ในทางเรขาคณิตค่าประเมิน (valuation)คือฟังก์ชันบวกแบบจำกัดจากกลุ่มของเซตย่อยของเซตหนึ่งไปยังเซมิกรุปอา เบเลียน ตัวอย่างเช่นมาตรวัดเลเบส (Lebesgue measure)เป็นค่าประเมินบนการรวมกันแบบจำกัดของทรงนูนตัวอย่างอื่นๆ ของค่าประเมินบนการรวมกันแบบจำกัดของทรงนูน ได้แก่พื้นที่ผิว ความกว้าง เฉลี่ยและ ลักษณะ เฉพาะ ของ ออยเลอร์ (Euler characteristic ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

ในเรขาคณิต มักมีการกำหนดเงื่อนไข ความต่อเนื่อง (หรือความเรียบ ) ให้กับการประเมินค่า แต่ก็ยังมีแง่มุมที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่องอย่างแท้จริงในทฤษฎีนี้ด้วย อันที่จริง แนวคิดเรื่องการประเมินค่ามีต้นกำเนิดมาจากทฤษฎีการแบ่งส่วนของรูปทรงหลายเหลี่ยมโดยเฉพาะอย่างยิ่งปัญหาที่สามของฮิลเบิร์ตซึ่งได้พัฒนาไปเป็นทฤษฎีที่ซับซ้อนโดยอาศัยเครื่องมือจากพีชคณิตนามธรรม

ให้เป็นเซต และให้เป็นกลุ่มของเซตย่อยของฟังก์ชันบน ที่มีค่าอยู่ในเซมิกรุปอาเบเลียนเรียกว่าการประเมินค่าถ้ามันสอดคล้องกับเงื่อนไข เมื่อใดก็ตามที่และเป็นสมาชิกของ ถ้าแล้วเราจะถือว่า เสมอ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle R}$$${\displaystyle \phi (A\cup B)+\phi (A\cap B)=\phi (A)+\phi (B)}$$${\displaystyle A,}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A\cup B,}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle {\mathcal {S}}.}$${\displaystyle \emptyset \in {\mathcal {S}},}$${\displaystyle \phi (\emptyset )=0.}$

ตัวอย่างทั่วไปบางประการได้แก่ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

• วัตถุนูนใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• โพลีโทปนูนขนาดกะทัดรัดใน${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• กรวยนูน
• ทรงหลายเหลี่ยมเรียบและกะทัดรัดในระนาบเรียบ${\displaystyle X}$

ให้เป็นเซตของทรงนูนในแล้วค่าประเมินบางค่าบนคือ ${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$

• ลักษณะเฉพาะของ ออยเลอร์${\displaystyle \chi :K(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {Z} }$
• การวัดแบบเลเบสก์จำกัดอยู่ที่${\displaystyle {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n})}$
• ปริมาตรที่แท้จริง (และโดยทั่วไปคือปริมาตรผสม )
• แผนที่ที่ฟังก์ชันสนับสนุนของ${\displaystyle A\mapsto h_{A},}$${\displaystyle h_{A}}$${\displaystyle A}$

การประเมินมูลค่าอื่นๆ ได้แก่

• ตัวนับจุดแลตติสโดยที่เป็นโพลีโทปแลตติส${\displaystyle P\mapsto |\mathbb {Z} ^{n}\cap P|}$${\displaystyle P}$
• จำนวนสมาชิกในกลุ่มเซตจำกัด

จากนี้ไปให้เป็นเซตของทรงนูนในและให้เป็นการประเมินค่าบน ${\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

เรากล่าวว่า เป็นค่าคงที่การเลื่อน (translation invariant)ถ้าสำหรับทุกและเรามี ${\displaystyle \phi }$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle x\in V}$${\displaystyle \phi (K+x)=\phi (K)}$

ให้. ระยะทางเฮาส์ดอร์ฟถูกกำหนดโดย โดย ที่คือบริเวณใกล้เคียงของภายใต้ผลคูณภายในแบบยุคลิดบางอย่าง เมื่อมีเมตริกนี้แล้วจะเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ ${\displaystyle (K,L)\in {\mathcal {K}}(V)^{2}}$${\displaystyle d_{H}(K,L)}$$${\displaystyle d_{H}(K,L)=\inf\{\varepsilon >0:K\subset L_{\varepsilon }{\text{ and }}L\subset K_{\varepsilon }\},}$$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle K}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$

ปริภูมิของการประเมินค่าแบบต่อเนื่องและไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อนจากไปยัง จะถูกแทนด้วย${\displaystyle {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

โทโพโลยีบนคือ โทโพโลยีของการลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอในเซตย่อยกระชับของที่มีนอร์ม โดยที่เป็นเซตย่อยที่มีขอบเขตและมีส่วนภายในที่ไม่ว่างเปล่า และเป็นปริภูมิบานาค ${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V).}$$${\displaystyle \|\phi \|=\max\{|\phi (K)|:K\subset B\},}$$${\displaystyle B\subset V}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$

การประเมินค่าต่อเนื่องที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการแปลเรียกว่า-homogeneousถ้า สำหรับทุกและเซตย่อยของการประเมินค่า -homogeneous เป็นปริภูมิเวกเตอร์ย่อยของทฤษฎีบทการแยกส่วนของ McMullen ^{[ 1 ]}ระบุว่า ${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle i}$$${\displaystyle \phi (\lambda K)=\lambda ^{i}\phi (K)}$$${\displaystyle \lambda >0}$${\displaystyle K\in {\mathcal {K}}(V).}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(V)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)=\bigoplus _{i=0}^{n}\operatorname {Val} _{i}(V),\qquad n=\dim V.}$$

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ระดับของการประเมินค่าที่เป็นเนื้อเดียวกันจะเป็นจำนวนเต็มระหว่างและ เสมอ${\displaystyle 0}$${\displaystyle n=\operatorname {dim} V.}$

การประเมินค่าไม่ได้ถูกจัดลำดับตามระดับความสม่ำเสมอเท่านั้น แต่ยังรวมถึงความเท่าเทียมกันเมื่อเทียบกับการสะท้อนผ่านจุดกำเนิดด้วย กล่าวคือ โดย ที่ก็ต่อเมื่อสำหรับทรงนูนทุกรูป องค์ประกอบของและกล่าวได้ว่าเป็นจำนวนคู่และจำนวนคี่ตามลำดับ $${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}=\operatorname {Val} _{i}^{+}\oplus \operatorname {Val} _{i}^{-},}$$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}^{\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon \in \{+,-\}}$${\displaystyle \phi (-K)=\epsilon \phi (K)}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}}$

เป็นข้อเท็จจริงง่ายๆ ที่ว่าเป็นมิติ และครอบคลุมโดยลักษณะเฉพาะของออยเลอร์กล่าวคือ ประกอบด้วยค่าคงที่บน${\displaystyle \operatorname {Val} _{0}(V)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \chi ,}$${\displaystyle {\mathcal {K}}(V).}$

ในปี พ.ศ. 2490 Hadwiger ^{[ 2 ]}พิสูจน์ว่า(โดยที่) สอดคล้องกับปริภูมิมิติของการวัด Lebesgue บน${\displaystyle \operatorname {Val} _{n}(V)}$${\displaystyle n=\dim V}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle V.}$

การประเมินค่าจะเรียบง่ายหากสำหรับวัตถุนูนทั้งหมดที่มีSchneider ^{[ 3 ]}ในปี 1996 ได้อธิบายการประเมินค่าแบบง่ายทั้งหมดบน: โดยกำหนดโดยที่เป็นฟังก์ชันคี่ใดๆ บนทรงกลมหน่วยและเป็นการวัดพื้นที่ผิวของโดยเฉพาะอย่างยิ่ง การประเมินค่าแบบง่ายใดๆ เป็นผลรวมของการ ประเมินค่าแบบเอกพันธุ์ - และการประเมินค่าแบบเอกพันธุ์ - ซึ่งในทางกลับกันหมายความว่าการประเมินค่าแบบเอกพันธุ์ - จะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกันโดยข้อจำกัดของมันต่อปริภูมิย่อยมิติ - ทั้งหมด${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \phi (K)=0}$${\displaystyle \dim K<n.}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$$${\displaystyle \phi (K)=c\operatorname {vol} (K)+\int _{S^{n-1}}f(\theta )d\sigma _{K}(\theta ),}$$${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$${\displaystyle f\in C(S^{n-1})}$${\displaystyle S^{n-1}\subset \mathbb {R} ^{n},}$${\displaystyle \sigma _{K}}$${\displaystyle K.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (i+1)}$

การฝัง Klain เป็นการฉีดเชิงเส้นของพื้นที่ของการประเมินค่า -homogeneous คู่ เข้าไปในพื้นที่ของส่วนต่อเนื่องของบันเดิลเส้นเชิงซ้อนแบบแคนอนิกเหนือ Grassmannian ของพื้นที่ย่อยเชิงเส้นมิติ -ของการสร้างขึ้นอยู่กับลักษณะเฉพาะของ Hadwiger ^{[ 2 ]}ของการประเมินค่า -homogeneous ถ้าและจากนั้นข้อจำกัดจะเป็นองค์ประกอบและตามทฤษฎีบทของ Hadwiger มันคือการวัด Lebesgue ดังนั้น จึง กำหนดส่วนต่อเนื่องของบันเดิลเส้นเหนือด้วยไฟเบอร์เหนือเท่ากับพื้นที่มิติ - ของความหนาแน่น (การวัด Lebesgue) บน${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V),}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{i}(V)}$${\displaystyle E\in \operatorname {Gr} _{i}(V),}$${\displaystyle \phi |_{E}}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}(E),}$$${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\phi }(E)=\phi |_{E}}$$${\displaystyle Dens}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(V)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \operatorname {Dens} (E)}$${\displaystyle E.}$

ทฤษฎีบท (Klain ^{[ 4 ]} ) แผนที่เชิงเส้นเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle \operatorname {Kl} :\operatorname {Val} _{i}^{+}(V)\to C(\operatorname {Gr} _{i}(V),\operatorname {Dens} )}$

การฉีดที่แตกต่างกัน ซึ่งรู้จักกันในชื่อการฝังแบบ Schneider มีอยู่สำหรับการประเมินค่าคี่ โดยอิงตามคำอธิบายของ Schneider เกี่ยวกับการประเมินค่าแบบง่าย^{[ 3 ]}เป็นการฉีดเชิงเส้นของพื้นที่ของการประเมินค่าคี่ที่เป็นเอกพันธุ์ ลงในผลหารบางอย่างของพื้นที่ของส่วนต่อเนื่องของมัดเส้นเหนือแมนิโฟลด์แฟล็กบางส่วนของคู่ที่มีทิศทางร่วมกันคำจำกัดความของมันชวนให้นึกถึงการฝังแบบ Klain แต่มีความซับซ้อนกว่า รายละเอียดสามารถพบได้ใน^{[ 5 ]}${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V),}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (F^{i}\subset E^{i+1}).}$

การฝัง Goodey-Weil เป็นการฉีดเชิงเส้นของเข้าไปในพื้นที่ของการกระจายบนผลคูณ -เท่าของทรงกลมมิติ -มิติ มันไม่ใช่สิ่งอื่นใดนอกจากเคอร์เนล Schwartzของโพลาไรเซชันธรรมชาติที่ยอมรับได้ กล่าวคือเป็นฟังก์ชันบนผลคูณ -เท่าของพื้นที่ฟังก์ชันดังกล่าวซึ่งมีความหมายทางเรขาคณิตของความแตกต่างของฟังก์ชันสนับสนุนของวัตถุนูนเรียบ สำหรับรายละเอียด โปรดดู^{[ 5 ]}${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle (n-1)}$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{k}(V)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle C^{2}(S^{n-1}),}$

ทฤษฎีบทคลาสสิกของ Hadwiger, Schneider และ McMullen ให้คำอธิบายที่ค่อนข้างชัดเจนเกี่ยวกับค่าประเมินที่มีดีกรีเอกพันธุ์แต่สำหรับดีกรีนั้นมีความรู้เพียงเล็กน้อยก่อนช่วงต้นศตวรรษที่ 21 ข้อสันนิษฐานของ McMullen คือข้อความที่ว่าค่าประเมินครอบคลุมปริภูมิ ย่อยหนาแน่นของข้อสันนิษฐานของ McMullen ได้รับการยืนยันโดยAleskerในรูปแบบที่แข็งแกร่งกว่ามาก ซึ่งต่อมาเป็นที่รู้จักในชื่อทฤษฎีบทความไม่สามารถลดทอนได้ (Irreducibility Theorem): ${\displaystyle 1,}$${\displaystyle n-1,}$${\displaystyle n=\operatorname {dim} V.}$${\displaystyle 1<i<n-1}$$${\displaystyle \phi _{A}(K)=\operatorname {vol} _{n}(K+A),\qquad A\in {\mathcal {K}}(V),}$$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

ทฤษฎีบท (Alesker ^{[ 6 ]} ) สำหรับทุก การกระทำตามธรรมชาติของบนพื้นที่และไม่สามารถลดทอนได้ ${\displaystyle 0\leq i\leq n,}$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{+}(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{-}(V)}$

ในที่นี้ การกระทำของกลุ่มเชิงเส้นทั่วไป บนจะกำหนดโดย การพิสูจน์ทฤษฎีบทการลดทอนไม่ได้นั้นอาศัยทฤษฎีบทการฝังตัวในส่วนก่อนหน้าและ การหาตำแหน่งเฉพาะที่ ของ Beilinson-Bernstein${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$$${\displaystyle (g\cdot \phi )(K)=\phi (g^{-1}K).}$$

ค่าประเมินเรียกว่าเรียบถ้าแผนที่จากไปเป็นค่าประเมินที่เรียบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง ค่าประเมินจะเรียบก็ต่อเมื่อเป็นเวกเตอร์เรียบของการแสดงแทนตามธรรมชาติของบนปริภูมิของค่าประเมินที่เรียบมีความหนาแน่นใน; มันมาพร้อมกับโทโพโลยีปริภูมิเฟรเชต์ตามธรรมชาติ ซึ่งละเอียดกว่าโทโพโลยีที่ได้จาก${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle g\mapsto g\cdot \phi }$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle GL(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \operatorname {Val} (V).}$

สำหรับฟังก์ชันเรียบ (เชิงซ้อน) ทุกฟังก์ชันบน โดยที่แทนการฉายภาพเชิงตั้งฉาก และคือมาตรวัดฮาร์จะกำหนดค่าประเมินคู่เรียบที่มีดีกรีจากทฤษฎีบทการลดทอนไม่ได้ ร่วมกับทฤษฎีบทแคสเซลแมน-วอลลาค จะได้ว่าค่าประเมินคู่เรียบใดๆ ก็สามารถแสดงได้ในลักษณะนี้ การแสดงแบบนี้บางครั้งเรียกว่าสูตรครอฟตัน ${\displaystyle f}$${\displaystyle \operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n}),}$$${\displaystyle \phi (K)=\int _{\operatorname {Gr} _{i}(\mathbb {R} ^{n})}\operatorname {vol} _{i}(P_{E}K)f(E)dE,}$$${\displaystyle P_{E}:\mathbb {R} ^{n}\to E}$${\displaystyle dE}$${\displaystyle i.}$

สำหรับ รูปแบบเชิงอนุพันธ์ เรียบ (ที่มีค่าเชิงซ้อน) ใดๆที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อนทั้งหมดและการอินทิเกรตจำนวนใดๆบนวัฏจักรปกติจะกำหนดค่าเรียบ: ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {R} ^{n}\times S^{n-1})}$${\displaystyle (x,u)\mapsto (x+t,u)}$${\displaystyle c\in \mathbb {C} ,}$

$${\displaystyle \phi (K)=c\operatorname {vol} _{n}(K)+\int _{N(K)}\omega ,\qquad K\in {\mathcal {K}}(\mathbb {R} ^{n}).}$$

1

โดยทั่วไปแล้ว วงจรปกติจะประกอบด้วยเวกเตอร์หน่วยปกติที่ชี้ออกไปยังทฤษฎีบทความไม่สามารถลดทอนได้บ่งชี้ว่าการประเมินค่าแบบเรียบทุกค่ามีรูปแบบนี้ ${\displaystyle N(K)}$${\displaystyle K.}$

มีการดำเนินการตามธรรมชาติหลายอย่างที่กำหนดไว้บนปริภูมิย่อยของการประเมินค่าแบบเรียบการดำเนินการที่สำคัญที่สุดคือการคูณการประเมินค่าแบบเรียบสองค่าเข้าด้วยกัน เมื่อรวมกับการดึงกลับและการผลักดันไปข้างหน้า การดำเนินการนี้จะขยายไปสู่การประเมินค่าบนแมนิโฟลด์ ${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\subset \operatorname {Val} (V).}$

ให้และ เป็นปริภูมิเวกเตอร์จริงที่มีมิติจำกัด จะมีแผนที่ทวิเชิงเส้นอยู่แผนที่หนึ่ง เรียกว่า ผลคูณภายนอก ซึ่งมีลักษณะเฉพาะที่ไม่ซ้ำกันโดยมีคุณสมบัติสองประการต่อไปนี้: ${\displaystyle V,W}$$${\displaystyle \boxtimes :\operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(W)\to \operatorname {Val} (V\times W)}$$

• มันมีความต่อเนื่องเมื่อเทียบกับโทโพโลยีปกติบนและ${\displaystyle \operatorname {Val} }$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }.}$
• ถ้าและโดยที่และเป็นทรงนูนที่มีขอบเขตเรียบและมีความโค้งเกาส์เป็นบวกอย่างเคร่งครัด และและเป็นความหนาแน่นบนและแล้ว${\displaystyle \phi =\operatorname {vol} _{V}(\bullet +A)}$${\displaystyle \psi =\operatorname {vol} _{W}(\bullet +B)}$${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(V)}$${\displaystyle B\in {\mathcal {K}}(W)}$${\displaystyle \operatorname {vol} _{V}}$${\displaystyle \operatorname {vol} _{W}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W,}$

$${\displaystyle \phi \boxtimes \psi =(\operatorname {vol} _{V}\boxtimes \operatorname {vol} _{W})(\bullet +A\times B).}$$

ผลคูณของการประเมินค่าเรียบสองค่าถูกกำหนดโดย โดย ที่คือการฝังตัวในแนวทแยง ผลคูณนี้เป็นแผนที่ต่อเนื่อง เมื่อนำผลคูณนี้มาใช้จะกลายเป็นพีชคณิตแบบแบ่งระดับเชิงสลับที่และสัมพันธ์กัน โดยมีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เป็นเอกลักษณ์การคูณ ${\displaystyle \phi ,\psi \in \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$$${\displaystyle (\phi \cdot \psi )(K)=(\phi \boxtimes \psi )(\Delta (K)),}$$${\displaystyle \Delta :V\to V\times V}$$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V).}$$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)}$

ตามทฤษฎีบทของ Alesker การจำกัดของผลคูณ คือการจับคู่ที่ไม่เสื่อมสภาพ สิ่งนี้กระตุ้นให้เกิดนิยามของการประเมินค่าทั่วไปแบบเอกพันธุ์ซึ่งแสดงด้วยโทโพโลยีแบบอ่อน โดยอาศัยความเป็นคู่ของ Alesker-Poincaré จึงมีการรวมแบบหนาแน่นตามธรรมชาติ$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n}^{\infty }(V)=\operatorname {Dens} (V)}$$${\displaystyle k}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V),}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V)^{*}\otimes \operatorname {Dens} (V),}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\hookrightarrow \operatorname {Val} _{k}^{-\infty }(V)/}$

การคอนโวลูชันเป็นผลคูณตามธรรมชาติบนเพื่อความง่าย เรากำหนดความหนาแน่นบนเพื่อลดทอนปัจจัยที่สอง กำหนด สำหรับค่าคงที่ที่มีขอบเขตเรียบและค่าความโค้งเกาส์ที่เป็นบวกอย่างเคร่งครัด จากนั้นจะมีการขยายที่ไม่ซ้ำกันโดยความต่อเนื่องไปยังแผนที่ ที่เรียกว่าคอนโวลูชัน ซึ่งแตกต่างจากผลคูณตรงที่คอนโวลูชันเคารพการจัดระดับร่วม กล่าวคือ ถ้าแล้ว${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\otimes \operatorname {Dens} (V^{*}).}$${\displaystyle \operatorname {vol} }$${\displaystyle V}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {K}}(V)}$$${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A)\ast \operatorname {vol} (\bullet +B)=\operatorname {vol} (\bullet +A+B).}$$$${\displaystyle \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\times \operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V),}$$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} _{n-i}^{\infty }(V),}$${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} _{n-j}^{\infty }(V),}$${\displaystyle \phi \ast \psi \in \operatorname {Val} _{n-i-j}^{\infty }(V).}$

ตัวอย่างเช่น ให้แทนปริมาตรผสมของทรงนูนถ้าทรงนูนในที่มีขอบเขตเรียบและมีความโค้งเกาส์เป็นบวกอย่างเคร่งครัดถูกกำหนดไว้แล้ว จะกำหนดค่าประเมินเรียบที่มีดีกรีการสังเคราะห์ค่าประเมินเรียบสองค่าดังกล่าวคือ โดยที่เป็นค่าคงที่ซึ่งขึ้นอยู่กับ เท่านั้น${\displaystyle V(K_{1},\ldots ,K_{n})}$${\displaystyle K_{1},\ldots ,K_{n}\subset \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n-i}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \phi (K)=V(K[i],A_{1},\dots ,A_{n-i})}$${\displaystyle i.}$$${\displaystyle V(\bullet [i],A_{1},\dots ,A_{n-i})\ast V(\bullet [j],B_{1},\dots ,B_{n-j})=c_{i,j}V(\bullet [n-j-i],A_{1},\dots ,A_{n-i},B_{1},\dots ,B_{n-j}),}$$${\displaystyle c_{i,j}}$${\displaystyle i,j,n.}$

การแปลง Alesker-Fourier เป็นไอโซมอร์ฟิซึมตามธรรมชาติและสมมาตรของค่าประเมินเชิงซ้อน ที่ค้นพบโดย Alesker และมีคุณสมบัติหลายอย่างคล้ายกับการแปลง Fourier แบบคลาสสิก ซึ่งเป็นที่มาของชื่อนี้ ${\displaystyle GL(V)}$$${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} ^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} ^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$$

มันเป็นการกลับลำดับการให้คะแนน กล่าวคือผสานผลิตภัณฑ์และการบิดเบี้ยวเข้าด้วยกัน:${\displaystyle \mathbb {F} :\operatorname {Val} _{k}^{\infty }(V)\to \operatorname {Val} _{n-k}^{\infty }(V^{*})\otimes \operatorname {Dens} (V),}$$${\displaystyle \mathbb {F} (\phi \cdot \psi )=\mathbb {F} \phi \ast \mathbb {F} \psi .}$$

เพื่อความง่าย เราจะกำหนดโครงสร้างแบบยุคลิดเพื่อระบุเอกลักษณ์โดยในกรณีของการประเมินค่าที่เป็นเลขคู่ จะมีคำอธิบายง่ายๆ ของการแปลงฟูริเยร์ในแง่ของการฝังตัวแบบไคลน์โดยเฉพาะอย่างยิ่ง การประเมินค่าที่เป็นเลขคู่ยังคงเป็นเลขจริงหลังจากการแปลงฟูริเยร์ ${\displaystyle V=V^{*},}$${\displaystyle \operatorname {Dens} (V)=\mathbb {C} ,}$$${\displaystyle \mathbb {F} ^{2}\phi (K)=\phi (-K).}$$${\displaystyle \operatorname {Kl} _{\mathbb {F} \phi }(E)=\operatorname {Kl} _{\phi }(E^{\perp }).}$

สำหรับค่าประเมินที่เป็นเลขคี่ คำอธิบายของการแปลงฟูริเยร์นั้นซับซ้อนกว่ามาก ต่างจากกรณีเลขคู่ตรงที่มันไม่ได้เป็นเพียงลักษณะทางเรขาคณิตอีกต่อไป ตัวอย่างเช่น พื้นที่ของค่าประเมินที่เป็นเลขคี่ที่เป็นจำนวนจริงจะไม่ได้รับการรักษาไว้

เมื่อกำหนดแผนที่เชิงเส้นจะมีการดำเนินการแบบดึงกลับ (pullback) และแบบผลักไปข้างหน้า (pushforward) การดึงกลับนั้นง่ายกว่า โดยกำหนดโดยซึ่งเห็นได้ชัดว่ารักษาความเป็นคู่และความเป็นเอกรูปของการประเมินค่าไว้ โปรดทราบว่าการดึงกลับจะไม่รักษาความเรียบเมื่อไม่เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ${\displaystyle f:U\to V,}$${\displaystyle f^{*}:\operatorname {Val} (V)\to \operatorname {Val} (U)}$${\displaystyle f_{*}:\operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*}\to \operatorname {Val} (V)\otimes \operatorname {Dens} (V)^{*}.}$${\displaystyle f^{*}\phi (K)=\phi (f(K)).}$${\displaystyle f}$

การกำหนด pushforward อย่างเป็นทางการนั้นทำได้ยากกว่า เพื่อความเรียบง่าย ให้กำหนดมาตรวัด Lebesgue บนและpushforward สามารถระบุลักษณะเฉพาะได้โดยการอธิบายการกระทำบนการประเมินค่าในรูปแบบสำหรับทั้งหมดจากนั้นขยายโดยความต่อเนื่องไปยังการประเมินค่าทั้งหมดโดยใช้ทฤษฎีบทการลดทอนไม่ได้ สำหรับแผนที่แบบทั่วถึงสำหรับการรวม ให้เลือกการแยกจากนั้น อย่างไม่เป็นทางการ pushforward เป็นคู่ตรงข้ามกับ pullback เมื่อเทียบกับการจับคู่ Alesker-Poincaré: สำหรับและ อย่างไรก็ตาม เอกลักษณ์นี้จะต้องได้รับการตีความอย่างระมัดระวัง เนื่องจากการจับคู่จะกำหนดได้ดีเฉพาะสำหรับการประเมินค่าที่เรียบเท่านั้น สำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดู^{[ 7 ]}${\displaystyle U}$${\displaystyle V.}$${\displaystyle \operatorname {vol} (\bullet +A),}$${\displaystyle A\in {\mathcal {K}}(U),}$${\displaystyle f,}$$${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)=\operatorname {vol} (\bullet +f(A)).}$$${\displaystyle f:U\hookrightarrow V,}$${\displaystyle V=U\oplus W.}$$${\displaystyle f_{*}\operatorname {vol} (\bullet +A)(K)=\int _{W}\operatorname {vol} (K\cap (U+w)+A)dw.}$$${\displaystyle \phi \in \operatorname {Val} (V)}$${\displaystyle \psi \in \operatorname {Val} (U)\otimes \operatorname {Dens} (U)^{*},}$$${\displaystyle \langle f^{*}\phi ,\psi \rangle =\langle \phi ,f_{*}\psi \rangle .}$$

ในชุดเอกสารที่เริ่มต้นในปี 2549 Alesker ได้วางรากฐานสำหรับทฤษฎีการประเมินค่าบนแมนิโฟลด์ที่ขยายทฤษฎีการประเมินค่าบนวัตถุนูน ข้อสังเกตสำคัญที่นำไปสู่การขยายนี้คือ การบูรณาการเหนือวัฏจักรปกติ ( 1 ) การประเมินค่าแบบเรียบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อนอาจประเมินค่าบนเซตที่ทั่วไปกว่าเซตแบบนูนมาก นอกจากนี้ ( 1 ) ยังแนะนำให้กำหนดการประเมินค่าแบบเรียบโดยทั่วไปโดยการยกเลิกข้อกำหนดที่ว่ารูปแบบจะต้องไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อน และโดยการแทนที่มาตรวัด Lebesgue ที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อนด้วยมาตรวัดแบบเรียบใดๆ ${\displaystyle \omega }$

ให้n เป็นแมนิโฟลด์เรียบมิติ n และให้ n เป็นบันเดิลโคสเฟียร์ของ n ซึ่งก็คือการฉายภาพเชิงทิศทางของบันเดิลโคแทนเจนต์ ให้ n แทนกลุ่มของโพลีเฮดราที่กะทัดรัดและหาอนุพันธ์ได้ใน n วงจรปกติของn ซึ่งประกอบด้วยโคนอร์มัลภายนอก ของ n เป็นซับแมนิโฟลด์ลิปชิตซ์มิติ n โดยธรรมชาติ${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} _{X}=\mathbb {P} _{+}(T^{*}X)}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle N(A)\subset \mathbb {P} _{X}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(X),}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle n-1.}$

เพื่อความสะดวกในการนำเสนอ ต่อจากนี้ไปเราจะถือว่าเป็นปริภูมิที่มีทิศทาง แม้ว่าในความเป็นจริงแล้วแนวคิดของการประเมินค่าแบบเรียบจะไม่ขึ้นอยู่กับทิศทางก็ตาม ปริภูมิของการประเมินค่าแบบเรียบบนประกอบด้วยฟังก์ชันในรูปแบบ โดยที่และสามารถเป็นค่าใดก็ได้ อเลสเกอร์ได้แสดงให้เห็นว่าการประเมินค่าแบบเรียบ บนเซตย่อยเปิดของก่อให้เกิดชีฟแบบอ่อนเหนือ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \phi :{\mathcal {P}}(X)\to \mathbb {C} }$$${\displaystyle \phi (A)=\int _{A}\mu +\int _{N(A)}\omega ,\qquad A\in {\mathcal {P}}(X),}$$${\displaystyle \mu \in \Omega ^{n}(X)}$${\displaystyle \omega \in \Omega ^{n-1}(\mathbb {P} _{X})}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างของการประเมินค่าแบบเรียบบนแมนิโฟลด์เรียบ: ${\displaystyle X}$

• มาตรการที่ราบรื่นบน${\displaystyle X.}$
• ลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ ; สิ่งนี้เป็นผลมาจากงานของChern ^{[ 8 ]}เกี่ยวกับทฤษฎีบท Gauss-Bonnetซึ่งและ ถูกสร้างขึ้นเพื่อแสดงลักษณะเฉพาะของออยเลอร์ โดยเฉพาะอย่างยิ่งคืออินทิกรัล Chern-Gauss-Bonnetซึ่งเป็น Pfaffian ของเทนเซอร์ความโค้งแบบรีมันน์${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \mu }$
• ถ้าเป็นแบบรีมันน์ การประเมินค่าลิปชิตซ์-คิลลิงหรือปริมาตรภายในจะเป็นการประเมินค่าแบบเรียบ ถ้าเป็นการฝังตัวแบบไอโซเมตริก ใดๆ ลงในปริภูมิยูคลิด แล้ว โดยที่แทนปริมาตรภายในปกติบน(ดูคำจำกัดความของการดึงกลับด้านล่าง) การมีอยู่ของการประเมินค่าเหล่านี้เป็นสาระสำคัญของสูตรท่อของเวล์^{[ 9 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle V_{0}^{X}=\chi ,V_{1}^{X},\ldots ,V_{n}^{X}=\mathrm {vol} _{X}}$${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{m}}$${\displaystyle V_{i}^{X}=f^{*}V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}},}$${\displaystyle V_{i}^{\mathbb {R} ^{m}}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}$
• ให้เป็นปริภูมิเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟและให้แทนกราสส์มันเนียนของปริภูมิย่อยเชิงซ้อนเชิงโปรเจกทีฟทั้งหมดที่มีมิติคงที่ ฟังก์ชัน${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}}$${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}$${\displaystyle k.}$

$${\displaystyle \phi (A)=\int _{\mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} }}\chi (A\cap E)dE,\qquad A\in {\mathcal {P}}(\mathbb {C} P^{n}),}$$โดยที่การบูรณาการเกี่ยวข้องกับการวัดความน่าจะเป็นของ Haar บนนั้นเป็นการประเมินค่าที่ราบเรียบ ซึ่งเป็นผลมาจากงานของ Fu ^{[ 10 ]}${\displaystyle \mathrm {Gr} _{k}^{\mathbb {C} },}$

โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่นี้ไม่ยอมรับการจัดระดับตามธรรมชาติ แต่มีการกรองแบบแคนอนิก ซึ่งประกอบด้วยการวัดที่เรียบบนและกำหนดโดยรูปแบบในอุดมคติที่สร้างขึ้นโดย โดยที่คือการฉายภาพแบบแคนอนิก ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)=W_{0}\supset W_{1}\supset \cdots \supset W_{n}.}$$${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle W_{j}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \pi ^{*}\Omega ^{j}(X),}$${\displaystyle \pi :\mathbb {P} _{X}\to X}$

ปริภูมิเวกเตอร์แบบไล่ระดับที่เกี่ยวข้องนั้นสมมาตรเชิงแคนอนิกกับปริภูมิของส่วนเรียบ โดยที่ แทนกลุ่มเวกเตอร์เหนือซึ่งไฟเบอร์เหนือจุดคือปริภูมิของการประเมินค่าแบบเรียบที่ไม่เปลี่ยนแปลงตามการเลื่อนแบบเอกพันธุ์บนปริภูมิสัมผัส${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}W_{i}/W_{i+1}}$$${\displaystyle \bigoplus _{i=0}^{n}C^{\infty }(X,\operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)),}$$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(TX)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \operatorname {Val} _{i}^{\infty }(T_{x}X),}$${\displaystyle i}$${\displaystyle T_{x}X.}$

ปริภูมินี้ยอมรับผลคูณตามธรรมชาติ ผลคูณนี้ต่อเนื่อง สลับที่ได้ สัมพันธ์กัน เข้ากันได้กับการกรอง และมีลักษณะเฉพาะของออยเลอร์เป็นองค์ประกอบเอกลักษณ์ นอกจากนี้ยังสลับที่ได้กับการจำกัดไปยังส่วนย่อยฝังตัว และกลุ่มดิฟเฟอโอเมอร์ฟิซึมของกระทำบนโดยออโตมอร์ฟิซึมพีชคณิต ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$$${\displaystyle W_{i}\cdot W_{j}\subset W_{i+j},}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)}$

ตัวอย่างเช่น ถ้าเป็นแบบรีมันน์ ค่าประเมินลิปชิตซ์-คิลลิงจะสอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าว ${\displaystyle X}$$${\displaystyle V_{i}^{X}\cdot V_{j}^{X}=V_{i+j}^{X}.}$$

ทฤษฎีบทคู่ของ Alesker-Poincaré ยังคงใช้ได้ สำหรับ กรณีกะทัดรัด ทฤษฎีบท นี้กล่าวว่าการจับคู่จะไม่เสื่อมสภาพ เช่นเดียวกับในกรณีที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน ทฤษฎีบทคู่นี้สามารถใช้เพื่อกำหนดการประเมินค่าแบบทั่วไปได้ แต่ต่างจากกรณีที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้การเลื่อน คือไม่มีคำจำกัดความที่ดีของการประเมินค่าแบบต่อเนื่องสำหรับการประเมินค่าบนแมนิโฟลด์ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\times {\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to \mathbb {C} ,}$${\displaystyle (\phi ,\psi )\mapsto (\phi \cdot \psi )(X)}$

ผลคูณของการประเมินค่าสะท้อนถึงการดำเนินการทางเรขาคณิตของการตัดกันของเซตย่อยอย่างใกล้ชิด พิจารณาการประเมินค่าทั่วไปอย่างไม่เป็นทางการผลคูณกำหนดโดยตอนนี้เราสามารถได้รับการประเมินค่าแบบเรียบโดยการหาค่าเฉลี่ยของการประเมินค่าทั่วไปในรูปแบบที่แม่นยำยิ่งขึ้นคือการประเมินค่าแบบเรียบหากเป็นตระกูลของดิฟฟีโอมอร์ฟิซึมที่วัดได้ขนาดใหญ่เพียงพอ จากนั้นเราจะ เห็น^{[ 11 ]}${\displaystyle \chi _{A}=\chi (A\cap \bullet ).}$${\displaystyle \chi _{A}\cdot \chi _{B}=\chi _{A\cap B}.}$${\displaystyle \chi _{A},}$${\displaystyle \phi (X)=\int _{S}\chi _{s(A)}ds}$${\displaystyle S}$$${\displaystyle \int _{S}\chi _{s(A)}ds\cdot \int _{S'}\chi _{s'(B)}ds'=\int _{S\times S'}\chi _{s(A)\cap s'(B)}dsds',}$$

การฝังตัวแบบเรียบทุกรูปแบบบนแมนิโฟลด์เรียบจะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ดึงกลับ (pullback map) ถ้าเป็นการฝังตัวแล้ว แผนที่ดึงกลับจะเป็นมอร์ฟิซึมของพีชคณิตแบบกรอง การฝังตัวแบบเรียบที่เหมาะสมทุกรูปแบบจะกำหนดแผนที่ผลักไปข้าง หน้า (pushforward map) โดย แผนที่ผลักไป ข้างหน้าเข้ากันได้กับการกรองเช่นกัน: สำหรับแผนที่เรียบทั่วไป เราสามารถกำหนดแผนที่ดึงกลับและแผนที่ผลักไปข้างหน้าสำหรับการประเมินค่าแบบทั่วไปภายใต้ข้อจำกัดบางประการ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(Y)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(X).}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle (f^{*}\phi )(A)=\phi (f(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(X).}$$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f_{*}:{\mathcal {V}}^{\infty }(X)\to {\mathcal {V}}^{\infty }(Y)}$$${\displaystyle (f_{*}\phi )(A)=\phi (f^{-1}(A)),\qquad A\in {\mathcal {P}}(Y).}$$${\displaystyle f_{*}:W_{i}(X)\to W_{i-(\dim X-\dim Y)}(Y).}$

ให้เป็นแมนิโฟลด์แบบรีมันน์และให้เป็นกลุ่มลีของไอโซเมตรีของที่กระทำแบบทรานซิทีฟบนบันเดิลทรงกลมภายใต้สมมติฐานเหล่านี้ ปริภูมิของการประเมินค่าเรียบที่ไม่เปลี่ยนแปลงภายใต้ บนมีมิติจำกัด ให้เป็นฐาน ให้ เป็น ทรงหลายเหลี่ยมที่หาอนุพันธ์ได้ในจากนั้นปริพันธ์ในรูปแบบสามารถแสดงได้เป็นผลรวมเชิงเส้นของโดยมีสัมประสิทธิ์ที่ไม่ขึ้นกับและ:${\displaystyle M}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle SM.}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \phi _{1},\ldots ,\phi _{m}}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {P}}(M)}$${\displaystyle M.}$${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg}$${\displaystyle \phi _{k}(A)\phi _{l}(B)}$${\displaystyle c_{i}^{kl}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

$${\displaystyle \int _{G}\phi _{i}(A\cap gB)dg=\sum _{k,l=1}^{m}c_{i}^{kl}\phi _{k}(A)\phi _{l}(B),\qquad A,B\in {\mathcal {P}}(M).}$$

2

สูตรประเภทนี้เรียกว่าสูตรจลนศาสตร์การมีอยู่ของสูตรเหล่านี้ในความทั่วไปนี้ได้รับการพิสูจน์โดย Fu ^{[ 10 ]} สำหรับรูปแบบพื้นที่จริงที่เชื่อมต่อกันอย่างง่ายสามรูปแบบ ได้แก่ ทรงกลม พื้นที่ยุคลิด และพื้นที่ไฮเปอร์โบลิก สูตร เหล่า นี้มีที่มาจากBlaschke , Santaló , Chernและ Federer

การอธิบายสูตรจลนพลศาสตร์อย่างชัดเจนนั้นโดยทั่วไปแล้วเป็นปัญหาที่ยาก ในความเป็นจริงแล้ว แม้แต่ในขั้นตอนจากรูปแบบพื้นที่จริงไปสู่รูปแบบพื้นที่เชิงซ้อน ก็เกิดความยากลำบากอย่างมาก และเพิ่งได้รับการแก้ไขโดย Bernig, Fu และ Solanes เมื่อไม่นานมานี้^{[ 12 ] [ 13 ]}ความเข้าใจที่สำคัญที่ทำให้เกิดความก้าวหน้านี้คือ สูตรจลนพลศาสตร์มีข้อมูลเดียวกันกับพีชคณิตของการประเมินค่าที่ไม่เปลี่ยนแปลง สำหรับข้อความที่แม่นยำ ให้ เป็นตัวดำเนินการจลนพลศาสตร์ นั่นคือ แผนที่ที่กำหนดโดยสูตรจลนพลศาสตร์ ( 2 ) ให้ แทนความเป็นคู่ของ Alesker-Poincaré ซึ่งเป็นไอโซมอร์ฟิซึมเชิงเส้น สุดท้าย ให้เป็นตัวผกผันของแผนที่ผลคูณ ทฤษฎีบทพื้นฐานของเรขาคณิตเชิงปริพันธ์พีชคณิตที่เชื่อมโยงการดำเนินการบนการประเมินค่ากับเรขาคณิตเชิงปริพันธ์ ระบุว่า ถ้าใช้ความเป็นคู่ของ Poincaré เพื่อระบุกับแล้ว: ${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}.}$$${\displaystyle k_{G}:{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$$$${\displaystyle \operatorname {pd} :{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*}}$$${\displaystyle m_{G}^{*}}$$${\displaystyle m_{G}:{\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\otimes {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}\to {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}.}$$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G}}$${\displaystyle {\mathcal {V}}^{\infty }(M)^{G*},}$${\displaystyle k_{G}=m_{G}^{*}}$

.

• ทฤษฎีบทของฮาดวิเกอร์  – ทฤษฎีบทในเรขาคณิตเชิงปริพันธ์
• เรขาคณิตเชิงปริพันธ์  – แนวคิดในคณิตศาสตร์
• ปริมาณผสม
• ฟังก์ชันชุดโมดูลาร์  – ฟังก์ชันการแมปPages displaying short descriptions of redirect targets
• ฟังก์ชันเซต  – ฟังก์ชันที่แปลงเซตเป็นตัวเลข
• การประเมินค่า (ทฤษฎีการวัด)

• S. Alesker (2018). บทนำสู่ทฤษฎีการประเมินค่า . CBMS Regional Conference Series in Mathematics, 126. American Mathematical Society, Providence, RI. ISBN 978-1-4704-4359-7.
• S. Alesker ; JHG Fu (2014). เรขาคณิตเชิงปริพันธ์และการประเมินค่า . หลักสูตรคณิตศาสตร์ขั้นสูง. CRM Barcelona. Birkhäuser/Springer, Basel. ISBN 978-1-4704-4359-7.
• ดา ไคลน์; ก.-ซี. โรตา (1997) ความน่าจะเป็นทางเรขาคณิตเบื้องต้น เลซิโอนี ลินเซ. [การบรรยายของ Lincei]. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. ไอเอสบีเอ็น 0-521-59362-X.
• R. Schneider (2014). ทรงนูน: ทฤษฎี Brunn-Minkowski . สารานุกรมคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้, 151. สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, เคมบริดจ์, RI. ISBN 978-1-107-60101-7.