย่อยจะลู่เข้าสู่ค่าลิมิตของ^{[ 3 ]}${\displaystyle \vert r\vert <1}$${\displaystyle S_{n}}$${\textstyle {\frac {a}{1-r}}}$
• ถ้าพจน์ของอนุกรมจะมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ และผลรวมย่อยของพจน์ก็จะมีขนาดใหญ่ขึ้นเรื่อยๆ ดังนั้นอนุกรมจึงลู่เข้า^{[ 3 ]}${\displaystyle \vert r\vert >1}$
• ถ้าพจน์ของอนุกรมจะไม่เปลี่ยนแปลงขนาดไป และลำดับของผลรวมย่อยของอนุกรมจะไม่ลู่เข้า เมื่อพจน์ทั้งหมดของอนุกรมจะเหมือนกันและเพิ่มขึ้นเป็นอนันต์ เมื่อพจน์จะมีค่าสองค่าสลับกันไป ดังนั้นลำดับของผลรวมย่อยของพจน์จะแกว่งไปมาระหว่างสองค่านี้กับ 0 ตัวอย่างหนึ่งสามารถพบได้ในอนุกรมของแกรนดีเมื่ออัตราส่วนร่วมคือหน่วยจินตนาการและผลรวมย่อยจะหมุนเวียนเป็นระยะๆ ระหว่างจำนวนเชิงซ้อน⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ⁠ ⁠ , ... โดยไม่ลู่เข้าสู่ค่าลิมิตใดๆเมื่ออัตราส่วนร่วมเป็นรากของเอกภาพสำหรับจำนวนตรรกยะในรูปอย่างต่ำที่สุดและด้วยค่าใดๆผลรวมย่อยของอนุกรมจะหมุนเวียนไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุดด้วยคาบเวลา โดยไม่ลู่เข้าสู่ค่าลิมิต^{[ 5 ]}${\displaystyle \vert r\vert =1}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle |S_{n}|}$${\displaystyle r=-1}$${\displaystyle a}$${\displaystyle -a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r=i}$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1+i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1+i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle r=e^{2\pi ip/q}}$${\displaystyle p/q}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle q}$

อัตราการลู่เข้าแสดงให้เห็นว่าลำดับเข้าใกล้ลิมิตอย่างรวดเร็ว ในกรณีของอนุกรมเรขาคณิต—ลำดับที่เกี่ยวข้องคือและลิมิตของมันคือ—อัตราและลำดับจะพบได้ผ่าน โดย ที่แทนลำดับการลู่เข้า การใช้และเลือกลำดับการลู่เข้าจะให้ผลลัพธ์ดังนี้: ^{[ 6 ]} เมื่ออนุกรมลู่เข้า อัตราการลู่เข้าจะช้าลงเมื่อเข้าใกล้[ ^{6 ] รูป}แบบการลู่เข้ายังขึ้นอยู่กับเครื่องหมายหรืออาร์กิวเมนต์เชิงซ้อนของอัตราส่วนร่วมด้วย ถ้าและแล้วพจน์ทั้งหมดจะมีเครื่องหมายเดียวกัน และผลรวมย่อยของพจน์จะเข้าใกล้ลิมิตสุดท้ายอย่างต่อเนื่องถ้าและพจน์ที่อยู่ติดกันในอนุกรมเรขาคณิตจะสลับกันระหว่างค่าบวกและค่าลบ และผลรวมย่อยของพจน์จะแกว่งไปมาเหนือและใต้ลิมิตสุดท้ายสำหรับค่าเชิงซ้อนและอนุกรมจะลู่เข้าในรูปแบบเกลียว ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|S_{n+1}-S\right|}{\left|S_{n}-S\right|^{q}}},}$$${\displaystyle q}$${\textstyle |S_{n}-S|=\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|}$${\displaystyle q=1}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {\left|{\frac {ar^{n+2}}{1-r}}\right|}{\left|{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}\right|^{1}}}=|r|.}$$${\displaystyle |r|}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle |r|<1}$${\displaystyle r<0}$${\displaystyle |r|<1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r}$${\displaystyle |r|<1,}$${\displaystyle S_{n}}$

การลู่เข้าได้รับการพิสูจน์ดังต่อไปนี้ ผลรวมย่อยของพจน์แรกของอนุกรมเรขาคณิต จนถึงและรวมถึงพจน์นั้น จะได้รับจากรูปแบบปิด โดยที่คืออัตราส่วนร่วม กรณีเป็นเพียงการบวกอย่างง่าย ซึ่งเป็นกรณีของอนุกรมเลขคณิตสูตรสำหรับผลรวมย่อยที่มีสามารถหาได้ดังต่อไปนี้: ^{[ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]} สำหรับเมื่อเข้าใกล้ 1 การหารพหุนามหรือกฎของ L'Hôpitalจะคืนค่ากรณี^{[ 10 ]}${\displaystyle n+1}$${\displaystyle r^{n}}$$${\displaystyle S_{n}=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n}=\sum _{k=0}^{n}ar^{k},}$$$${\displaystyle S_{n}={\begin{cases}a(n+1)&r=1\\a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right)&{\text{otherwise}}\end{cases}}}$$${\displaystyle r}$${\displaystyle r=1}$${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle r\neq 1}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&=ar^{0}+ar^{1}+\cdots +ar^{n},\\rS_{n}&=ar^{1}+ar^{2}+\cdots +ar^{n+1},\\S_{n}-rS_{n}&=ar^{0}-ar^{n+1},\\S_{n}\left(1-r\right)&=a\left(1-r^{n+1}\right),\\S_{n}&=a\left({\frac {1-r^{n+1}}{1-r}}\right),\end{aligned}}}$$${\displaystyle r\neq 1}$${\displaystyle r}$${\displaystyle S_{n}=a(n+1)}$

เมื่อเข้าใกล้อนันต์ ค่าสัมบูรณ์ของrจะต้องน้อยกว่าหนึ่งเพื่อให้ลำดับของผลรวมย่อยนี้ลู่เข้าสู่ค่าลิมิต เมื่อเป็นเช่นนั้น อนุกรมจะลู่เข้าสัมบูรณ์อนุกรมอนันต์จึงกลาย เป็น สำหรับ^{[ 7 ]}${\displaystyle n}$$${\displaystyle {\begin{aligned}S&=a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots \\&=\lim _{n\rightarrow \infty }S_{n}\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}\\&={\frac {a}{1-r}}-{\frac {a}{1-r}}\lim _{n\rightarrow \infty }r^{n+1}\\&={\frac {a}{1-r}},\end{aligned}}}$$${\displaystyle |r|<1}$

ผลลัพธ์การลู่เข้านี้ถูกนำไปใช้อย่างกว้างขวางเพื่อพิสูจน์การลู่เข้าของอนุกรมอื่น ๆ เช่นกัน เมื่อใดก็ตามที่พจน์ของอนุกรมเหล่านั้นสามารถถูกจำกัดจากด้านบนโดยอนุกรมเรขาคณิตที่เหมาะสม กลยุทธ์การพิสูจน์นั้นเป็นพื้นฐานสำหรับการทดสอบอัตราส่วนและการทดสอบรากสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์^{[ 11 ]}

เช่นเดียวกับอนุกรมเรขาคณิต  อนุกรมกำลัง  มีพารามิเตอร์หนึ่งตัวสำหรับตัวแปรทั่วไปที่ยกกำลังต่อเนื่องกันซึ่งสอดคล้องกับอนุกรมเรขาคณิต  แต่จะมีพารามิเตอร์เพิ่มเติม  หนึ่งตัวสำหรับแต่ละพจน์ในอนุกรม สำหรับสัมประสิทธิ์ที่แตกต่างกันของแต่ละพจน์  แทนที่จะเป็นเพียงพารามิเตอร์เพิ่มเติมตัวเดียว  สำหรับทุกพจน์ ซึ่ง ^ก็  คือสัมประสิทธิ์ทั่วไปของ   ในแต่ละพจน์ของอนุกรมเรขาคณิต ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตจึงสามารถถือได้ว่าเป็นอนุกรมกำลังประเภทหนึ่งซึ่งลำดับของสัมประสิทธิ์เป็นไปตามเงื่อนไข   สำหรับทุก   และ  ^[ 12 ^]${\displaystyle r}$${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2},\ldots ,}$${\displaystyle x^{0},x^{1},x^{2},\ldots }$${\displaystyle a}$${\displaystyle r^{k}}$${\displaystyle a_{k}=a}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x=r}$

อนุกรมกำลังประเภทพิเศษนี้มีบทบาทสำคัญในคณิตศาสตร์ เช่น ในการศึกษา  ฟังก์ชันก่อกำเนิดทั่วไป  ในคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง และการ  หาผลรวม  ของอนุกรมลู่เข้าในการวิเคราะห์ อนุกรมกำลังอื่นๆ อีกมากมายสามารถเขียนได้ในรูปของการแปลงและการรวมกันของอนุกรมเรขาคณิต ทำให้สูตรอนุกรมเรขาคณิตเป็นเครื่องมือที่สะดวกสำหรับการคำนวณสูตรสำหรับอนุกรมกำลังเหล่านั้นเช่นกัน^{[ 13 ] [ 14 ]}

อนุกรมเรขาคณิตเป็นอนุกรมกำลังที่มีรัศมีของการลู่เข้าเท่ากับ 1 ^{[ 15 ]}ซึ่งอาจมองได้ว่าเป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทโคชี-ฮาดามาร์ดและข้อเท็จจริงที่ว่าสำหรับค่าใดๆหรือเป็นผลสืบเนื่องมาจากการทดสอบอัตราส่วนสำหรับการลู่เข้าของอนุกรมอนันต์ โดยที่ หมายถึงการลู่เข้าเฉพาะสำหรับอย่างไรก็ตาม ทั้งการทดสอบอัตราส่วนและทฤษฎีบทโคชี-ฮาดามาร์ดได้รับการพิสูจน์โดยใช้สูตรอนุกรมเรขาคณิตเป็นผลลัพธ์ก่อนหน้าเชิงตรรกะ ดังนั้นการให้เหตุผลดังกล่าวจึงเป็นการวนซ้ำอย่างแยบยล^{[ 16 ]}$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\sqrt[{n}]{a}}=1}$$${\displaystyle a}$$${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {|ar^{n+1}|}{|ar^{n}|}}=|r|}$$${\displaystyle |r|<1.}$

ดังที่กล่าวมาข้างต้น อนุกรมเรขาคณิตสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในสาขาเศรษฐศาสตร์ได้ ซึ่งนำไปสู่สัดส่วนทั่วไปของอนุกรมเรขาคณิตที่อาจหมายถึงอัตราการเพิ่มขึ้นและลดลงของระดับราคาเรียกว่า อัตรา เงินเฟ้อและ อัตรา เงินฝืดในทางตรงกันข้าม อัตราการเพิ่มขึ้นของมูลค่าการลงทุนได้แก่อัตราผลตอบแทนและอัตราดอกเบี้ยโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ในคณิตศาสตร์การเงินและคณิตศาสตร์ประกันภัยอนุกรมเรขาคณิตยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในการคำนวณมูลค่าของเงินตามเวลาได้ กล่าวคือ เพื่อแสดงมูลค่าปัจจุบันของเงินรายปีถาวรซึ่งเป็นจำนวนเงินที่จะจ่ายทุกปีไปเรื่อยๆ ในอนาคต การคำนวณประเภทนี้ใช้ในการคำนวณอัตราดอกเบี้ยต่อปีของเงินกู้ เช่นเงินกู้จำนองนอกจากนี้ยังสามารถใช้เพื่อประมาณมูลค่าปัจจุบันของเงินปันผลหุ้น ที่คาดว่าจะได้รับ หรือมูลค่าสุดท้ายของสินทรัพย์ทางการเงินโดยสมมติว่าอัตราการเติบโตคงที่ อย่างไรก็ตาม สมมติฐานที่ว่าอัตราดอกเบี้ยคงที่นั้นโดยทั่วไปไม่ถูกต้อง และการชำระเงินไม่น่าจะดำเนินต่อไปตลอดไป เนื่องจากผู้ออกเงินรายปีถาวรอาจสูญเสียความสามารถหรือยุติข้อผูกพันในการชำระเงินอย่างต่อเนื่อง ดังนั้นการประมาณการเช่นนี้จึงเป็นเพียงแนวทางเชิงอนุมานสำหรับการตัดสินใจมากกว่าการคาดการณ์ทางวิทยาศาสตร์เกี่ยวกับมูลค่าปัจจุบันที่แท้จริง^{[ 2 ]}

นอกจากการหาพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลาและเส้นตรงในหนังสือThe Quadrature of the Parabolaของ อา ร์ คิมิดีสแล้ว ^{[ 17 ]}อนุกรมเรขาคณิตยังสามารถนำไปใช้ในการหาพื้นที่ของเกล็ดหิมะ Koch ซึ่งอธิบายว่าเป็นผลรวมของ สามเหลี่ยมด้านเท่าจำนวนอนันต์ (ดูรูป) แต่ละด้านของสามเหลี่ยมสีเขียวมีขนาดเท่ากับด้านของสามเหลี่ยมสีน้ำเงินขนาดใหญ่พอดี ดังนั้นจึงมีพื้นที่เท่ากัน ในทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยมสีเหลืองแต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากับสามเหลี่ยมสีเขียว และอื่นๆ สามเหลี่ยมทั้งหมดเหล่านี้สามารถแสดงในรูปของอนุกรมเรขาคณิตได้ โดยพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีน้ำเงินเป็นพจน์แรก พื้นที่ของสามเหลี่ยมสีเขียวสามรูปเป็นพจน์ที่สอง พื้นที่ของสามเหลี่ยมสีเหลืองสิบสองรูปเป็นพจน์ที่สาม และอื่นๆ ยกเว้น 1 ตัวแรก อนุกรมนี้มีอัตราส่วนร่วมกันและโดยการใช้สามเหลี่ยมสีน้ำเงินเป็นหน่วยพื้นที่ พื้นที่ทั้งหมดของเกล็ดหิมะคือ: ^{[ 18 ]}${\textstyle {\frac {1}{3}}}$${\textstyle {\frac {1}{9}}}$${\textstyle {\frac {1}{9}}}$${\textstyle r={\frac {4}{9}}}$$${\displaystyle 1+3\left({\frac {1}{9}}\right)+12\left({\frac {1}{9}}\right)^{2}+48\left({\frac {1}{9}}\right)^{3}+\cdots =1+{\frac {\frac {1}{3}}{1-{\frac {4}{9}}}}={\frac {8}{5}}.}$$

เมื่อ 2,500 ปีก่อน นักคณิตศาสตร์ชาวกรีกเชื่อว่ารายการจำนวนบวกที่ยาวไม่สิ้นสุดจะต้องรวมกันได้เป็นอนันต์ ดังนั้นซีโนแห่งเอเลีย จึง สร้างปริศนาขึ้นโดยแสดงให้เห็นดังนี้: ในการเดินจากที่หนึ่งไปยังอีกที่หนึ่ง จะต้องเดินครึ่งหนึ่งของระยะทางไปยังจุดหมายก่อน จากนั้นเดินครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เหลือ และเดินครึ่งหนึ่งของระยะทางที่เหลือนั้นไปเรื่อยๆ ครอบคลุมช่วงเวลาจำนวนอนันต์ก่อนที่จะถึงจุดหมาย ในการทำเช่นนั้น เขาได้แบ่งระยะทางคงที่ออกเป็นรายการระยะทางที่เหลือที่ถูกแบ่งครึ่งจำนวนอนันต์ ซึ่งแต่ละรายการมีความยาวมากกว่าศูนย์ ปริศนาของซีโนเปิดเผยให้ชาวกรีกเห็นว่าสมมติฐานของพวกเขาเกี่ยวกับรายการจำนวนบวกที่ยาวไม่สิ้นสุดที่ต้องรวมกันได้เป็นอนันต์นั้นไม่ถูกต้อง^{[ 19 ]}

ภาพประกอบจากตำรา คณิตศาสตร์ของยูคลิด เล่มที่ 9 ข้อเสนอที่ 35

การแบ่งส่วนของเส้นโค้งพาราโบลาออกเป็นรูปสามเหลี่ยมจำนวนอนันต์ตามแนวคิดของอาร์คิมิดีส

หนังสือ Elementsของยูคลิดมีความโดดเด่นในฐานะที่เป็นตำราคณิตศาสตร์ที่เก่าแก่ที่สุดในโลกที่ใช้กันอย่างต่อเนื่อง และมีการสาธิตผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตจำกัดในหนังสือเล่มที่ IX ข้อเสนอที่ 35 ซึ่งแสดงไว้ในรูปภาพที่อยู่ติดกัน^{[ 20 ]}ข้อเสนอดังกล่าวมีข้อความดังต่อไปนี้:

"ถ้ามีจำนวนมากมายใดๆ ก็ตามที่มีสัดส่วนคงที่ และเมื่อนำจำนวนแรกมาลบออกจากจำนวนที่สองและจำนวนสุดท้ายแล้ว ส่วนเกินของจำนวนที่สองต่อจำนวนแรก จะเท่ากับส่วนเกินของจำนวนสุดท้ายต่อจำนวนทั้งหมดที่อยู่ก่อนหน้านั้น"

อาร์คิมิดีสในหนังสือThe Quadrature of the Parabola ของเขา ใช้ผลรวมของอนุกรมเรขาคณิตในการคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลาและเส้นตรง ทฤษฎีบทของอาร์คิมิดีสกล่าวว่าพื้นที่ทั้งหมดใต้พาราโบลาเป็น 1/2 ของพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีน้ำเงิน วิธีการของเขาคือการแบ่งพื้นที่ออกเป็นสามเหลี่ยมจำนวนอนันต์ ดังแสดงในรูปด้านข้าง เขาพบว่าสามเหลี่ยมสีเขียวแต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากับสามเหลี่ยมสีน้ำเงิน สามเหลี่ยมสีเหลืองแต่ละรูปมีพื้นที่เท่ากับสามเหลี่ยมสีเขียว และอื่นๆ สมมติว่าสามเหลี่ยมสีน้ำเงินมีพื้นที่ 1 ดังนั้นพื้นที่ทั้งหมดคือผลรวมของอนุกรมอนันต์ ในที่นี้ พจน์แรกแสดงถึงพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีน้ำเงิน พจน์ที่สองคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีเขียวสองรูป พจน์ที่สามคือพื้นที่ของสามเหลี่ยมสีเหลืองสี่รูป และอื่นๆ การทำให้เศษส่วนง่ายขึ้นจะได้ อนุกรมเรขาคณิตที่มีอัตราส่วนร่วมและผลรวมคือ: ^{[ 17 ]}${\textstyle {\frac {4}{3}}}$${\textstyle {\frac {1}{8}}}$${\textstyle {\frac {1}{8}}}$$${\displaystyle 1+2\left({\frac {1}{8}}\right)+4\left({\frac {1}{8}}\right)^{2}+8\left({\frac {1}{8}}\right)^{3}+\cdots .}$$$${\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{64}}+\cdots ,}$$${\displaystyle r={\tfrac {1}{4}}}$$${\displaystyle {\frac {1}{1-r}}\ ={\frac {1}{1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {4}{3}}.}$$

นอกเหนือจากการพิสูจน์ที่เรียบง่ายและสง่างามของเขาเกี่ยวกับการล divergence ของอนุกรมฮาร์มอนิกแล้ว Nicole Oresme ^{[ 21 ]}ยังพิสูจน์ว่าอนุกรมเลขคณิตเรขาคณิตที่รู้จักกันในชื่อบันไดของ Gabriel ^{[ 22 ]}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {2}{4}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {4}{16}}+{\frac {5}{32}}+{\frac {6}{64}}+{\frac {7}{128}}+\cdots =2.}$$

แม้ว่าอนุกรมเรขาคณิตที่มีพารามิเตอร์เป็นจำนวนจริงและจำนวนเชิงซ้อนจะพบได้บ่อยที่สุด แต่อนุกรมเรขาคณิตที่มีเงื่อนไขทั่วไปมากกว่า เช่นฟังก์ชันเมทริกซ์และจำนวนเชิงพีชคณิตก็มีการประยุกต์ใช้เช่นกัน^{[ 23 ]}การดำเนินการทางคณิตศาสตร์ที่ใช้ในการแสดงอนุกรมเรขาคณิตโดยกำหนดพารามิเตอร์นั้นเป็นเพียงการบวกและการคูณซ้ำๆ ดังนั้นจึงเป็นเรื่องธรรมชาติในบริบทของพีชคณิตสมัยใหม่ที่จะกำหนดอนุกรมเรขาคณิตที่มีพารามิเตอร์จากวงแหวนหรือฟิลด์ ใด ๆ^{[ 24 ]}การขยายความทั่วไปไปสู่อนุกรมเรขาคณิตที่มีพารามิเตอร์จากเซมิริงนั้นค่อนข้างผิดปกติ แต่ก็มีการประยุกต์ใช้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น ในการศึกษาการวนซ้ำจุดคงที่ของฟังก์ชันการแปลงเช่น ในการแปลงออโตมาตาผ่านอนุกรมตรรกยะ^{[ 25 ]}${\displaystyle a}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$

เพื่อวิเคราะห์การลู่เข้าของอนุกรมเรขาคณิตทั่วไปเหล่านี้ นอกเหนือจากการบวกและการคูณแล้ว ยังต้องมีเมตริกวัดระยะทางระหว่างผลรวมย่อยของอนุกรมด้วย ซึ่งอาจนำความละเอียดอ่อนใหม่ๆ เข้ามาในคำถามเกี่ยวกับการลู่เข้า เช่น ความแตกต่างระหว่างการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอและการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดในอนุกรมของฟังก์ชัน และอาจนำไปสู่ความแตกต่างอย่างมากกับสัญชาตญาณจากจำนวนจริง เช่น ในการลู่เข้าของอนุกรมที่มีและไปยังในจำนวน 2-adic โดย ใช้ค่าสัมบูรณ์ 2-adicเป็นเมตริกการลู่เข้า ในกรณีนั้น ค่าสัมบูรณ์ 2-adic ของสัมประสิทธิ์ร่วมคือและในขณะที่สิ่งนี้ขัดกับสัญชาตญาณจากมุมมองของค่าสัมบูรณ์ของจำนวนจริง (ซึ่งโดยธรรมชาติ) แต่ก็ยังได้รับการพิสูจน์อย่างดีในบริบทของการวิเคราะห์ p- adic ^{[ 23 ]}${\displaystyle 1+2+4+8+\cdots }$${\displaystyle a=1}$${\displaystyle r=2}$$${\displaystyle {\frac {a}{1-r}}=-1}$$${\displaystyle |r|_{2}=|2|_{2}={\tfrac {1}{2}}}$${\displaystyle |2|=2,}$

เมื่อการคูณพารามิเตอร์ไม่เป็นไปตามกฎการสลับที่ซึ่งมักไม่เป็นเช่นนั้นสำหรับเมทริกซ์หรือตัวดำเนินการทางฟิสิกส์ ทั่วไป โดยเฉพาะอย่างยิ่งในกลศาสตร์ควอนตัมวิธีมาตรฐานในการเขียนอนุกรมเรขาคณิตคือ

$${\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+\cdots ,}$$

การคูณจากทางขวา อาจจำเป็นต้องแยกแยะออกจากทางเลือกอื่น

$${\displaystyle a+ra+r^{2}a+r^{3}a+\cdots ,}$$

การคูณจากทางซ้าย และสมมาตรด้วย

$${\displaystyle a+r^{\frac {1}{2}}ar^{\frac {1}{2}}+rar+r^{\frac {3}{2}}ar^{\frac {3}{2}}+\cdots ,}$$

คูณครึ่งในแต่ละด้าน ตัวเลือกเหล่านี้อาจสอดคล้องกับทางเลือกที่สำคัญซึ่งมีจุดแข็งและจุดอ่อนที่แตกต่างกันในการใช้งาน เช่น ในกรณีของการเรียงลำดับการรบกวนซึ่งกันและกันของการเคลื่อนที่และการแพร่กระจายที่แตกต่างกันในระดับเวลาที่เล็กมากในการอินทิเกรตแบบ Itoและการอินทิเกรตแบบ Stratonovitchในแคลคูลัสเชิงสุ่ม

• "ลำดับเรขาคณิต" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "อนุกรมเรขาคณิต" . MathWorld .
• อนุกรมเรขาคณิตที่PlanetMath
• เปปปาร์ด, คิม. "คู่มือพีชคณิตระดับวิทยาลัยเกี่ยวกับลำดับและอนุกรมเรขาคณิต"มหาวิทยาลัยเวสต์เท็กซัสเอแอนด์เอ็ม
• แคสเซลแมน, บิล. "การตีความเชิงเรขาคณิตของอนุกรมเรขาคณิต" . เก็บถาวรจากต้นฉบับ(แอปเพล็ต)เมื่อ 29 กันยายน 2550
• "อนุกรมเรขาคณิต"โดย ไมเคิล ชไรเบอร์, โครงการสาธิตของวูล์ฟแรม , ปี 2007