ในทางคณิตศาสตร์ฟังก์ชันเซตแบบบวก (additive set function)คือฟังก์ชัน ที่แปลงเซตเป็นจำนวน โดยมีคุณสมบัติว่าค่าของฟังก์ชันบนผลรวม ของเซต ที่ไม่ซ้ำกันสองเซตจะเท่ากับผลรวมของค่าของฟังก์ชันบนเซตทั้งสองนั้น กล่าวคือถ้าคุณสมบัติการบวกนี้เป็นจริงสำหรับเซตสองเซตใดๆ แล้ว คุณสมบัตินี้ก็จะเป็นจริงสำหรับเซตจำนวนจำกัดใดๆ ด้วย กล่าวคือ ค่าของฟังก์ชันบนผลรวมของ เซตที่ไม่ซ้ำกัน kเซต (โดยที่kเป็นจำนวนจำกัด) จะเท่ากับผลรวมของค่าของฟังก์ชันบนเซตเหล่านั้น ดังนั้นฟังก์ชันเซต แบบบวก จึงเรียกว่าฟังก์ชันเซตแบบบวกจำกัด (finitely additive set function ) (คำศัพท์ทั้งสองมีความหมายเหมือนกัน) อย่างไรก็ตาม ฟังก์ชันเซตแบบบวกจำกัดอาจไม่มีคุณสมบัติการบวกสำหรับผลรวมของเซตจำนวนอนันต์ฟังก์ชันเซตแบบบวก σ (σ-additive set function ) คือฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติการบวกแม้กระทั่งสำหรับ เซตจำนวน อนันต์ที่นับได้กล่าวคือ$มิว$${\textstyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$${\textstyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}).}$

คุณสมบัติการบวกและการบวกแบบซิกมาเป็นคุณสมบัติที่สำคัญอย่างยิ่งของมาตรวัด คุณสมบัติ เหล่านี้เป็นนามธรรมของคุณสมบัติเชิงสัญชาตญาณของขนาด ( ความยาวพื้นที่ปริมาตร ) ของ ผลรวมเซตเมื่อพิจารณาวัตถุหลายชิ้น การบวกเป็นเงื่อนไขที่อ่อนกว่าการบวกแบบซิกมา กล่าวคือ การบวกแบบซิกมาบ่งบอกถึงการบวก

คำว่าฟังก์ชันเซตแบบโมดูลาร์มีความหมายเทียบเท่ากับ ฟังก์ชันเซตแบบบวก ดูรายละเอียดเพิ่มเติมได้ ที่หัวข้อ โมดูลาร์ด้านล่าง

ให้เป็นฟังก์ชันเซตที่กำหนดบนพีชคณิตของเซตที่มีค่าอยู่ใน(ดูเส้นจำนวนจริงแบบขยาย ) ฟังก์ชันนี้เรียกว่า${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle [-\infty ,\infty ]}$${\displaystyle \mu }$สารเติมแต่งหรือฟังก์ชันการบวกแบบจำกัดถ้าเมื่อใดก็ตามที่และเป็นเซตที่ไม่ซ้ำกันในแล้ว ผลที่ตามมาคือ ฟังก์ชันการบวกไม่สามารถรับทั้งและเป็นค่าได้ เพราะนิพจน์นั้นไม่มีนิยาม ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$$${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B)}$$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle +\infty }$${\displaystyle \infty -\infty }$

เราสามารถพิสูจน์ได้โดยการอุปมานทางคณิตศาสตร์ว่าฟังก์ชันบวกจะสอดคล้องกับเงื่อนไข สำหรับเซตที่ไม่ทับซ้อนกันใดๆ ใน$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{N}A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{N}\mu \left(A_{n}\right)}$$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{N}}$${\textstyle {\mathcal {A}}.}$

สมมติว่าเป็นพีชคณิต σถ้าสำหรับทุกลำดับของเซตที่ไม่ซ้ำกันเป็นคู่ๆ ใน เป็นจริง แล้วจะกล่าวได้ว่า เป็นพีชคณิตแบบนับได้บวกหรือ𝜎-บวกฟังก์ชัน 𝜎-บวกทุกฟังก์ชันจะเป็นฟังก์ชันบวก แต่ในทางกลับกันไม่ใช่ ดังแสดงด้านล่าง ${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$${\displaystyle \scriptstyle {\mathcal {A}},}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n}),}$$${\displaystyle \mu }$

สมมติว่านอกจากพีชคณิตซิกมาแล้วเรายังมีโทโพโลยีถ้าสำหรับทุก ตระกูล ทิศทางของเซตเปิด ที่วัดได้ เรากล่าวว่าเป็น-additive โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ถ้าเป็นปกติภายใน (เมื่อเทียบกับเซตกระชับ) แล้ว จะเป็น-additive ^{[ 1 ]}${\textstyle {\mathcal {A}},}$${\displaystyle \tau .}$${\textstyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {A}}\cap \tau ,}$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup {\mathcal {G}}\right)=\sup _{G\in {\mathcal {G}}}\mu (G),}$$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \tau }$

คุณสมบัติที่มีประโยชน์ของฟังก์ชันเซตแบบบวกได้แก่ คุณสมบัติดังต่อไปนี้ ${\displaystyle \mu }$

กำหนดค่าให้กับเซตทั้งหมดในโดเมนของมัน หรือกำหนดค่าให้กับเซตทั้งหมดในโดเมนของมันพิสูจน์ : คุณสมบัติการบวกหมายความว่าสำหรับทุกเซต(ในกรณีพิเศษของโดเมนว่างเปล่า ตัวเลือกเดียวสำหรับคือเซตว่างเปล่าเอง แต่ก็ยังใช้ได้) ถ้าแล้วความเท่าเทียมกันนี้จะเป็นไปได้ก็ต่อเมื่อบวกหรือลบอนันต์เท่านั้น ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \infty }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle A,}$${\displaystyle \mu (A)=\mu (A\cup \varnothing )=\mu (A)+\mu (\varnothing )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mu (\varnothing )\neq 0,}$

ถ้าเป็นค่าที่ไม่เป็นลบแล้วนั่นคือ เป็น${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (A)\leq \mu (B).}$${\displaystyle \mu }$ฟังก์ชันเซตแบบโมโนโทนในทำนองเดียวกัน ถ้าไม่เป็นบวกแล้ว${\displaystyle \mu }$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (A)\geq \mu (B).}$

ฟังก์ชันเซต บนกลุ่มของเซตเรียกว่า...${\displaystyle \mu }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ฟังก์ชันชุดโมดูลาร์และการประเมินค่าถ้าเมื่อใดก็ตามที่และเป็นองค์ประกอบของแล้ว คุณสมบัติข้างต้นเรียกว่า${\displaystyle A,}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A\cup B,}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle {\mathcal {S}},}$$${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B)}$$ความเป็นโมดูลาร์และข้อโต้แย้งด้านล่างพิสูจน์ว่าการบวกหมายถึงความเป็นโมดูลาร์

กำหนดให้และพิสูจน์ : เขียนและและโดยที่เซตทั้งหมดในยูเนียนเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกัน คุณสมบัติการบวกหมายความว่าทั้งสองข้างของสมการเท่ากัน${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle \mu (A\cup B)+\mu (A\cap B)=\mu (A)+\mu (B).}$${\displaystyle A=(A\cap B)\cup (A\setminus B)}$${\displaystyle B=(A\cap B)\cup (B\setminus A)}$${\displaystyle A\cup B=(A\cap B)\cup (A\setminus B)\cup (B\setminus A),}$${\displaystyle \mu (A\setminus B)+\mu (B\setminus A)+2\mu (A\cap B).}$

อย่างไรก็ตาม คุณสมบัติที่เกี่ยวข้องของความเป็นโมดูลาร์ย่อยและความเป็นบวกย่อยนั้นไม่เท่ากัน

โปรดทราบว่า ความเป็นโมดูลาร์มีความหมายที่แตกต่างและไม่เกี่ยวข้องกันในบริบทของฟังก์ชันที่ซับซ้อน โปรดดูที่รูปแบบโมดูลาร์

ถ้าและถูกกำหนดไว้แล้ว ดังนั้น${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle \mu (B)-\mu (A)}$${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$

ตัวอย่างของฟังก์ชัน 𝜎-บวก คือ ฟังก์ชันที่กำหนดบนเซตกำลังของจำนวนจริงโดยที่ ${\displaystyle \mu }$$${\displaystyle \mu (A)={\begin{cases}1&{\mbox{ if }}0\in A\\0&{\mbox{ if }}0\notin A.\end{cases}}}$$

ถ้าเป็นลำดับของเซตของจำนวนจริงที่ไม่ซ้ำกันแล้ว จะต้องไม่มีเซตใดมี 0 หรือมีเซตใดเซตหนึ่งที่มี 0 อยู่พอดี ในทั้งสองกรณี ความเท่าเทียมกัน จะเป็น จริง${\displaystyle A_{1},A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$$${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$$

ดูหัวข้อการวัดและการวัดแบบมีเครื่องหมายสำหรับตัวอย่างเพิ่มเติมของฟังก์ชัน 𝜎-บวก

ประจุถูกกำหนดให้เป็นฟังก์ชันเซตแบบบวกจำกัดที่แมปไปยัง^{[ 2 ]} (ดูพื้นที่ baสำหรับข้อมูลเกี่ยวกับ ประจุ ที่มีขอบเขตโดยที่เรากล่าวว่าประจุมีขอบเขตหมายความว่าช่วงของมันเป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตของR ) ${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle 0.}$

ตัวอย่างของฟังก์ชันบวกที่ไม่ใช่ฟังก์ชันบวกแบบ σ ได้มาจากการพิจารณาซึ่งกำหนดบนเซตเลเบสของจำนวนจริงด้วยสูตร โดยที่แทนการวัดแบบเลเบสและแทนลิมิตแบบบานาคฟังก์ชันนี้สอดคล้องกับและถ้าแล้ว${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle \mu (A)=\lim _{k\to \infty }{\frac {1}{k}}\cdot \lambda (A\cap (0,k)),}$$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lim }$${\displaystyle 0\leq \mu (A)\leq 1}$${\displaystyle \sup A<\infty }$${\displaystyle \mu (A)=0.}$

เราสามารถตรวจสอบได้ว่าฟังก์ชันนี้เป็นฟังก์ชันบวกโดยใช้คุณสมบัติความเป็นเชิงเส้นของลิมิต ส่วนที่ว่าฟังก์ชันนี้ไม่ใช่ฟังก์ชันบวกแบบ σ นั้น มาจากการพิจารณาลำดับของเซตที่ไม่ซ้ำกัน ผลรวม ของเซตเหล่านี้คือจำนวนจริงบวกและเมื่อนำไปใช้กับผลรวมจะได้ค่าเป็นหนึ่ง ในขณะที่เมื่อนำไปใช้กับเซตแต่ละเซตจะได้ค่าเป็นศูนย์ ดังนั้นผลรวมของจึงเป็นศูนย์ด้วย ซึ่งเป็นการพิสูจน์ตัวอย่างค้าน $${\displaystyle A_{n}=[n,n+1)}$$${\displaystyle n=0,1,2,\ldots }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu (A_{n})}$

เราสามารถกำหนดฟังก์ชันบวกที่มีค่าอยู่ในโมโนอิด บวกใดๆ ก็ได้ (ตัวอย่างเช่นกลุ่ม ใดๆ หรือโดยทั่วไปคือปริภูมิเวกเตอร์ ) สำหรับคุณสมบัติซิกมา-บวกนั้น จำเป็นต้องมีการกำหนดแนวคิดของลิมิตของลำดับบนเซตนั้นด้วย ตัวอย่างเช่นการวัดสเปกตรัมเป็นฟังก์ชันซิกมา-บวกที่มีค่าอยู่ในพีชคณิตบานาคอีกตัวอย่างหนึ่ง ซึ่งมาจากกลศาสตร์ควอนตัม เช่นกัน คือการวัดค่าตัวดำเนินการบวก

• แผนที่แบบบวก  – โฮโมมอร์ฟิซึมของโมดูล Z
• ทฤษฎีบทฮาห์น-โคลโมโกโรฟ  – ทฤษฎีบทที่ขยายการวัดเบื้องต้นไปสู่การวัดPages displaying short descriptions of redirect targets
• การวัด (คณิตศาสตร์)  – การสรุปความทั่วไปของมวล ความยาว พื้นที่ และปริมาตร
• การวัดแบบ σ-finite  – แนวคิดในทฤษฎีการวัด
• การวัดแบบมีเครื่องหมาย  – แนวคิดทั่วไปของการวัดในทางคณิตศาสตร์
• ฟังก์ชันเซตย่อยโมดูลาร์  – แผนที่เซตสู่ค่าจริงที่มีผลตอบแทนลดลง
• ฟังก์ชันเซตย่อยบวก
• คุณสมบัติการบวกแบบ τ  – คุณสมบัติของมาตรวัดบางอย่างบนปริภูมิเชิงทอพอโลยีPages displaying short descriptions of redirect targets
• ปริภูมิ ba – เซตของประจุที่มีขอบเขตบนซิกมาแอลเจบราที่กำหนดให้

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจาก additive บนPlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License