ในทางคณิตศาสตร์จำนวนไฮเปอร์เรียลคือองค์ประกอบของส่วนขยายฟิลด์ ที่เป็นไปได้หลายแบบ ของฟิลด์จำนวนจริงซึ่งส่วนขยายเหล่านี้รวมถึงคลาสบางคลาสของ จำนวน อนันต์และจำนวนอนันต์เล็ก^{[ 1 ]}จำนวนไฮเปอร์เรียลจะเรียกว่าเป็นจำนวนจำกัดเมื่อสำหรับจำนวนเต็มบางจำนวน[ ^{1 ] [ 2 ] ใน}ทำนองเดียวกันจะเรียกว่าเป็นจำนวนอนันต์เล็กเมื่อสำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด[ ^{1 ] [ 2 ] คำ}ว่า "ไฮเปอร์เรียล" ได้รับการแนะนำโดยเอ็ดวิน ฮิววิตต์ในปี 1948 ^{[ 3 ]}${\displaystyle \ast \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x}$${\displaystyle {|x|}<n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {|x|}<1/n}$${\displaystyle n}$

จำนวนไฮเปอร์เรียลเป็นไปตามหลักการถ่ายโอน ซึ่ง เป็นกฎความต่อเนื่องเชิงอนุมาน ของ ไลบ์นิซในรูปแบบที่เข้มงวดกว่าหลักการถ่ายโอนระบุว่าข้อความลำดับแรกที่ เป็นจริง เกี่ยวกับ ก็ใช้ได้ใน ด้วยเช่นกัน^{[ 4 ]}ตัวอย่างเช่นกฎการสลับที่ของการบวกใช้ได้กับไฮเปอร์เรียลเช่นเดียวกับที่ใช้กับจำนวนจริง เนื่องจากเป็นฟิลด์ปิดจริงดังนั้น ก็เป็นเช่นกัน ในทำนองเดียวกัน เนื่องจากสำหรับจำนวนเต็ม ทั้งหมด จึงมี สำหรับ ไฮเปอร์อินทิเกรตทั้งหมด ด้วย หลักการถ่ายโอนสำหรับอัลตราพาวเวอร์เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของโลสในปี 1955 ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle x+y=y+x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle \sin({\pi n})=0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sin({\pi ชั่วโมง})=0}$${\displaystyle h}$

ความกังวลเกี่ยวกับความถูกต้องของข้อโต้แย้งที่เกี่ยวข้องกับอนันต์เล็ก ๆ ย้อนกลับไปถึงคณิตศาสตร์กรีกโบราณ โดย อาร์ คิมิดีสได้แทนที่การพิสูจน์ดังกล่าวด้วยวิธีการอื่น เช่นวิธีการหาค่าโดยประมาณ^{[ 5 ]}ในช่วงทศวรรษ 1960 อับราฮัม โรบินสันได้พิสูจน์ว่าไฮเปอร์เรียลมีความสอดคล้องทางตรรกะก็ต่อเมื่อเรียลมีความสอดคล้องทางตรรกะเท่านั้น สิ่งนี้ทำให้ความกังวลที่ว่าการพิสูจน์ใด ๆ ที่เกี่ยวข้องกับอนันต์เล็ก ๆ อาจไม่ถูกต้องหมดไป ตราบใดที่อนันต์เล็ก ๆ เหล่านั้นถูกจัดการตามกฎตรรกะที่โรบินสันได้ระบุไว้

การประยุกต์ใช้จำนวนไฮเปอร์เรียล โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลักการถ่ายโอน กับปัญหาทางคณิตศาสตร์วิเคราะห์เรียกว่าการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานตัวอย่างการประยุกต์ใช้โดยตรงอย่างหนึ่งคือ การกำหนดนิยามของแนวคิดพื้นฐานทางคณิตศาสตร์วิเคราะห์ เช่นอนุพันธ์และปริพันธ์ ในลักษณะโดยตรง โดยไม่ต้องผ่านความซับซ้อนทางตรรกะของตัวบ่งปริมาณหลายตัว ดังนั้น อนุพันธ์ของ จึงกลายเป็น ${\displaystyle f(x)}$

${\displaystyle f'(x)=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}\right)}$

สำหรับค่าอนันต์เล็ก ๆโดยที่หมายถึงฟังก์ชันส่วนมาตรฐานซึ่ง "ปัดเศษ" ค่าไฮเปอร์เรียลจำกัดแต่ละค่าให้เป็นจำนวนจริงที่ใกล้ที่สุด ในทำนองเดียวกัน อินทิกรัลถูกกำหนดให้เป็นส่วนมาตรฐานของผลรวมอนันต์ที่ เหมาะสม${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle \operatorname {st} }$

แนวคิดของระบบไฮเปอร์เรียลคือการขยายจำนวนจริงเพื่อสร้างระบบที่รวมถึงจำนวนอนันต์และจำนวนอนันต์ แต่โดยไม่เปลี่ยนแปลงสัจพจน์พื้นฐานของพีชคณิตใดๆ ข้อความใดๆ ในรูปแบบ "สำหรับจำนวนใดๆ" ที่เป็นจริงสำหรับจำนวนจริงจะต้องเป็นจริงสำหรับไฮเปอร์เรียลด้วย ตัวอย่างเช่น สัจพจน์ที่กล่าวว่า "สำหรับจำนวนใดๆ" ยังคงใช้ได้ เช่นเดียวกับการกำหนดปริมาณของหลายจำนวน เช่น "สำหรับจำนวนใดๆและ" ความสามารถในการถ่ายทอดข้อความจากจำนวนจริงไปยังไฮเปอร์เรียลนี้เรียกว่าหลักการถ่ายโอนอย่างไรก็ตาม ข้อความในรูปแบบ "สำหรับเซตของจำนวน ใดๆ " อาจไม่สามารถถ่ายทอดได้ คุณสมบัติเดียวที่แตกต่างกันระหว่างจำนวนจริงและไฮเปอร์เรียลคือคุณสมบัติที่อาศัยการกำหนดปริมาณของเซตหรือโครงสร้างระดับสูงอื่นๆ เช่น ฟังก์ชันและความสัมพันธ์ ซึ่งโดยทั่วไปสร้างขึ้นจากเซต เซต ฟังก์ชัน และความสัมพันธ์ของจำนวนจริงแต่ละอย่างมีส่วนขยายไฮเปอร์เรียลตามธรรมชาติ ซึ่งมีคุณสมบัติลำดับที่หนึ่งเหมือนกัน ประโยคตรรกะประเภทที่ปฏิบัติตามข้อจำกัดเรื่องปริมาณนี้ เรียกว่า ประโยคบอกเล่าในตรรกะ ลำดับที่หนึ่ง${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle x\dots }$${\displaystyle x}$${\displaystyle x+0=x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xy=yx}$${\displaystyle S\dots }$

อย่างไรก็ตาม หลักการถ่ายโอนไม่ได้หมายความว่าและจะมีพฤติกรรมที่เหมือนกันทุกประการ ตัวอย่างเช่น ในจะมีองค์ประกอบ อยู่ตัวหนึ่งที่ทำให้ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle 1<\omega ,\quad 1+1<\omega ,\quad 1+1+1<\omega ,\quad 1+1+1+1<\omega ,\ldots .}$

แต่ไม่มีจำนวนดังกล่าวใน. (กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ไม่ใช่จำนวนอาร์คิมีเดียน ) นี่เป็นไปได้เพราะการไม่มีอยู่ของไม่สามารถแสดงออกมาในรูปประโยคอันดับแรกได้ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle \omega }$

สัญลักษณ์ที่ไม่เป็นทางการสำหรับปริมาณที่ไม่ใช่จำนวนจริงนั้นปรากฏในแคลคูลัสมาโดยตลอดในสองบริบท ได้แก่ ในรูปของปริมาณอนันต์เล็ก ๆ เช่นและในรูปของสัญลักษณ์ซึ่งใช้เป็นต้น ในขอบเขตของการอินทิเกรตของ อินทิกรั ล ไม่เหมาะสม${\displaystyle dx}$${\displaystyle \infty }$

ตัวอย่างหนึ่งของหลักการถ่ายโอนคือ ข้อความที่ว่า สำหรับจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์เป็นจริงสำหรับจำนวนจริง และอยู่ในรูปแบบที่หลักการถ่ายโอนต้องการ ดังนั้นจึงเป็นจริงสำหรับจำนวนไฮเปอร์เรียลด้วย สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าไม่สามารถใช้สัญลักษณ์ทั่วไป เช่นสำหรับปริมาณอนันต์ทั้งหมดในระบบไฮเปอร์เรียลได้ ปริมาณอนันต์จะแตกต่างกันในขนาดจากปริมาณอนันต์อื่นๆ และปริมาณเล็กน้อยจะแตกต่างกันจากปริมาณเล็กน้อยอื่นๆ ${\displaystyle x}$${\displaystyle 2x\neq x}$${\displaystyle \infty }$

ในทำนองเดียวกัน การใช้คำว่า "ศูนย์" อย่างไม่ระมัดระวังก็ไม่ถูกต้องเช่นกัน เนื่องจากหลักการถ่ายโอนใช้ได้กับข้อความที่ว่าศูนย์ไม่มีตัวผกผันการคูณ การคำนวณที่เข้มงวดกว่านั้นก็คือ ถ้าเป็นจำนวนอนันต์ที่ไม่เป็นศูนย์ แล้วจะเป็นอนันต์ ${\displaystyle 1/0=\infty }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle 1/\varepsilon }$

สำหรับจำนวนไฮเปอร์เรียลจำกัดใดๆส่วนมาตรฐาน , , ถูกกำหนดให้เป็นจำนวนจริงที่ใกล้ที่สุดกับ เพียงหนึ่งเดียวโดยจะแตกต่างจากเพียงเล็กน้อยเท่านั้น ฟังก์ชันส่วนมาตรฐานยังสามารถกำหนดสำหรับจำนวนไฮเปอร์เรียลอนันต์ได้ดังนี้: ถ้าเป็นจำนวนไฮเปอร์เรียลอนันต์บวก ให้กำหนดให้ เป็นจำนวนจริงขยายและในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นจำนวนไฮเปอร์เรียลอนันต์ลบ ให้กำหนดให้ เป็น(แนวคิดคือ จำนวนไฮเปอร์เรียลอนันต์ควรมีค่าน้อยกว่าค่าอนันต์สัมบูรณ์ "ที่แท้จริง" แต่ใกล้เคียงกับค่าอนันต์สัมบูรณ์มากกว่าจำนวนจริงใดๆ) ${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {st} (x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {st} (x)}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {st} (x)}$${\displaystyle -\infty }$

หนึ่งในประโยชน์หลักของระบบจำนวนไฮเปอร์เรียลคือการให้ความหมายที่แม่นยำแก่ตัวดำเนินการเชิงอนุพันธ์ดังที่ไลบ์นิซใช้ในการกำหนดอนุพันธ์และปริพันธ์ ${\displaystyle d}$

สำหรับฟังก์ชันค่าจริงใดๆอนุพันธ์จะถูกนิยามว่าเป็นแผนที่ซึ่งส่งคู่ลำดับทุกคู่(โดยที่เป็นจำนวนจริง และเป็นค่าอนันต์ที่ไม่เป็นศูนย์) ไปยังค่าอนันต์ ${\displaystyle f,}$${\displaystyle df}$${\displaystyle (x,dx)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle dx}$

${\displaystyle df(x,dx):=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)\ dx.}$

โปรดสังเกตว่าสัญลักษณ์ " " ที่ใช้แทนค่าอนันต์ใดๆ นั้นสอดคล้องกับคำจำกัดความของตัวดำเนินการข้างต้นเพราะหากตีความ(ดังที่มักทำกัน) ว่าเป็นฟังก์ชันแล้ว สำหรับทุกค่า อนุพันธ์จะเท่ากับค่าอนันต์ ${\displaystyle dx}$${\displaystyle d,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f(x)=x,}$${\displaystyle (x,dx)}$${\displaystyle d(x)}$${\displaystyle dx}$

ฟังก์ชันค่าจริงจะกล่าวได้ว่าสามารถหาอนุพันธ์ได้ที่จุดใดจุดหนึ่งถ้าผลหารของฟังก์ชันนั้น... ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}=\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$

มีค่าเท่ากันสำหรับค่าอนันต์เล็ก ๆ ที่ไม่เป็นศูนย์ทั้งหมด ถ้า เป็น เช่นนั้น ผลหารนี้เรียกว่าอนุพันธ์ของที่${\displaystyle dx.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$

ตัวอย่างเช่น ในการหาอนุพันธ์ของฟังก์ชัน ให้เป็นค่าอนันต์ขนาดเล็กที่ไม่เป็นศูนย์ จากนั้น ${\displaystyle f(x)=x^{2}}$${\displaystyle dx}$

${\displaystyle {\frac {df(x,dx)}{dx}}}$	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {f(x+dx)-f(x)}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {x^{2}+2x\cdot dx+(dx)^{2}-x^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx+(dx)^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left({\frac {2x\cdot dx}{dx}}+{\frac {(dx)^{2}}{dx}}\right)}$
	${\displaystyle =\operatorname {st} \left(2x+dx\right)}$
	${\displaystyle =2x}$

การใช้ส่วนมาตรฐานในนิยามของอนุพันธ์เป็นทางเลือกที่เข้มงวดกว่าการปฏิบัติแบบดั้งเดิมที่ละเลยกำลังสอง^{[ 6 ]}ของปริมาณอนันต์ระบบจำนวนคู่เป็นระบบจำนวนที่อิงตามแนวคิดนี้ หลังจากบรรทัดที่สามของการหาอนุพันธ์ข้างต้น วิธีการทั่วไปตั้งแต่สมัยนิวตันจนถึงศตวรรษที่ 19 คือการละทิ้งเทอมนั้นไป ในระบบไฮเปอร์เรียล เนื่องจากมีค่าไม่เป็นศูนย์ และหลักการถ่ายโอนสามารถนำไปใช้กับข้อความที่ว่ากำลังสองของจำนวนใดๆ ที่ไม่ใช่ศูนย์จะมีค่าไม่เป็นศูนย์ อย่างไรก็ตาม ปริมาณนี้ มีขนาดเล็กมากเมื่อเทียบกับนั่นคือ ระบบไฮเปอร์เรียลมีลำดับชั้นของปริมาณอนันต์ ${\displaystyle dx^{2}}$${\displaystyle dx^{2}\neq 0}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle dx^{2}}$${\displaystyle dx}$

การใช้จำนวนไฮเปอร์เรียลในการหาอนุพันธ์ช่วยให้สามารถใช้แนวทางพีชคณิตในการหาอนุพันธ์ได้มากขึ้น ในการหาอนุพันธ์แบบมาตรฐาน อนุพันธ์ย่อยและอนุพันธ์อันดับสูงไม่สามารถจัดการได้อย่างอิสระด้วยเทคนิคทางพีชคณิต อย่างไรก็ตาม การใช้จำนวนไฮเปอร์เรียลทำให้สามารถสร้างระบบเพื่อทำเช่นนั้นได้ แม้ว่าจะส่งผลให้ได้สัญลักษณ์ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อยก็ตาม^{[ 7 ]}

อีกหนึ่งการใช้งานที่สำคัญของระบบจำนวนไฮเปอร์เรียลคือการให้ความหมายที่แม่นยำแก่เครื่องหมายอินทิกรัล ∫ ที่ไลบ์นิซใช้ในการกำหนดอินทิกรัลจำกัด

สำหรับฟังก์ชันอนันต์เล็ก ๆ ใด ๆเราสามารถกำหนดอินทิกรัลเป็นแผนที่ที่ส่งสามพิกัดเรียงลำดับใด ๆ(โดยที่และเป็นจำนวนจริง และเป็นอนันต์เล็ก ๆ ที่มีเครื่องหมายเดียวกับ) ไปยังค่า ${\displaystyle \varepsilon (x)}$${\displaystyle \textstyle \int \varepsilon }$${\displaystyle (a,b,dx)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle dx}$${\displaystyle ba}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(\varepsilon ,dx):=\operatorname {st} \left(\sum _{n=0}^{N}\varepsilon (a+n\ dx)\right)}$,

ไฮ เปอร์อินเทอร์เนทีฟใดๆ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไข นี้อยู่ ที่ไหน${\displaystyle N}$

${\displaystyle \operatorname {st} (N\ dx)=ba}$.

ฟังก์ชันค่าจริงจะกล่าวได้ว่าสามารถหาปริพันธ์ได้ในช่วงปิดถ้าสำหรับค่าอนันต์เล็กที่ไม่เป็นศูนย์ใดๆปริพันธ์นั้น... ${\displaystyle f}$${\displaystyle \ [a,b]\ }$${\displaystyle \ dx,\ }$

${\displaystyle \int _{a}^{b}(f\ dx,dx)}$

เป็นอิสระจากการเลือกถ้าเป็นเช่นนั้น อินทิกรัลนี้เรียกว่าอินทิกรัลจำกัด (หรืออนุพันธ์ผกผัน) ของบน${\displaystyle \ dx.}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \ [a,b].}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าการใช้จำนวนไฮเปอร์เรียลทำให้สัญลักษณ์ของไลบ์นิซสำหรับอินทิกรัลจำกัดสามารถตีความได้ว่าเป็นนิพจน์พีชคณิตที่มีความหมาย (เช่นเดียวกับที่อนุพันธ์สามารถตีความได้ว่าเป็นผลหารที่มีความหมาย) ^{[ 8 ]}

จำนวนไฮเปอร์เรียลก่อตัวเป็นฟิลด์เรียงลำดับที่มีจำนวนเรียลเป็นฟิลด์ย่อยต่างจากจำนวนเรียล จำนวนไฮเปอร์เรียลไม่ได้ก่อตัวเป็นปริภูมิเมตริก มาตรฐาน แต่ด้วยคุณสมบัติของการเรียงลำดับ ทำให้พวกมันมี โทโพโล ยี เรียงลำดับ${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

การใช้คำนำหน้าtheในวลีจำนวนไฮเปอร์เรียลอาจทำให้เข้าใจผิดได้บ้าง เนื่องจากไม่มีฟิลด์เรียงลำดับที่ไม่ซ้ำกันซึ่งถูกอ้างถึงในการวิเคราะห์ส่วนใหญ่ อย่างไรก็ตาม บทความปี 2003 โดยVladimir KanoveiและSaharon Shelah ^{[ 9 ]}แสดงให้เห็นว่ามีส่วนขยายพื้นฐาน ของจำนวนจริงที่สามารถกำหนดได้และ อิ่มตัว แบบนับได้ (หมายถึงอิ่มตัวแบบ ωแต่ไม่สามารถนับได้ ) ซึ่งจึงมีสิทธิ์ที่ดีที่จะได้รับชื่อว่า จำนวน ไฮเปอร์เรียล ยิ่งไปกว่านั้น ฟิลด์ที่ได้จากการสร้างกำลังพิเศษจากปริภูมิของลำดับจำนวนจริงทั้งหมดนั้นมีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึงไอโซมอร์ฟิซึม หากเราสมมติสมมติฐานความต่อเนื่อง

เงื่อนไขของการเป็นสนามไฮเปอร์เรียลนั้นแข็งแกร่งกว่าเงื่อนไขของการเป็นสนามปิดจริงที่บรรจุอย่างเคร่งครัด นอกจาก นี้ยังแข็งแกร่งกว่าเงื่อนไขของการเป็นสนามซูเปอร์เรียลในความหมายของ Dales และWoodin อีกด้วย ^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$

ไฮเปอร์เรียลสามารถพัฒนาได้ทั้งแบบเชิงสัจพจน์หรือแบบเชิงสร้างสรรค์ สาระสำคัญของแนวทางเชิงสัจพจน์คือการยืนยัน (1) การมีอยู่ของจำนวนอนันต์อย่างน้อยหนึ่งจำนวน และ (2) ความถูกต้องของหลักการถ่ายโอน ในส่วนย่อยต่อไปนี้ เราจะให้รายละเอียดเกี่ยวกับแนวทางเชิงสร้างสรรค์มากขึ้น วิธีนี้ช่วยให้สามารถสร้างไฮเปอร์เรียลได้หากกำหนดวัตถุเชิงเซตที่เรียกว่าอัลตราฟิลเตอร์แต่ตัวอัลตราฟิลเตอร์เองไม่สามารถสร้างขึ้นอย่างชัดเจนได้

เมื่อนิวตันและ (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง) ไลบ์นิซนำเสนออนุพันธ์ พวกเขาใช้ปริมาณอนันต์เล็ก ๆ และนักคณิตศาสตร์รุ่นหลัง เช่นออยเลอร์และโคชี ก็ยังคงมองว่าสิ่งเหล่านี้มีประโยชน์อยู่ อย่างไรก็ตาม แนวคิดเหล่านี้ถูกมองว่าน่าสงสัยมาตั้งแต่ต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยจอร์จ เบิร์กลีย์ คำวิจารณ์ของเบิร์กลีย์มุ่งเน้นไปที่การเปลี่ยนแปลงสมมติฐานในการนิยามอนุพันธ์ในแง่ของปริมาณอนันต์เล็ก ๆ (หรือฟลักซ์ชัน) โดยที่dxถูกสมมติว่าไม่เป็นศูนย์ในตอนเริ่มต้นของการคำนวณ และหายไปเมื่อสิ้นสุดการคำนวณ (ดู รายละเอียดเพิ่มเติมได้ ใน Ghosts of departed quantities ) เมื่อ แคลคูลัสได้รับการวางรากฐานอย่างมั่นคงในช่วงปี 1800 ผ่านการพัฒนา นิยาม (ε, δ) ของลิมิตโดยโบลซาโนโคชีไวเออร์สตรัสและคนอื่นๆ ปริมาณอนันต์เล็ก ๆ ก็ถูกละทิ้งไปเป็นส่วนใหญ่ แม้ว่าการวิจัยในสาขาที่ไม่ใช่แบบอาร์คิมีเดียนจะยังคงดำเนินต่อไป (เออร์ลิช 2006)

อย่างไรก็ตาม ในช่วงทศวรรษ 1960 อับราฮัม โรบินสันได้แสดงให้เห็นว่าจำนวนอนันต์ขนาดใหญ่และจำนวนอนันต์ขนาดเล็กสามารถกำหนดได้อย่างเข้มงวดและนำไปใช้ในการพัฒนาสาขาการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐาน [ ^{11 ] โรบินสัน}พัฒนาทฤษฎีของเขาโดยไม่สร้างโดยใช้ทฤษฎีแบบจำลองอย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่จะดำเนินการโดยใช้เพียงพีชคณิตและโทโพโลยีและพิสูจน์หลักการถ่ายโอนเป็นผลสืบเนื่องมาจากคำจำกัดความ กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนไฮเปอร์เรียลโดยตัวมันเองนอกเหนือจากการใช้งานในการวิเคราะห์แบบไม่มาตรฐานแล้ว ไม่มีความสัมพันธ์ที่จำเป็นกับทฤษฎีแบบจำลองหรือตรรกะลำดับที่หนึ่ง แม้ว่าจะถูกค้นพบโดยการประยุกต์ใช้เทคนิคทฤษฎีแบบจำลองจากตรรกะก็ตาม ฟิลด์ไฮเปอร์เรียลนั้นถูกนำเสนอครั้งแรกโดยฮิววิตต์ (1948) โดยใช้เทคนิคพีชคณิตล้วนๆ โดยใช้การสร้างกำลังพิเศษ

เราเริ่มต้นด้วยภาษาที่มีสัญลักษณ์คงที่สำหรับจำนวนจริงมาตรฐานทุกตัวสัญลักษณ์ฟังก์ชันสำหรับฟังก์ชัน -ary ทุกตัว บนจำนวนจริงมาตรฐาน และสัญลักษณ์ภาคแสดงสำหรับความสัมพันธ์ทุกตัวบนจำนวนจริง สร้างแบบจำลองที่เรียกว่าซึ่งมีเอกภพคือและเราตีความสัญลักษณ์แต่ละตัวในลักษณะที่ชัดเจน (เช่น, , ) ^{[ 12 ]}${\displaystyle c_{r}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle f_{F}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle F}$${\displaystyle P_{R}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle c_{r}^{\mathfrak {R}}=r}$${\displaystyle f_{F}^{\mathfrak {R}}=F}$${\displaystyle P_{R}^{\mathfrak {R}}=R}$

พิจารณาทฤษฎี ซึ่งก็คือเซตของประโยค ทั้งหมด ที่เป็นจริงในทฤษฎีนี้สมบูรณ์ กล่าวคือ สำหรับทุกสูตรหรือเป็นสมาชิกของยิ่งไปกว่านั้นประกอบด้วยข้อเท็จจริงทุกอย่างที่สามารถแสดงได้เกี่ยวกับฟังก์ชันหรือความสัมพันธ์ใดๆ บนจำนวนจริงใน ประโยค อันดับแรกต่อไปนี้เราจะเพิ่มทฤษฎีนี้ด้วยเซตของสูตร โดยที่แต่ละสูตร โดยพื้นฐานแล้วกล่าวว่ามากกว่าจำนวนจริงมาตรฐานบางจำนวนตอนนี้ เซตของประโยคนั้นสามารถทำให้เป็นจริงได้ในจำนวนจำกัด - โดยเฉพาะอย่างยิ่ง สามารถทำให้เป็นจริงได้สำหรับส่วนย่อยใดๆ ของเซตนั้นโดยการกำหนดค่าที่สูงเพียงพอ ดังนั้น โดยทฤษฎีบทความกะทัดรัดจึงสามารถทำให้เป็นจริงได้ในโครงสร้างบางอย่าง ${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \neg \phi }$${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$${\displaystyle \Sigma =\{c_{r}P_{<}v_{1}|r\in \mathbb {R} \}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}\cup \Sigma }$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

โปรดสังเกตก่อนว่า เนื่องจากสมบูรณ์( จึงเทียบเท่ากับ) เนื่องจากทุกประโยคหรือคำปฏิเสธของประโยคเป็นสมาชิกของ ดังนั้นทุกประโยคที่เป็นจริงในจึงเป็นจริงในและในทางกลับกัน อย่างไรก็ตามเนื่องจากโดยการสร้างแล้ว มีสมาชิกของที่มากกว่าทุกสมาชิกของกล่าวคือ มากกว่าจำนวนจริงมาตรฐานใดๆ และดังนั้นจึงเป็นอนันต์ อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันที่แปลงจำนวนจริงมาตรฐานแต่ละตัวไปสู่การตีความสัญลักษณ์ค่าคงที่ที่สอดคล้องกันในเป็นการฝังแบบไอโซมอร์ฟิก ${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}\equiv {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\text{Th}}{\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}\not \cong {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle h(r)=c_{r}^{\mathfrak {A}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

ดังนั้น ในขั้นตอนสุดท้าย เราจะใช้ข้อเท็จจริงที่ว่ามีการฝังตัวแบบไอโซมอร์ฟิกของลงในและเราจะแทนที่การตีความของใน แต่ละจำนวนจริงมาตรฐาน ด้วย โดยกำหนดการตีความของสัญลักษณ์ฟังก์ชันและตัวบ่งชี้ต่างๆ ให้สอดคล้องกัน ซึ่งจะทำให้เราได้โครงสร้างซึ่งไอโซมอร์ฟิกกับและเป็นตัวแทนของจำนวนไฮเปอร์เรียล ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle c_{r}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$

หลักการถ่ายโอนเป็นผลโดยตรงจากคำจำกัดความนี้ กล่าวคือ มันใช้ประโยชน์จากข้อเท็จจริงที่ว่าโครงสร้างและนั้นเทียบเท่ากันในเชิงพื้นฐาน ${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$

แม้ว่าโครงสร้างของจะไม่ได้กล่าวถึงอนันต์เล็ก ๆ อย่างชัดเจน แต่ใน นั้น เราสามารถแสดงข้อเท็จจริงที่ว่าทุกจำนวนที่ไม่เป็นศูนย์มีตัวผกผันการคูณได้โดยใช้ประโยคอันดับแรก กล่าวคือ: ${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}}$

${\displaystyle \forall x\exists y\{x\neq c_{0}\rightarrow f_{\times }xy=c_{1}\}}$.

ดังนั้น ประโยคนี้จึงต้องเป็นจริงตามโครงสร้าง ดังนั้น สมาชิกอนันต์ของจะต้องมีตัวผกผันการคูณ ตัวผกผันการคูณเหล่านี้จะต้องมีค่าน้อยกว่าจำนวนจริงมาตรฐานใดๆ และจำนวนอนันต์ที่เราต้องการก็เช่นกัน นี่ก็เป็นเพราะคุณสมบัติที่ว่า ${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$${\displaystyle *{\mathfrak {R}}}$

${\displaystyle 1<a<b\;\;\rightarrow \;\;{\frac {1}{b}}<{\frac {1}{a}}<1}$

สามารถแสดงออกมาในรูปประโยคลำดับที่หนึ่งในภาษาของเราได้

เราจะสร้างฟิลด์ไฮเปอร์เรียลผ่านลำดับของจำนวนจริง^{[ 13 ]}ในความเป็นจริงเราสามารถบวกและคูณลำดับตามส่วนประกอบได้ ตัวอย่างเช่น:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )+(b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )=(a_{0}+b_{0},a_{1}+b_{1},a_{2}+b_{2},\ldots )}$

และในทำนองเดียวกันสำหรับการคูณ สิ่งนี้เปลี่ยนเซตของลำดับดังกล่าวให้กลายเป็นวงแหวนสลับที่ซึ่งแท้จริงแล้วคือพีชคณิต จริง AเรามีการฝังตัวตามธรรมชาติของในAโดยการระบุจำนวนจริงrกับลำดับ ( r , r , r , …) และการระบุนี้จะรักษาการดำเนินการทางพีชคณิตที่สอดคล้องกันของจำนวนจริง แรงจูงใจโดยสัญชาตญาณคือ ตัวอย่างเช่น การแทนจำนวนอนันต์โดยใช้ลำดับที่เข้าใกล้ศูนย์ ส่วนกลับของลำดับดังกล่าวจะแทนจำนวนอนันต์ ดังที่เราจะเห็นต่อไป ความยากลำบากเกิดขึ้นเนื่องจากความจำเป็นในการกำหนดกฎสำหรับการเปรียบเทียบลำดับดังกล่าวในลักษณะที่ถึงแม้จะค่อนข้างเป็นไปตามอำเภอใจ แต่ก็ต้องมีความสอดคล้องกันและกำหนดไว้อย่างดี ตัวอย่างเช่น เราอาจมีลำดับสองลำดับที่แตกต่างกันใน สมาชิก n ตัวแรก แต่เท่ากันหลังจากนั้น ลำดับดังกล่าวควรได้รับการพิจารณาว่าแทนจำนวนไฮเปอร์เรียลเดียวกันอย่างชัดเจน ในทำนองเดียวกัน ลำดับส่วนใหญ่จะแกว่งไปมาอย่างสุ่มตลอดไป และเราต้องหาวิธีที่จะนำลำดับดังกล่าวมาตีความ เช่น โดยที่เป็นจำนวนอนันต์เล็ก ๆ จำนวนหนึ่ง ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 7+\epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

ดังนั้น การเปรียบเทียบลำดับจึงเป็นเรื่องละเอียดอ่อน เราอาจลองกำหนดความสัมพันธ์ระหว่างลำดับในลักษณะของส่วนประกอบแต่ละส่วนก็ได้:

${\displaystyle (a_{0},a_{1},a_{2},\ldots )\leq (b_{0},b_{1},b_{2},\ldots )\iff (a_{0}\leq b_{0})\wedge (a_{1}\leq b_{1})\wedge (a_{2}\leq b_{2})\ldots }$

แต่ตรงนี้เราเจอปัญหา เพราะบางค่าในลำดับแรกอาจมากกว่าค่าที่สอดคล้องกันในลำดับที่สอง และบางค่าอาจน้อยกว่า ดังนั้น ความสัมพันธ์ที่กำหนดในลักษณะนี้จึงเป็นเพียงลำดับบางส่วน เท่านั้น เพื่อแก้ปัญหานี้ เราต้องระบุว่าตำแหน่งใดมีความสำคัญ เนื่องจากมีดัชนีอยู่เป็นอนันต์ เราจึงไม่ต้องการให้เซตดัชนีที่มีจำนวนจำกัดมีความสำคัญ การเลือกเซตดัชนีที่มีความสำคัญอย่างสอดคล้องนั้นได้มาจากอัลตราฟิลเตอร์ อิสระ U ใดๆ บนจำนวนธรรมชาติซึ่งสามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นอัลตราฟิลเตอร์ที่ไม่ประกอบด้วยเซตที่มีจำนวนจำกัดใดๆ (ข่าวดีคือทฤษฎีบทของ Zornรับประกันการมีอยู่ของU ดังกล่าวจำนวนมาก ข่าวร้ายคือไม่สามารถสร้าง U เหล่านั้นขึ้นมาได้อย่างชัดเจน) เราคิดว่าUคัดเลือกเซตของดัชนีที่ "สำคัญ" ออกมา: เราเขียน ( a ₀ , a ₁ , a ₂ , ...) ≤ ( b ₀ , b ₁ , b ₂ , ... ) ก็ต่อเมื่อเซตของจำนวนธรรมชาติ { n  : a _n ≤ b _n } อยู่ในU

นี่คือลำดับก่อนสมบูรณ์และจะกลายเป็นลำดับสมบูรณ์หากเราตกลงกันว่าจะไม่แยกความแตกต่างระหว่างลำดับaและbหากa ≤ bและb ≤ aด้วยการระบุนี้ ฟิลด์ลำดับของไฮเปอร์เรียลจึงถูกสร้างขึ้น จากมุมมองทางพีชคณิตUอนุญาตให้เรากำหนดอุดมคติสูงสุดI ที่สอดคล้องกัน ในวงแหวนสลับที่A (กล่าวคือ เซตของลำดับที่หายไปในบางองค์ประกอบของU ) จากนั้นกำหนดเป็นA / Iซึ่งเป็นผลหารของวงแหวนสลับที่โดยอุดมคติสูงสุดเป็นฟิลด์ สิ่งนี้ยังเขียนแทนด้วยA / Uโดยตรงในแง่ของอัลตราฟิลเตอร์อิสระUทั้งสองอย่างเทียบเท่ากัน ความเป็นสูงสุดของIมาจากความเป็นไปได้ที่เมื่อกำหนดลำดับa แล้ว จะสร้างลำดับbที่กลับองค์ประกอบที่ไม่เป็นศูนย์ของaและไม่เปลี่ยนแปลงรายการที่เป็นศูนย์ หากเซตที่aหายไปไม่อยู่ในUผลคูณab จะถูก ระบุว่าเป็นจำนวน 1 และอุดมคติใด ๆ ที่มี 1 จะต้องเป็นAในฟิลด์ที่ได้นั้นaและbเป็นตัวผกผันกัน ${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle *\mathbb {R} }$

ฟิลด์A / Uเป็นอัลตร้าพาวเวอร์ของเนื่องจากฟิลด์นี้ประกอบด้วยจึงมีจำนวนสมาชิกอย่างน้อยเท่ากับจำนวนสมาชิกของคอนติเนียมเนื่องจากAมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle (2^{\aleph _{0}})^{\aleph _{0}}=2^{\aleph _{0}^{2}}=2^{\aleph _{0}},}$

นอกจากนี้มันยังมีขนาดไม่ใหญ่กว่าและ ด้วยเหตุนี้จึงมีจำนวนสมาชิกเท่ากับ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

คำถามหนึ่งที่เราอาจถามคือ ถ้าเราเลือกอัลตราฟิลเตอร์อิสระV ที่แตกต่างกัน ฟิลด์ผลหารA / Uจะเป็นไอโซมอร์ฟิกในฐานะฟิลด์เรียงลำดับกับA / Vหรือไม่ คำถามนี้กลับกลายเป็นว่าเทียบเท่ากับสมมติฐานความต่อเนื่องในZFCด้วยสมมติฐานความต่อเนื่อง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าฟิลด์นี้มีเอกลักษณ์เฉพาะตัวจนถึง ไอโซม อร์ฟิซึมลำดับและใน ZFC ด้วยการปฏิเสธสมมติฐานความต่อเนื่อง เราสามารถพิสูจน์ได้ว่ามีคู่ของฟิลด์ที่ไม่เป็นไอโซมอร์ฟิกลำดับซึ่งต่างก็เป็นอัลตราพาวเวอร์ของจำนวนจริงที่มีดัชนีนับได้^{[ 14 ]}

สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการก่อสร้างนี้ โปรดดูที่ ultraproduct

ต่อไปนี้เป็นวิธีทำความเข้าใจจำนวนไฮเปอร์เรียลแบบง่ายๆ แนวทางที่ใช้ในที่นี้ใกล้เคียงกับแนวทางในหนังสือของโกลด์แบลตต์มาก^{[ 15 ]}โปรดจำไว้ว่าลำดับที่ลู่เข้าสู่ศูนย์บางครั้งเรียกว่าเล็กมากจนเป็นอนันต์ สิ่งเหล่านี้เกือบจะเป็นอนันต์เล็กในแง่หนึ่ง อนันต์เล็กที่แท้จริงรวมถึงลำดับบางประเภทที่มีลำดับที่ลู่เข้าสู่ศูนย์

มาดูกันว่าคลาสเหล่านี้มาจากไหน เริ่มจากลำดับของจำนวนจริงก่อน พวกมันก่อตัวเป็นวงแหวนกล่าวคือ เราสามารถคูณ บวก และลบพวกมันได้ แต่ไม่จำเป็นต้องหารด้วยสมาชิกที่ไม่เป็นศูนย์ จำนวนจริงถือเป็นลำดับคงที่ ลำดับจะเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมันเป็นศูนย์โดยสมบูรณ์ นั่นคือ a n ₌  0 สำหรับทุกn

ในวงแหวนลำดับของเรา เราสามารถได้ab  = 0 โดยที่a และ b  ไม่ เท่ากับ 0 ดังนั้น ถ้าสำหรับลำดับสองลำดับเรามีab  = 0 อย่างน้อยหนึ่งลำดับควรถูกประกาศให้เป็นศูนย์ น่าประหลาดใจที่ว่ามีวิธีการที่สอดคล้องกันในการทำเช่นนั้น ผลลัพธ์คือ ชั้นสมมูลของลำดับที่แตกต่างกันโดยลำดับที่ประกาศเป็นศูนย์ จะก่อตัวเป็นฟิลด์ ซึ่งเรียกว่าฟิลด์ ไฮเปอร์เรียล มันจะประกอบด้วยจำนวนอนันต์ขนาดเล็ก นอกเหนือจากจำนวนจริงปกติแล้ว ยังรวมถึงจำนวนขนาดใหญ่อนันต์ (ส่วนกลับของจำนวนอนันต์ขนาดเล็ก รวมถึงจำนวนที่แสดงโดยลำดับที่ลู่เข้าสู่อนันต์) นอกจากนี้ ทุกจำนวนไฮเปอร์เรียลที่ไม่ใช่จำนวนขนาดใหญ่อนันต์ จะมีค่าใกล้เคียงกับจำนวนจริงปกติอย่างอนันต์ กล่าวอีกนัยหนึ่ง มันจะเป็นผลรวมของจำนวนจริงปกติและจำนวนอนันต์ขนาดเล็ก ${\displaystyle a,b}$

โครงสร้างนี้ขนานไปกับการสร้างจำนวนจริงจากจำนวนตรรกยะที่แคนเตอร์ ได้กล่าวไว้ เขาเริ่มต้นด้วยวงแหวนของลำดับโคชีของจำนวนตรรกยะและประกาศว่าลำดับทั้งหมดที่ลู่เข้าสู่ศูนย์เป็นศูนย์ ผลลัพธ์ที่ได้คือจำนวนจริง เพื่อดำเนินการสร้างจำนวนไฮเปอร์เรียลต่อไป ให้พิจารณาเซตศูนย์ของลำดับของเรา นั่นคือ นั่นคือเซตของดัชนีที่เป็นที่ชัดเจนว่าถ้าแล้วการรวมกันของและคือ(เซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด) ดังนั้น: ${\displaystyle z(a)=\{i:a_{i}=0\}}$${\displaystyle z(a)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}=0}$${\displaystyle ab=0}$${\displaystyle z(a)}$${\displaystyle z(b)}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

1. ลำดับหนึ่งที่หายไปในเซตเสริมสองเซต ควรถูกประกาศว่าเป็นศูนย์
2. ถ้าค่าหนึ่งถูกประกาศเป็นศูนย์ ค่าอีกค่าหนึ่งก็ควรถูกประกาศเป็นศูนย์ด้วยเช่นกัน ไม่ว่าค่าอะไรก็ตาม${\displaystyle a}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle b}$
3. ถ้าทั้งและถูกประกาศเป็นศูนย์แล้ว ก็ควรประกาศให้ เป็นศูนย์ด้วยเช่นกัน${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a+b}$

แนวคิดคือการเลือกกลุ่มUของเซตย่อยของและประกาศว่า ก็ต่อเมื่อ เป็นสมาชิกของUเท่านั้นจากเงื่อนไขข้างต้นจะเห็นได้ว่า: ${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle a=0}$${\displaystyle z(a)}$

1. จากเซตเสริมสองเซต เซตหนึ่งเป็นของU
2. เซตใดๆ ที่มีเซตย่อยซึ่งอยู่ในU เซตย่อยนั้น ก็จะอยู่ในU ด้วยเช่น กัน
3. จุดตัดของเซตสองเซตใดๆ ที่อยู่ในUจะอยู่ในกลุ่มเซต U เช่น กัน
4. สุดท้ายนี้ เราไม่ต้องการให้เซตว่างเป็นสมาชิกของUเพราะถ้าเป็นเช่นนั้น ทุกสิ่งทุกอย่างก็จะอยู่ในUเช่นกัน เนื่องจากทุกเซตมีเซตว่างเป็นเซตย่อย

กลุ่มเซตใดๆ ที่สอดคล้องกับ (2–4) เรียกว่าตัวกรอง (ตัวอย่างเช่น ส่วนเติมเต็มของเซตจำกัด เรียกว่าตัวกรอง Fréchetและใช้ในทฤษฎีลิมิตทั่วไป) ถ้า (1) เป็นจริงด้วย U เรียกว่าตัวกรองพิเศษ (เพราะคุณไม่สามารถเพิ่มเซตเพิ่มเติมลงไปได้โดยไม่ทำให้มันเสียหาย) ตัวอย่างเดียวของตัวกรองพิเศษที่ทราบอย่างชัดเจนคือกลุ่มเซตที่มีองค์ประกอบที่กำหนด (ในกรณีของเรา สมมติว่าเป็นเลข 10) ตัวกรองพิเศษดังกล่าวเรียกว่าตัวกรองพิเศษแบบไม่สำคัญ และถ้าเราใช้มันในการสร้างของเรา เราจะกลับไปที่จำนวนจริงธรรมดา ตัวกรองพิเศษใดๆ ที่มีเซตจำกัดเป็นตัวกรองพิเศษแบบไม่สำคัญ เป็นที่ทราบกันว่าตัวกรองใดๆ สามารถขยายไปเป็นตัวกรองพิเศษได้ แต่การพิสูจน์ใช้สัจพจน์ของการเลือกการมีอยู่ของตัวกรองพิเศษที่ไม่ใช่แบบไม่สำคัญ ( บทพิสูจน์ตัวกรองพิเศษ ) สามารถเพิ่มเป็นสัจพจน์เพิ่มเติมได้ เนื่องจากอ่อนกว่าสัจพจน์ของการเลือก

ทีนี้ ถ้าเราใช้อัลตราฟิลเตอร์ที่ไม่ธรรมดา (ซึ่งเป็นส่วนขยายของฟิลเตอร์ Fréchet) และทำการสร้าง เราก็จะได้จำนวนไฮเปอร์เรียลเป็นผลลัพธ์

ถ้าเป็นฟังก์ชันจริงของตัวแปรจริง แล้ว ก็จะสามารถขยายไปเป็นฟังก์ชันไฮเปอร์เรียลของตัวแปรไฮเปอร์เรียลได้โดยธรรมชาติผ่านการประกอบฟังก์ชัน: ${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle f(\{x_{n}\})=\{f(x_{n})\}}$

โดยที่หมายถึง "ชั้นสมมูลของลำดับที่สัมพันธ์กับตัวกรองพิเศษของเรา" ลำดับสองลำดับจะอยู่ในชั้นเดียวกันก็ต่อเมื่อเซตศูนย์ของผลต่างของลำดับทั้งสองนั้นอยู่ในตัวกรองพิเศษของเรา ${\displaystyle \{\dots \}}$${\displaystyle \dots }$

นิพจน์และสูตรทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดมีความหมายสำหรับไฮเปอร์เรียลและเป็นจริงหากเป็นจริงสำหรับจำนวนจริงธรรมดา ปรากฏว่าไฮเปอร์เรียลจำกัดใดๆ (นั่นคือสำหรับจำนวนจริงธรรมดาบางตัว) จะอยู่ในรูปแบบที่เป็นจำนวนจริงธรรมดา (เรียกว่าจำนวนจริงมาตรฐาน) และเป็นจำนวนอนันต์เล็ก สามารถพิสูจน์ได้โดยวิธีการแบ่งครึ่งที่ใช้ในการพิสูจน์ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตรัส คุณสมบัติ (1) ของอัลตราฟิลเตอร์กลายเป็นสิ่งสำคัญ ${\displaystyle |x|<a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y+d}$${\displaystyle y}$${\displaystyle d}$

องค์ประกอบจำกัดFของก่อตัวเป็นวงแหวนเฉพาะที่และในความเป็นจริงเป็นวงแหวนการประเมินค่าโดยมีอุดมคติสูงสุดที่ ไม่ซ้ำกัน Sเป็นอนันต์เล็ก ๆ ผลหารF / Sนั้นสมมูลกับจำนวนจริง ดังนั้นเราจึงมี การแมปแบบ โฮโมมอร์ฟิก st( x ) จากFไปยังซึ่งเคอร์เนลประกอบด้วยอนันต์เล็ก ๆ และส่งองค์ประกอบx ทุกตัว ของFไปยังจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันซึ่งผลต่างจาก x อยู่ในSกล่าวคือ เป็นอนันต์เล็ก ๆ กล่าวอีกนัยหนึ่ง จำนวนจริงที่ไม่เป็นมาตรฐาน จำกัด ทุกตัวนั้น "ใกล้เคียงมาก" กับจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกัน ในแง่ที่ว่าถ้าx เป็นจำนวนจริงที่ไม่เป็นมาตรฐานจำกัดแล้ว จะมีจำนวนจริง st( x ) เพียงหนึ่งเดียวเท่านั้นที่x  – st( x ) เป็นอนันต์เล็ก ๆ จำนวน st( x ) นี้เรียกว่าส่วนมาตรฐานของx ซึ่ง ในเชิงแนวคิดเหมือนกับx ไปจนถึงจำนวนจริงที่ใกล้ที่สุดการดำเนินการนี้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมที่รักษาลำดับ ดังนั้นจึงมีพฤติกรรมที่ดีทั้งในเชิงพีชคณิตและเชิงทฤษฎีลำดับ มันรักษาความเป็นระเบียบแม้ว่าจะไม่ใช่ไอโซโทนิก กล่าวคือหมายความ ว่า แต่ไม่ได้หมายความว่า ${\displaystyle *\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \operatorname {st} (x)\leq \operatorname {st} (y)}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \operatorname {st} (x)<\operatorname {st} (y)}$

• ถ้าทั้งxและyมีค่าจำกัด เราจะได้ว่า$${\displaystyle \operatorname {st} (x+y)=\operatorname {st} (x)+\operatorname {st} (y)}$$$${\displaystyle \operatorname {st} (xy)=\operatorname {st} (x)\operatorname {st} (y)}$$
• ถ้าxมีค่าจำกัดและไม่ใช่ค่าอนันต์เล็ก ๆ$${\displaystyle \operatorname {st} (1/x)=1/\operatorname {st} (x)}$$
• xเป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อ$${\displaystyle \operatorname {st} (x)=x}$$

แผนที่ st มีความต่อเนื่องเมื่อเทียบกับโทโพโลยีลำดับบนไฮเปอร์เรียลจำกัด อันที่จริงแล้วมัน มีค่าคงที่ ใน ระดับท้องถิ่น

ให้เป็นปริภูมิไทโคนอฟและเป็นพีชคณิตของฟังก์ชันค่าจริงต่อเนื่องบนสมมติว่าเป็นไอเดียลสูงสุดในแล้วพีชคณิตผลหารเป็นฟิลด์ที่มีลำดับสมบูรณ์ซึ่งประกอบด้วยจำนวนจริง ถ้าประกอบด้วย อย่างเคร่งครัดแล้วเรียกว่าไอเดียลไฮเปอร์เรียล (ศัพท์เฉพาะของHewitt (1948)) และ เรียก ว่า ฟิลด์ไฮเปอร์เรียลโปรดทราบว่าไม่มีการสมมติว่าจำนวนสมาชิกของมากกว่าจำนวนสมาชิกของ; ในความเป็นจริงแล้วมันอาจมีจำนวนสมาชิกเท่ากันก็ได้ ${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle A=C(X)/M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle M}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

กรณีพิเศษที่สำคัญคือกรณีที่โทโพโลยีบนเป็นโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องในกรณีนี้สามารถระบุได้ด้วยจำนวนเชิงคาร์ดินัลและด้วยพีชคณิตจริงของฟังก์ชันจากไปยังฟิลด์ไฮเปอร์เรียลที่เราได้ในกรณีนี้เรียกว่าอัลตราพาวเวอร์ของและเหมือนกับอัลตราพาวเวอร์ที่สร้างขึ้นผ่านอัลตราฟิลเตอร์ อิสระ ในทฤษฎีแบบจำลอง ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle C(X)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{\kappa }}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• การวิเคราะห์เชิงสร้างสรรค์ที่ไม่เป็นไปตามมาตรฐาน
• ไฮเปอร์อินทีเจอร์  – จำนวนไฮเปอร์เรียลที่เท่ากับส่วนจำนวนเต็มของตัวมันเอง
• อิทธิพลของการวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐาน
• แคลคูลัสแบบไม่มาตรฐาน  – การประยุกต์ใช้ปริมาณอนันต์ในยุคสมัยใหม่
• สนามปิดจริง  – สนามในทางคณิตศาสตร์ที่คล้ายกับจำนวนจริง
• เส้นจำนวนจริง  – เส้นที่เกิดจากจำนวนจริงPages displaying short descriptions of redirect targets
• จำนวนเหนือจริง  – การขยายความของจำนวนจริง – จำนวนเหนือจริงเป็นกลุ่มจำนวนที่ใหญ่กว่ามาก ซึ่งรวมถึงจำนวนไฮเปอร์เรียลและจำนวนที่ไม่ใช่จำนวนจริงประเภทอื่นๆ ด้วย

• Ball, WW Rouse (1960), A Short Account of the History of Mathematics (ฉบับที่ 4 [พิมพ์ซ้ำ. ฉบับพิมพ์ครั้งแรก: ลอนดอน: Macmillan & Co., 1908]), นิวยอร์ก: Dover Publications, หน้า  50–62 , ISBN 0-486-20630-0{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help)
• Hatcher, William S. (1982) "แคลคูลัสคือพีชคณิต" American Mathematical Monthly 89: 362–370
• Hewitt, Edwin (1948) วงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่องค่าจริง I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
• Jerison, Meyer; Gillman, Leonard (1976), วงแหวนของฟังก์ชันต่อเนื่อง , เบอร์ลิน, นิวยอร์ก: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90198-5
• Keisler, H. Jerome (1994) เส้นไฮเปอร์เรียล จำนวนจริง การวางนัยทั่วไปของจำนวนจริง และทฤษฎีของความต่อเนื่อง หน้า 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
• ไคลน์เบิร์ก, ยูจีน เอ็ม.; เฮนเล, เจมส์ เอ็ม. (2003), แคลคูลัสเชิงอนุพันธ์ , นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ , ISBN 978-0-486-42886-4

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับจำนวนไฮเปอร์เรียล

• Crowell, แคลคูลัสฉบับย่อตำราที่ใช้ปริมาณอนันต์เล็ก
• เฮอร์โมโซ, การวิเคราะห์ที่ไม่เป็นมาตรฐานและไฮเปอร์เรียลส์บทนำอย่างนุ่มนวล
• Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimalsประกอบด้วยการอธิบายเชิงสัจพจน์ของจำนวนไฮเปอร์เรียล และสามารถดาวน์โหลดได้ฟรีภายใต้ใบอนุญาต Creative Commons