หน่วยจินตภาพ^ซึ่งโดยทั่วไปใช้สัญลักษณ์iคือค่าคงที่ทางคณิตศาสตร์ที่เป็นคำตอบของสมการกำลังสองx² = −1ซึ่งไม่มีจำนวนจริง ใดหาคำตอบได้ จำนวนจริงใดๆ ที่ เป็น ผลคูณของหน่วยจินตภาพเรียกว่าจำนวนจินตภาพ

โดยการรวมจำนวนจริงกับหน่วยจินตนาการโดยใช้การบวกและการคูณ จะได้ ระบบจำนวนใหม่ที่เรียกว่าจำนวนเชิงซ้อนซึ่งประกอบด้วยจำนวนทั้งหมดที่มีรูปแบบa + bi โดย ที่ aและbเป็นจำนวนจริง

−1 มีรากที่ สองเชิงซ้อนสองค่า ได้แก่ หน่วยจินตนาการiและตัวผกผันการบวกของ หน่วยจินตนาการ i โดยทั่วไปแล้ว จำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทุกจำนวนจะมีรากที่สองเชิงซ้อนที่แตกต่างกันสอง ค่าซึ่งเป็นตัวผกผันการบวกซึ่งกันและกัน ในขณะที่ศูนย์ จะมีเพียงศูนย์เป็น ราก ที่สอง ( สองเท่า ) เท่านั้น

ในอดีต หน่วยจินตนาการจะใช้สัญลักษณ์⁠ ⁠${\displaystyle {\sqrt {-1}}}$ แทน แต่ปัจจุบันไม่ค่อยพบแล้ว ในบริบทที่การใช้ตัวอักษรiคลุมเครือหรือมีปัญหา บางครั้งจะใช้ตัวอักษรjแทน ตัวอย่างเช่น ในวิศวกรรมไฟฟ้าหน่วยจินตนาการมักจะใช้สัญลักษณ์jแทนiเพราะiมักใช้แทนกระแสไฟฟ้า^{[ 1 ]}

รากที่สองของจำนวนลบเรียกว่าจำนวนจินตนาการเพราะในคณิตศาสตร์ยุคต้นสมัยใหม่มีเพียงจำนวนจริงที่ปัจจุบันเรียกว่าจำนวนจริงซึ่งได้มาจากการวัดทางกายภาพหรือการคำนวณทางคณิตศาสตร์พื้นฐานเท่านั้นที่ถือว่าเป็นจำนวนแม้แต่จำนวนลบก็ยังถูกมองด้วยความสงสัย ดังนั้นรากที่สองของจำนวนลบจึงถือว่าไม่มีนิยามหรือไม่มีความหมายมาก่อน ชื่อ "จำนวนจินตนาการ" โดยทั่วไปแล้วเชื่อกันว่าเป็นผลงานของเรเน่ เดส์การ์ตและไอแซค นิวตันใช้คำนี้ตั้งแต่ปี ค.ศ. 1670 ^{[ 2 ] [ 3 ]}สัญลักษณ์iถูกนำมาใช้โดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์^{[ 4 ]}

พลังของi นั้น เป็นวัฏจักร:
${\displaystyle \ \vdots }$
${\displaystyle \ i^{-4}={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ i^{-3}={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ i^{-2}=-1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ i^{-1}=-i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{0}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{1}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{2}\ =-1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{3}\ =-i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{4}\ ={\phantom {-}}1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{5}\ ={\phantom {-}}i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \ i^{6}\ =-1{\phantom {i}}}$
${\displaystyle \ \ i^{7}\ =-i{\phantom {1}}}$
${\displaystyle \ \vdots }$

หน่วยจินตภาพiถูกกำหนดขึ้นโดยคุณสมบัติเพียงอย่างเดียวคือ กำลังสองของมันเท่ากับ −1: $${\displaystyle i^{2}=-1.}$$

เมื่อ กำหนด i ในลักษณะนี้แล้ว จาก พีชคณิตจึงสรุปได้ว่าiและ−i ต่าง ก็เป็นรากที่สองของ −1

แม้ว่าโครงสร้างนี้จะเรียกว่าจำนวนจินตนาการและแม้ว่าแนวคิดของจำนวนจินตนาการอาจเข้าใจยากกว่าจำนวนจริง แต่โครงสร้างนี้ก็ถูกต้องตามหลักคณิตศาสตร์ การดำเนินการกับจำนวนจริงสามารถขยายไปสู่จำนวนจินตนาการและจำนวนเชิงซ้อนได้ โดยการถือว่าiเป็นปริมาณที่ไม่ทราบค่าในขณะที่ทำการเปลี่ยนแปลงนิพจน์ (และใช้คำนิยามเพื่อแทนที่i²ด้วย-1 ) กำลังจำนวนเต็มที่สูงขึ้นของiจึงเป็น และอื่นๆ ไปเรื่อยๆ โดยวนไปตามค่าทั้งสี่^คือ 1 , i , -1และ-i เช่นเดียวกับจำนวนจริง ที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆi₀ = ¹$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}i^{3}&=i^{2}i&&=(-1)i&&=-i,\\[3mu]i^{4}&=i^{3}i&&=\;\!(-i)i&&=\ \,1,\\[3mu]i^{5}&=i^{4}i&&=\ \,(1)i&&=\ \ i,\end{alignedat}}}$$

ในฐานะจำนวนเชิงซ้อนiสามารถแสดงในรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า ได้ เป็น0 + 1 iโดยมีส่วนจริงเป็นศูนย์และส่วนจินตนาการเป็นหนึ่ง ในรูปเชิงขั้วiสามารถแสดงได้เป็น1 × e ^{πi /2} (หรือเพียงแค่e ^{πi /2} ) โดยมีค่าสัมบูรณ์ (หรือขนาด) เท่ากับ 1 และมุม (หรือองศา) เป็นเรเดียน (การเพิ่มจำนวนเต็มใดๆ ที่เป็นผลคูณของ2 πเข้ากับมุมนี้ก็ใช้ได้เช่นกัน) ในระนาบเชิงซ้อนซึ่งเป็นการตีความพิเศษของ ระนาบ คาร์ทีเซียนiคือจุดที่อยู่ห่างจากจุดกำเนิดหนึ่งหน่วยตามแกนจินตนาการ (ซึ่งตั้งฉากกับแกนจริง ) ${\displaystyle {\tfrac {\pi }{2}}}$

เนื่องจาก^x² = −1 เป็น พหุนามกำลัง สอง ที่ไม่มีรากซ้ำ สมการนิยามx² = −1 จึงมี คำตอบที่แตกต่างกัน สองคำตอบ ซึ่งถูกต้องเท่าเทียมกันและเป็นตัวผกผันการบวกและการคูณของกันและกัน แม้ว่าคำตอบทั้งสองจะเป็นจำนวนที่แตกต่างกัน แต่คุณสมบัติของมันไม่สามารถแยกแยะได้ ไม่มีคุณสมบัติใดที่คำตอบหนึ่งมีแต่คำตอบอื่นไม่มี คำตอบหนึ่งในสองคำตอบนี้ถูกกำหนดให้เป็น+ i (หรือเรียกง่ายๆ ว่าi ) และอีก คำตอบหนึ่งถูกกำหนดให้เป็น−iแม้ว่าจะมีความกำกวมโดยเนื้อแท้ว่าคำตอบใดเป็นคำตอบใด

ความแตกต่างเพียงอย่างเดียวระหว่าง+ iและ− iเกิดจากการกำหนดป้ายกำกับนี้ ตัวอย่างเช่น ตามธรรมเนียมแล้ว+ iจะมีอาร์กิวเมนต์เป็นและ− iจะมีอาร์กิวเมนต์เป็น ซึ่งเกี่ยวข้องกับธรรมเนียมการกำหนดป้ายกำกับทิศทางในระนาบคาร์ทีเซียนโดยสัมพันธ์กับแกนxบวก โดยมุมบวกจะหมุนทวนเข็มนาฬิกาในทิศทางของแกนyบวก นอกจากนี้ แม้จะมีเครื่องหมายเขียนกำกับไว้ แต่ทั้ง+ iและ− i ก็ไม่ ได้เป็นบวกหรือลบโดยเนื้อแท้ในความหมายเดียวกับจำนวนจริง^{[ 5 ]}${\displaystyle +{\tfrac {\pi }{2}}}$${\displaystyle -{\tfrac {\pi }{2}},}$

การแสดงออก อย่างเป็นทางการมากขึ้นของความไม่สามารถแยกแยะได้ระหว่าง+ iและ−iคือ แม้ว่าฟิลด์ เชิงซ้อน จะมีเอกลักษณ์ (ในฐานะส่วนขยายของจำนวนจริง) จนถึงไอโซมอร์ฟิซึมแต่ก็ไม่มีเอกลักษณ์จนถึง ไอโซมอร์ฟิซึมที่มีเอกลักษณ์ เฉพาะตัวนั่นคือ มีออโตมอร์ฟิซึมของฟิลด์จำนวนเชิงซ้อน สองตัว ที่ทำให้จำนวนจริงแต่ละตัวคงที่ ได้แก่ เอกลักษณ์และการสังยุคเชิงซ้อนสำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับปรากฏการณ์ทั่วไปนี้ โปรดดูที่กลุ่มกาลัว ${\displaystyle \mathbb {C} }$

โดยใช้แนวคิดของเมทริกซ์ และการคูณเมทริกซ์จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ในพีชคณิตเชิงเส้น หน่วยจริงiและหน่วยจินตนาการiสามารถแทนด้วยเมทริกซ์คู่ใดๆIและJที่สอดคล้องกับ^I² = I , IJ = JI = J และ J² = −I จากนั้นจำนวนเชิงซ้อน a + bi สามารถแทนด้วยเมทริกซ์aI + bJและกฎทั่วไปทั้งหมดของเลขคณิตเชิงซ้อนสามารถอนุมานได้จากกฎของเลขคณิตเมทริก ^ซ์

ตัวเลือกที่นิยมใช้มากที่สุดคือการแทนค่า1และiด้วยเมทริกซ์เอกลักษณ์2 × 2 Iและเมทริกซ์ J

$${\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\quad J={\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}}.}$$

ดังนั้น จำนวนเชิงซ้อนใดๆa + biสามารถแทนได้ด้วยวิธีดังต่อไปนี้:

$${\displaystyle aI+bJ={\begin{pmatrix}a&-b\\b&a\end{pmatrix}}.}$$

โดยทั่วไปแล้ว เมทริกซ์2 × 2ที่มีค่าเป็นจำนวนจริงใดๆ ที่มี ค่าร่องรอย ( trace ) เป็นศูนย์และค่ากำหนด (determinant)เป็นหนึ่ง จะได้ค่ากำลังสองเท่ากับ− Iดังนั้นจึงสามารถเลือกใช้เป็นJได้ เมทริกซ์ขนาดใหญ่กว่าก็สามารถนำมาใช้ได้เช่นกัน ตัวอย่างเช่น1สามารถแทนด้วย เมทริกซ์เอกลักษณ์ 4 × 4และiสามารถแทนด้วยเมทริกซ์ Dirac ใดๆ สำหรับมิติเชิงพื้นที่ได้

พหุนาม (ผลรวมถ่วงน้ำหนักของกำลังของตัวแปร) เป็นเครื่องมือพื้นฐานในพีชคณิต พหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงจะก่อตัวเป็นริงซึ่งเป็นโครงสร้างทางพีชคณิตที่มีการบวกและการคูณ และมีคุณสมบัติหลายอย่างร่วมกับริงของ จำนวนเต็ม${\displaystyle \mathbb {R} [x],}$

พหุนามนี้ไม่มีรากที่ เป็นจำนวนจริง แต่เซตของพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงทั้งหมดที่หารด้วย ลงตัวนั้นก่อให้เกิดไอเดียลและดังนั้นจึงมีวงแหวนผลหารวงแหวนผลหารนี้สมisomorphicกับจำนวนเชิงซ้อน และตัวแปร แทนหน่วยจินตนาการ ${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle x^{2}+1}$${\displaystyle \mathbb {R} [x]/\langle x^{2}+1\rangle .}$${\displaystyle x}$

จำนวนเชิงซ้อนสามารถแสดงได้ด้วยกราฟ โดยลากเส้นจำนวน จริง เป็นแกนแนวนอน และจำนวนจินตภาพเป็นแกนแนวตั้งของระนาบพิกัดคาร์ทีเซียนที่เรียกว่าระนาบเชิงซ้อนในการแสดงแบบนี้ ตัวเลข1และiอยู่ห่างจาก0 เป็นระยะทางเท่ากัน โดยมีมุมฉากระหว่างกัน การบวกด้วยจำนวนเชิงซ้อนจะสอดคล้องกับการเลื่อนในระนาบ ในขณะที่การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนที่มีขนาดเท่ากับหนึ่งจะสอดคล้องกับการหมุนรอบจุดกำเนิด การแปลง ความคล้ายคลึงกัน ทุก รูปแบบของระนาบสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันเชิงเส้นเชิงซ้อน${\displaystyle z\mapsto az+b}$

ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตของระนาบยุคลิดผลคูณเชิงเรขาคณิตหรือผลหารของเวกเตอร์ สองตัวใดๆ จะเป็นผลรวมของส่วนที่เป็นสเกลาร์ (จำนวนจริง) และ ส่วนที่ เป็นไบเวกเตอร์ (สเกลาร์คือปริมาณที่ไม่มีทิศทาง เวกเตอร์คือปริมาณที่มีทิศทางเหมือนเส้นตรง และไบเวกเตอร์คือปริมาณที่มีทิศทางเหมือนระนาบ) กำลังสองของเวกเตอร์ใดๆ จะเป็นสเกลาร์บวก ซึ่งแสดงถึงความยาวของเวกเตอร์นั้นยกกำลังสอง ในขณะที่กำลังสองของไบเวกเตอร์ใดๆ จะเป็นสเกลาร์ลบ

ผลหารของเวกเตอร์กับตัวมันเองคือสเกลาร์1 = u / uและเมื่อคูณด้วยเวกเตอร์ใดๆ ก็ตามจะไม่เปลี่ยนแปลง ( การแปลงเอกลักษณ์ ) ผลหารของเวกเตอร์ตั้งฉากสองตัวใดๆ ที่มีขนาดเท่ากันJ = u / vซึ่งเมื่อคูณกันจะหมุนตัวหารไปหนึ่งในสี่รอบในตัวตั้งหารJv = uคือไบเวกเตอร์หน่วยซึ่งยกกำลังสองได้−1และสามารถใช้เป็นตัวแทนของหน่วยจินตนาการได้ ผลรวมของสเกลาร์และไบเวกเตอร์ใดๆ สามารถคูณด้วยเวกเตอร์เพื่อปรับขนาดและหมุนได้ และพีชคณิตของผลรวมดังกล่าวเป็น ไอโซมอร์ ฟิกกับพีชคณิตของจำนวนเชิงซ้อน ในการตีความนี้ จุด เวกเตอร์ และผลรวมของสเกลาร์และไบเวกเตอร์ ล้วนเป็นวัตถุทางเรขาคณิตประเภทที่แตกต่างกัน^{[ 6 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ในพีชคณิตเชิงเรขาคณิตของปริภูมิยูคลิด มิติสูงใดๆ เวกเตอร์คู่หน่วยที่มีทิศทางการวางตัวในระนาบใดๆ เมื่อยกกำลังสองจะได้−1ดังนั้นจึงสามารถใช้แทนหน่วยจินตนาการiได้

หน่วยจินตนาการถูกเขียนไว้ในประวัติศาสตร์และยังคงใช้ในงานสมัยใหม่บางงาน อย่างไรก็ตาม ต้องใช้ความระมัดระวังอย่างมากเมื่อทำการจัดการสูตรที่เกี่ยวข้องกับรากการใช้สัญลักษณ์รากสงวนไว้สำหรับรากที่สองหลัก (บวก) ของจำนวนจริงบวกหรือสำหรับรากที่สองหลักของจำนวนเชิงซ้อน การพยายามใช้กฎการคำนวณของรากที่สองของจำนวนจริงบวกเพื่อจัดการกับรากที่สองของจำนวนเชิงซ้อนอาจทำให้เกิดผลลัพธ์ที่ผิดพลาดได้^{[ 7 ]}${\textstyle {\sqrt {-1}},}$${\textstyle {\sqrt {x}}}$$${\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}\mathrel {\stackrel {\mathrm {fallacy} }{=}} {\textstyle {\sqrt {(-1)\cdot (-1)}}}={\sqrt {1}}=1\qquad {\text{(ไม่ถูกต้อง).}}}$$

โดยทั่วไป กฎการคำนวณ และ รับประกันว่าจะใช้ได้เฉพาะเมื่อxและyเป็นจำนวนจริงบวกทั้งคู่^{[ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}\cdot \!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x\cdot y{\vphantom {ty}}}}}$${\textstyle {\sqrt {x{\vphantom {ty}}}}{\big /}\!{\sqrt {y{\vphantom {ty}}}}={\sqrt {x/y}}}$

เมื่อxหรือyเป็นจำนวนจริงแต่เป็นลบ ปัญหาเหล่านี้สามารถหลีกเลี่ยงได้โดยการเขียนและจัดการนิพจน์เช่นแทนที่จะใช้สำหรับการอธิบายอย่างละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูบทความรากที่สองและจุดแยกสาขา ${\textstyle i{\sqrt {7}}}$${\textstyle {\sqrt {-7}}}$

เนื่องจากเป็นจำนวนเชิงซ้อน หน่วยจินตภาพจึงปฏิบัติตามกฎทั้งหมดของเลขคณิต เชิงซ้อน

เมื่อนำหน่วยจินตนาการมาบวกหรือลบซ้ำๆ ผลลัพธ์ที่ได้จะเป็นจำนวนเต็มคูณกับหน่วยจินตนาการ ซึ่งก็คือจำนวนเต็มจินตนาการและสามารถนำจำนวนใดๆ ก็ได้มาบวกกัน ผลลัพธ์ที่ได้ก็จะเป็นจำนวนเต็มจินตนาการเช่นกัน

$${\displaystyle ai+bi=(a+b)i.}$$

ดังนั้น หน่วยจินตนาการจึงเป็นตัวสร้างของกลุ่มภายใต้การบวก โดยเฉพาะอย่างยิ่งกลุ่มวัฏจักรอนันต์

หน่วยจินตภาพสามารถคูณด้วยจำนวนจริง ใดๆ ก็ได้ เพื่อสร้างจำนวนจินตภาพจำนวนเหล่านี้สามารถแสดงบนเส้นจำนวนแกนจินตภาพซึ่งเป็นส่วนหนึ่งของระนาบเชิงซ้อน โดยทั่วไปจะวาดในแนวตั้ง ตั้งฉากกับแกนจริงซึ่งวาดในแนวนอน

ผลรวมจำนวนเต็มของหน่วยจริง1และหน่วยจินตนาการiก่อให้เกิดโครงข่ายสี่เหลี่ยมจัตุรัสในระนาบเชิงซ้อน เรียกว่าจำนวนเต็มเกาส์เซียนผลรวม ผลต่าง หรือผลคูณของจำนวนเต็มเกาส์เซียน ก็เป็นจำนวนเต็มเกาส์เซียนเช่นกัน

$${\displaystyle {\begin{aligned}(a+bi)+(c+di)&=(a+c)+(b+d)i,\\[5mu](a+bi)(c+di)&=(ac-bd)+(ad+bc)i.\end{aligned}}}$$

เมื่อคูณด้วยหน่วยจินตภาพiจำนวนเชิงซ้อนใดๆ ในระนาบเชิงซ้อนจะถูกหมุนไปหนึ่งในสี่รอบ( เรเดียน${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi }$หรือ90° ) ทวนเข็มนาฬิกาเมื่อคูณด้วย−iจำนวนเชิงซ้อนใดๆ จะถูกหมุนไปหนึ่งในสี่รอบตามเข็มนาฬิกา ในรูปแบบเชิงขั้ว:

$${\displaystyle i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi +\pi /2)i},\quad -i\,re^{\varphi i}=re^{(\varphi -\pi /2)i}.}$$

ในรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า

$${\displaystyle i(a+bi)=-b+ai,\quad -i(a+bi)=b-ai.}$$

เลขยกกำลังของiจะซ้ำกันเป็นวัฏจักร ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยรูปแบบต่อไปนี้ โดยที่nเป็นจำนวนเต็มใดๆ:

$${\displaystyle i^{4n}=1,\quad i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i.}$$

ดังนั้น ภายใต้การคูณiจึงเป็นตัวสร้างของกลุ่มวัฏจักรอันดับ 4 ซึ่งเป็นกลุ่มย่อยแบบไม่ต่อเนื่องของกลุ่มวงกลม ต่อเนื่อง ของจำนวนเชิงซ้อนหน่วยภายใต้การคูณ

เขียนขึ้นเป็นกรณีพิเศษของสูตรของออยเลอร์สำหรับ จำนวนเต็มn

$${\displaystyle i^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\pi i{\bigr )}^{n}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi i{\bigr )}={\cos }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}+{i\sin }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}n\pi {\bigr )}.}$$

ด้วยการเลือกขอบเขตการตัดและค่าหลัก อย่างระมัดระวัง สมการสุดท้ายนี้ยังสามารถนำไปใช้กับค่าเชิงซ้อนใดๆ ของnได้ รวมถึงกรณีเช่นn = iด้วย

เช่นเดียวกับจำนวนเชิงซ้อนที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมดมีรากที่ สองที่แตกต่างกันสองค่า ซึ่งเป็นตัวผกผันการบวกในรูปแบบเชิงขั้ว รากที่สองเหล่านั้นคือ ${\textstyle i=e^{\pi i/2}}$$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\pi i}{\bigr )}^{1/2}&&{}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}\pi i{\bigr )},\\-{\sqrt {i}}&={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}{\pi i}-\pi i{\bigr )}&&{}={\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {3}{4}}\pi i}{\bigr )}.\end{alignedat}}}$$

ในรูปทรงสี่เหลี่ยมผืนผ้า พวกมันคือ^{[ a ]}

$${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\sqrt {i}}&={\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}={\phantom {-}}{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}+{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i,\\[5mu]-{\sqrt {i}}&=-{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}&&{}=-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}i.\end{alignedat}}}$$

การยกกำลังสองของนิพจน์ใดนิพจน์หนึ่งจะได้ผลลัพธ์ดังนี้ $${\displaystyle \left(\pm {\frac {1+i}{\sqrt {2}}}\right)^{2}={\frac {1+2i-1}{2}}={\frac {2i}{2}}=i.}$$

รากที่สามสาม ตัว ของiคือ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle {\sqrt[{3}]{i}}={\exp }{\bigl (}{\tfrac {1}{6}}\pi i{\bigr )}={\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{\tfrac {5}{6}}\pi i{\bigr )}=-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}+{\tfrac {1}{2}}i,\quad {\exp }{\bigl (}{-{\tfrac {1}{2}}\pi i}{\bigr )}=-i.}$$

สำหรับจำนวนเต็มบวกทั่วไปnรากที่nของiคือ สำหรับk = 0, 1, ..., n − 1 ค่าที่เกี่ยวข้องกับk = 0คือ รากที่ n หลักของiเซตของรากเท่ากับเซตของรากเอกภาพ ที่หมุนด้วยรากที่ nหลักของiเหล่านี้คือจุดยอดของรูปหลายเหลี่ยมปกติที่ อยู่ภายในวงกลมหน่วย เชิงซ้อน$${\displaystyle \exp \left(2\pi i{\frac {k+{\frac {1}{4}}}{n}}\right)=\cos \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right)+i\sin \left({\frac {4k+1}{2n}}\pi \right).}$$

ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนเชื่อมโยงการบวกเชิงซ้อนในโดเมนกับการคูณเชิงซ้อนในโคโดเมน ค่าจริงในโดเมนแสดงถึงการปรับขนาดในโคโดเมน (การคูณด้วยสเกลาร์จริง) โดย1แทนการคูณด้วยeในขณะที่ค่าจินตภาพในโดเมนแสดงถึงการหมุนในโคโดเมน (การคูณด้วยจำนวนเชิงซ้อนหน่วย) โดยiแทนการหมุน1เรเดียน ดังนั้น ฟังก์ชันเลขชี้กำลังเชิงซ้อนจึงเป็นฟังก์ชันคาบในทิศทางจินตภาพ โดยมีคาบ2πiและภาพ1ที่จุด2kπiสำหรับจำนวนเต็มk ทั้งหมด ซึ่ง เป็นผลคูณจริงของแลตทิซของจำนวนเต็มจินตภาพ

เลขชี้กำลังเชิงซ้อนสามารถแยกออกเป็นส่วนประกอบคู่และคี่ ได้แก่ ฟังก์ชันไฮเปอร์โบลิกcoshและsinhหรือฟังก์ชันตรีโกโนเมตริกcosและsin :

$${\displaystyle \exp z=\cosh z+\sinh z=\cos(-iz)+i\sin(-iz)}$$

สูตรของออยเลอร์แยกส่วนเลขชี้กำลังของจำนวนจินตนาการที่แสดงถึงการหมุน:

$${\displaystyle \exp i\varphi =\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

ข้อเท็จจริงนี้สามารถนำมาใช้เพื่อแสดงให้เห็นผลลัพธ์ที่ดูเหมือนจะขัดกับสามัญสำนึกว่าเป็นจำนวนจริง^{[ 13 ]}${\displaystyle i^{i}}$

ผลหารcoth z = cosh z / sinh zด้วยการปรับขนาดที่เหมาะสม สามารถแสดงเป็นการแยกส่วนเศษส่วนย่อยอนันต์เป็นผลรวมของฟังก์ชันผกผันที่แปลโดยจำนวนเต็มจินตนาการ: ^{[ 14 ]}$${\displaystyle \pi \coth \pi z=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=-n}^{n}{\frac {1}{z+ki}}.}$$

ฟังก์ชันอื่นๆ ที่อิงตามเลขชี้กำลังเชิงซ้อนนั้นสามารถนิยามได้อย่างดีด้วยอินพุตที่เป็นจำนวนจินตนาการ ตัวอย่างเช่น จำนวนที่ยก กำลัง niคือ: $${\displaystyle x^{ni}=\cos(n\ln x)+i\sin(n\ln x).}$$

เนื่องจากฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลเป็นคาบฟังก์ชันผกผัน ของมันซึ่ง ก็คือ ลอการิทึมเชิงซ้อน จึงเป็นฟังก์ชันหลายค่าโดยแต่ละจำนวนเชิงซ้อนในโดเมนจะสอดคล้องกับค่าหลายค่าในโคโดเมน ซึ่งแยกจากกันด้วยจำนวนเต็มคูณของ2πiวิธีหนึ่งในการหาฟังก์ชันค่าเดียวคือการพิจารณาโคโดเมนเป็นทรงกระบอกโดยค่าเชิงซ้อนที่แยกจากกันด้วยจำนวนเต็มคูณของ2πiจะถูกพิจารณาว่าเป็นค่าเดียวกัน อีกวิธีหนึ่งคือการพิจารณาโดเมนเป็นพื้นผิวรีมันน์ซึ่งประกอบด้วยระนาบเชิงซ้อนหลายสำเนาที่ต่อกันตามแกนจริงลบเป็นการตัดสาขาโดยแต่ละสาขาในโดเมนจะสอดคล้องกับแถบอนันต์หนึ่งในโคโดเมน^{[ 15 ]}ดังนั้นฟังก์ชันที่ขึ้นอยู่กับลอการิทึมเชิงซ้อนจึงขึ้นอยู่กับการเลือกสาขาอย่างระมัดระวังเพื่อกำหนดและประเมินอย่างชัดเจน

ตัวอย่างเช่น หากเลือกสาขาใดสาขาหนึ่งซึ่งเมื่อxเป็นจำนวนจริงบวก ${\displaystyle \ln i={\tfrac {1}{2}}\pi i}$$${\displaystyle \log _{i}x=-{\frac {2i\ln x}{\pi }}.}$$

แฟกทอเรียลของหน่วยจินตนาการiมักจะกำหนดในรูปของฟังก์ชันแกมมาที่ประเมินที่1 + i : ^{[ 16 ]}

$${\displaystyle i!=\Gamma (1+i)=i\Gamma (i)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}\cos(\ln t)\,dt+i\int _{0}^{\infty }e^{-t}\sin(\ln t)\,dt\approx 0.4980-0.1549\,i.}$$

ขนาดและอาร์กิวเมนต์ของจำนวนนี้คือ: ^{[ 17 ]}

$${\displaystyle |\Gamma (1+i)|={\sqrt {\frac {\pi }{\sinh \pi }}}\approx 0.5216,\quad \arg {\Gamma (1+i)}\approx -0.3016.}$$

• หน่วยไฮเปอร์โบลิก
• เวอร์เซอร์ขวาในควอเทอร์เนียน

• Nahin, Paul J. (1998). นิทานในจินตนาการ: เรื่องราวของi [รากที่สองของลบหนึ่ง] . ชิเชสเตอร์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยพรินซ์ตัน. ISBN 0-691-02795-1– ผ่านทาง Archive.org

• ออยเลอร์, เลออนฮาร์ด . "รากจินตภาพของพหุนาม" . เก็บถาวรจากต้นฉบับเมื่อวันที่ 16 ธันวาคม 2019. สืบค้นเมื่อเมื่อวันที่ 29 พฤศจิกายน 2012 .ที่"Convergence" mathdl.maa.org สมาคมคณิตศาสตร์แห่งอเมริกา เก็บถาวรจากต้นฉบับ เมื่อ วันที่ 13 กรกฎาคม 2550