${\displaystyle n}$	${\displaystyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$
1	0.841471
2	0.958851
...
10	0.998334
...
100	0.999983

เมื่อจำนวนเต็ม บวก มีค่ามากขึ้นเรื่อยๆ ค่าของมันจะเข้าใกล้ มากขึ้นเรื่อยๆเราจึงกล่าวว่า "ลิมิตของลำดับเท่ากับ" ${\textstyle n}$${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$${\textstyle 1}$${\textstyle n\times \sin \left({\tfrac {1}{n}}\right)}$${\textstyle 1}$

ในทางคณิตศาสตร์ลิมิตของลำดับคือค่าที่พจน์ของลำดับ "มีแนวโน้มเข้าหา" และมักจะใช้สัญลักษณ์ (เช่น) แทน^{[ 1 ]}ถ้าลิมิตดังกล่าวมีอยู่และมีค่าจำกัด ลำดับนั้นเรียกว่าลู่เข้า [ ^{2 ] ลำดับ}ที่ไม่ลู่เข้าเรียกว่าลู่ออก [ ^{3 ] ลิ} มิตของลำดับถือเป็นแนวคิดพื้นฐานที่ การวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์ทั้งหมดพึ่งพาในที่สุด^{[ 1 ]}${\displaystyle \lim }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

ลิมิตสามารถกำหนดได้ในปริภูมิเมตริกหรือปริภูมิเชิงทอพอโลยี ใดๆ ก็ได้ แต่โดยทั่วไปแล้วมักจะพบเห็นได้ครั้งแรกในจำนวน จริง

ซีโนแห่งอีเลียนักปรัชญากรีกผู้มีชื่อเสียง เป็นที่รู้จักจากการสร้างปริศนาที่เกี่ยวข้องกับกระบวนการจำกัด

Leucippus , Democritus , Antiphon , EudoxusและArchimedesได้พัฒนาวิธีการหาค่าโดยประมาณโดยใช้ลำดับอนันต์ของการประมาณค่าเพื่อหาพื้นที่หรือปริมาตร Archimedes ประสบความสำเร็จในการหาผลรวมของสิ่งที่ปัจจุบันเรียกว่าอนุกรมเรขาคณิต ใน Quadrature of the Parabolaของเขาโดยคำนวณพื้นที่ที่ล้อมรอบด้วยพาราโบลาและเส้นตรง^{[ 4 ]}

Grégoire de Saint-Vincentได้ให้คำจำกัดความแรกของลิมิต (จุดสิ้นสุด) ของอนุกรมเรขาคณิตในงานOpus Geometricum (1647) ของเขาว่า: " จุดสิ้นสุดของลำดับคือจุดสิ้นสุดของอนุกรม ซึ่งไม่มีลำดับใดสามารถเข้าถึงได้ แม้ว่าจะต่อเนื่องไปจนถึงอนันต์ก็ตาม แต่สามารถเข้าใกล้ได้มากกว่าส่วนที่กำหนด" ^{[ 5 ]}

ปีเอโตร เมงโกลีได้วางรากฐานแนวคิดสมัยใหม่เรื่องลิมิตของลำดับด้วยการศึกษาเรื่องสัดส่วนเสมือนในหนังสือ Geometriae speciosae elementa (1659) เขาใช้คำว่ากึ่งอนันต์สำหรับค่าที่ไม่จำกัดและกึ่งศูนย์สำหรับค่าที่หายไป

นิวตันได้กล่าวถึงอนุกรมในงานเขียนของเขาหลายชิ้น เช่นการวิเคราะห์ด้วยอนุกรมอนันต์ (เขียนในปี 1669 เผยแพร่ในรูปแบบต้นฉบับ และตีพิมพ์ในปี 1711) วิธีการของฟลักซ์ชันและอนุกรมอนันต์ (เขียนในปี 1671 ตีพิมพ์เป็นภาษาอังกฤษในปี 1736 ต้นฉบับภาษาละตินตีพิมพ์ในภายหลัง) และTractatus de Quadratura Curvarum (เขียนในปี 1693 ตีพิมพ์ในปี 1704 เป็นภาคผนวกของหนังสือOptiks ของเขา ) ในงานเขียนชิ้นหลังนี้ นิวตันพิจารณาการกระจายทวินามของซึ่งเขาได้ทำการทำให้เป็นเชิงเส้นโดยการหาลิมิตเมื่อเข้าใกล้ มากขึ้น ${\textstyle (x+o)^{n}}$${\textstyle o}$${\textstyle 0}$

ในศตวรรษที่ 18 นักคณิตศาสตร์อย่างออยเลอร์ประสบความสำเร็จในการหาผลรวม ของอนุกรม ลู่เข้าโดยการหยุดที่จังหวะที่เหมาะสม พวกเขาไม่สนใจว่าจะมีลิมิตหรือไม่ ตราบใดที่สามารถคำนวณได้ ในช่วงปลายศตวรรษลากรองจ์ในหนังสือ Théorie des fonctions analytiques (1797) ของเขาได้แสดงความคิดเห็นว่าการขาดความเข้มงวดทำให้การพัฒนาแคลคูลัสเป็นไปได้ยากเกาส์ในงานศึกษาอนุกรมไฮเปอร์จีโอเมตริก (1813) ของเขาได้ทำการตรวจสอบเงื่อนไขที่อนุกรมลู่เข้าสู่ลิมิตอย่างเข้มงวดเป็นครั้งแรก

นิยามสมัยใหม่ของลิมิต (สำหรับจำนวนใดๆจะมีดัชนีอยู่ตัวหนึ่งที่ทำให้...) ได้รับการกำหนดโดยเบอร์นาร์ด โบลซาโน ( Der binomische Lehrsatz , ปราก 1816 ซึ่งไม่ค่อยมีคนสนใจในขณะนั้น) และโดยคาร์ล ไวเออร์สตรัสในทศวรรษ 1870 ${\textstyle \varepsilon }$${\textstyle N}$

ในจำนวนจริงจำนวนหนึ่งจะเป็นลิมิตของลำดับก็ต่อเมื่อจำนวนในลำดับนั้นเข้าใกล้จำนวนนั้นมากขึ้นเรื่อย ๆและไม่เข้าใกล้จำนวนอื่นใด ${\displaystyle L}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle L}$

ตัวอย่างของลิมิตของลำดับในจำนวนจริงมีดังต่อไปนี้:

• ถ้า สำหรับค่าคงที่แล้ว[ ^{พิสูจน์ 1 ] [ 6 ]}${\displaystyle x_{n}=c}$${\textstyle c}$${\displaystyle x_{n}\to c}$
• ถ้าเช่นนั้น[ ^{พิสูจน์ 2 ] [ 6 ]}${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$
• ถ้าเมื่อใดเป็นจำนวนคู่ และเมื่อใดเป็นจำนวนคี่ แล้ว(ข้อเท็จจริงที่ว่าเมื่อใดเป็นจำนวนคี่นั้นไม่เกี่ยวข้อง)${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\to 0}$${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$${\displaystyle n}$
• เมื่อกำหนดจำนวนจริงใดๆ เราสามารถสร้างลำดับที่ลู่เข้าสู่จำนวนนั้นได้ง่ายๆ โดยใช้การประมาณค่าเป็นทศนิยม ตัวอย่างเช่น ลำดับลู่เข้าสู่การแสดงผลในรูปทศนิยมคือลิมิตของลำดับก่อนหน้านี้ ซึ่งกำหนดโดย${\textstyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$${\textstyle {\frac {1}{3}}}$${\textstyle 0.3333\dots }$$${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=1}^{n}{\frac {3}{10^{k}}}}$$
• การหาลิมิตของลำดับนั้นไม่ใช่เรื่องง่ายเสมอไป ตัวอย่างสองอย่างคือ(ซึ่งลิมิตคือจำนวนe ) และค่าเฉลี่ยเลขคณิต-เรขาคณิต ทฤษฎีบทการบีบอัดมักมีประโยชน์ในการหาลิมิตดังกล่าว${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$

เราเรียกค่าลิมิตของลำดับนี้ว่า ซึ่งเขียนได้ดังนี้ ${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to x}$, หรือ

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x}$,

หากเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง:

สำหรับจำนวนจริง แต่ละจำนวน จะมี จำนวนธรรมชาติอยู่ จำนวน หนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเราจะมี^{[ 7 ]}${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับทุกค่าของการวัดความใกล้เคียงพจน์ต่างๆ ในลำดับจะเข้าใกล้ค่าลิมิตในที่สุด ลำดับนั้นกล่าวได้ว่าลู่เข้าสู่หรือมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าลิมิต ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายถึง:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

ถ้าลำดับลู่เข้าสู่ค่าลิมิตใดๆ ลำดับนั้นก็จะลู่เข้าและ เป็นค่าลิ มิตเพียงค่าเดียว มิฉะนั้นก็จะลู่ออก ลำดับที่มีค่าลิมิตเป็นศูนย์บางครั้งเรียกว่าลำดับ ศูนย์${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{n})}$

• 
  ตัวอย่างของลำดับที่ลู่เข้าสู่ลิมิต${\displaystyle a}$
• 
  ไม่ว่าเราจะมีแบบใดก็ตาม ก็จะมีดัชนีอยู่ดังนั้นลำดับจึงอยู่ในท่อเอปซิลอนโดยสมบูรณ์ในภายหลัง${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N_{0}}$${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon )}$
• 
  นอกจากนี้ยังมีดัชนี ที่เล็กกว่าด้วย เพื่อให้ลำดับนั้นอยู่ภายในท่อเอปซิลอนในภายหลัง${\displaystyle \varepsilon _{1}>0}$${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1})}$
• 
  สำหรับแต่ละกรณีจะมีสมาชิกในลำดับเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้นที่อยู่นอกท่อเอปซิลอน${\displaystyle \varepsilon >0}$

คุณสมบัติสำคัญอื่นๆ ของลิมิตของลำดับจำนวนจริง ได้แก่:

• เมื่อมีอยู่ ขีดจำกัดของลำดับจะเป็นเอกลักษณ์^{[ 6 ]}
• ลิมิตของลำดับมีพฤติกรรมที่ดีเมื่อเทียบกับการดำเนินการทางคณิตศาสตร์ ทั่วไป ถ้าและมีอยู่จริง แล้ว${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)\cdot \left(\lim _{n\to \infty }b_{n}\right)}$^{[ 6 ]}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$ให้^{[ 6 ]}${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left(\lim _{n\to \infty }a_{n}\right)^{p}}$

• สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ ถ้ามีอยู่จริง ก็จะ มีอยู่จริงด้วย อันที่จริง ฟังก์ชันค่าจริงใดๆจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมันรักษาค่าลิมิตของลำดับ (แม้ว่านี่จะไม่จำเป็นต้องเป็นจริงเสมอไปเมื่อใช้แนวคิดเรื่องความต่อเนื่องที่ทั่วไปกว่า)${\textstyle f}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f\left(x_{n}\right)}$${\textstyle f}$

• ถ้าสำหรับทั้งหมดที่มากกว่าบางค่าแล้ว${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ( ทฤษฎีบทการบีบอัด ) ถ้าสำหรับทุกค่าที่มากกว่าค่าบางค่าและแล้ว${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L}$
• ( ทฤษฎีบทการลู่เข้าแบบโมโนโทน ) ถ้ามีขอบเขตและเป็นฟังก์ชันโมโนโทนสำหรับทุกค่าที่มากกว่าค่า บางค่าแล้วมันจะลู่เข้า${\displaystyle a_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N}$
• ลำดับจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อลำดับย่อยทุกตัวลู่เข้า
• ถ้าลำดับย่อยทุกลำดับของลำดับหนึ่งมีลำดับย่อยของตัวเองซึ่งลู่เข้าสู่จุดเดียวกันแล้ว ลำดับเดิมก็จะลู่เข้าสู่จุดนั้นด้วย

คุณสมบัติเหล่านี้ถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการพิสูจน์ลิมิต โดยไม่จำเป็นต้องใช้คำนิยามที่เป็นทางการที่ยุ่งยากโดยตรง ตัวอย่างเช่น เมื่อพิสูจน์ได้ว่าก็จะสามารถแสดงได้ง่ายๆ โดยใช้คุณสมบัติข้างต้นว่า(โดยสมมติว่า) ${\displaystyle 1/n\to 0}$${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle b\neq 0}$

ลำดับหนึ่งๆจะมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์${\displaystyle (x_{n})}$

${\displaystyle x_{n}\to \infty }$, หรือ

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty }$,

หากเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง:

สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวนจะมีจำนวนธรรมชาติอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเราจะได้ว่า นั่นคือ พจน์ในลำดับจะมีค่ามากกว่าค่าคงที่ใดๆ ในที่สุด${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}>K}$${\displaystyle K}$

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายถึง:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}>K\right)\right)\right)}$.

ในทำนองเดียวกัน เรากล่าวว่าลำดับมีแนวโน้มเข้าสู่ลบอนันต์ซึ่งเขียนแทน ด้วย

${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$, หรือ

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=-\infty }$,

หากเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง:

สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวนจะมีจำนวนธรรมชาติอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเราจะได้ว่า นั่นคือ พจน์ในลำดับจะมีค่าน้อยกว่าค่าคงที่ใดๆ ในที่สุด${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}<K}$${\displaystyle K}$

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายถึง:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies x_{n}<K\right)\right)\right)}$.

ถ้าลำดับมีค่าเข้าใกล้ค่าอนันต์หรือลบค่าอนันต์ ลำดับนั้นจะเป็นลำดับลู่เข้า อย่างไรก็ตาม ลำดับลู่เข้าไม่จำเป็นต้องมีค่าเข้าใกล้ค่าบวกหรือลบค่าอนันต์เสมอไป และลำดับนี้ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งของลำดับลู่เข้าดังกล่าว ${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$

จุดหนึ่งในปริภูมิเมตริกจะเป็นลิมิตของลำดับก็ต่อเมื่อ: ${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle (x_{n})}$

สำหรับจำนวนจริง แต่ละจำนวน จะมีจำนวนธรรมชาติจำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเราจะได้ว่า${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle d(x_{n},x)<\varepsilon }$

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายถึง:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies d(x_{n},x)<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

ซึ่งสอดคล้องกับนิยามที่กำหนดไว้สำหรับจำนวนจริงเมื่อ และ${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|}$

• เมื่อลิมิตของลำดับมีอยู่จริง ลิมิตนั้นจะมีเพียงหนึ่งเดียว เนื่องจากจุดที่แตกต่างกันจะอยู่ห่างกันด้วยระยะทางบวกบางค่า ดังนั้นสำหรับระยะทางที่น้อยกว่าครึ่งหนึ่งของระยะทางนี้ พจน์ในลำดับจะไม่สามารถอยู่ภายในระยะทางของจุดทั้งสองได้${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \varepsilon }$

• สำหรับฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ fถ้ามีอยู่จริงแล้วในความเป็นจริงฟังก์ชันfจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อมันรักษาค่าลิมิตของลำดับต่างๆ ไว้${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }f(x_{n})=f\left(\lim _{n\to \infty }x_{n}\right)}$

ลำดับโคชี (Cauchy sequence ) คือลำดับที่พจน์ต่างๆ อยู่ใกล้กันอย่างไม่จำกัด หลังจากตัดพจน์เริ่มต้นออกไปจำนวนมากพอสมควร แนวคิดของลำดับโคชีมีความสำคัญในการศึกษาลำดับในปริภูมิเมตริกโดยเฉพาะอย่างยิ่งในวิเคราะห์เชิงจริงผลลัพธ์ที่สำคัญอย่างยิ่งในวิเคราะห์เชิงจริงคือเกณฑ์โคชีสำหรับการลู่เข้าของลำดับ : ลำดับของจำนวนจริงจะลู่เข้าก็ต่อเมื่อเป็นลำดับโคชีเท่านั้น ซึ่งยังคงเป็นจริงในปริภูมิเมตริกสมบูรณ์ อื่นๆ ด้วย

จุดในปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือ${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (X,\tau )}$จำกัดหรือจุดจำกัด^{[ 8 ] [ 9 ]}ของลำดับ ถ้า: ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$

สำหรับทุกย่านใกล้เคียง ของจะมีบางค่าที่ทำให้สำหรับทุกค่าเรามี^{[ 10 ]}${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle x_{n}\in U}$

สิ่งนี้สอดคล้องกับคำจำกัดความที่ให้ไว้สำหรับปริภูมิเมตริก หากเป็นปริภูมิเมตริกและคือโทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดย ${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle d}$

ลิมิตของลำดับจุดในปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นกรณีพิเศษของลิมิตของฟังก์ชัน : โดเมนอยู่ในปริภูมิซึ่งมีทอพอโลยีที่เหนี่ยวนำของระบบจำนวนจริงที่ขยายแบบแอฟฟิน ช่วงคือและอาร์กิวเมนต์ของฟังก์ชันมีแนวโน้มเข้าสู่ซึ่งในปริภูมินี้เป็นจุด ลิมิตของ${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace }$${\displaystyle T}$${\displaystyle n}$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \mathbb {N} }$

ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟลิมิตของลำดับจะมีเพียงหนึ่งเดียวเสมอเมื่อใดก็ตามที่มีอยู่ แต่ในปริภูมิที่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟนั้นอาจไม่เป็นเช่นนั้นเสมอไป โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าจุดสองจุดและไม่สามารถแยกแยะได้ในเชิงโทโพโลยีแล้ว ลำดับใดๆ ที่ลู่เข้าสู่จะต้องลู่เข้าสู่และในทางกลับกัน ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

นิยามของลิมิตโดยใช้จำนวนไฮเปอร์เรียลเป็นการทำให้สัญชาตญาณที่ว่า สำหรับค่าดัชนีที่ "มากมาก" พจน์ที่สอดคล้องกันจะ "ใกล้มาก" กับลิมิต เป็นรูปธรรมมากขึ้น กล่าวคือ ลำดับจำนวนจริงมีแนวโน้มเข้าสู่Lถ้าสำหรับไฮเปอร์เนเชอ รัลอนันต์ทุกตัว พจน์นั้นจะอยู่ใกล้กับ L อย่างอนันต์ (กล่าว คือผลต่างมีค่าเล็กน้อยมาก ) หรือกล่าวอีกนัยหนึ่งLคือส่วนมาตรฐานของ: ${\displaystyle (x_{n})}$${\textstyle H}$${\displaystyle x_{H}}$${\textstyle L}$${\displaystyle x_{H}-L}$${\displaystyle x_{H}}$

${\displaystyle L={\rm {st}}(x_{H})}$.

ดังนั้น ขีดจำกัดจึงสามารถกำหนดได้ด้วยสูตร

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}={\rm {st}}(x_{H})}$.

โดยที่ลิมิตจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อด้านขวามือไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกค่าอนันต์ ${\textstyle H}$

บางครั้งเราอาจพิจารณาลำดับที่มีดัชนีมากกว่าหนึ่งตัว เช่น ลำดับคู่ (double sequence ) ลำดับนี้จะมีลิมิตก็ต่อเมื่อมันเข้าใกล้ค่า n มากขึ้นเรื่อยๆเมื่อทั้งnและmมีค่ามาก ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

• ถ้า สำหรับค่าคงที่แล้ว${\displaystyle x_{n,m}=c}$${\textstyle c}$${\displaystyle x_{n,m}\to c}$
• ถ้าเช่นนั้น${\displaystyle x_{n,m}={\frac {1}{n+m}}}$${\displaystyle x_{n,m}\to 0}$
• ถ้าแสดงว่าไม่มีขีดจำกัด ขึ้นอยู่กับ "ความเร็วในการเติบโต" สัมพัทธ์ของและลำดับนี้สามารถเข้าใกล้ค่าใดๆ ระหว่างและได้${\displaystyle x_{n,m}={\frac {n}{n+m}}}$${\textstyle n}$${\textstyle m}$${\textstyle 0}$${\textstyle 1}$

เราเรียกค่าลิมิตสองเท่าของลำดับนี้ว่า ซึ่งเขียนว่า ${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to x}$, หรือ

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=x}$,

หากเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง:

สำหรับจำนวนจริง แต่ละจำนวน จะมี จำนวนธรรมชาติอยู่ จำนวน หนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกคู่เราจะมี^{[ 11 ]}${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle |x_{n,m}-x|<\varepsilon }$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง สำหรับทุกค่าของการวัดความใกล้เคียงพจน์ต่างๆ ในลำดับจะเข้าใกล้ค่าลิมิตในที่สุด ลำดับนั้นกล่าวได้ว่าลู่เข้าสู่หรือมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าลิมิต ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle x}$

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายถึง:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies |x_{n,m}-x|<\varepsilon \right)\right)\right)}$.

ลิมิตสองชั้นแตกต่างจากการหาลิมิตที่nก่อน แล้วจึงหา ลิมิตที่ mวิธีหลังนี้เรียกว่าลิมิตซ้ำเนื่องจากทั้งลิมิตสองชั้นและลิมิตซ้ำมีอยู่จริง จึงมีค่าเท่ากัน อย่างไรก็ตาม เป็นไปได้ที่ลิมิตหนึ่งจะมีอยู่แต่ลิมิตอีกอันไม่มี

ลำดับหนึ่งๆจะมีแนวโน้มเข้าสู่ค่าอนันต์เขียนแทนด้วย สัญลักษณ์${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to \infty }$, หรือ

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=\infty }$,

หากเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง:

สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวนจะมีจำนวนธรรมชาติอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกคู่เราจะได้ว่า นั่นคือ พจน์ในลำดับจะมีค่ามากกว่าค่าคงที่ใดๆ ในที่สุด${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle x_{n,m}>K}$${\displaystyle K}$

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายถึง:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}>K\right)\right)\right)}$.

ในทำนองเดียวกัน ลำดับมีแนวโน้มเข้าสู่ลบอนันต์เขียน แทนด้วย${\displaystyle (x_{n,m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to -\infty }$, หรือ

${\displaystyle \lim _{\begin{smallmatrix}n\to \infty \\m\to \infty \end{smallmatrix}}x_{n,m}=-\infty }$,

หากเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริง:

สำหรับจำนวนจริงทุกจำนวนจะมีจำนวนธรรมชาติอยู่จำนวนหนึ่ง ซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกคู่เราจะได้ว่า นั่นคือ พจน์ในลำดับจะมีค่าน้อยกว่าค่าคงที่ใดๆ ในที่สุด${\displaystyle K}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n,m\geq N}$${\displaystyle x_{n,m}<K}$${\displaystyle K}$

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายถึง:

${\displaystyle \forall K\in \mathbb {R} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n,m\in \mathbb {N} \left(n,m\geq N\implies x_{n,m}<K\right)\right)\right)}$.

ถ้าลำดับมีค่าเข้าใกล้ค่าอนันต์หรือลบค่าอนันต์ ลำดับนั้นจะเป็นลำดับลู่เข้า อย่างไรก็ตาม ลำดับลู่เข้าไม่จำเป็นต้องมีค่าเข้าใกล้ค่าบวกหรือลบค่าอนันต์เสมอไป และลำดับนี้ก็เป็นตัวอย่างหนึ่งของลำดับลู่เข้าดังกล่าว ${\displaystyle x_{n,m}=(-1)^{n+m}}$

สำหรับลำดับคู่เราอาจหาลิมิตที่ดัชนีใดดัชนีหนึ่ง เช่นเพื่อให้ได้ลำดับเดี่ยวอันที่จริง การหาลิมิตนี้มีความหมายได้สองแบบ แบบแรกเรียกว่าลิมิตเฉพาะจุดซึ่งใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (y_{m})}$

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$, หรือ

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{pointwise}}}$,

ซึ่งหมายความว่า:

สำหรับจำนวนจริง แต่ละจำนวน และจำนวนธรรมชาติ คงที่แต่ละจำนวน จะมีจำนวนธรรมชาติอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเราจะมี^{[ 12 ]}${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N(\varepsilon ,m)>0}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายถึง:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

เมื่อมีลิมิตดังกล่าวอยู่ เราจะกล่าวว่าลำดับนั้นลู่เข้าสู่ค่า n แบบจุดต่อจุด ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle (y_{m})}$

แบบที่สองเรียกว่าลิมิตสม่ำเสมอซึ่งใช้สัญลักษณ์ แทนด้วย

${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}\quad {\text{uniformly}}}$,

${\displaystyle x_{n,m}\rightrightarrows y_{m}}$, หรือ

${\displaystyle {\underset {n\to \infty }{\mathrm {unif} \lim }}\;x_{n,m}=y_{m}}$,

ซึ่งหมายความว่า:

สำหรับจำนวนจริง แต่ละจำนวน จะมีจำนวนธรรมชาติอยู่จำนวนหนึ่งซึ่งสำหรับจำนวนธรรมชาติ ทุกจำนวน และสำหรับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวนเราจะมี^{[ 12 ]}${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N(\varepsilon )>0}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n\geq N}$${\displaystyle |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon }$

ในเชิงสัญลักษณ์ หมายถึง:

${\displaystyle \forall \varepsilon >0\left(\exists N\in \mathbb {N} \left(\forall m\in \mathbb {N} \left(\forall n\in \mathbb {N} \left(n\geq N\implies |x_{n,m}-y_{m}|<\varepsilon \right)\right)\right)\right)}$.

ในนิยามนี้ การเลือกค่า นั้นเป็นอิสระจากค่ากล่าวอีกนัยหนึ่ง การเลือกค่า นั้นใช้ได้กับจำนวนธรรมชาติทุกจำนวน อย่างสม่ำเสมอ ดังนั้น จึงเห็นได้ง่ายว่าการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอเป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าการลู่เข้าแบบจุดต่อจุด: การมีอยู่ของลิมิตอย่างสม่ำเสมอหมายถึงการมีอยู่และความเท่าเทียมกันของลิมิตแบบจุดต่อจุด: ${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$${\displaystyle N}$${\displaystyle m}$

ถ้าเป็นแบบสม่ำเสมอ ก็จะเป็นแบบเฉพาะจุด${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$${\displaystyle x_{n,m}\to y_{m}}$

เมื่อมีลิมิตดังกล่าวอยู่ เราจะกล่าวว่าลำดับนั้น ลู่เข้า สู่ค่าคง ที่อย่างสม่ำเสมอ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle (y_{m})}$

สำหรับลำดับคู่เราอาจหาลิมิตที่ดัชนีหนึ่ง เช่นเพื่อให้ได้ลำดับเดี่ยวจากนั้นหาลิมิตที่ดัชนีอีกตัว คือเพื่อให้ได้จำนวนหนึ่งในเชิงสัญลักษณ์ ${\displaystyle (x_{n,m})}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle (y_{m})}$${\displaystyle m\to \infty }$${\displaystyle y}$

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}=\lim _{m\to \infty }y_{m}=y}$.

ลิมิตนี้เรียกว่าลิมิตซ้ำของลำดับสองเท่า ลำดับในการหาลิมิตอาจส่งผลต่อผลลัพธ์ เช่น

${\displaystyle \lim _{m\to \infty }\lim _{n\to \infty }x_{n,m}\neq \lim _{n\to \infty }\lim _{m\to \infty }x_{n,m}}$โดยทั่วไป

เงื่อนไขที่เพียงพอของความเท่าเทียมกันนั้นกำหนดโดยทฤษฎีบท Moore-Osgoodซึ่งกำหนดให้ลิมิตต้องสม่ำเสมอใน^{[ 11 ]}${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n,m}=y_{m}}$${\textstyle m}$

• จุดจำกัด
• ขีดจำกัดลำดับ
• จำกัดด้านบนและจำกัดด้านล่าง
• ลิมิตของฟังก์ชัน
• ลิมิตของลำดับของเซต
• ขีดจำกัดของสุทธิ
• การบรรจบกันแบบจุดต่อจุด
• การบรรจบกันอย่างสม่ำเสมอ
• รูปแบบการบรรจบกัน

• "ลิมิต" , สารานุกรมคณิตศาสตร์ , EMS Press , 2001 [1994]
• ประวัติความเป็นมาของแคลคูลัสรวมทั้งลิมิต