ในวิชาโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง พื้นที่โทโพโลยีจะเรียกว่ากะทัดรัดเฉพาะที่ (locally compact)ถ้าโดยคร่าวๆ แล้วแต่ละส่วนเล็กๆ ของพื้นที่นั้นดูเหมือนส่วนเล็กๆ ของพื้นที่กะทัดรัด (compact space ) กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้นก็คือ เป็นพื้นที่โทโพโลยีที่ทุกจุดมีบริเวณใกล้เคียง ที่กะทัดรัด (compact neighborhood )

เมื่อปริภูมิที่กระชับเฉพาะที่คือHausdorffปริภูมิเหล่านั้นจะเรียกว่าHausdorff ที่กระชับเฉพาะที่ซึ่งมีความน่าสนใจเป็นพิเศษในการวิเคราะห์ทางคณิตศาสตร์^{[ 1 ]}

ให้Xเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยทั่วไปแล้วXเรียกว่าปริภูมิกระชับเฉพาะที่ (locally compact)ถ้าทุกจุดxในXมีบริเวณใกล้เคียง ที่กระชับ (compact neighborhood) กล่าว คือ มีเซตเปิดUและเซตกระชับKอยู่จริง โดยที่${\displaystyle x\in U\subseteq K}$

นอกจากนี้ยังมีคำจำกัดความอื่นๆ ที่ใช้กันทั่วไป: คำจำกัดความทั้งหมดเหล่านี้จะเทียบเท่ากันหากXเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ (หรือปริภูมิพรีเรกูลาร์) แต่โดยทั่วไปแล้วคำจำกัดความเหล่านี้จะไม่เทียบเท่ากัน :

1. ทุกจุดในXมี บริเวณ ใกล้เคียง ที่กระชับ

2. ทุกจุดในXมีบริเวณใกล้เคียงที่เป็นวงปิดและ กระชับ

2′. ทุกจุดในXมีบริเวณใกล้เคียงที่ค่อนข้างกะทัดรัด

2″ ทุกจุดของXมีฐานท้องถิ่นเป็นย่านที่อยู่อาศัยที่มีขนาดค่อนข้างกะทัดรัด

3. ทุกจุดของXมีฐานท้องถิ่นที่เป็นชุมชนขนาดกะทัดรัด

4. ทุกจุดของXมีฐานท้องถิ่นที่เป็นย่านใกล้เคียงแบบปิดและกะทัดรัด

5. Xเป็นเมทริกซ์เฮาส์ดอร์ฟและตรงตามเงื่อนไขใดเงื่อนไขหนึ่ง (หรือเทียบเท่ากับทุกเงื่อนไข) ที่กล่าวมาข้างต้น

ความสัมพันธ์เชิงตรรกะระหว่างเงื่อนไข: ^{[ 2 ]}

• แต่ละเงื่อนไขบ่งชี้ว่า (1)
• เงื่อนไข (2), (2′), (2″) เทียบเท่ากัน
• เงื่อนไข (2), (3) ทั้งสองข้อไม่ถือเป็นเงื่อนไขของอีกเงื่อนไขหนึ่ง
• เงื่อนไข (4) บ่งชี้ว่า (2) และ (3)
• ความกะทัดรัดหมายถึงเงื่อนไข (1) และ (2) แต่ไม่ใช่ (3) หรือ (4)

เงื่อนไข (1) น่าจะเป็นคำจำกัดความที่ใช้กันบ่อยที่สุด เนื่องจากมีข้อจำกัดน้อยที่สุด และเงื่อนไขอื่นๆ ก็เทียบเท่ากับเงื่อนไขนี้เมื่อXเป็นHausdorffความเทียบเท่านี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าเซตย่อยแบบกระชับของปริภูมิ Hausdorff เป็นเซตปิด และเซตย่อยแบบปิดของปริภูมิแบบกระชับเป็นเซตแบบกระชับ ปริภูมิที่สอดคล้องกับ (1) เรียกอีกอย่างว่ามีความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นอย่างอ่อน [ ^{3 ] [ 4 ]}เนื่องจากตรงตามเงื่อนไขที่อ่อนที่สุดในที่ ^นี้

เนื่องจากถูกกำหนดในแง่ของเซตที่กระชับค่อนข้างมาก พื้นที่ที่สอดคล้องกับ (2), (2'), (2") จึงสามารถเรียกได้อย่างเฉพาะเจาะจงว่ากระชับในระดับท้องถิ่น^{[ 5 ] [ 6 ]} Steen & Seebach ^{[ 7 ]}เรียก (2), (2'), (2") ว่ากระชับในระดับท้องถิ่นอย่างเข้มแข็งเพื่อเปรียบเทียบกับคุณสมบัติ (1) ซึ่งพวกเขาเรียกว่ากระชับในระดับท้องถิ่น

พื้นที่ที่ตรงตามเงื่อนไข (4) คือพื้นที่ที่ตรงกับเงื่อนไข (4) พอดีพื้นที่ปกติที่กระชับเฉพาะที่^{[ 8 ] [ 2 ]} อันที่จริง พื้นที่ดังกล่าวเป็นปกติ เนื่องจากทุกจุดมีฐานเฉพาะที่ของย่านใกล้เคียงแบบปิด ในทางกลับกัน ในพื้นที่ปกติที่กระชับเฉพาะที่ สมมติว่าจุดมีย่านใกล้เคียงที่กระชับของๆจะมีย่านใกล้เคียงแบบปิดของที่อยู่ในจุดและจุดนั้นกระชับในฐานะเซตปิดในเซตที่กระชับ ${\displaystyle x}$${\displaystyle K}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle K\cap U}$${\displaystyle V}$

เงื่อนไข (5) ถูกใช้ เช่น ในBourbaki [ ^{9 ] พื้นที่ใดๆ ที่เป็นพื้นที่กระชับเฉพาะ ที่} (ในความหมายของเงื่อนไข (1)) และเป็น Hausdorff โดยอัตโนมัติจะตรงตามเงื่อนไขทั้งหมดข้างต้น เนื่องจากในการใช้งานส่วนใหญ่ พื้นที่กระชับเฉพาะที่ก็เป็น Hausdorff ด้วย ดังนั้น พื้นที่ Hausdorff ที่กระชับเฉพาะที่ เหล่านี้ จะเป็นพื้นที่ที่บทความนี้ให้ความสำคัญเป็นหลัก

พื้นที่เฮาส์ดอร์ฟแบบกะทัดรัดทุกแห่งก็มีความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นด้วย และตัวอย่างมากมายของพื้นที่กะทัดรัดสามารถพบได้ในบทความเรื่องพื้นที่กะทัดรัดในที่นี้เราจะกล่าวถึงเพียง:

• ช่วงหน่วย [0,1];
• ชุดแคนเตอร์;
• ลูกบาศก์ฮิลเบิร์ต

• ปริภูมิยุคลิดR ⁿ (และโดยเฉพาะอย่างยิ่งเส้นจำนวนจริงR ) เป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ อันเป็นผลมาจากทฤษฎีบทไฮเนอ-โบเรล
• แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีมีคุณสมบัติเฉพาะที่เหมือนกับปริภูมิยุคลิด และด้วยเหตุนี้จึงเป็นแมนิโฟลด์ที่กระชับเฉพาะที่ทั้งหมด ซึ่งรวมถึง แมนิโฟ ล ด์ ที่ไม่กระชับแบบพาราคอมแพ็กต์ เช่นเส้นตรงยาว ด้วย
• ปริภูมิดิสครีตทั้งหมดเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่และเฮาส์ดอร์ฟ (พวกมันก็คือ แมนิโฟลด์มิติ ศูนย์ นั่นเอง ) ปริภูมิเหล่านี้จะกระชับได้ก็ต่อเมื่อเป็นปริภูมิจำกัดเท่านั้น
• เซตย่อย แบบเปิดหรือแบบปิดทั้งหมดของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่กระชับเฉพาะที่ จะกระชับเฉพาะที่ในโทโพโลยีของปริภูมิย่อยด้วย นี่เป็นตัวอย่างหลายประการของเซตย่อยที่กระชับเฉพาะที่ของปริภูมิยุคลิด เช่นวงกลมหน่วย (ทั้งแบบเปิดและแบบปิด)
• ปริภูมิQ _pของจำนวนp -adic เป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ เนื่องจากมีสมบัติโฮมีโอเมอร์ฟิกกับเซตแคนเตอร์ลบหนึ่งจุด ดังนั้นปริภูมิกระชับเฉพาะที่จึงมีประโยชน์ในการวิเคราะห์p -adic เช่นเดียว กับการวิเคราะห์ แบบคลาสสิ ก

ดังที่กล่าวไว้ในหัวข้อต่อไปนี้ หากปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ (locally compact) แล้ว ปริภูมินั้นก็จะ เป็นปริภูมิ ไทโคนอฟ (Tychonoff space ) ด้วย ด้วยเหตุนี้ ตัวอย่างของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่ไม่เป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่เนื่องจากไม่ใช่ปริภูมิไทโคนอฟ สามารถพบได้ในบทความที่เกี่ยวกับปริภูมิไทโคนอฟโดยเฉพาะ แต่ก็ยังมีตัวอย่างของปริภูมิไทโคนอฟที่ไม่เป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่เช่นกัน เช่น:

• ปริภูมิQของจำนวนตรรกยะ (ซึ่งมีโทโพโลยีจากR ) เนื่องจากย่านใกล้เคียงใดๆ ก็ตามจะมีลำดับโคชีที่สอดคล้องกับจำนวนอตรรกยะ ซึ่งไม่มีลำดับย่อยลู่เข้าในQ
• ปริภูมิย่อยของเนื่องจากจุดกำเนิดไม่มีบริเวณใกล้เคียงที่กระชับ${\displaystyle \{(0,0)\}\cup ((0,\infty )\times \mathbf {R} )}$${\displaystyle \mathbf {R} ^{2}}$
• โทโพโลยีขีดจำกัดล่างหรือโทโพโลยีขีดจำกัดบนบนเซตRของจำนวนจริง (มีประโยชน์ในการศึกษาลิมิตด้านเดียว )
• T ₀ใดๆดังนั้นจึงเป็น Hausdorff ซึ่งเป็นปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอ โลยี เหนือหรือที่มีมิติอนันต์ เช่นปริภูมิฮิลเบิร์ตที่ มีมิติอนันต์${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

ตัวอย่างสองข้อแรกแสดงให้เห็นว่าเซตย่อยของปริภูมิกระชับเฉพาะที่นั้นไม่จำเป็นต้องกระชับเฉพาะที่เสมอไป ซึ่งแตกต่างจากเซตย่อยเปิดและปิดในส่วนก่อนหน้า ตัวอย่างสุดท้ายแตกต่างจากปริภูมิยุคลิดในส่วนก่อนหน้า กล่าวคือ ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบเฮาส์ดอร์ฟจะกระชับเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อมีมิติจำกัด (ซึ่งในกรณีนี้จะเป็นปริภูมิยุคลิด) ตัวอย่างนี้ยังแตกต่างจากลูกบาศก์ฮิลเบิร์ตในฐานะตัวอย่างของปริภูมิกระชับด้วย ไม่มีข้อขัดแย้งเพราะลูกบาศก์ไม่สามารถเป็นย่านใกล้เคียงของจุดใดๆ ในปริภูมิฮิลเบิร์ตได้

• การทำให้ จำนวนตรรกยะQ เป็น คอมแพ็กต์จุดเดียวนั้นเป็นคอมแพ็กต์และดังนั้นจึงเป็นคอมแพ็กต์เฉพาะที่ในความหมาย (1) และ (2) แต่มันไม่ใช่คอมแพ็กต์เฉพาะที่ในความหมาย (3) หรือ (4)
• โทโพโลยี จุดเฉพาะบนเซตอนันต์ใดๆ นั้นมีความกะทัดรัดเฉพาะที่ในความหมาย (1) และ (3) แต่ไม่ใช่ในความหมาย (2) หรือ (4) เพราะการปิดของย่านใกล้เคียงใดๆ ก็คือปริภูมิทั้งหมด ซึ่งไม่กะทัดรัด
• การรวมกันที่ไม่ทับซ้อนกันของตัวอย่างทั้งสองข้างต้นนั้นมีความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นในความหมาย (1) แต่ไม่ใช่ในความหมาย (2), (3) หรือ (4)
• โทโพโลยีลำดับที่ถูกต้องบนเส้นจำนวนจริงนั้นมีความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นในความหมาย (1) และ (3) แต่ไม่ใช่ในความหมาย (2) หรือ (4) เพราะการปิดของย่านใกล้เคียงใดๆ ก็คือพื้นที่ที่ไม่กะทัดรัดทั้งหมด
• ปริภูมิSierpińskiมีความกะทัดรัดเฉพาะที่ในความหมาย (1), (2) และ (3) และมีความกะทัดรัดเช่นกัน แต่ไม่ใช่ปริภูมิ Hausdorff หรือปริภูมิปกติ (หรือแม้แต่ปริภูมิก่อนปกติ) ดังนั้นจึงไม่กะทัดรัดเฉพาะที่ในความหมาย (4) หรือ (5) การรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของสำเนาปริภูมิ Sierpiński จำนวนนับได้เป็นปริภูมิที่ไม่กะทัดรัดซึ่งยังคงกะทัดรัดเฉพาะที่ในความหมาย (1), (2) และ (3) แต่ไม่ใช่ (4) หรือ (5)
• โดยทั่วไปแล้วโทโพโลยีจุดที่ถูกยกเว้นจะมีความกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นในความหมาย (1), (2) และ (3) และมีความกะทัดรัด แต่ไม่กะทัดรัดในระดับท้องถิ่นในความหมาย (4) หรือ (5)
• โทโพโลยีโคไฟไนต์บนเซตอนันต์นั้นมีความกะทัดรัดเฉพาะที่ในความหมาย (1), (2) และ (3) และกะทัดรัดเช่นกัน แต่ไม่ใช่เฮาส์ดอร์ฟหรือปกติ ดังนั้นจึงไม่กะทัดรัดเฉพาะที่ในความหมาย (4) หรือ (5)
• โทโพโลยีแบบไม่แยกส่วนบนเซตที่มีอย่างน้อยสององค์ประกอบนั้นมีความกะทัดรัดเฉพาะที่ในความหมาย (1), (2), (3) และ (4) และกะทัดรัดเช่นกัน แต่ไม่ใช่ Hausdorff ดังนั้นจึงไม่กะทัดรัดเฉพาะที่ในความหมาย (5)

• พื้นที่ทุกแห่งที่มีโทโพโลยี Alexandrovจะมีความกะทัดรัดเฉพาะที่ในความหมาย (1) และ (3) ^{[ 10 ]}

ปริภูมิ พรีเรกูลาร์แบบกระชับเฉพาะที่ทุกปริภูมิล้วนเป็น ปริภูมิเรกูลา ร์สมบูรณ์^{[ 11 ] [ 12 ]} เป็นผลให้ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิไทโคนอฟ [ ^{13 ] เนื่องจาก} ความสม่ำเสมอแบบตรงเป็นเงื่อนไขที่คุ้นเคยมากกว่าพรีเรกูลาร์ (ซึ่งมักจะอ่อนกว่า) หรือความสม่ำเสมอสมบูรณ์ (ซึ่งมักจะแข็งแกร่งกว่า) ดังนั้นปริภูมิพรีเรกูลาร์แบบกระชับเฉพาะที่จึงมักถูกกล่าวถึงในวรรณกรรมทางคณิตศาสตร์ว่าเป็นปริภูมิเรกูลาร์แบบกระชับเฉพาะที่ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิไทโคนอฟแบบกระชับเฉพาะที่มักถูกเรียกว่า ปริภูมิเฮาส์ดอร์ ฟ แบบกระชับเฉพาะที่

พื้นที่ปกติที่กระชับเฉพาะที่ทุกแห่ง โดยเฉพาะพื้นที่ Hausdorff ที่กระชับเฉพาะที่ทุกแห่ง เป็นพื้นที่Baire ^{[ 14 ] [ 15 ]} นั่นคือ ข้อสรุปของทฤษฎีบทหมวดหมู่ Baireเป็นจริง: ภายในของ ผลรวม ที่นับได้ของ เซตย่อยที่ไม่มีความ หนาแน่นที่ใดเลยนั้นว่างเปล่า

ปริภูมิย่อยXของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟYที่มีคุณสมบัติกะทัดรัดเฉพาะที่ จะกะทัดรัดเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อXเป็นเซตปิดเฉพาะที่ในY (กล่าวคือXสามารถเขียนได้ในรูปผลต่างเชิงเซตของเซตย่อยปิดสองเซตของY ) โดยเฉพาะอย่างยิ่ง เซตปิดทุกเซตและเซตเปิดทุกเซตในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่มีคุณสมบัติกะทัดรัดเฉพาะที่นั้น ล้วนมีคุณสมบัติกะทัดรัดเฉพาะที่ นอกจากนี้ ผลที่ตามมาคือ ปริภูมิย่อยหนาแน่นXของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟYที่มีคุณสมบัติกะทัดรัดเฉพาะที่ จะกะทัดรัดเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อXเป็นเซตเปิดในYยิ่งไปกว่านั้น ถ้าปริภูมิย่อยXของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟY ใดๆมีคุณสมบัติกะทัดรัดเฉพาะที่แล้วXก็ยังต้องเป็นเซตปิดเฉพาะที่ในY ด้วย แม้ว่า โดยทั่วไปแล้ว ข้อความกลับกันจะไม่เป็นจริงก็ตาม

หากปราศจากสมมติฐานของ Hausdorff ผลลัพธ์บางส่วนเหล่านี้จะล้มเหลวเมื่อใช้แนวคิดที่อ่อนกว่าของความกะทัดรัดเฉพาะที่ เซตปิดทุกเซตใน ปริภูมิ ที่กะทัดรัดเฉพาะที่แบบอ่อน (= เงื่อนไข (1) ในคำจำกัดความข้างต้น) จะกะทัดรัดเฉพาะที่แบบอ่อน แต่ไม่ใช่เซตเปิดทุกเซตในปริภูมิที่กะทัดรัดเฉพาะที่แบบอ่อนจะกะทัดรัดเฉพาะที่แบบอ่อน ตัวอย่างเช่นการทำให้เป็นกะทัดรัดแบบจุดเดียว ของจำนวนตรรกยะนั้นกะทัดรัด และด้วยเหตุนี้จึงกะทัดรัดเฉพาะที่แบบอ่อน แต่มีเซตเปิดซึ่งไม่กะทัดรัดเฉพาะที่แบบอ่อนอยู่ภายใน ${\displaystyle \mathbb {Q} ^{*}}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ปริภูมิผลหารของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่นั้นถูกสร้างขึ้นอย่างกระชับ ใน ทางกลับกัน ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่ถูกสร้างขึ้นอย่างกระชับทุกปริภูมิเป็นผลหารของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่บางปริภูมิ

สำหรับฟังก์ชันที่นิยามบนปริภูมิกระชับเฉพาะที่การลู่เข้าสม่ำเสมอเฉพาะที่นั้นเหมือนกับ การลู่ เข้า กระชับ

ส่วนนี้จะสำรวจการทำให้เป็นปริภูมิกระชับของปริภูมิกระชับเฉพาะที่ ปริภูมิกระชับทุกปริภูมิล้วนเป็นปริภูมิกระชับของตัวเอง ดังนั้นเพื่อหลีกเลี่ยงความซ้ำซ้อน จึงถือว่าปริภูมิXไม่ใช่ปริภูมิกระชับ

เนื่องจากปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่ทุกปริภูมิXเป็นปริภูมิไทโคโนฟ จึงสามารถฝังตัวลงในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับได้โดยใช้การทำให้เป็นกระชับแบบสโตน-เช็กแต่ในความเป็นจริง มีวิธีที่ง่ายกว่าในกรณีที่เป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่ นั่นคือการทำให้เป็นกระชับแบบจุดเดียวจะฝังตัวX ลง ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับโดยใช้จุดเพิ่มเพียงจุดเดียว (การทำให้เป็นกระชับแบบจุดเดียวสามารถนำไปใช้กับปริภูมิอื่นๆ ได้ แต่จะเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟก็ต่อเมื่อXเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่และเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ) ดังนั้น ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่สามารถระบุลักษณะได้ว่าเป็นเซตย่อยเปิดของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ ${\displaystyle b(X)}$${\displaystyle a(X)}$${\displaystyle a(X)}$

โดยสัญชาตญาณ จุดพิเศษในสามารถคิดได้ว่าเป็นจุดที่อนันต์จุดที่อนันต์ควรคิดว่าอยู่นอกเซตย่อยกระชับทุกเซตของXแนวคิดเชิงสัญชาตญาณมากมายเกี่ยวกับแนวโน้มไปสู่อนันต์สามารถกำหนดได้ในปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่กระชับเฉพาะที่โดยใช้แนวคิดนี้ ตัวอย่างเช่นฟังก์ชัน ค่า จริงหรือค่าเชิงซ้อนต่อเนื่องfที่มีโดเมนXกล่าวได้ว่าหายไปที่อนันต์ถ้ากำหนดจำนวนบวกe ใดๆ จะมีเซตย่อยกระชับKของXเช่นนั้นเมื่อใดก็ตามที่จุดxอยู่นอกKคำจำกัดความนี้สมเหตุสมผลสำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีX ใดๆ ถ้าXกระชับเฉพาะที่และเป็นเฮาส์ดอร์ฟ ฟังก์ชันดังกล่าวก็คือฟังก์ชันที่สามารถขยายไปยังฟังก์ชันต่อเนื่องgบนการทำให้กระชับแบบจุดเดียวของมันโดยที่${\displaystyle a(X)}$${\displaystyle |f(x)|<e}$${\displaystyle a(X)=X\cup \{\infty \}}$${\displaystyle g(\infty )=0.}$

สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่Xเซตของฟังก์ชันค่าเชิงซ้อนต่อเนื่องทั้งหมดบนXที่หายไปที่อนันต์คือพีชคณิตC* แบบสลับ ที่ได้ อันที่จริง พีชคณิต C* แบบสลับที่ได้ทุกตัวจะสม isomorphicกับสำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบ กระชับเฉพาะที่ X ที่ไม่ซ้ำกัน ( จนถึงโฮมีโอเมอร์ฟิซึม ) สิ่งนี้แสดงให้เห็นได้โดยใช้การแทนแบบ Gelfand ${\displaystyle C_{0}(X)}$${\displaystyle C_{0}(X)}$

แนวคิดเรื่องความกะทัดรัดเฉพาะที่ (local compactness) มีความสำคัญในการศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มทางทอพอโลยีเนื่องจาก กลุ่ม G ที่มีความกะทัดรัดเฉพาะที่แบบเฮาส์ดอร์ฟ (Hausdorff locally compact group ) ทุกกลุ่มจะมี มาตรวัดตามธรรมชาติ ที่ เรียกว่ามาตรวัดฮาร์ (Haar measures)ซึ่งช่วยให้สามารถอินทิเกรตฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งกำหนดไว้บนG ได้มาตรวัดเลเบส (Lebesgue measure)บนเส้นจำนวนจริงเป็นกรณีพิเศษของมาตรวัดนี้ ${\displaystyle \mathbb {R} }$

กลุ่มคู่แบบปอนทรียาจินของกลุ่มอาเบเลียนเชิงทอพอโลยีAจะเป็นกลุ่มกระชับเฉพาะที่ก็ต่อเมื่อAเป็นกลุ่มกระชับเฉพาะที่ กล่าวให้แม่นยำยิ่งขึ้น ความเป็นคู่แบบปอนทรียาจินกำหนดความเป็นคู่ ในตัวเอง ของหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนที่กระชับเฉพาะที่ การศึกษาเกี่ยวกับกลุ่มอาเบเลียนที่กระชับเฉพาะที่นั้นเป็นรากฐานของการวิเคราะห์ฮาร์มอนิกซึ่งเป็นสาขาที่ขยายไปสู่กลุ่มกระชับเฉพาะที่ที่ไม่ใช่อาเบเลียนในเวลาต่อมา

• กลุ่มคอมแพ็กต์  – กลุ่มทางทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีแบบคอมแพ็กต์
• ทฤษฎีบทของเอฟ. รีสซ์
• สนามขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น
• กลุ่มควอนตัมขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่
• กลุ่มกระชับเฉพาะที่  – ประเภทหนึ่งของกลุ่มเชิงทอพอโลยีในทางคณิตศาสตร์
• ปริภูมิ σ-คอมแพ็กต์  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเชิงทอพอโลยี
• พื้นที่ขนาดกะทัดรัดหลัก
• ใจกลางของพื้นที่ขนาดกะทัดรัดในท้องถิ่น