ในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ลิมิตแบบบานาค (Banach limit)คือฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่อง ที่กำหนดบนปริภูมิบานาค (Banach space)ของลำดับค่าเชิงซ้อนที่มีขอบเขต ทั้งหมด โดยที่สำหรับลำดับทั้งหมดในและจำนวนเชิงซ้อน: ${\displaystyle \phi :\ell ^{\infty }\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle x=(x_{n})}$${\displaystyle y=(y_{n})}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \alpha }$

1. ${\displaystyle \phi (\alpha x+y)=\alpha \phi (x)+\phi (y)}$(ความเป็นเส้นตรง);
2. ถ้าสำหรับทั้งหมดแล้ว(ความเป็นบวก)${\displaystyle x_{n}\geq 0}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$${\displaystyle \phi (x)\geq 0}$
3. ${\displaystyle \phi (x)=\phi (Sx)}$โดยที่ตัวดำเนินการเลื่อนถูกกำหนดโดย(ความไม่แปรเปลี่ยนเมื่อเลื่อน)${\displaystyle S}$${\displaystyle (Sx)_{n}=x_{n+1}}$
4. ถ้าเป็นลำดับลู่เข้าแล้ว${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi (x)=\lim x}$

ดังนั้นจึงเป็นการขยายของฟังก์ชันต่อเนื่องโดยที่คือปริภูมิเวกเตอร์ เชิงซ้อน ของลำดับทั้งหมดที่ลู่เข้าสู่ลิมิต (ปกติ) ใน ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \lim :c\to \mathbb {C} }$${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {C} }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง ลิมิตแบบบานาคขยายขอบเขตของลิมิตปกติ เป็นเชิงเส้น ไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อมีการเลื่อน และมีค่าเป็นบวก อย่างไรก็ตาม มีลำดับบางลำดับที่ค่าของลิมิตแบบบานาคสองค่าไม่ตรงกัน ในกรณีนี้ เรากล่าวว่าลิมิตแบบบานาคไม่ได้ถูกกำหนดอย่างเฉพาะเจาะจง

เนื่องจากคุณสมบัติข้างต้น ลิมิตแบบบานาคที่มีค่าเป็นจำนวน จริงจึงเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \liminf _{n\to \infty }x_{n}\leq \phi (x)\leq \limsup _{n\to \infty }x_{n}.}$

การมีอยู่ของขีดจำกัด Banach มักจะได้รับการพิสูจน์โดยใช้ทฤษฎีบท Hahn–Banach (แนวทางของนักวิเคราะห์) ^{[ 1 ]}หรือใช้ตัวกรองพิเศษ (แนวทางนี้พบได้บ่อยกว่าในการนำเสนอทฤษฎีเซต) ^{[ 2 ]}การพิสูจน์เหล่านี้โดยเนื้อแท้แล้วไม่ใช่แบบสร้างสรรค์ เนื่องจากใช้สัจพจน์ของการเลือกหรือแนวคิดที่คล้ายกัน และไม่สามารถพิสูจน์ได้เฉพาะในทฤษฎี เซต Zermelo–Fraenkel เท่านั้น

มีลำดับที่ไม่ลู่เข้าซึ่งมีลิมิตแบบบานาคที่กำหนดได้อย่างเฉพาะเจาะจง ตัวอย่างเช่น ถ้าแล้วเป็นลำดับคงที่ และ ${\displaystyle x=(1,0,1,0,\ldots )}$${\displaystyle x+S(x)=(1,1,1,\ldots )}$

${\displaystyle 2\phi (x)=\phi (x)+\phi (x)=\phi (x)+\phi (Sx)=\phi (x+Sx)=\phi ((1,1,1,\ldots ))=\lim((1,1,1,\ldots ))=1}$

เป็นจริง ดังนั้น สำหรับลิมิตแบบบานาคใดๆ ลำดับนี้จะมีลิมิตเท่ากับ ${\displaystyle 1/2}$

ลำดับที่มีขอบเขตและมีคุณสมบัติว่าสำหรับทุกค่าลิมิตแบบบานาคค่าของลำดับนั้นจะเหมือนกัน เรียกว่าลำดับเกือบลู่เข้า (almost convergent sequence ) ${\displaystyle x}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi (x)}$

เมื่อกำหนดลำดับลู่เข้าใน ลิ มิตปกติของจะไม่เกิดขึ้นจากองค์ประกอบของ หาก พิจารณาถึงความเป็นคู่ ซึ่งหมายความว่า คือ ปริภูมิคู่ต่อเนื่อง (ปริภูมิบานาคคู่) ของและด้วยเหตุนี้ จึงเหนี่ยวนำให้เกิดฟังก์ชันเชิงเส้นต่อเนื่องบนแต่ไม่ใช่ทั้งหมด ลิมิตบานาคใดๆ บนเป็นตัวอย่างขององค์ประกอบของปริภูมิบานาคคู่ของซึ่งไม่อยู่ใน ปริภูมิคู่ของเรียกว่าปริภูมิ baและประกอบด้วย มาตรวัด แบบบวกจำกัด ( มีเครื่องหมาย ) ทั้งหมด บนซิกมาแอลจีบราของเซตย่อยทั้งหมดของจำนวนธรรมชาติหรือเทียบเท่ากับมาตรวัดบอเรล (มีเครื่องหมาย) ทั้งหมด บนการทำให้กระชับแบบสโตน-เช็กของจำนวนธรรมชาติ ${\displaystyle x=(x_{n})}$${\displaystyle c\subset \ell ^{\infty }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \langle \ell ^{1},\ell ^{\infty }\rangle }$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$${\displaystyle \ell ^{1}}$${\displaystyle \ell ^{\infty }}$

• "ขีดจำกัดของบานาค" PlanetMath