ในทางโทโพโลยี ปริภูมิโทโพโลยี เรียกว่าปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดหรือปริภูมิ kถ้าโทโพโลยีของมันถูกกำหนดโดยปริภูมิกะทัดรัดในลักษณะที่อธิบายอย่างละเอียดด้านล่าง อันที่จริงแล้วไม่มีคำจำกัดความที่ตกลงกันโดยทั่วไปสำหรับปริภูมิเหล่านี้ เนื่องจากผู้เขียนแต่ละคนใช้คำจำกัดความที่แตกต่างกันซึ่งไม่เท่ากันอย่างแท้จริง นอกจากนี้ ผู้เขียนบางคนรวมสัจพจน์การแยก (เช่นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟหรือปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบอ่อน ) ไว้ในคำจำกัดความของคำใดคำหนึ่งหรือทั้งสองคำ ในขณะที่บางคนไม่ได้รวมไว้ ${\displaystyle X}$

ในนิยามที่ง่ายที่สุดพื้นที่ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด (compactly generated space)คือพื้นที่ที่สอดคล้องกับตระกูลของพื้นที่ย่อยที่กะทัดรัด (compact subspaces) ของมัน ซึ่งหมายความว่าสำหรับทุกเซตจะเป็นเซตเปิดในก็ต่อเมื่อเป็นเซตเปิดในสำหรับทุกพื้นที่ย่อยที่กะทัดรัด นิยามอื่นๆ ใช้ตระกูลของแผนที่ต่อเนื่องจากพื้นที่ที่กะทัดรัดไปยังและประกาศว่า ถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดหากโทโพโลยีของมันตรงกับโทโพโลยีสุดท้ายโดยสัมพันธ์กับตระกูลของแผนที่นี้ และนิยามที่แตกต่างกันออกไปจะแทนที่พื้นที่ที่กะทัดรัดด้วยพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟที่กะทัดรัด (compact Hausdorff spaces ) ${\displaystyle A\subseteq X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subseteq X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดถูกพัฒนาขึ้นมาเพื่อแก้ไขข้อบกพร่องบางประการของหมวดหมู่ปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ภายใต้นิยามบางประการ ปริภูมิเหล่านี้ก่อตัวเป็นหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียนในขณะที่ยังคงมีปริภูมิที่น่าสนใจทั่วไปอยู่ ซึ่งทำให้สะดวกต่อการใช้งานในทอพอโลยีเชิงพีชคณิตสำหรับรายละเอียดเพิ่มเติม โปรดดูหมวดหมู่ของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟอ่อนที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยที่คือทอพอโลยีซึ่งก็คือกลุ่มของเซตเปิดทั้งหมดใน${\displaystyle (X,T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X.}$

ในเอกสารทางวิชาการ มีคำจำกัดความของปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดหรือปริภูมิ k อยู่หลายแบบ (ซึ่งไม่เท่ากัน) คำจำกัดความเหล่านี้มีโครงสร้างร่วมกัน โดยเริ่มต้นจากตระกูลของแผนที่ต่อเนื่องที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสมจากปริภูมิกะทัดรัดบางแห่งไปยัง ปริภูมิ k คำจำกัดความต่างๆ แตกต่างกันในการเลือกตระกูลของแผนที่ดังรายละเอียดด้านล่าง ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {F}},}$

โทโพโลยีสุดท้าย บนที่เกี่ยวข้องกับตระกูลเรียกว่าk-ificationของ เนื่องจากฟังก์ชันทั้งหมดในมีความต่อเนื่องไปยังk-ification ของจึงละเอียดกว่า (หรือเท่ากับ) โทโพโลยีเดิมเซตเปิดใน k-ification เรียกว่า${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle T.}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (X,T),}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$เซตเปิด kในคือเซตที่เปิดในสำหรับทุกใน ใน ทำนองเดียวกัน${\displaystyle X;}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle f^{-1}(U)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f:K\to X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$เซต k-ปิดในคือเซตปิดใน k-ification ของมัน โดยมีลักษณะเฉพาะที่สอดคล้องกัน ในปริภูมิเซตเปิดทุกเซตเป็น k-เปิด และเซตปิดทุกเซตเป็น k-ปิด ปริภูมิพร้อมกับโทโพโลยีใหม่มักจะแสดงด้วย ^{[ 1 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T_{\mathcal {F}}}$${\displaystyle kX.}$

ปริภูมิเรียกว่าปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดหรือปริภูมิ k (โดยสัมพันธ์กับตระกูล) ถ้าโทโพโลยีของมันถูกกำหนดโดยแผนที่ทั้งหมดในในแง่ที่ว่าโทโพโลยีบนเท่ากับ k-ification ของมัน หรือเทียบเท่ากับ ถ้าเซตเปิด k ทุกเซตเปิดในหรือถ้าเซตปิด k ทุกเซตปิดในหรือกล่าวโดยย่อคือ ถ้า${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle X;}$${\displaystyle kX=X.}$

สำหรับตัวเลือกต่างๆ สำหรับครอบครัวนั้นเราสามารถเลือกแผนที่การรวมทั้งหมดจากปริภูมิย่อยบางส่วนของเช่น ปริภูมิย่อยกระชับทั้งหมด หรือปริภูมิย่อยเฮาส์ดอร์ฟกระชับทั้งหมด ซึ่งสอดคล้องกับการเลือกเซตของปริภูมิย่อยของ ปริภูมินั้น ปริภูมินั้น จะถูกสร้างขึ้นอย่างกระชับก็ต่อเมื่อโทโพโลยีของมันสอดคล้องกับครอบครัวของปริภูมิย่อยนั้น กล่าวคือ เซตจะเป็นเซตเปิด (หรือเซตปิด) ในก็ต่อเมื่อจุดตัดเป็นเซตเปิด (หรือเซตปิด) ในสำหรับทุก อีกทางเลือกหนึ่งคือการเลือกครอบครัวของแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมดจากปริภูมิใดๆ ที่มีประเภทเฉพาะ ไปยังเช่น แผนที่ทั้งหมดจากปริภูมิกระชับใดๆ หรือจากปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับใดๆ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\in {\mathcal {C}}.}$${\displaystyle X,}$

ตัวเลือกที่แตกต่างกันเหล่านี้สำหรับตระกูลของแผนที่ต่อเนื่องนำไปสู่คำจำกัดความที่แตกต่างกันของปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดนอกจากนี้ ผู้เขียนบางคนกำหนดให้ต้องเป็นไปตามสัจพจน์การแยก (เช่นHausdorffหรือweak Hausdorff ) เป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความ ในขณะที่ผู้เขียนคนอื่น ๆ ไม่ได้กำหนดไว้ คำจำกัดความในบทความนี้จะไม่มีสัจพจน์การแยกดังกล่าว ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

โดยทั่วไปแล้ว เงื่อนไขที่เพียงพอซึ่งอาจมีประโยชน์ในการแสดงว่าปริภูมิหนึ่งถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด (เมื่อเทียบกับ) คือการหาสับแฟมิลีเช่นนั้นถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดเมื่อเทียบกับ สำหรับปริภูมิที่สอดคล้องกัน เงื่อนไขนี้สอดคล้องกับการแสดงว่าปริภูมินั้นสอดคล้องกับสับแฟมิลีของตระกูลสับแฟมิลี ตัวอย่างเช่น วิธีนี้เป็นวิธีหนึ่งในการแสดงว่าปริภูมิที่กะทัดรัดเฉพาะที่ถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}\subseteq {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {G}}.}$

ด้านล่างนี้คือคำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไปบางส่วนโดยละเอียด เรียงลำดับจากความเฉพาะเจาะจงน้อยไปมาก

สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ นิยามทั้งสามแบบนั้นเทียบเท่ากัน ดังนั้นคำศัพท์จึงเหมือนกันคำว่า "ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด"นั้นมีความหมายชัดเจนและหมายถึงปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด (ตามคำจำกัดความใดๆ ก็ตาม) ซึ่งเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกัน

โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่ที่มีโทโพโลยีถูกกำหนดโดยพื้นที่ย่อยกระชับ (compact subspaces) หรือในกรณีนี้เทียบเท่ากับการกำหนดโดยแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมดจากพื้นที่กระชับใดๆ ก็ตาม

พื้นที่โทโพโลยีเรียกว่า พื้นที่ ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดหรือk-spaceหากเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้: ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}${\displaystyle X}$

(1) โทโพโลยีบนมีความสอดคล้องกับตระกูลของปริภูมิย่อยขนาดกะทัดรัด กล่าวคือ เป็นไปตามคุณสมบัติ: ${\displaystyle X}$

เซตจะเป็นเซตเปิด (หรือเซตปิด) ก็ต่อเมื่อส่วนร่วมของเซตนั้นเป็นเซตเปิด (หรือเซตปิด) สำหรับทุกปริภูมิย่อยกระชับ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subseteq X.}$

(2) โทโพโลยีบนสอดคล้องกับโทโพโลยีสุดท้ายโดยสัมพันธ์กับตระกูลของแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมดจากปริภูมิกระชับทั้งหมด${\displaystyle X}$${\displaystyle f:K\to X}$${\displaystyle K.}$

(3) เป็นปริภูมิผลหารของผลรวมเชิงโทโพโลยีของปริภูมิกระชับ${\displaystyle X}$

(4) เป็นปริภูมิผลหารของปริภูมิที่กระชับเฉพาะที่อย่างอ่อน${\displaystyle X}$

ตามที่อธิบายไว้ใน บทความ โทโพโลยีฉบับสุดท้ายเงื่อนไข (2) ถูกกำหนดไว้อย่างดี แม้ว่าตระกูลของแผนที่ต่อเนื่องจากปริภูมิกระชับใดๆ จะไม่ใช่เซต แต่เป็นคลาสที่เหมาะสมก็ตาม

ความเท่าเทียมกันระหว่างเงื่อนไข (1) และ (2) เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่ว่าการรวมทุกรายการจากปริภูมิย่อยเป็นการแมปแบบต่อเนื่อง และในทางกลับกัน การแมปแบบต่อเนื่องทุกรายการจากปริภูมิกระชับจะมีภาพกระชับและแยกตัวประกอบผ่านการรวมของปริภูมิย่อยกระชับเข้าไป${\displaystyle f:K\to X}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f(K)}$${\displaystyle f(K)}$${\displaystyle X.}$

โดยทั่วไปแล้ว หมายถึงปริภูมิที่มีโทโพโลยีถูกกำหนดโดยแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมดจากปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับใดๆ ก็ตาม

พื้นที่โทโพโลยีเรียกว่า พื้นที่ ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดหรือk-spaceหากเป็นไปตามเงื่อนไขที่เทียบเท่ากันต่อไปนี้: ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]}${\displaystyle X}$

(1) โทโพโลยีบนสอดคล้องกับโทโพโลยีสุดท้ายโดยสัมพันธ์กับตระกูลของแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมดจากปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟกระชับทั้งหมด กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เป็นไปตามเงื่อนไข: ${\displaystyle X}$${\displaystyle f:K\to X}$${\displaystyle K.}$

เซตเปิด (หรือเซตปิด) ในก็ต่อเมื่อเซตเปิด (หรือเซตปิด) ในสำหรับทุกปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับและทุกแผนที่ต่อเนื่อง${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f^{-1}(A)}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle f:K\to X.}$

(2) เป็นปริภูมิผลหารของผลรวมเชิงโทโพโลยีของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ${\displaystyle X}$

(3) เป็นปริภูมิผลหารของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่กระชับเฉพาะที่${\displaystyle X}$

ตามที่อธิบายไว้ใน บทความ โทโพโลยีฉบับสุดท้ายเงื่อนไข (1) ได้รับการกำหนดไว้อย่างดี แม้ว่าตระกูลของแผนที่ต่อเนื่องจากปริภูมิ Hausdorff กระชับใดๆ จะไม่ใช่เซตแต่เป็นคลาสที่เหมาะสมก็ตาม^{[ 5 ]}

ทุกปริภูมิที่สอดคล้องกับนิยามที่ 2 จะสอดคล้องกับนิยามที่ 1 ด้วย แต่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ปริภูมิ Arens -Fort ที่มีจุดเดียวเป็นปริภูมิกระชับ (compact space) และสอดคล้องกับนิยามที่ 1 แต่ไม่สอดคล้องกับนิยามที่ 2

นิยามที่ 2 เป็นนิยามที่ใช้กันทั่วไปในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต นิยามนี้มักใช้ร่วมกับ คุณสมบัติ เฮาส์ดอร์ฟแบบอ่อนเพื่อสร้าง หมวดหมู่ CGWH ของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบอ่อนที่สร้างขึ้น อย่าง กะทัดรัด

โดยทั่วไปแล้ว หมายถึงปริภูมิที่มีโทโพโลยีถูกกำหนดโดยปริภูมิย่อยเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ (compact Hausdorff subspaces)

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดหรือปริภูมิ kถ้าทอพอโลยีของมันสอดคล้องกับตระกูลของปริภูมิย่อยเฮาส์ดอร์ฟแบบกะทัดรัด กล่าวคือ มันมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle X}$

เซตจะเป็นเซตเปิด (หรือเซตปิด) ก็ต่อเมื่อส่วนร่วมจะเป็นเซตเปิด (หรือเซตปิด) สำหรับทุกปริภูมิย่อยเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับ${\displaystyle A\subseteq X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A\cap K}$${\displaystyle K}$${\displaystyle K\subseteq X.}$

ทุกปริภูมิที่สอดคล้องกับนิยามที่ 3 จะสอดคล้องกับนิยามที่ 2 ด้วย แต่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่นปริภูมิ Sierpiński ที่มีโทโพโลยีไม่สอดคล้องกับนิยามที่ 3 เพราะปริภูมิย่อย Hausdorff แบบกระชับของมันคือเซตเอกฐานและและโทโพโลยีแบบสอดคล้องกันที่มันเหนี่ยวนำขึ้นมาจะเป็นโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องแทน ในทางกลับกัน มันสอดคล้องกับนิยามที่ 2 เพราะมันสมมูลกับปริภูมิผลหารของช่วงกระชับที่ได้จากการระบุจุดทั้งหมดใน${\displaystyle X=\{0,1\}}$${\displaystyle \{\emptyset ,\{1\},X\}}$${\displaystyle \{0\}}$${\displaystyle \{1\}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (0,1].}$

โดยตัวของมันเองแล้ว นิยามที่ 3 อาจไม่ค่อยมีประโยชน์เท่ากับนิยามอีกสองข้อ เนื่องจากขาดคุณสมบัติบางประการที่นิยามอื่นๆ บ่งบอกไว้ ตัวอย่างเช่น ปริภูมิผลหารทุกปริภูมิที่สอดคล้องกับนิยามที่ 1 หรือนิยามที่ 2 จะเป็นปริภูมิประเภทเดียวกัน แต่สิ่งนี้ไม่เป็นจริงสำหรับนิยามที่ 3

อย่างไรก็ตาม สำหรับ ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟที่อ่อนแอนิยาม 2 และ 3 ถือว่าเทียบเท่ากัน^{[ 8 ]} ดังนั้นหมวดหมู่CGWHจึงสามารถกำหนดได้โดยการจับคู่คุณสมบัติเฮาส์ดอร์ฟที่อ่อนแอกับนิยาม 3 ซึ่งอาจระบุและใช้งานได้ง่ายกว่านิยาม 2

เดิมทีปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดเรียกว่าk-spaceตามคำภาษาเยอรมันว่า kompakt ปริภูมิ เหล่านี้ได้รับการศึกษาโดยHurewiczและสามารถพบได้ในหนังสือ General Topology โดย Kelley, Topology โดย Dugundji, Rational Homotopy Theory โดย Félix, Halperin และ Thomas

แรงจูงใจในการศึกษาเชิงลึกของพวกเขาเกิดขึ้นในช่วงทศวรรษ 1960 จากข้อบกพร่องที่รู้จักกันดีของหมวดหมู่ปกติของปริภูมิเชิงทอพอ โลยี ซึ่งไม่สามารถเป็นหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียน ได้ ผลคูณคาร์ทีเซียนปกติของแผนที่การระบุตัว ตน ไม่จำเป็นต้องเป็นแผนที่การระบุตัวตนเสมอไป และผลคูณปกติของคอมเพล็กซ์ CWไม่จำเป็นต้องเป็นคอมเพล็กซ์ CW ^{[ 9 ]}ในทางตรงกันข้าม หมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลมีคุณสมบัติที่สะดวกหลายประการ รวมถึงการเป็นหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียน ประวัติของการศึกษาเพื่อแก้ไขสถานการณ์นี้ได้ถูกนำเสนอในบทความเกี่ยวกับห้องปฏิบัติการnในหมวดหมู่ที่สะดวกของปริภูมิ

ข้อเสนอแนะแรก (ปี 1962) เพื่อแก้ไขสถานการณ์นี้คือการจำกัดตัวเองให้อยู่ในหมวดหมู่ย่อยทั้งหมดของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด ซึ่งในความเป็นจริงแล้วเป็นปริภูมิปิดแบบคาร์ทีเซียน แนวคิดเหล่านี้ต่อยอดมาจาก ทฤษฎีบททวิภาวะ ของเดอ วรีส์ นิยาม ของ วัตถุเอกซ์โพเนนเชียลมีดังต่อไปนี้ ข้อเสนอแนะอีกประการหนึ่ง (ปี 1964) คือการพิจารณาปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟตามปกติ แต่ใช้ฟังก์ชันที่ต่อเนื่องบนเซตย่อยที่กะทัดรัด

แนวคิดเหล่านี้สามารถขยายไปสู่กรณีที่ไม่ใช่ Hausdorff ได้^{[ 10 ]}กล่าวคือ ด้วยคำจำกัดความที่แตกต่างกันของพื้นที่ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด ซึ่งเป็นประโยชน์เนื่องจากพื้นที่ระบุตัวตนของพื้นที่ Hausdorff ไม่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff ^{[ 11 ]}

ใน โทโพโลยีเชิงพีชคณิตสมัยใหม่คุณสมบัตินี้มักใช้ร่วมกับ คุณสมบัติ เฮาส์ดอร์ฟแบบอ่อนเพื่อให้ทำงานในหมวดหมู่ CGWH ของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบอ่อนที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด

ดังที่ได้อธิบายไว้ใน ส่วน คำจำกัดความแล้ว ไม่มีคำจำกัดความที่เป็นที่ยอมรับกันโดยทั่วไปในเอกสารทางวิชาการสำหรับปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด แต่คำจำกัดความที่ 1, 2, 3 จากส่วนนั้นเป็นคำจำกัดความที่ใช้กันทั่วไปมากกว่า เพื่อให้สามารถแสดงผลลัพธ์ได้อย่างกระชับยิ่งขึ้น ส่วนนี้จะใช้ตัวย่อCG-1 , CG-2 , CG-3เพื่อแสดงถึงคำจำกัดความทั้งสามอย่างชัดเจน ซึ่งสรุปไว้ในตารางด้านล่าง (ดูส่วนคำจำกัดความสำหรับเงื่อนไขที่เทียบเท่าอื่นๆ สำหรับแต่ละข้อ)

สำหรับปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ คุณสมบัติ CG-1, CG-2, CG-3 นั้นเทียบเท่ากัน ปริภูมิเหล่านี้สามารถเรียกว่าปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดได้อย่างไม่มีข้อสงสัย

พื้นที่ CG-3 ทุกแห่งเป็น CG-2 และพื้นที่ CG-2 ทุกแห่งเป็น CG-1 แต่ข้อสรุปในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริงเสมอไป ดังที่แสดงให้เห็นจากตัวอย่างบางส่วนด้านล่าง

สำหรับ ปริภูมิ เฮาส์ดอร์ฟที่อ่อนแอคุณสมบัติ CG-2 และ CG-3 ถือว่าเทียบเท่ากัน^{[ 8 ]}

พื้นที่ลำดับคือ CG-2 ^{[ 12 ]} ซึ่งรวมถึงพื้นที่นับได้แรกพื้นที่แยก ย่อย Alexandrovพื้นที่จำกัด

ปริภูมิ CG-3 ทุกปริภูมิเป็น_{ปริภูมิ} T1 (เพราะเมื่อกำหนดเซตเอกลักษณ์แล้วจุดตัดของเซตเอกลักษณ์กับปริภูมิย่อย Hausdorff กระชับทุกปริภูมิจะเป็นเซตว่างหรือจุดเดียว ซึ่งเป็นเซตปิดในปริภูมิย่อยนั้น ดังนั้นเซตเอกลักษณ์จึงเป็นเซตปิดในปริภูมิย่อย นั้น ) ปริภูมิ T1 จำกัด_มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องดังนั้นในบรรดาปริภูมิจำกัด ซึ่งทั้งหมดเป็น CG-2 ปริภูมิ CG-3 จึงเป็นปริภูมิที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ปริภูมิจำกัดที่ไม่ต่อเนื่องใดๆ เช่นปริภูมิ Sierpińskiเป็นตัวอย่างของปริภูมิ CG-2 ที่ไม่ใช่ CG-3 ${\displaystyle \{x\}\subseteq X,}$${\displaystyle K\subseteq X}$${\displaystyle K;}$${\displaystyle X}$

ปริภูมิกระชับและ ปริภูมิ กระชับเฉพาะที่แบบอ่อนเป็น CG-1 แต่ไม่จำเป็นต้องเป็น CG-2 (ดูตัวอย่างด้านล่าง)

ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดนั้นรวมถึงปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟในรูปแบบต่างๆ ที่กล่าวถึงข้างต้นว่าเป็น CG-1 หรือ CG-2 ได้แก่ ปริภูมิลำดับเฮาส์ดอร์ฟ ปริภูมิที่นับได้แรกของเฮาส์ดอร์ฟ ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกะทัดรัดเฉพาะที่เป็นต้น โดยเฉพาะอย่างยิ่งปริภูมิเมตริกและแมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีนั้นสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด นอกจากนี้ คอมเพล็กซ์ CWก็สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดแบบเฮาส์ดอร์ฟเช่นกัน

เพื่อให้ได้ตัวอย่างของพื้นที่ที่ไม่ถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด การตรวจสอบ พื้นที่ แอนติคอมแพ็กต์^{[ 13 ]}ซึ่งก็คือพื้นที่ที่มีซับสเปซแบบกะทัดรัดทั้งหมดเป็นพื้นที่จำกัดนั้นเป็นประโยชน์ หากพื้นที่แอนติคอมแพ็กต์และ T ₁ซับสเปซแบบกะทัดรัดทุกอันของจะมีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง และ k-ification ที่สอดคล้องกันของจะเป็นโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง ดังนั้น พื้นที่แอนติคอมแพ็กต์ T ₁ที่ไม่ต่อเนื่องใดๆ จึงไม่ใช่ CG-1 ตัวอย่างเช่น: ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• โทโพโลยีที่นับได้ร่วมบนปริภูมิที่นับไม่ได้
• การแปลงปริภูมิไม่ต่อเนื่องนับไม่ได้ (เรียกอีกอย่างว่า ปริภูมิฟอร์ติสซิโม ) ให้เป็นปริภูมิลินเดลอฟิเคชันจุดเดียว
• พื้นที่ อาเรนส์-ฟอร์ต
• พื้นที่แอปเพิร์ต
• “โทโพโลยีอัลตราฟิลเตอร์เดี่ยว” ^{[ 14 ]}

ตัวอย่างอื่นๆ ของปริภูมิ (Hausdorff) ที่ไม่ได้สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด ได้แก่:

• ผลคูณของสำเนาจำนวนนับไม่ถ้วนของ(แต่ละสำเนามีโทโพโลยีแบบยุคลิด ตามปกติ ) ^{[ 15 ]}${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ผลลัพธ์ของสำเนาจำนวนนับไม่ถ้วนของ(แต่ละสำเนามีโทโพโลยีแบบไม่ ต่อเนื่อง )${\displaystyle \mathbb {Z} }$

สำหรับตัวอย่างของปริภูมิที่เป็น CG-1 แต่ไม่ใช่ CG-2 เราสามารถเริ่มต้นด้วยปริภูมิใดๆที่ไม่ใช่ CG-1 (ตัวอย่างเช่น ปริภูมิ Arens-Fort หรือผลคูณที่นับไม่ได้ของสำเนาของ) และให้ เป็นการทำให้เป็นปริภูมิกระชับแบบจุดเดียวของ ปริภูมิเป็นปริภูมิกระชับ ดังนั้นจึงเป็น CG-1 แต่ไม่ใช่ CG-2 เพราะปริภูมิย่อยแบบเปิดสืบทอดคุณสมบัติ CG-2 และเป็นปริภูมิย่อยแบบเปิดของที่ไม่ใช่ CG-2 ${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

(โปรดดู ส่วนตัว อย่างสำหรับความหมายของตัวย่อ CG-1, CG-2, CG-3)

โดยทั่วไปแล้ว พื้นที่ย่อยของพื้นที่ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดจะไม่ถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด แม้แต่ในกรณีของ Hausdorff ก็ตาม ตัวอย่างเช่นพื้นที่เชิงอันดับ โดยที่เป็นเชิงอันดับนับไม่ได้ตัวแรกเป็น Hausdorff ที่กะทัดรัด ดังนั้นจึงถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด พื้นที่ย่อยของมันที่มีเชิงอันดับลิมิตทั้งหมด ยกเว้นถูกลบออก จะสมสัณฐานกับพื้นที่ Fortissimoซึ่งไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด (ดังที่กล่าวไว้ในส่วนตัวอย่าง มันเป็น anticompact และไม่ใช่ discrete) ^{[ 16 ]} อีกตัวอย่างหนึ่งคือพื้นที่ Arens ^{[ 17 ] [ 18 ]}ซึ่งเป็น Hausdorff แบบลำดับ ดังนั้นจึงถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด มันมีพื้นที่ย่อยเป็นพื้นที่ Arens-Fortซึ่งไม่ได้ถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด ${\displaystyle \omega _{1}+1=[0,\omega _{1}]}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$

ในปริภูมิ CG-1 เซตปิดทุกเซตจะเป็น CG-1 แต่สำหรับเซตเปิดนั้นไม่เป็นเช่นนั้น ตัวอย่างเช่น ดังที่แสดงในส่วนตัวอย่าง มีปริภูมิหลายแห่งที่ไม่ใช่ CG-1 แต่เป็นเซตเปิดในปริภูมิกระชับจุดเดียว (one-point compactification ) ซึ่งเป็น CG-1

ในปริภูมิ CG-2 เซตปิดทุกเซตเป็น CG-2 เช่นเดียวกับเซตเปิดทุกเซต (เนื่องจากมีแผนที่ผลหารสำหรับปริภูมิ Hausdorff กระชับเฉพาะที่บางเซตและสำหรับเซตเปิดการจำกัดของไปยัง ก็เป็นแผนที่ผลหารบนปริภูมิ Hausdorff กระชับเฉพาะที่เช่นกัน) เช่นเดียวกันนี้เป็นจริงโดยทั่วไปสำหรับ เซต ปิดเฉพาะที่ ทุกเซต นั่นคือ จุดตัดของเซตเปิดและเซตปิด^{[ 19 ]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle q:Y\to X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q^{-1}(U)}$

ในปริภูมิ CG-3 เซตปิดทุกเซตเป็น CG-3

การรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกัน ของตระกูลของปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเป็น CG-1 ก็ต่อเมื่อปริภูมิแต่ละอันเป็น CG-1 ข้อความที่สอดคล้องกันยังใช้ได้กับ CG-2 ^{[ 20 ] [ 21 ]}และ CG-3 ด้วย ${\displaystyle {\coprod }_{i}X_{i}}$${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X_{i}}$

ปริภูมิผลหารของปริภูมิ CG-1 คือ CG-1 ^{[ 22 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิผลหารทุกปริภูมิของปริภูมิที่กระชับเฉพาะที่อย่างอ่อนคือ CG-1 ในทางกลับกัน ปริภูมิ CG-1 ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิผลหารของปริภูมิที่กระชับเฉพาะที่อย่างอ่อน ซึ่งสามารถถือได้ว่าเป็นผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันของปริภูมิย่อยกระชับของ^{[ 22 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$

ปริภูมิผลหารของปริภูมิ CG-2 คือ CG-2 ^{[ 23 ]} โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ปริภูมิผลหารทุกปริภูมิของ ปริภูมิ Hausdorff ที่มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่คือ CG-2 ในทางกลับกัน ปริภูมิ CG-2 ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิผลหารของปริภูมิ Hausdorff ที่มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่^{[ 24 ] [ 25 ]}

โดยทั่วไปแล้ว ปริภูมิผลหารของปริภูมิ CG-3 ไม่ใช่ปริภูมิ CG-3 อันที่จริง ปริภูมิ CG-2 ทุกปริภูมิเป็นปริภูมิผลหารของปริภูมิ CG-3 (กล่าวคือ ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟแบบกระชับเฉพาะที่บางปริภูมิ) แต่ก็มีปริภูมิ CG-2 บางปริภูมิที่ไม่ใช่ CG-3 ตัวอย่างเช่น ปริภูมิเซียร์ปินสกีไม่ใช่ CG-3 แต่เป็นปริภูมิที่สมมูลกับปริภูมิผลหารของช่วงกระชับที่ได้จากการระบุจุดหนึ่ง ${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle (0,1]}$

โดยทั่วไปแล้วโทโพโลยีสุดท้าย ใดๆ บนเซตที่เหนี่ยวนำโดยตระกูลของฟังก์ชันจากปริภูมิ CG-1 ก็จะเป็น CG-1 เช่นกัน และเช่นเดียวกันนี้ก็ใช้ได้กับ CG-2 ด้วย ซึ่งเป็นผลมาจากการรวมผลลัพธ์ข้างต้นสำหรับยูเนียนที่ไม่ทับซ้อนกันและปริภูมิผลหาร เข้ากับพฤติกรรมของโทโพโลยีสุดท้ายภายใต้การประกอบฟังก์ชัน

ผลรวมลิ่มของปริภูมิ CG-1 คือ CG-1 เช่นเดียวกันสำหรับ CG-2 นี่เป็นการประยุกต์ใช้ผลลัพธ์ข้างต้นสำหรับผลรวมที่ไม่ทับซ้อนกันและปริภูมิผลหารด้วยเช่นกัน

ผลคูณของปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดสองปริภูมิไม่จำเป็นต้องสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด แม้ว่าปริภูมิทั้งสองจะเป็น Hausdorff และลำดับก็ตาม ตัวอย่างเช่น ปริภูมิที่มีโทโพโลยีของปริภูมิย่อยจากเส้นจำนวนจริงเป็นปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรกปริภูมิที่มีโทโพโลยีผลหารจากเส้นจำนวนจริงที่มีจำนวนเต็มบวกที่ระบุไปยังจุดหนึ่งเป็นปริภูมิลำดับ ปริภูมิทั้งสองเป็น Hausdorff ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด แต่ผลคูณของปริภูมิทั้งสองไม่ได้สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด^{[ 26 ]}${\displaystyle X=\mathbb {R} \setminus \{1,1/2,1/3,\ldots \}}$${\displaystyle Y=\mathbb {R} /\{1,2,3,\ldots \}}$${\displaystyle X\times Y}$

อย่างไรก็ตาม ในบางกรณี ผลคูณของปริภูมิสองปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด ก็เป็นปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดเช่นกัน:

• ผลคูณของปริภูมิที่นับได้แบบแรกสองปริภูมิจะเป็นปริภูมิที่นับได้แบบแรกเช่นกัน ดังนั้นจึงเป็น CG-2
• ผลคูณของพื้นที่ CG-1 และ พื้นที่ กระชับเฉพาะที่คือ CG-1 ^{[ 27 ]} (ในที่นี้กระชับเฉพาะที่หมายถึงเงื่อนไข (3) ในบทความที่เกี่ยวข้อง กล่าวคือแต่ละจุดมีฐานเฉพาะที่ของย่านใกล้เคียงที่กระชับ)
• ผลคูณของปริภูมิ CG-2 และ ปริภูมิ Hausdorff ที่มีขนาดกะทัดรัดเฉพาะที่คือ CG-2 ^{[ 28 ] [ 29 ]}

เมื่อทำงานในหมวดหมู่ของพื้นที่ที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด (เช่น พื้นที่ CG-1 ทั้งหมดหรือพื้นที่ CG-2 ทั้งหมด) โทโพโลยีผลิตภัณฑ์ ปกติ บนไม่ได้สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดโดยทั่วไป ดังนั้นจึงไม่สามารถใช้เป็นผลิตภัณฑ์เชิงหมวดหมู่ได้แต่ k-ification ของมันจัดอยู่ในหมวดหมู่ที่คาดหวังและเป็นผลิตภัณฑ์เชิงหมวดหมู่^{[ 30 ] [ 31 ]}${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle k(X\times Y)}$

ฟังก์ชันต่อเนื่องบนปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด คือฟังก์ชันที่มีพฤติกรรมที่ดีบนเซตย่อยที่กะทัดรัด กล่าวคือ ให้เป็นฟังก์ชันจากปริภูมิเชิงทอพอโลยีหนึ่งไปยังอีกปริภูมิหนึ่ง และสมมติว่าโดเมนถูกสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดตามหนึ่งในนิยามในบทความนี้ เนื่องจากปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดถูกนิยามในแง่ของทอพอโลยีสุดท้ายจึงสามารถแสดงความต่อเนื่องของในแง่ของความต่อเนื่องของการประกอบของกับแผนที่ต่างๆ ในตระกูลที่ใช้ในการกำหนดทอพอโลยีสุดท้าย รายละเอียดมีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$

ถ้าเป็น CG-1 ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อข้อจำกัดต่อเนื่องสำหรับแต่ละคอมแพ็กต์^{[ 32 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$${\displaystyle K\subseteq X.}$

ถ้าเป็น CG-2 ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อการประกอบต่อเนื่องสำหรับปริภูมิ Hausdorff กระชับแต่ละอันและแผนที่ต่อเนื่อง^{[ 33 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\circ u:K\to Y}$${\displaystyle K}$${\displaystyle u:K\to X.}$

ถ้าเป็น CG-3 ฟังก์ชันจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อข้อจำกัดต่อเนื่องสำหรับแต่ละ Hausdorff ขนาดกะทัดรัด${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f\vert _{K}:K\to Y}$${\displaystyle K\subseteq X.}$

สำหรับปริภูมิเชิงทอพอโลยีและให้แทนปริภูมิของแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมดจากไปยังทอพอโลยีโดยทอพอโลยีแบบกระชับเปิดถ้าเป็น CG-1 ส่วนประกอบเส้นทางใน จะเป็น ชั้นสมมูลโฮโมโทปีอย่างแม่นยำ^{[ 34 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle C(X,Y)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C(X,Y)}$

เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆเราสามารถกำหนดทอพอโลยีที่ละเอียดกว่า ได้ บนปริภูมินั้น ซึ่งสร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด บางครั้งเรียกว่า${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$การทำให้ โทโพโลยีเป็นแบบ k ให้ แทนกลุ่มของเซตย่อยกระชับของเรากำหนดโทโพโลยีใหม่บนโดยประกาศว่าเซตย่อยเป็นเซตปิดก็ต่อเมื่อเป็นเซตปิดในสำหรับแต่ละดัชนีให้ แทนปริภูมิใหม่นี้ด้วยสามารถแสดงได้ว่าเซตย่อยกระชับของและตรงกัน และโทโพโลยีที่เกิดขึ้นบนเซตย่อยกระชับนั้นเหมือนกัน ดังนั้น จึงถูกสร้างขึ้นอย่างกระชับ ถ้าถูกสร้างขึ้นอย่างกระชับตั้งแต่แรกแล้วมิฉะนั้นโทโพโลยีบนจะละเอียดกว่า อย่างเคร่งครัด(กล่าวคือ มีเซตเปิดมากกว่า) ${\displaystyle \{K_{\alpha }\}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\cap K_{\alpha }}$${\displaystyle K_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha .}$${\displaystyle kX.}$${\displaystyle kX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle kX}$${\displaystyle X}$${\displaystyle kX=X.}$${\displaystyle kX}$${\displaystyle X}$

โครงสร้างนี้เป็นแบบฟังก์ชันเราใช้สัญลักษณ์แทนหมวดหมู่ย่อยเต็มของที่มีวัตถุเป็นปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด และหมวดหมู่ย่อยเต็มของที่มีวัตถุเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ ฟังก์ชันจากไปยังที่รับไปยัง เป็นตัวผกผันขวาของฟังก์ชันการรวม${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$${\displaystyle \mathbf {Top} }$${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$${\displaystyle \mathbf {Top} }$${\displaystyle \mathbf {CGTop} }$${\displaystyle X}$${\displaystyle kX}$${\displaystyle \mathbf {CGTop} \to \mathbf {Top} .}$

วัตถุเลขชี้กำลังในถูกกำหนดโดย โดยที่คือปริภูมิของแผนที่ต่อเนื่องจากไปยังที่มี โทโพโลยีแบบกระชับ และ เปิด${\displaystyle \mathbf {CGHaus} }$${\displaystyle k(Y^{X})}$${\displaystyle Y^{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

แนวคิดเหล่านี้สามารถสรุปได้เป็นกรณีที่ไม่ใช่ Hausdorff ^{[ 10 ]}ซึ่งมีประโยชน์เนื่องจากปริภูมิการระบุของปริภูมิ Hausdorff ไม่จำเป็นต้องเป็น Hausdorff

• โทโพโลยีแบบกะทัดรัดและเปิด  – ประเภทของโทโพโลยี
• พื้นที่ที่สร้างขึ้นนับได้
• ปริภูมิที่สร้างขึ้นอย่างจำกัด  – ประเภทหนึ่งของโทโพโลยีในคณิตศาสตร์Pages displaying short descriptions of redirect targets
• K-space (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)

• พื้นที่ที่ออกแบบอย่างกะทัดรัด - รวบรวมแคตตาล็อกที่ยอดเยี่ยมของอสังหาริมทรัพย์และสิ่งก่อสร้างที่มีพื้นที่ออกแบบอย่างกะทัดรัด
• พื้นที่โทโพโลยีที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัดที่ห้องปฏิบัติการn
• หมวดหมู่ที่สะดวกของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่n Lab
• https://math.stackexchange.com/questions/4646084/unraveling-the-various-definitions-of-k-space-or-compactly-generated-space