ในตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์ทฤษฎีบทความกะทัดรัดกล่าวว่าเซตของประโยคลำดับที่หนึ่ง จะมีแบบจำลองได้ก็ต่อเมื่อเซตย่อยจำกัดทุกเซตของประโยคนั้นมีแบบจำลองได้ ทฤษฎีบทนี้เป็นเครื่องมือสำคัญในทฤษฎีแบบจำลองเนื่องจากเป็นวิธีการที่มีประโยชน์ (แต่โดยทั่วไปแล้วไม่ได้มีประสิทธิภาพ ) สำหรับการสร้างแบบจำลองของเซตประโยคใดๆ ที่มี ความสอดคล้องกันแบบจำกัด

ทฤษฎีบทความกะทัดรัดสำหรับแคลคูลัสเชิงประพจน์เป็นผลสืบเนื่องมาจากทฤษฎีบทของไทโคนอฟ (ซึ่งกล่าวว่าผลคูณของปริภูมิกะทัดรัด เป็นปริภูมิกะทัดรัด) ที่นำไปใช้กับปริภูมิ สโตนกะทัดรัด^{[ 1 ]}ดังนั้นจึงเป็นที่มาของชื่อทฤษฎีบท ในทำนองเดียวกัน มันคล้ายคลึงกับการกำหนดลักษณะสมบัติการตัดกันแบบจำกัด ของความกะทัดรัดใน ปริภูมิเชิงทอพอโลยี : ชุดของเซตปิดในปริภูมิกะทัดรัดมีการตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า หากชุดย่อยจำกัดทุกชุดมีการตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า

ทฤษฎีความกะทัดรัดเป็นหนึ่งในสองคุณสมบัติหลัก ร่วมกับทฤษฎี Löwenheim–Skolem ลงล่าง ที่ใช้ในทฤษฎีของ Lindströmเพื่อกำหนดลักษณะตรรกะลำดับที่หนึ่ง แม้ว่าจะมีการขยายทฤษฎีความกะทัดรัดไปยังตรรกะที่ไม่ใช่ลำดับที่หนึ่งอยู่บ้าง แต่ทฤษฎีความกะทัดรัดเองก็ไม่เป็นจริงในตรรกะเหล่านั้น ยกเว้นตัวอย่างจำนวนจำกัดมาก^{[ 2 ]}

Kurt Gödelพิสูจน์ทฤษฎีความกะทัดรัดที่นับได้ในปี 1930 Anatoly Maltsevพิสูจน์กรณีที่นับไม่ได้ในปี 1936 ^{[ 3 ] [ 4 ]}

ทฤษฎีความกะทัดรัดมีแอปพลิเคชันมากมายในทฤษฎีแบบจำลอง โดยผลลัพธ์ทั่วไปบางส่วนได้ถูกกล่าวถึงไว้ในที่นี้

ทฤษฎีบทความกะทัดรัดนำไปสู่ผลลัพธ์ต่อไปนี้ ซึ่งกล่าวโดยอับราฮัม โรบินสันในวิทยานิพนธ์ของเขาเมื่อปี 1949

หลักการของโรบินสัน: ^{[ 5 ] [ 6 ]}ถ้าประโยคลำดับแรกเป็นจริงในทุกฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ แล้วจะมีค่าคงที่อยู่ค่าหนึ่งที่ทำให้ประโยคนั้นเป็นจริงสำหรับทุกฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะมากกว่าซึ่งสามารถมองได้ดังนี้: สมมติว่าเป็นประโยคที่เป็นจริงในทุกฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็นศูนย์ จากนั้นการปฏิเสธของมันพร้อมกับสัจพจน์ของฟิลด์และลำดับอนันต์ของประโยค จะไม่สามารถทำให้เป็นจริงได้ (เนื่องจากไม่มีฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 ที่เป็นจริง และลำดับอนันต์ของประโยคทำให้มั่นใจได้ว่าแบบจำลองใดๆ จะเป็นฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0) ดังนั้นจึงมีเซตย่อยจำกัดของประโยคเหล่านี้ที่ไม่สามารถทำให้เป็นจริงได้ต้องมีเพราะมิฉะนั้นมันจะสามารถทำให้เป็นจริงได้ เนื่องจากการเพิ่มประโยคเพิ่มเติมลงในไม่ได้เปลี่ยนแปลงความไม่สามารถทำให้เป็นจริงได้ เราจึงสามารถสมมติว่ามีสัจพจน์ของฟิลด์ และสำหรับบาง ประโยค แรกในรูปแบบให้มีประโยคทั้งหมดของยกเว้นจากนั้นฟิลด์ใดๆ ที่มีลักษณะเฉพาะมากกว่าจะเป็นแบบจำลองของและร่วมกับไม่สามารถทำให้เป็นจริงได้ นี่หมายความว่าจะต้องเป็นจริงในทุกแบบจำลองซึ่งหมายความว่าจะเป็นจริงในทุกฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะมากกว่านี่เป็นการเสร็จสิ้นการพิสูจน์ ${\displaystyle p}$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \lnot \varphi ,}$$${\displaystyle 1+1\neq 0,\;\;1+1+1\neq 0,\;\ldots }$$${\displaystyle \lnot \varphi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lnot \varphi }$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle k,}$${\displaystyle k}$${\displaystyle 1+1+\cdots +1\neq 0.}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \lnot \varphi .}$${\displaystyle k}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \lnot \varphi }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle k.}$

หลักการ ของLefschetzซึ่งเป็นหนึ่งในตัวอย่างแรกๆ ของหลักการถ่ายโอนขยายผลลัพธ์นี้ ประโยคลำดับแรกในภาษาของวงแหวนจะเป็นจริงใน ฟิลด์ ปิดเชิง พีชคณิต บางฟิลด์ (หรือเทียบเท่ากับทุกฟิลด์ ) ที่มีลักษณะเฉพาะเป็น 0 (เช่นจำนวนเชิงซ้อนเป็นต้น) ก็ต่อเมื่อมีจำนวนเฉพาะอนันต์ซึ่งเป็นจริงในฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต บางฟิลด์ที่มีลักษณะเฉพาะ ซึ่ง ในกรณีนี้จะเป็นจริงใน ฟิลด์ปิดเชิงพีชคณิต ทั้งหมดที่มีลักษณะเฉพาะที่ไม่ใช่ 0 ที่มีขนาดใหญ่เพียงพอ^{[ 5 ]} ผลที่ตามมาประการหนึ่งคือกรณีพิเศษต่อไปนี้ของทฤษฎีบท Ax–Grothendieck : พหุนามเชิงซ้อนแบบฉีดทั้งหมดเป็นแบบทั่วถึง^{[ 5 ]} (อันที่จริง ยังสามารถแสดงได้ว่าตัวผกผันของมันจะเป็นพหุนามด้วย) ^{[ 7 ]}ในความเป็นจริง ข้อสรุปเรื่องความเป็นทั่วถึงยังคงเป็นจริงสำหรับพหุนามแบบฉีดใดๆโดยที่เป็นฟิลด์จำกัดหรือการปิดเชิงพีชคณิตของฟิลด์ดังกล่าว^{[ 7 ]}${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle p,}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle p.}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle F^{n}\to F^{n}}$${\displaystyle F}$

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีความกะทัดรัดครั้งที่สองแสดงให้เห็นว่า ทฤษฎีใดๆ ที่มีแบบจำลองจำกัดขนาดใหญ่ตามอำเภอใจ หรือแบบจำลองอนันต์เพียงแบบเดียว จะมีแบบจำลองที่มีจำนวนสมาชิก มากตามอำเภอใจ (นี่คือทฤษฎีบท Upward Löwenheim–Skolem ) ตัวอย่างเช่น มีแบบจำลองที่ไม่เป็นมาตรฐานของเลขคณิต Peanoที่มี 'จำนวนธรรมชาติ' นับไม่ได้ เพื่อให้บรรลุเป้าหมายนี้ ให้เป็นทฤษฎีเริ่มต้น และให้เป็นจำนวนเชิงคาร์ดินัล ใดๆ เพิ่มสัญลักษณ์คงที่หนึ่งตัวสำหรับทุกองค์ประกอบของ ลงในภาษาของ จากนั้นเพิ่มชุดประโยคที่กล่าวว่าวัตถุที่แสดงโดยสัญลักษณ์คงที่สองตัวที่แตกต่างกันจากชุดใหม่นั้นแตกต่างกัน (นี่คือชุดประโยค) เนื่องจาก เซต ย่อยจำกัด ทุก เซตของทฤษฎีใหม่นี้สามารถหาคำตอบได้ด้วยแบบจำลองจำกัดขนาดใหญ่พอสมควรของหรือแบบจำลองอนันต์ใดๆ ดังนั้นทฤษฎีที่ขยายทั้งหมดจึงสามารถหาคำตอบได้ แต่แบบจำลองใดๆ ของทฤษฎีที่ขยายจะมีจำนวนสมาชิกอย่างน้อย ${\displaystyle T}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle T}$${\displaystyle \kappa .}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \kappa ^{2}}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle \kappa }$

การประยุกต์ใช้ทฤษฎีความกะทัดรัดประการที่สามคือการสร้างแบบจำลองที่ไม่เป็นมาตรฐานของจำนวนจริง กล่าวคือ ส่วนขยายที่สอดคล้องกันของทฤษฎีจำนวนจริงที่ประกอบด้วยจำนวน "อนันต์เล็ก" เพื่อให้เห็นภาพนี้ ให้เป็นการกำหนดสัจพจน์อันดับแรกของทฤษฎีจำนวนจริง พิจารณาทฤษฎีที่ได้จากการเพิ่มสัญลักษณ์ค่าคงที่ใหม่ลงในภาษา และต่อท้ายสัจพจน์และสัจพจน์สำหรับจำนวนเต็มบวกทั้งหมด เห็นได้ชัดว่าจำนวนจริงมาตรฐานเป็นแบบจำลองสำหรับทุกเซตย่อยจำกัดของสัจพจน์เหล่านี้ เพราะจำนวนจริงสอดคล้องกับทุกสิ่งในและโดยการเลือกที่เหมาะสมสามารถทำให้สอดคล้องกับเซตย่อยจำกัดใด ๆ ของสัจพจน์เกี่ยวกับ ได้ ตามทฤษฎีความกะทัดรัด มีแบบจำลองที่สอดคล้องกับและยังมีองค์ประกอบอนันต์เล็กอยู่ด้วย${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \varepsilon <{\tfrac {1}{n}}}$${\displaystyle n.}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \varepsilon ,}$${\displaystyle \varepsilon .}$${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \varepsilon .}$

ข้อโต้แย้งที่คล้ายกันนี้ คราวนี้เชื่อมโยงสัจพจน์ฯลฯ แสดงให้เห็นว่าการมีอยู่ของจำนวนที่มีขนาดอนันต์ไม่สามารถตัดออกได้ด้วยสัจพจน์ใดๆของจำนวนจริง^{[ 8 ]}${\displaystyle \omega >0,\;\omega >1,\ldots ,}$${\displaystyle \Sigma }$

สามารถแสดงได้ว่าจำนวนไฮเปอร์เรียล เป็นไปตามหลักการถ่ายโอน : ^{[ 9 ]}ประโยคลำดับแรกจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อเป็นจริงเท่านั้น${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle {}^{*}\mathbb {R} .}$

เราสามารถพิสูจน์ทฤษฎีความกะทัดรัดได้โดยใช้ทฤษฎีความสมบูรณ์ของเกอเดลซึ่งกำหนดว่าเซตของประโยคสามารถพิสูจน์ได้ก็ต่อเมื่อไม่สามารถพิสูจน์ข้อขัดแย้งจากเซตนั้นได้ เนื่องจากบทพิสูจน์มีจำนวนจำกัดเสมอ และดังนั้นจึงเกี่ยวข้องกับประโยคที่กำหนดให้เพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น ทฤษฎีความกะทัดรัดจึงเป็นไปตามนั้น อันที่จริง ทฤษฎีความกะทัดรัดเทียบเท่ากับทฤษฎีความสมบูรณ์ของเกอเดล และทั้งสองเทียบเท่ากับทฤษฎีอุดมคติเฉพาะของบูลีน^ซึ่งเป็นรูปแบบอ่อนของสัจพจน์ของการเลือก [ ^{10 ]}

เดิมทีเกอเดลพิสูจน์ทฤษฎีความกะทัดรัดด้วยวิธีนี้ แต่ต่อมาได้มีการค้นพบการพิสูจน์ทฤษฎีความกะทัดรัดแบบ "เชิงความหมายล้วนๆ" ซึ่งก็คือการพิสูจน์ที่อ้างอิงถึงความจริงแทนที่จะเป็นความสามารถ ในการพิสูจน์ การพิสูจน์อย่างหนึ่งนั้นอาศัยอัลตราโปรดักต์ที่ขึ้นอยู่กับสัจพจน์ของการเลือกดังต่อไปนี้:

บทพิสูจน์ : กำหนดภาษาลำดับที่หนึ่งและให้ เป็นชุดของประโยค n-sentence โดยที่ชุดย่อยจำกัดทุกชุดของประโยค n-sentence ของชุดย่อยนี้จะมีแบบจำลอง นอกจากนี้ ให้เป็นผลคูณโดยตรงของโครงสร้าง และเป็นชุดของเซตย่อยจำกัดของสำหรับแต่ละให้ ตระกูลของเซตทั้งหมดเหล่านี้สร้างตัวกรอง ที่เหมาะสม ดังนั้นจึงมีตัวกรองพิเศษที่ประกอบด้วยเซตทั้งหมดในรูปแบบ${\displaystyle L,}$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$${\displaystyle i\subseteq \Sigma }$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {M}__{i}.}$${\textstyle \prod _{i\subseteq \Sigma }{\mathcal {M}}_{i}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \Sigma .}$${\displaystyle i\in I,}$${\displaystyle A_{i}=\{j\in I:j\supseteq i\}.}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A_{i}.}$

ตอนนี้สำหรับประโยคใดๆใน${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle \Sigma :}$

• ฉากอยู่ใน${\displaystyle A_{\{\varphi \}}}$${\displaystyle U}$
• เมื่อใดก็ตามที่ เป็นเช่น นั้น ดังนั้นจึงถือว่าอยู่ใน${\displaystyle j\in A_{\{\varphi \}},}$${\displaystyle \varphi \in j,}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{j}}$
• เซตของทุกสิ่งที่มีคุณสมบัติที่ว่านั้น เป็นซับเซตของดังนั้นจึง เป็นซับเซตของ${\displaystyle j}$${\displaystyle \varphi }$${\displaystyle {\mathcal {M}}_{j}}$${\displaystyle A_{\{\varphi \}},}$${\displaystyle U}$

ทฤษฎีบทของ Łośในตอนนี้บ่งชี้ว่าเงื่อนไขดังกล่าวเป็นจริงในอัลตราโปรดักต์ ดังนั้นอัลตราโปรดักต์นี้จึงสอดคล้องกับสูตรทั้งหมดใน${\displaystyle \varphi }$${\textstyle \prod _{i\subseteq \Sigma }{\mathcal {M}}_{i}/U.}$${\displaystyle \Sigma .}$

• ทฤษฎีความกะทัดรัดแบบบาร์ไวส์
• ทฤษฎีบทของเฮอร์แบรนด์  – ผลลัพธ์พื้นฐานของตรรกศาสตร์ทางคณิตศาสตร์
• รายชื่อหัวข้อพีชคณิตบูลีน
• ทฤษฎีบทโลเวนไฮม์-สโกเลม  – การมีอยู่และจำนวนสมาชิกของแบบจำลองทฤษฎีตรรกศาสตร์

• ทฤษฎีบทความกะทัดรัด , สารานุกรมปรัชญาออนไลน์