ในทางคณิตศาสตร์การลู่เข้าแบบกระชับ (หรือการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอในเซตกระชับ ) เป็นประเภทของการลู่เข้าที่ขยายแนวคิดของการลู่เข้าแบบสม่ำเสมอโดยมีความเกี่ยวข้องกับโทโพโลยีแบบกระชับ-เปิด

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและเป็นปริภูมิเมตริกลำดับของฟังก์ชัน ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle (Y,d_{Y})}$

${\displaystyle f_{n}:X\to Y}$,${\displaystyle n\in \mathbb {N} ,}$

กล่าวได้ว่าลู่เข้าอย่างกระชับตามฟังก์ชันบางอย่างถ้าสำหรับทุกเซต กระชับ${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle f_{n}|_{K}\to f|_{K}}$

อย่างสม่ำเสมอตามas ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกๆcompact ${\displaystyle K}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle K\subseteq X}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\sup _{x\in K}d_{Y}\left(f_{n}(x),f(x)\right)=0.}$

• ถ้าและมีโทโพโลยีตามปกติโดยที่ แล้วจะลู่เข้าสู่ฟังก์ชันคงที่ที่มีค่าเป็น 0 อย่างกระชับ แต่การลู่เข้าอย่างสม่ำเสมอจะไม่เกิดขึ้น${\displaystyle X=(0,1)\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}(x):=x^{n}}$${\displaystyle f_{n}}$
• ถ้าและแล้วลำดับจะลู่เข้าแบบจุดต่อจุดไปยังฟังก์ชัน ที่มีค่าเป็นศูนย์ที่และมีค่าเป็นหนึ่งที่แต่ลำดับจะไม่ลู่เข้าแบบกระชับ${\displaystyle X=(0,1]}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} }$${\displaystyle f_{n}(x)=x^{n}}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle 1}$
• ทฤษฎีบทอาร์เซลา-อัสโคลีเป็นเครื่องมือที่มีประสิทธิภาพมากในการแสดงให้เห็นถึงการลู่เข้าแบบกระชับทฤษฎีบทนี้มีหลายเวอร์ชัน โดยคร่าวๆ แล้วกล่าวว่า ลำดับของ แผนที่ ต่อเนื่องสม่ำเสมอและมีขอบเขตสม่ำเสมอ ทุกชุด จะมีลำดับย่อยที่ลู่เข้าแบบกระชับไปยังแผนที่ต่อเนื่องบางแผนที่

• ถ้าสม่ำเสมอ ก็จะกระชับ${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• ถ้าเป็นปริภูมิกระชับและกระชับแล้ว ก็จะสม่ำเสมอ${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• ถ้าเป็นปริภูมิกระชับเฉพาะที่แล้วปริภูมิกระชับก็ต่อเมื่อปริภูมิสม่ำเสมอเฉพาะที่${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}\to f}$
• ถ้าเป็น ปริภูมิ ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดและแต่ละเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว ก็เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเช่นกัน${\displaystyle (X,{\mathcal {T}})}$${\displaystyle f_{n}\to f}$${\displaystyle f_{n}}$${\displaystyle f}$

• รูปแบบการบรรจบกัน (ดัชนีพร้อมคำอธิบาย)
• ทฤษฎีบทของมอนเทล