ในทางคณิตศาสตร์อนุกรมลู่เข้าคืออนุกรมอนันต์ที่ไม่ลู่เข้าซึ่งหมายความว่าลำดับ อนันต์ ของผลรวมย่อยของอนุกรมนั้นไม่มีลิมิต ที่ จำกัด

ถ้าอนุกรมลู่เข้า พจน์แต่ละตัวของอนุกรมจะต้องเข้าใกล้ศูนย์ ดังนั้นอนุกรมใดๆ ที่พจน์แต่ละตัวไม่เข้าใกล้ศูนย์จะเป็นอนุกรมลู่ออก อย่างไรก็ตาม การลู่เข้าเป็นเงื่อนไขที่เข้มงวดกว่า กล่าวคือ อนุกรมทุกชุดที่มีพจน์เข้าใกล้ศูนย์ไม่ได้ลู่เข้าเสมอไปตัวอย่างค้านคืออนุกรมฮาร์มอนิก

${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}.}$

การลู่เข้าของอนุกรมฮาร์มอนิกได้รับการพิสูจน์โดยนักคณิตศาสตร์ในยุคกลางชื่อ นิโคล โอเรสเม

ในบริบททางคณิตศาสตร์เฉพาะทาง สามารถกำหนดค่าอย่างเป็นกลางให้กับอนุกรมบางชุดที่มีลำดับผลรวมย่อยลู่เข้า เพื่อให้เข้าใจความหมายของการลู่เข้าของอนุกรมนั้นวิธีการหาผลรวมหรือวิธีการหาค่าผล รวม คือฟังก์ชันย่อยจากเซตของอนุกรมไปยังค่าต่างๆ ตัวอย่างเช่นการหาค่าผลรวมของ Cesàroกำหนดค่าให้กับอนุกรมลู่เข้าของ Grandi

${\displaystyle 1-1+1-1+\cdots }$

มูลค่า​1/2การหาผลรวมแบบ Cesàroเป็น วิธี การหาค่าเฉลี่ยโดยอาศัยค่าเฉลี่ยเลขคณิตของลำดับผลรวมย่อย วิธีอื่นๆ เกี่ยวข้องกับการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของอนุกรมที่เกี่ยวข้องกัน ในทางฟิสิกส์มีวิธีการหาผลรวมที่หลากหลาย ซึ่งจะกล่าวถึงในรายละเอียดเพิ่มเติมในบทความเกี่ยวกับการทำให้เป็นระเบียบ (regularization )

ก่อนศตวรรษที่ 19 อนุกรมลู่เข้าถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายโดยเลออนฮาร์ด ออยเลอร์และคนอื่นๆ แต่บ่อยครั้งที่นำไปสู่ผลลัพธ์ที่สับสนและขัดแย้ง ปัญหาสำคัญคือแนวคิดของออยเลอร์ที่ว่าอนุกรมลู่เข้าใดๆ ควรมีผลรวมตามธรรมชาติ โดยที่ไม่ได้กำหนดความหมายของผลรวมของอนุกรมลู่เข้าเสียก่อน ในที่สุด ออกัสติน-หลุยส์ โคชีก็ได้ให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของผลรวมของอนุกรม (ลู่เข้า) และหลังจากนั้นมาระยะหนึ่ง อนุกรมลู่เข้าก็ถูกละเลยจากคณิตศาสตร์เป็นส่วนใหญ่ พวกมันปรากฏขึ้นอีกครั้งในปี 1886 จากผลงานของอองรี ปวงกาเร เกี่ยวกับอนุกรมเชิงเส้นกำกับ ในปี 1890 เออร์เนสโต เซซาโรตระหนักว่าเราสามารถให้คำจำกัดความที่เข้มงวดของผลรวมของอนุกรมลู่เข้าบางอนุกรมได้ และได้กำหนดนิยามของการหาผลรวมแบบเซซาโร (นี่ไม่ใช่การใช้การหาผลรวมของ Cesàro ครั้งแรก ซึ่งFerdinand Georg Frobenius ได้ใช้โดยปริยาย ในปี 1880; ผลงานสำคัญของ Cesàro ไม่ใช่การค้นพบวิธีการนี้ แต่เป็นแนวคิดที่ว่าควรมีการกำหนดนิยามที่ชัดเจนของผลรวมของอนุกรมลู่เข้า) ในช่วงหลายปีหลังจากบทความของ Cesàro นักคณิตศาสตร์คนอื่นๆ อีกหลายคนได้ให้นิยามอื่นๆ ของผลรวมของอนุกรมลู่เข้า แม้ว่านิยามเหล่านี้จะไม่สอดคล้องกันเสมอไป: นิยามที่แตกต่างกันอาจให้คำตอบที่แตกต่างกันสำหรับผลรวมของอนุกรมลู่เข้าเดียวกัน ดังนั้น เมื่อพูดถึงผลรวมของอนุกรมลู่เข้า จึงจำเป็นต้องระบุว่ากำลังใช้วิธีการหาผลรวมแบบใด

• 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{2}}}$
• 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{4}}}$
• 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}\!\!\int _{0}^{\infty }{\frac {e^{-x}}{1+x}}\,dx\approx 0.596\,347\ldots }$
• 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}{\frac {1}{3}}}$
• 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-1}$
• 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{2}}}$
• 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}-{\frac {1}{12}}}$
• 1 + 4 + 9 + 16 + ⋯${\displaystyle {\text{ “ = ” }}0}$

วิธีการหาผลรวมMเรียกว่า วิธี ปกติ (regular)ถ้ามันสอดคล้องกับลิมิตจริงของอนุกรมลู่เข้า ทั้งหมด ผลลัพธ์ดังกล่าวเรียกว่าทฤษฎีบทอาเบล (Abelian theorem)สำหรับMซึ่งได้มาจากทฤษฎีบทอาเบลต้นแบบ (Prototyped Abel's theorem ) ส่วนผลลัพธ์แบบผกผันบางส่วน (Partial converse results) ที่เรียกว่า ทฤษฎีบทเทาเบอร์ (Tauberian theorem ) ซึ่งได้มาจากต้นแบบที่พิสูจน์โดยอัลเฟรด เทาเบอร์ (Alfred Tauber ) นั้น มีความซับซ้อนกว่า ในที่นี้การผกผันบางส่วนหมายความว่า ถ้าMหาผลรวมของอนุกรมΣ ได้ และมีเงื่อนไขข้างเคียงบางอย่างเป็นจริง แสดงว่าΣเป็นอนุกรมลู่เข้าตั้งแต่แรกอยู่แล้ว หากไม่มีเงื่อนไขข้างเคียงใดๆ ผลลัพธ์ดังกล่าวจะบอกว่าMหาผลรวมได้เฉพาะอนุกรมลู่เข้าเท่านั้น (ทำให้ใช้ไม่ได้ผลในฐานะวิธีการหาผลรวมสำหรับอนุกรมลู่ออก)

ฟังก์ชันที่ให้ผลรวมของอนุกรมลู่เข้าเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นและจากทฤษฎีบทฮาห์น-บานาค จะได้ ว่าฟังก์ชันนี้สามารถขยายไปเป็นวิธีการหาผลรวมที่รวมอนุกรมใดๆ ที่มีผลรวมย่อยที่มีขอบเขตได้ ซึ่งเรียกว่าลิมิตของบานาคข้อเท็จจริงนี้ไม่ค่อยมีประโยชน์ในทางปฏิบัติ เนื่องจากมีการขยายดังกล่าวหลายแบบที่ไม่สอดคล้องกัน และการพิสูจน์ว่าตัวดำเนินการดังกล่าวมีอยู่จริงนั้นจำเป็นต้องอ้างถึงสัจพจน์ของการเลือกหรือสิ่งที่เทียบเท่า เช่นเลมมาของซอร์นดังนั้นจึงไม่สามารถสร้างสรรค์ได้

หัวข้อของอนุกรมลู่เข้า ในฐานะที่เป็นขอบเขตหนึ่งของการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์นั้น เกี่ยวข้องเป็นหลักกับเทคนิคที่ชัดเจนและเป็นธรรมชาติ เช่นการหาผลรวมของอาเบล การหาผลรวม ของเซซาโรและการหาผลรวมของโบเรล ตลอดจนความสัมพันธ์ระหว่างเทคนิคเหล่านั้น การเกิดขึ้นของทฤษฎีบททอเบเรียนของไวเนอร์ถือเป็นยุคใหม่ในหัวข้อนี้ โดยนำเสนอความเชื่อมโยงที่ไม่คาดคิดกับ วิธี การพีชคณิตบานาคในการวิเคราะห์ฟูริเยร์

การหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้ายังเกี่ยวข้องกับ วิธี การประมาณค่าแบบขยายและการแปลงลำดับในฐานะเทคนิคเชิงตัวเลข ตัวอย่างของเทคนิคดัง กล่าว ได้แก่ ตัวประมาณค่าแบบ พาเด (Padé approximants) การแปลงลำดับแบบเลวิน ( Levin-type sequence transformations ) และการแมปที่ขึ้นอยู่กับลำดับที่เกี่ยวข้องกับ เทคนิค การทำให้เป็นมาตรฐานใหม่ สำหรับ ทฤษฎีการรบกวนลำดับสูงในกลศาสตร์ควอนตัม

วิธีการหาผลรวมมักจะเน้นที่ลำดับของผลรวมย่อยของอนุกรม ในขณะที่ลำดับนี้จะไม่ลู่เข้า เรามักจะพบว่าเมื่อเราหาค่าเฉลี่ยของพจน์เริ่มต้นของลำดับที่มากขึ้นเรื่อยๆ ค่าเฉลี่ยจะลู่เข้า และเราสามารถใช้ค่าเฉลี่ยนี้แทนลิมิตในการประเมินผลรวมของอนุกรมได้วิธีการหาผลรวมสามารถมองได้ว่าเป็นฟังก์ชันจากเซตของลำดับของผลรวมย่อยไปยังค่าต่างๆ ถ้าAเป็นวิธีการหาผลรวมใดๆ ที่กำหนดค่าให้กับเซตของลำดับ เราสามารถแปลงสิ่งนี้ไปเป็นวิธีการหาผลรวมอนุกรมA ^Σที่กำหนดค่าเดียวกันให้กับอนุกรมที่สอดคล้องกันได้โดยอัตโนมัติ มีคุณสมบัติบางอย่างที่พึงปรารถนาสำหรับวิธีการเหล่านี้ หากต้องการให้ได้ค่าที่สอดคล้องกับลิมิตและผลรวมตามลำดับ

• ความสม่ำเสมอวิธีการหาผลรวมจะมีความสม่ำเสมอหากเมื่อใดก็ตามที่ลำดับsลู่เข้าสู่xแล้วA ( s ) = xหรือ กล่าวอีกนัยหนึ่ง วิธีการ หาผลรวมแบบอนุกรมที่สอดคล้องกันจะประเมินค่า^AΣ ( a ) = x
• ความเป็นเชิงเส้น A เป็นเชิงเส้นก็ต่อเมื่อเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนลำดับที่มันถูกกำหนดไว้ โดยที่A ( ​​k r + s ) = k A ( r ) + A ( s ) สำหรับลำดับr , s และค่าคงที่ kที่เป็นจำนวนจริงหรือจำนวนเชิงซ้อนเนื่องจากพจน์a _{n +1} = s _{n +1} − s _nของอนุกรมaเป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนลำดับsและในทางกลับกัน ดังนั้นจึงเทียบเท่ากับA ^Σที่เป็นฟังก์ชันเชิงเส้นบนพจน์ของอนุกรม
• ความเสถียร (เรียกอีกอย่างว่าการเลื่อน ) ถ้าsเป็นลำดับที่เริ่มต้นจากs ₀และs ′ เป็นลำดับที่ได้จากการละเว้นค่าแรกและลบออกจากส่วนที่เหลือ ดังนั้นs ′ _n = s _{n +1} − s ₀แล้วA ( s ) จะถูกกำหนดก็ต่อเมื่อA ( s ′) ถูกกำหนด และA ( s ) = s ₀ + A ( s ′) หรือเทียบเท่ากัน เมื่อใดก็ตามที่a ′ _n = a _{n +1}สำหรับทุกnแล้วA ^Σ ( a ) = a ₀ + A ^Σ ( a ′) ^{[ 1 ] [ 2 ]}อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงสิ่งนี้คือกฎการเลื่อนจะต้องใช้ได้กับอนุกรมที่สามารถหาผลรวมได้ด้วยวิธีนี้

เงื่อนไขที่สามมีความสำคัญน้อยกว่า และวิธีการสำคัญบางอย่าง เช่นผลรวมของโบเรลไม่มีเงื่อนไขนี้^{[ 3 ]}

เราสามารถเสนอทางเลือกที่อ่อนกว่าสำหรับเงื่อนไขสุดท้ายได้เช่นกัน

• ความสามารถในการจัดดัชนีใหม่ได้แบบจำกัดถ้าaและa ′ เป็นอนุกรมสองชุดที่มีการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่ง ทั่วถึงที่ทำให้a _i = a ′ _{f ( i )}สำหรับทุกiและถ้ามีบางค่าที่ทำให้a _i = a ′ _iสำหรับทุกi  >  Nแล้วA ^Σ ( a ) = A ^Σ ( a ′) (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือa ′ เป็นอนุกรมเดียวกันกับaโดยมีการจัดดัชนีใหม่เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น) เงื่อนไขนี้อ่อนกว่าความเสถียรเพราะวิธีการบวกใดๆ ที่แสดงความเสถียรก็แสดงความสามารถในการจัดดัชนีใหม่ได้แบบจำกัด ด้วย แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง)${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$

คุณสมบัติที่พึงประสงค์สำหรับวิธีการหาผลรวมสองวิธีที่แตกต่างกันAและBคือความสอดคล้อง : AและBสอดคล้องกันก็ต่อเมื่อสำหรับทุกลำดับsที่ทั้งสองวิธีกำหนดค่าให้A ( s ) = B ( s ) (โดยใช้ภาษาดังกล่าว วิธีการหาผลรวมAจะเป็นแบบปกติก็ต่อเมื่อมันสอดคล้องกับผลรวมมาตรฐานΣ ) หากสองวิธีมีความสอดคล้องกัน และวิธีหนึ่งหาผลรวมของอนุกรมได้มากกว่าอีกวิธีหนึ่ง วิธีที่หาผลรวมของอนุกรมได้มากกว่าจะเป็นวิธีที่แข็งแกร่งกว่า

มีวิธีการหาผลรวมเชิงตัวเลขที่มีประสิทธิภาพหลายวิธีที่ไม่ใช่ทั้งแบบปกติและแบบเชิงเส้น ตัวอย่าง เช่น การแปลงลำดับ แบบไม่เชิงเส้น เช่นการแปลงลำดับแบบ Levinและตัวประมาณ Padéรวมถึงการแมปที่ขึ้นอยู่กับลำดับของอนุกรมรบกวนโดยอาศัยเทคนิค การปรับขนาดใหม่

หากเราใช้ความสม่ำเสมอ ความเป็นเส้นตรง และความเสถียรเป็นหลักการพื้นฐาน เราสามารถหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้าจำนวนมากได้โดยใช้การจัดการทางพีชคณิตขั้นพื้นฐาน นี่เป็นส่วนหนึ่งที่อธิบายว่าทำไมวิธีการหาผลรวมที่แตกต่างกันหลายวิธีจึงให้คำตอบเดียวกันสำหรับอนุกรมบางชุด

ตัวอย่างเช่น เมื่อใดก็ตามที่r ≠ 1อนุกรมเรขาคณิต

${\displaystyle {\begin{aligned}G(r,c)&=\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&\\&=c+\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k+1}&&{\text{ (stability) }}\\&=c+r\sum _{k=0}^{\infty }cr^{k}&&{\text{ (linearity) }}\\&=c+r\,G(r,c),&&{\text{ hence }}\\G(r,c)&={\frac {c}{1-r}},{\text{ unless it is infinite}}&&\\\end{aligned}}}$

สามารถประเมินได้โดยไม่คำนึงถึงการลู่เข้า กล่าวอย่างเคร่งครัดยิ่งขึ้น วิธีการหาผลรวมใดๆ ที่มีคุณสมบัติเหล่านี้และกำหนดค่าจำกัดให้กับอนุกรมเรขาคณิตจะต้องกำหนดค่านี้ อย่างไรก็ตาม เมื่อrเป็นจำนวนจริงที่มากกว่า 1 ผลรวมย่อยจะเพิ่มขึ้นอย่างไม่มีขอบเขต และวิธีการหาค่าเฉลี่ยจะกำหนดขีดจำกัดเป็นอนันต์

วิธีการหาผลรวมแบบคลาสสิกสองวิธีสำหรับอนุกรม ได้แก่ การลู่เข้าแบบธรรมดาและการลู่เข้าแบบสัมบูรณ์กำหนดผลรวมเป็นลิมิตของผลรวมย่อยบางอย่าง วิธีการเหล่านี้รวมอยู่ด้วยเพื่อความสมบูรณ์เท่านั้น ในทางเทคนิคแล้ว วิธีการเหล่านี้ไม่ใช่วิธีการหาผลรวมที่แท้จริงสำหรับอนุกรมลู่เข้า เนื่องจากตามคำนิยาม อนุกรมจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อวิธีการเหล่านี้ใช้ไม่ได้ผล วิธีการหาผลรวมสำหรับอนุกรมลู่เข้าส่วนใหญ่ แต่ไม่ใช่ทั้งหมด ขยายวิธีการเหล่านี้ไปยังกลุ่มลำดับที่ใหญ่กว่า

นิยามคลาสสิกของโคชีเกี่ยวกับ การหาผลรวมของอนุกรม a₀ + _a₁ + ... _{กำหนด}ให้_ผลรวมเป็นลิมิตของลำดับผลรวมย่อยa₀ ₊ ... + aₙนี่คือนิยามเริ่มต้นของการลู่เข้าของอนุกรม

การลู่เข้าสัมบูรณ์นิยามผลรวมของลำดับ (หรือเซต) ของจำนวนว่าเป็นลิมิตของผลรวมย่อยทั้งหมดa _{k 1} + ... + a _{k n}ถ้ามีอยู่จริง การลู่เข้าสัมบูรณ์ไม่ขึ้นอยู่กับลำดับของสมาชิกในลำดับ และทฤษฎีบทคลาสสิกกล่าวว่าลำดับจะลู่เข้าสัมบูรณ์ก็ต่อเมื่อลำดับของค่าสัมบูรณ์ลู่เข้าในความหมายมาตรฐาน

สมมติว่าp _nเป็นลำดับของพจน์บวก โดยเริ่มจากp ₀และสมมติเพิ่มเติมว่า

${\displaystyle {\frac {p_{n}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{n}}}\rightarrow 0.}$

ถ้าตอนนี้เราแปลงลำดับ s โดยใช้pเพื่อให้ได้ค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก โดยกำหนดให้

${\displaystyle t_{m}={\frac {p_{m}s_{0}+p_{m-1}s_{1}+\cdots +p_{0}s_{m}}{p_{0}+p_{1}+\cdots +p_{m}}}}$

จากนั้นลิมิตของt _nเมื่อnเข้าสู่อินฟินิตี้จะเป็นค่าเฉลี่ยที่เรียกว่าค่าเฉลี่ยNørlund N _p ( s )

ค่าเฉลี่ยแบบนอร์ลุนด์มีความสม่ำเสมอ เป็นเส้นตรง และมีเสถียรภาพ ยิ่งไปกว่านั้น ค่าเฉลี่ยแบบนอร์ลุนด์สองค่าใดๆ ก็มีความสอดคล้องกัน

ค่าเฉลี่ยของนอร์ลุนด์ที่สำคัญที่สุดคือผลรวมของเซซาโร ในที่นี้ ถ้าเรากำหนดลำดับp ^kโดย

${\displaystyle p_{n}^{k}={n+k-1 \choose k-1}}$

จากนั้น ผลรวม Cesàro C _kจะถูกกำหนดโดยC _k ( s ) = N _{( p ^k )} ( s )ผลรวม Cesàro เป็นค่าเฉลี่ย Nørlund ถ้าk ≥ 0และด้วยเหตุนี้จึงเป็นผลรวมปกติ เชิงเส้น เสถียร และสอดคล้องกันC ₀คือผลรวมธรรมดา และC ₁คือผลรวม Cesàro ธรรมดา ผลรวม Cesàro มีคุณสมบัติว่า ถ้าh > kแล้วC _hจะ แข็งแกร่งกว่าC _k

สมมติว่าλ = { λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ ,... } เป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นอย่างเคร่งครัดและมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์ และλ ₀ ≥ 0สมมติว่า

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-\lambda _{n}x}}$

ลู่เข้าสำหรับจำนวนจริงx  > 0 ทั้งหมด จากนั้นค่าเฉลี่ยอาเบเลียนA _λจะถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle A_{\lambda }(s)=\lim _{x\rightarrow 0^{+}}f(x).}$

โดยทั่วไปแล้ว หากอนุกรมสำหรับfลู่เข้าเฉพาะเมื่อx มีค่ามาก แต่สามารถขยายต่อไปได้ในเชิงวิเคราะห์สำหรับx ที่เป็นจำนวนจริงบวกทั้งหมด ก็ยังสามารถกำหนดผลรวมของอนุกรมที่ลู่เข้าโดยใช้ลิมิตข้างต้นได้

อนุกรมประเภทนี้เรียกว่าอนุกรมดิริชเลต์ แบบทั่วไป ในการประยุกต์ใช้ทางฟิสิกส์ วิธีนี้เรียกว่าวิธีการปรับเสถียรภาพเคอร์เนลความร้อน

ค่าเฉลี่ยแบบอาเบเลียนมีความสม่ำเสมอและเป็นเชิงเส้น แต่ไม่เสถียรและไม่สอดคล้องกันเสมอไประหว่างการเลือกค่าλ ที่แตกต่างกัน อย่างไรก็ตาม ในบางกรณีพิเศษ ค่าเฉลี่ยแบบอาเบเลียนมีความสำคัญมากในฐานะวิธีการหาผลรวม

ถ้าλ _n = nแล้วเราจะได้วิธีการหาผลรวมแบบอาเบลในที่นี้

${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}e^{-nx}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n},}$

โดยที่z  = exp(− x ) แล้วลิมิตของf ( x ) เมื่อxเข้าใกล้ 0 ผ่านจำนวนจริงบวกคือลิมิตของอนุกรมกำลังของf ( z ) เมื่อzเข้าใกล้ 1 จากล่างผ่านจำนวนจริงบวก และผลรวมของอาเบลA ( s ) ถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle A(s)=\lim _{z\rightarrow 1^{-}}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}z^{n}.}$

ผลรวมของ Abel น่าสนใจในส่วนหนึ่งเพราะมันสอดคล้องกับแต่มีประสิทธิภาพมากกว่าผลรวมของ Cesàro : A ( s ) = Ck ( s )เมื่อใดก็ตามที่กำหนดผลรวมของ Cesàro ผลรวมของ Abel จึงเป็นแบบปกติ เชิงเส้น เสถียร และสอดคล้องกับผลรวมของ _Cesàro

ถ้าλ _n = n log( n )แล้ว (โดยเริ่มจากดัชนีหนึ่ง) เราจะได้ว่า

${\displaystyle f(x)=a_{1}+a_{2}2^{-2x}+a_{3}3^{-3x}+\cdots .}$

จากนั้นL ( s ) ผล รวมLindelöf ^{[ 4 ]}คือลิมิตของf ( x ) เมื่อxเข้าใกล้ศูนย์บวก ผลรวม Lindelöf เป็นวิธีการที่มีประสิทธิภาพเมื่อนำไปใช้กับอนุกรมกำลัง รวมถึงการประยุกต์ใช้อื่นๆ เช่น การรวมอนุกรมกำลังในดาว Mittag- Leffler

ถ้าg ( z ) เป็นฟังก์ชันวิเคราะห์ในดิสก์รอบศูนย์ และด้วยเหตุนี้จึงมีอนุกรมแมคลาลินG ( z ) ที่มีรัศมีของการลู่เข้าเป็นบวก แล้วL ( G ( z )) = g ( z )ในดาวมิตแทก-เลฟเฟลอร์ ยิ่งไปกว่านั้น การลู่เข้าสู่g ( z ) นั้นเป็นแบบสม่ำเสมอในเซตย่อยแบบกระชับของดาว

วิธีการหาผลรวมหลายวิธีเกี่ยวข้องกับการหาค่าของการต่อยอดเชิงวิเคราะห์ของฟังก์ชัน

ถ้า Σ a _n x ⁿลู่เข้าสำหรับx เชิงซ้อนขนาดเล็ก และสามารถขยายต่อไปได้ทางวิเคราะห์ตามเส้นทางบางเส้นทางจากx  = 0 ไปยังจุดx  = 1 แล้ว ผลรวมของอนุกรมสามารถกำหนดให้เป็นค่าที่x  = 1 ได้ ค่านี้อาจขึ้นอยู่กับการเลือกเส้นทาง ตัวอย่างแรกๆ ของผลรวมที่อาจแตกต่างกันสำหรับอนุกรมลู่เข้าโดยใช้การขยายทางวิเคราะห์นั้น ได้มาจาก Callet ^{[ 5 ]}ซึ่งสังเกตว่าถ้า แล้ว ${\displaystyle 1\leq m<n}$

${\displaystyle {\frac {1-x^{m}}{1-x^{n}}}={\frac {1+x+\dots +x^{m-1}}{1+x+\dots +x^{n-1}}}=1-x^{m}+x^{n}-x^{n+m}+x^{2n}-\dots }$

เมื่อประเมินที่จะได้ผลลัพธ์ดังนี้ ${\displaystyle x=1}$

${\displaystyle 1-1+1-1+\dots ={\frac {m}{n}}.}$

อย่างไรก็ตาม ช่องว่างในซีรีส์นั้นมีความสำคัญมากตัวอย่างเช่น เราจะได้... ${\displaystyle m=1,n=3}$

${\displaystyle 1-1+0+1-1+0+1-1+\dots ={\frac {1}{3}}}$ดังนั้นผลรวมที่แตกต่างกันจึงสอดคล้องกับการจัดวาง's ที่แตกต่างกัน${\displaystyle 0}$

อีกตัวอย่างหนึ่งของการต่อยอดเชิงวิเคราะห์คืออนุกรมสลับลู่เข้า ซึ่งเป็นผลรวมของผลคูณของฟังก์ชัน - และ สัญลักษณ์ ของ Pochhammerโดยใช้สูตรการทำซ้ำของฟังก์ชัน - จะได้อนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริกทั่วไป${\displaystyle \sum _{k\geq 0}(-1)^{k+1}{\frac {1}{2k-1}}{\binom {2k}{k}}=1+2-2+4-10+28-84+264-858+2860-9724+\cdots }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \ldots =\sum _{k\geq 0}(-4)^{k}{\frac {(-1/2)_{k}}{k!}}={}_{1}F_{0}(-1/2;;-4)={\sqrt {5}}.}$

ผลรวมของออยเลอร์โดยพื้นฐานแล้วเป็นรูปแบบที่ชัดเจนของการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ หากอนุกรมกำลังลู่เข้าสำหรับค่าเชิงซ้อนz ขนาดเล็ก และสามารถต่อขยายเชิงวิเคราะห์ไปยังดิสก์เปิดที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางจาก⁠−1/q  + 1ถ้าอนุกรม Σ a _n มีค่าเข้า ใกล้ 1 และต่อเนื่องที่ 1 ค่าของอนุกรมนี้ที่qจะเรียกว่าผลรวมออยเลอร์หรือผลรวม (E, q ) ของอนุกรม Σ a n ออยเลอร์ใช้อนุกรมนี้ก่อนที่จะมีการกำหนดนิยามของการต่อยอดเชิงวิเคราะห์โดยทั่วไป และได้ให้สูตรที่ชัดเจนสำหรับอนุกรมกำลังของการต่อยอดเชิงวิเคราะห์

การดำเนินการหาผลรวมของออยเลอร์สามารถทำซ้ำได้หลายครั้ง และโดยพื้นฐานแล้วเทียบเท่ากับการต่ออนุกรมกำลังเชิงวิเคราะห์ไปยังจุด  z  = 1

วิธีนี้กำหนดให้ผลรวมของอนุกรมคือค่าของการต่อขยายเชิงวิเคราะห์ของอนุกรม Dirichlet

${\displaystyle f(s)={\frac {a_{1}}{1^{s}}}+{\frac {a_{2}}{2^{s}}}+{\frac {a_{3}}{3^{s}}}+\cdots }$

ที่s  = 0 ถ้ามีอยู่และเป็นเอกลักษณ์ วิธีนี้บางครั้งอาจถูกเข้าใจผิดว่าเป็นวิธีการทำให้เป็นระเบียบด้วยฟังก์ชันซีตา

ถ้าs  = 0 เป็นจุดเอกฐานโดดเดี่ยว ผลรวมจะถูกกำหนดโดยพจน์คงที่ของการขยาย อนุกรมลอเรนต์

ถ้าซีรีส์

${\displaystyle f(s)={\frac {1}{a_{1}^{s}}}+{\frac {1}{a_{2}^{s}}}+{\frac {1}{a_{3}^{s}}}+\cdots }$

(สำหรับค่าบวกของa _n ) ลู่เข้าสำหรับค่าจริงขนาดใหญ่sและสามารถขยายต่อไปตามเส้นจำนวนจริงได้ทางคณิตศาสตร์จนถึงs  = −1 จากนั้นค่าของมันที่s  = −1 เรียกว่าผล รวม ซีตาแบบปกติของอนุกรมa ₁  +  a ₂  + ... การปรับค่าฟังก์ชันซีตาเป็นแบบไม่เชิงเส้น ในการใช้งาน ตัวเลขa _iบางครั้งเป็นค่าลักษณะเฉพาะของตัวดำเนินการสมมาตรAที่มีตัวผกผันแบบกะทัดรัด และf ( s ) ก็คือร่องรอยของA ^{− s}ตัวอย่างเช่น ถ้าAมีค่าลักษณะเฉพาะ 1, 2, 3, ... แล้วf ( s ) คือฟังก์ชันซีตาของรีมันน์ ζ ( s )ซึ่งค่าที่s  = −1 คือ − ⁠1/12โดยกำหนดค่าให้กับอนุกรมลู่เข้า1 + 2 + 3 + 4 + ⋯นอกจากนี้ยังสามารถใช้ค่าs อื่นๆ ในการกำหนดค่าให้กับผลรวมลู่เข้า ζ (0) = 1 + 1 + 1 + ... = − ⁠1/2⁠ , ζ (−2) = 1 + 4 + 9 + ... = 0และโดยทั่วไป

${\displaystyle \zeta (-s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{s}=1^{s}+2^{s}+3^{s}+\cdots =-{\frac {B_{s+1}}{s+1}}\,,}$

โดยที่B _kเป็นจำนวนเบอร์นูลลีและ. ^{[ 6 ]}${\displaystyle B_{1}=+{\frac {1}{2}}}$

ถ้าJ ( x ) = Σ p _n x ⁿเป็นฟังก์ชันอินทิกรัล ผลรวม Jของอนุกรมa ₀  + ... จะถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\sum _{n}p_{n}(a_{0}+\cdots +a_{n})x^{n}}{\sum _{n}p_{n}x^{n}}},}$

ถ้าหากมีข้อจำกัดนี้อยู่

มีวิธีการที่แตกต่างออกไปอีกแบบหนึ่ง โดยที่อนุกรมสำหรับJมีรัศมีลู่เข้าจำกัดrและลู่เข้าแบบไม่สิ้นสุดที่x  =  rในกรณีนี้ เรากำหนดผลรวมเช่นเดียวกับข้างต้น ยกเว้นการหาลิมิตเมื่อxเข้าใกล้rแทนที่จะเป็นอนันต์

ในกรณีพิเศษเมื่อJ ( x ) =  e ^xจะให้รูปแบบหนึ่ง (แบบอ่อน) ของการหาผลรวมแบบบอเรล

วิธีของวาลิรอนเป็นการขยายผลของการหาผลรวมแบบบอเรลไปสู่ฟังก์ชันปริพันธ์ทั่วไปJ บาง ฟังก์ชัน วาลิรอนแสดงให้เห็นว่าภายใต้เงื่อนไขบางประการ วิธีนี้เทียบเท่ากับการกำหนดผลรวมของอนุกรมดังนี้

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt {\frac {H(n)}{2\pi }}}\sum _{h\in Z}e^{-{\frac {1}{2}}h^{2}H(n)}(a_{0}+\cdots +a_{h})}$

โดยที่Hคืออนุพันธ์อันดับสองของGและc ( n ) =  e ^{− G ( n )}และa ₀  + ... +  a _hจะถูกตีความว่าเป็น 0 เมื่อ  h  < 0

สมมติว่าdμเป็นการวัดบนเส้นจำนวนจริง โดยที่โมเมนต์ทั้งหมด

${\displaystyle \mu _{n}=\int x^{n}\,d\mu }$

มีค่าจำกัด ถ้าa ₀  +  a ₁  + ... เป็นอนุกรมเช่นนั้น

${\displaystyle a(x)={\frac {a_{0}x^{0}}{\mu _{0}}}+{\frac {a_{1}x^{1}}{\mu _{1}}}+\cdots }$

ถ้าลู่เข้าสำหรับทุกxในช่วงของμแล้ว ผลรวม ( dμ ) ของอนุกรมจะถูกกำหนดให้เป็นค่าของอินทิกรัล

${\displaystyle \int a(x)\,d\mu }$

หากมีการกำหนดไว้ (หากตัวเลขμ _nเพิ่มขึ้นเร็วเกินไป ตัวเลขเหล่านั้นจะไม่สามารถกำหนดค่าμ ได้อย่างเฉพาะเจาะจง )

ตัวอย่างเช่น ถ้าdμ  =  e ^{− x}  dxสำหรับx ที่เป็นบวก และ 0 สำหรับx ที่เป็นลบ แล้วμ _n  =  n ! และนี่ทำให้เกิดรูปแบบหนึ่งของการหาผลรวมแบบบอเรลโดยที่ค่าของผลรวมจะกำหนดโดย

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n}}{n!}}\,dt.}$

มีการวางนัยทั่วไปของสิ่งนี้โดยขึ้นอยู่กับตัวแปรαเรียกว่าผลรวม (B′, α ) โดยที่ผลรวมของอนุกรมa ₀  + ... ถูกกำหนดให้เป็น

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }e^{-t}\sum {\frac {a_{n}t^{n\alpha }}{\Gamma (n\alpha +1)}}\,dt}$

ถ้าปริพันธ์นี้มีอยู่จริง การขยายความทั่วไปเพิ่มเติมคือการแทนที่ผลรวมภายใต้ปริพันธ์ด้วยการต่อยอดเชิงวิเคราะห์จาก  ค่า t เล็กๆ

วิธีการหาผลรวมนี้ทำงานโดยใช้ส่วนขยายของจำนวนจริงที่เรียกว่าจำนวนไฮเปอร์เรียลเนื่องจากจำนวนไฮเปอร์เรียลมีค่าอนันต์ที่แตกต่างกัน จึงสามารถใช้จำนวนเหล่านี้แทนค่าของอนุกรมลู่เข้าได้ วิธีการสำคัญคือการกำหนดค่าอนันต์เฉพาะที่กำลังนำมาบวกกัน โดยปกติคือซึ่งใช้เป็นหน่วยของอนันต์ แทนที่จะบวกให้ได้อนันต์แบบสุ่ม (ดังเช่นที่ทำกันโดยทั่วไปกับ) วิธีการ BGN จะบวกให้ได้ค่าอนันต์ไฮเปอร์เรียลเฉพาะที่กำหนดโดย ดังนั้น ผลรวมจึงอยู่ในรูปแบบ = ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \sum _{x=1}^{\omega }f(x)}$

วิธีนี้ช่วยให้สามารถใช้สูตรมาตรฐานสำหรับอนุกรมจำกัด เช่นลำดับเลขคณิต ในบริบทอนันต์ ^ได้ตัวอย่างเช่น การใช้วิธีนี้ ผลรวมของลำดับคือหรือ การใช้เพียงส่วนไฮเปอร์เรียลอนันต์ที่มีนัยสำคัญที่สุด[ ^{7 ]}${\displaystyle 1+2+3+\ldots }$${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega }{2}}}$${\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{2}}}$

ฮาร์ดี้ (1949บทที่ 11)

ใน ปี  ค.ศ. 1812 ฮัตตันได้นำเสนอวิธีการหาผลรวมของอนุกรมลู่เข้า โดยเริ่มต้นจากลำดับของผลรวมย่อย และใช้การดำเนินการแทนที่ลำดับ  s₀ _, s₁ _, ... ด้วยลำดับของค่าเฉลี่ยซ้ำ ๆ กันs ₀  +  s ₁/2, ⁠​s ₁  +  s ₂/2, ..., แล้วจึงหาลิมิต^{[ 8 ]}

อนุกรมa ₁  + ... เรียกว่าอนุกรมอินแกมที่สามารถหาผลรวมได้เป็นsถ้า

${\displaystyle \lim _{x\rightarrow \infty }\sum _{1\leq n\leq x}a_{n}{\frac {n}{x}}\left[{\frac {x}{n}}\right]=s.}$

Albert Inghamแสดงให้เห็นว่าถ้าδเป็นจำนวนบวกใดๆ แล้ว (C,− δ ) (Cesàro) ผลรวมจะบ่งชี้ถึงผลรวมของ Ingham และผลรวมของ Ingham จะบ่งชี้ถึงผลรวมของ (C, δ ) ^{[ 9 ]}

อนุกรมa ₁  + ... เรียกว่าอนุกรม Lambert summableเป็นsถ้า

${\displaystyle \lim _{y\rightarrow 0^{+}}\sum _{n\geq 1}a_{n}{\frac {nye^{-ny}}{1-e^{-ny}}}=s.}$

ถ้าอนุกรมสามารถหาผลรวม (C, k ) (Cesàro) ได้สำหรับk ใดๆ ก็จะสามารถหาผลรวมแบบ Lambert ได้ค่าเดียวกัน และถ้าอนุกรมสามารถหาผลรวมแบบ Lambert ได้ ก็จะสามารถหาผลรวมแบบ Abel ได้ค่าเดียวกัน^{[ 9 ]}

อนุกรมa ₀  + ... เรียกว่า Le Roy summable to sถ้า^{[ 10 ]}

${\displaystyle \lim _{\zeta \rightarrow 1^{-}}\sum _{n}{\frac {\Gamma (1+\zeta n)}{\Gamma (1+n)}}a_{n}=s.}$

อนุกรมa ₀  + ... เรียกว่า Mittag-Leffler (M) ที่สามารถหาผลรวมได้เป็นsถ้า^{[ 10 ]}

${\displaystyle \lim _{\delta \rightarrow 0}\sum _{n}{\frac {a_{n}}{\Gamma (1+\delta n)}}=s.}$

ผลรวมของรามานุจันเป็นวิธีการกำหนดค่าให้กับอนุกรมลู่เข้าซึ่งรามานุจันใช้และอิงตามสูตรผลรวมของออยเลอร์-แมคลาลินผลรวมของรามานุจันของอนุกรมf (0) + f (1) + ... ขึ้นอยู่กับไม่เพียงแต่ค่าของfที่จำนวนเต็มเท่านั้น แต่ยังขึ้นอยู่กับค่าของฟังก์ชันfที่จุดที่ไม่ใช่จำนวนเต็มด้วย ดังนั้นจึงไม่ใช่วิธีการหาผลรวมในความหมายของบทความนี้อย่างแท้จริง

อนุกรมa ₁  + ... เรียกว่า (R, k ) (หรือ Riemann) ที่สามารถหาผลรวมได้เป็นsถ้า^{[ 11 ]}

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}\sum _{n}a_{n}\left({\frac {\sin nh}{nh}}\right)^{k}=s.}$

อนุกรมa ₁  + ... เรียกว่า R ₂ที่สามารถหาผลรวมได้เป็นsถ้า

${\displaystyle \lim _{h\rightarrow 0}{\frac {2}{\pi }}\sum _{n}{\frac {\sin ^{2}nh}{n^{2}h}}(a_{1}+\cdots +a_{n})=s.}$

ถ้าλ _nเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นของจำนวนจริง และ

${\displaystyle A_{\lambda }(x)=a_{0}+\cdots +a_{n}{\text{ for }}\lambda _{n}<x\leq \lambda _{n+1}}$

จากนั้นผลรวม Riesz (R, λ , κ ) ของอนุกรมa ₀  + ... จะถูกกำหนดดังนี้

${\displaystyle \lim _{\omega \rightarrow \infty }{\frac {\kappa }{\omega ^{\kappa }}}\int _{0}^{\omega }A_{\lambda }(x)(\omega -x)^{\kappa -1}\,dx.}$

อนุกรมa ₁  + ... เรียกว่า VP (หรือ Vallée-Poussin) ซึ่งสามารถหาผลรวมได้เป็นsถ้า

${\displaystyle \lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m}a_{k}{\frac {[\Gamma (m+1)]^{2}}{\Gamma (m+1-k)\,\Gamma (m+1+k)}}=\lim _{m\rightarrow \infty }\left[a_{0}+a_{1}{\frac {m}{m+1}}+a_{2}{\frac {m(m-1)}{(m+1)(m+2)}}+\cdots \right]=s,}$

ฟังก์ชันแกมมาอยู่ที่ไหน^{[ 11 ]}${\displaystyle \Gamma (x)}$

ซีรีส์นี้สรุปได้ว่า Zeldovich เป็นอย่างไร ถ้า

${\displaystyle \lim _{\alpha \to 0^{+}}\sum _{n}c_{n}e^{-\alpha n^{2}}=s.}$

• ทฤษฎีบทซิลเวอร์แมน-โทปลิตซ์
• ทฤษฎีบทอาเบล–ดินี–พริงไชม์