ในทางคณิตศาสตร์การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดเป็นหนึ่งในความหมายต่างๆที่ลำดับของฟังก์ชันสามารถลู่เข้าสู่ฟังก์ชันเฉพาะได้ มันอ่อนกว่าการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอซึ่งมักนำมาเปรียบเทียบกัน^{[ 1 ] [ 2 ]}

สมมติว่าเป็นเซต และเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เช่น จำนวน จริงจำนวนเชิงซ้อนหรือปริภูมิเมตริกเป็นต้นลำดับของฟังก์ชันทั้งหมดที่มีโดเมนและโคโดเมน เดียวกัน กล่าวได้ว่าลู่เข้าแบบจุดต่อจุดไปยังฟังก์ชันที่กำหนดซึ่งมักเขียนในรูป ก็ต่อ เมื่อ (และเฉพาะเมื่อ) ลิมิตของลำดับที่ประเมินค่า ณ แต่ละจุดในโดเมนของเท่ากับเขียนเป็น ฟังก์ชันเรียกว่า ฟังก์ชัน ลิมิตแบบจุดต่อจุดของ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \left(f_{n}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$${\displaystyle f_{n}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$$${\displaystyle \forall x\in X,\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=f(x).}$$${\displaystyle f}$${\displaystyle \left(f_{n}\right).}$

นิยามนี้สามารถขยายจากลำดับไปสู่เน็ต ได้อย่างง่ายดาย เรากล่าวว่าลู่เข้าแบบจุดต่อจุดไปยังซึ่งเขียนได้เป็น ถ้า (และเฉพาะเมื่อ) เป็นจุดสะสมที่ไม่ซ้ำกันของเน็ตที่ประเมินค่า ณ แต่ละจุดในโดเมนของซึ่งเขียนได้เป็น ${\displaystyle f_{\bullet }=\left(f_{a}\right)_{a\in A}}$${\displaystyle f_{\bullet }}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \lim _{a\in A}f_{a}=f\ {\mbox{pointwise}}}$$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle f_{\bullet }(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \forall x\in X,\lim _{a\in A}f_{a}(x)=f(x).}$$

บางครั้งผู้เขียนใช้คำว่าการบรรจบกันแบบจำกัดจุดเมื่อมีค่าคงที่ ที่ทำให้ ^{[ 3 ]}${\displaystyle C}$${\displaystyle \forall n,x,\;|f_{n}(x)|<C}$

แนวคิดนี้มักถูกเปรียบเทียบกับการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอกล่าวคือ หมายความว่า โดยที่คือโดเมนร่วมของและและหมายถึงค่าสูงสุด[ ^{1 ] :หน้า 147-148} นั่นเป็นข้อความที่แข็งแกร่งกว่าการยืนยันการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด: ลำดับที่ลู่เข้าแบบสม่ำเสมอทุกลำดับจะลู่เข้าแบบจุดต่อจุดไปยังฟังก์ชันลิมิตเดียวกัน แต่ลำดับที่ลู่เข้าแบบจุดต่อจุดบางลำดับอาจไม่ลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นลำดับของฟังก์ชันที่กำหนดโดยแล้ว จะลู่เข้า แบบจุดต่อจุดบนช่วงแต่ไม่ลู่เข้าแบบสม่ำเสมอ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}=f\ {\mbox{uniformly}}}$$$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\,\sup\{\,\left|f_{n}(x)-f(x)\right|:x\in A\,\}=0,}$$${\displaystyle A}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle \sup }$${\displaystyle f_{n}:[0,1)\to [0,1)}$${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n},}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f_{n}(x)=0}$${\displaystyle [0,1),}$

ลิมิตแบบจุดต่อจุดของลำดับฟังก์ชันต่อเนื่องอาจเป็นฟังก์ชันไม่ต่อเนื่องได้ แต่เฉพาะในกรณีที่การลู่เข้าไม่สม่ำเสมอเท่านั้น ตัวอย่างเช่น จะมีค่าเป็นเมื่อเป็นจำนวนเต็มและเมื่อไม่ใช่จำนวนเต็ม ดังนั้น จึงไม่ต่อเนื่องที่ทุกจำนวนเต็ม $${\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }\cos(\pi x)^{2n}}$$${\displaystyle 1}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle x}$

ค่าของฟังก์ชันไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนจริง แต่สามารถอยู่ในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ ก็ได้ เพื่อให้แนวคิดของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดมีความหมาย ในทางกลับกัน การลู่เข้าแบบสม่ำเสมอไม่มีความหมายสำหรับฟังก์ชันที่รับค่าในปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยทั่วไป แต่มีความหมายสำหรับฟังก์ชันที่รับค่าในปริภูมิเมตริกและโดยทั่วไปแล้วในปริภูมิสม่ำเสมอ ${\displaystyle f_{n}}$

ให้แทนเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจากเซตที่กำหนดไปยังปริภูมิเชิงทอ พอโลยีบางเซต ดังที่อธิบายไว้ในบทความเกี่ยวกับลักษณะเฉพาะของหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีหากตรงตามเงื่อนไขบางประการ ก็สามารถกำหนดทอพอโลยีที่ไม่ซ้ำกันบนเซต ได้ โดยที่เน็ตจะลู่เข้าและไม่ลู่เข้าตามเกณฑ์ใด นิยามของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดตรงตามเงื่อนไขเหล่านี้ ดังนั้นจึงเหนี่ยวนำให้เกิดทอพอโลยีเรียกว่า${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$โทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดบนเซตของฟังก์ชันทั้งหมดในรูปแบบ A เน็ตในโทโพโลยีนี้จะลู่เข้าก็ต่อเมื่อมันลู่เข้าแบบจุดต่อจุด ${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X\to Y.}$${\displaystyle Y^{X}}$

โทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดนั้นเหมือนกับการลู่เข้าในโทโพโลยีผลคูณบนปริภูมิที่คือโดเมนและคือโคโดเมน กล่าวคือ ถ้าคือเซตของฟังก์ชันจากเซตบางเซตไปยังปริภูมิโทโพโลยีบางปริภูมิ โทโพโลยีของการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดบนจะเท่ากับโทโพโลยี ของปริภูมิย่อย ที่สืบทอดมาจาก ปริภูมิ ผลคูณเมื่อถูกระบุว่าเป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียนนี้ผ่านแผนที่การรวมแบบแคนอนิก ที่กำหนดโดย${\displaystyle Y^{X},}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \prod _{x\in X}Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\to \prod _{x\in X}Y}$${\displaystyle f\mapsto (f(x))_{x\in X}.}$

ถ้าโคโดเมนเป็นเซตกระชับแล้ว ตามทฤษฎีบทของไทโคนอฟฟ์ ปริภูมิก็จะเป็นเซตกระชับด้วยเช่นกัน ${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y^{X}}$

ในทฤษฎีการวัดนั้น เราพูดถึงการลู่เข้าเกือบทุกที่ของ ลำดับของฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งกำหนดบนปริภูมิที่วัดได้นั่นหมายถึงการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดเกือบทุกที่นั่นคือ บนเซตย่อยของโดเมนที่มีส่วนเติมเต็มมีมาตรวัดเป็น ศูนย์ ทฤษฎีบทของเอโกโรฟกล่าวว่า การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดเกือบทุกที่บนเซตที่มีมาตรวัดจำกัดนั้นหมายถึงการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอบนเซตที่มีขนาดเล็กกว่าเล็กน้อย

โดยทั่วไปแล้ว การลู่เข้าแบบจุดต่อจุดในปริภูมิของฟังก์ชันบนปริภูมิการวัด ไม่ได้กำหนดโครงสร้างของโทโพโลยีในปริภูมิของฟังก์ชันที่วัดได้บนปริภูมิการวัด (ถึงแม้ว่ามันจะเป็นโครงสร้างของการลู่เข้าก็ตาม ) เพราะในปริภูมิโทโพโลยี เมื่อลำดับย่อยทุกลำดับมีลำดับย่อยที่มี ลิมิตต่อ เนื่อง เดียวกัน ลำดับนั้นเองจะต้องลู่เข้าสู่ลิมิตนั้น

แต่ลองพิจารณาลำดับของฟังก์ชันที่เรียกว่า "สี่เหลี่ยมผืนผ้าควบม้า" (หรือที่รู้จักกันในชื่อลำดับเครื่องพิมพ์ดีด) ซึ่งกำหนดโดยใช้ฟังก์ชันพื้น : ให้และmodและ ให้ ${\displaystyle N=\operatorname {floor} \left(\log _{2}n\right)}$${\displaystyle k=n}$${\displaystyle 2^{N},}$$${\displaystyle f_{n}(x)={\begin{cases}1,&{\frac {k}{2^{N}}}\leq x\leq {\frac {k+1}{2^{N}}}\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

ดังนั้น ลำดับย่อยใดๆ ของลำดับดั้งเดิมจะมีลำดับย่อยลงไปอีก ซึ่งลำดับย่อยนั้นเองก็ลู่เข้าสู่ศูนย์เกือบทุกที่ ตัวอย่างเช่น ลำดับย่อยของฟังก์ชันที่ไม่เป็นศูนย์ที่จุดใดจุดหนึ่ง แต่ที่จุดใดจุดหนึ่ง ลำดับดั้งเดิมจะไม่ลู่เข้าสู่ศูนย์แบบจุดต่อจุด ดังนั้น ต่างจากการลู่เข้าในการวัดและการลู่เข้าการลู่เข้าแบบจุดต่อจุดเกือบทุกที่จึงไม่ใช่การลู่เข้าของโทโพโลยีใดๆ บนปริภูมิของฟังก์ชัน ${\displaystyle \left(f_{n}\right)_{n}}$${\displaystyle x=0.}$${\displaystyle L^{p}}$

• โทโพโลยีแบบกล่อง  – แนวคิดในโทโพโลยีทั่วไป
• พื้นที่การบรรจบกัน  – การขยายแนวคิดเรื่องการบรรจบกันที่พบในโทโพโลยีทั่วไป
• ชุดทรงกระบอก  – ชุดพื้นฐานที่เป็นธรรมชาติในพื้นที่จัดวางผลิตภัณฑ์
• รายชื่อโทโพโลยี  – รายชื่อโทโพโลยีที่เป็นรูปธรรมและปริภูมิโทโพโลยี
• รูปแบบการบรรจบกัน (ดัชนีพร้อมคำอธิบาย)  – คุณสมบัติของลำดับหรืออนุกรมPages displaying short descriptions of redirect targets
• โทโพโลยีตัวดำเนินการที่แข็งแกร่ง  – โทโพโลยีแบบนูนเฉพาะที่บนปริภูมิฟังก์ชัน
• โทโพโลยีบนปริภูมิของแผนที่เชิงเส้น
• โทโพโลยีแบบอ่อน  – ศัพท์ทางคณิตศาสตร์
• โทโพโลยีแบบอ่อน*  – ศัพท์ทางคณิตศาสตร์Pages displaying short descriptions of redirect targets