ในทางคณิตศาสตร์โทโพโลยีลำดับ คือ โทโพโลยีเฉพาะที่สามารถนิยามได้บนเซตที่มีลำดับสมบูรณ์ ใดๆ มันเป็นการขยายความตามธรรมชาติของโทโพโลยีของจำนวนจริงไปยังเซตที่มีลำดับสมบูรณ์ใดๆ

ถ้าXเป็นเซตที่มีลำดับสมบูรณ์โทโพโลยีลำดับบนXจะถูกสร้างขึ้นโดยฐานย่อยของ "รังสีเปิด"

${\displaystyle \{x\mid a<x\}}$

${\displaystyle \{x\mid x<b\}}$

สำหรับทุกค่าa และ bในXโดยที่Xมีอย่างน้อยสององค์ประกอบ นี่เทียบเท่ากับการกล่าวว่าช่วง เปิด

${\displaystyle (a,b)=\{x\mid a<x<b\}}$

เมื่อรวมกับรังสีข้างต้นแล้ว จะเป็นฐานสำหรับโทโพโลยีเชิงลำดับเซตเปิดในXคือเซตที่เป็นการรวมกันของช่วงเปิดและรังสีดังกล่าว (ซึ่งอาจมีจำนวนอนันต์)

พื้นที่โทโพโลยีXเรียกว่าสามารถเรียงลำดับได้หรือเรียงลำดับเชิงเส้นได้^{[ 1 ]}หากมีลำดับทั้งหมดบนองค์ประกอบของมันซึ่งโทโพโลยีลำดับที่เหนี่ยวนำโดยลำดับนั้นและโทโพโลยีที่กำหนดบนXตรงกัน โทโพโลยีลำดับทำให้Xเป็นพื้นที่เฮาส์ดอร์ฟปกติ โดยสมบูรณ์

โทโพโลยีมาตรฐานบนR , Q , ZและNคือโทโพโลยีลำดับ

ถ้าYเป็นเซตย่อยของXโดยที่ Xเป็นเซตที่มีลำดับสมบูรณ์แล้วYจะได้รับลำดับสมบูรณ์มาจากX ดังนั้น เซตYจึงมีโทโพโลยีลำดับ ซึ่ง ก็คือ โทโพโลยีลำดับที่เหนี่ยวนำในฐานะที่เป็นเซตย่อยของX Y ยังมีโทโพโลยีปริภูมิย่อย ด้วย โทโพโลยีปริภูมิย่อยนั้นจะมี ความละเอียดอย่างน้อยเท่ากับโทโพโลยีลำดับที่เหนี่ยวนำเสมอ แต่โดยทั่วไปแล้วจะไม่เหมือนกัน

ตัวอย่างเช่น พิจารณาเซตย่อยY = {−1} ∪ {1/ n } _{n ∈ N}ของจำนวนตรรกยะภายใต้โทโพโลยีของปริภูมิย่อย เซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว {−1} เป็นเซตเปิดในYแต่ภายใต้โทโพโลยีลำดับเหนี่ยวนำ เซตเปิดใดๆ ที่มี −1 จะต้องมีสมาชิกทั้งหมดของปริภูมิ ยกเว้นเพียงจำนวนจำกัดเท่านั้น

แม้ว่าโทโพโลยีของปริภูมิย่อยY = {−1} ∪ {1/ n } _{n ∈ N}ในส่วนด้านบนจะแสดงให้เห็นว่าไม่ได้ถูกสร้างขึ้นโดยลำดับที่เหนี่ยวนำบนYแต่ก็ยังเป็นโทโพโลยีลำดับบนYอยู่ดี อันที่จริง ในโทโพโลยีของปริภูมิย่อย ทุกจุดเป็นจุดโดดเดี่ยว (กล่าวคือ เซต { y } ที่มีสมาชิกเดียวเป็นเซตเปิดในYสำหรับทุกyในY ) ดังนั้นโทโพโลยีของปริภูมิย่อยจึงเป็นโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องบนY (โทโพโลยีที่ทุกเซตย่อยของYเป็นเซตเปิด) และโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องบนเซตใดๆ ก็เป็นโทโพโลยีลำดับเช่นกัน ในการกำหนดลำดับทั้งหมดบนYที่สร้างโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องบนYเพียงแค่ปรับเปลี่ยนลำดับที่เหนี่ยวนำบนYโดยกำหนดให้ −1 เป็นองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุดของYและคงลำดับเดิมไว้สำหรับจุดอื่นๆ ดังนั้นในลำดับใหม่นี้ (สมมติว่าเป็น < ₁ ) เราจะมี 1/ n < 1 ₋₁สำหรับทุกn  ∈  Nจากนั้น ในโทโพโลยีลำดับบนYที่สร้างโดย < ₁จุด ทุกจุดของYจะถูกแยกออกจากกันในY

ในที่นี้เราต้องการกำหนดเซตย่อยZของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีลำดับเชิงเส้นXโดยที่ไม่มีลำดับสมบูรณ์ใด ๆ บนZที่สร้างทอพอโลยีของปริภูมิย่อยบนZได้ ดังนั้นทอพอโลยีของปริภูมิย่อยนั้นจะไม่ใช่ทอพอโลยีเชิงลำดับ แม้ว่าจะเป็นทอพอโลยีของปริภูมิย่อยที่มีทอพอโลยีเป็นทอพอโลยีเชิงลำดับก็ตาม

ให้ อยู่ในเส้นจำนวนจริงเหตุผลเดียวกันกับก่อนหน้านี้แสดงให้เห็นว่าโทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนZไม่เท่ากับโทโพโลยีลำดับเหนี่ยวนำบนZแต่เราสามารถแสดงได้ว่าโทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนZไม่สามารถเท่ากับโทโพโลยีลำดับใดๆ บนZได้ ${\displaystyle Z=\{-1\}\ถ้วย (0,1)}$

ต่อไปนี้เป็นข้อโต้แย้ง สมมติโดยการขัดแย้งว่ามีลำดับสมบูรณ์ที่เข้มงวด < บนZ บางอย่าง ซึ่งโทโพโลยีลำดับที่สร้างขึ้นโดย < เท่ากับโทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนZ (โปรดทราบว่าเราไม่ได้สมมติว่า < คือลำดับที่เหนี่ยวนำบนZแต่เป็นลำดับสมบูรณ์ที่กำหนดขึ้นโดยพลการบนZซึ่งสร้างโทโพโลยีของปริภูมิย่อย)

ให้M  =  Z  \ {−1} = (0,1) แล้วMเชื่อมต่อกันดังนั้นMหนาแน่นบนตัวมันเองและไม่มีช่องว่าง เมื่อเทียบกับ < ถ้า −1 ไม่ใช่สมาชิกที่เล็กที่สุดหรือใหญ่ที่สุดของZแล้วและแยกM ออกจากกัน ซึ่งขัดแย้งกัน สมมติโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่า −1 เป็นสมาชิกที่เล็กที่สุดของZเนื่องจาก {−1} เปิดในZ จึง มีจุดp บางจุด ในMที่ช่วง (−1, p ) ว่างเปล่าดังนั้นpคือค่าต่ำสุดของMจากนั้นM  \ { p } = (0, p ) ∪ ( p ,1) ไม่เชื่อมต่อกันเมื่อเทียบกับโทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจากRในทางกลับกัน โทโพโลยีของปริภูมิย่อยของM  \ { p } ที่สืบทอดมาจากโทโพโลยีลำดับของZตรงกับโทโพโลยีลำดับของM  \ { p } ที่เกิดจาก < ซึ่งเชื่อมต่อกันเนื่องจากไม่มีช่องว่างในM  \ { p } และหนาแน่น นี่คือความขัดแย้ง ${\displaystyle (-\infty ,-1)}$${\displaystyle (-1,\infty )}$

สามารถกำหนดรูปแบบต่างๆ ของโทโพโลยีลำดับได้หลายแบบ:

• โทโพโลยีลำดับที่ถูกต้อง [ ^{2 ] บน} X คือโทโพโลยีที่มีฐานเป็นช่วงทั้งหมดในรูปแบบพร้อมกับเซตX${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\mid x>a\}}$
• โทโพโล ยีลำดับซ้ายบนX คือโทโพโลยีที่มีฐานเป็นช่วงทั้งหมดในรูปแบบพร้อมกับเซตX${\displaystyle (-\infty ,a)=\{x\in X\mid x<a\}}$

โทโพโลยีเหล่านี้เกิดขึ้นตามธรรมชาติเมื่อทำงานกับฟังก์ชันกึ่งต่อเนื่องโดยที่ฟังก์ชันค่าจริงบนปริภูมิโทโพโลยีจะเป็นกึ่งต่อเนื่องล่างก็ต่อเมื่อเป็น ฟังก์ชัน ต่อเนื่องเมื่อจำนวนจริงมีลำดับที่ถูกต้อง^{[ 3 ]}โทโพโลยีแบบเปิดขนาดกะทัดรัด ( ตามธรรมชาติ ) บนเซตของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ได้นั้นบางครั้งเรียกว่า โทโพ โลยีกึ่งต่อเนื่อง^{[ 4 ]}

นอกจากนี้ โทโพโลยีเหล่านี้ยังสามารถนำมาใช้เป็นตัวอย่างค้านในโทโพโลยีทั่วไปได้ เช่น โทโพโลยีลำดับซ้ายหรือขวาบนเซตที่มีขอบเขตจำกัด เป็นตัวอย่างของปริภูมิกระชับที่ไม่ใช่ปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟ

โทโพโลยีลำดับซ้ายเป็นโทโพโลยีมาตรฐานที่ใช้สำหรับ วัตถุประสงค์ ทางทฤษฎีเซต หลายอย่าง ในพีชคณิตบูลีน

สำหรับจำนวนเชิงอันดับλ ใดๆ เราสามารถพิจารณาปริภูมิของจำนวนเชิงอันดับได้

${\displaystyle [0,\lambda )=\{\alpha \mid \alpha <\lambda \}}$

${\displaystyle [0,\lambda ]=\{\alpha \mid \alpha \leq \lambda \}}$

ร่วมกับโทโพโลยีลำดับธรรมชาติ ปริภูมิเหล่านี้เรียกว่าปริภูมิเชิงอันดับ (โปรดทราบว่าในการสร้างจำนวนเชิงอันดับตามทฤษฎีเซตตามปกติ เรามีλ = [0, λ ) และλ + 1 = [0, λ ]) เห็นได้ชัดว่าปริภูมิเหล่านี้มีความน่าสนใจเป็นส่วนใหญ่เมื่อλเป็นจำนวนเชิงอันดับอนันต์ สำหรับจำนวนเชิงอันดับจำกัด โทโพโลยีลำดับก็คือ โทโพโล ยี แบบไม่ต่อเนื่อง นั่นเอง

เมื่อλ = ω (ลำดับอนันต์แรก) ปริภูมิ [0,ω) ก็คือNที่มีโทโพโลยีปกติ (ยังคงเป็นแบบไม่ต่อเนื่อง) ในขณะที่ [0,ω] คือการทำให้เป็นปริภูมิกระชับแบบจุดเดียว ของN

กรณีที่น่าสนใจเป็นพิเศษคือกรณีที่λ = ω ₁ซึ่งเป็นเซตของลำดับที่นับได้ทั้งหมด และเป็นลำดับที่นับไม่ได้ตัวแรกสมาชิก ω ₁เป็นจุดลิมิตของเซตย่อย [0,ω ₁ ) แม้ว่าจะไม่มีลำดับของสมาชิกใดใน [0,ω ₁ ) ที่มีสมาชิก ω ₁เป็นลิมิตก็ตาม โดยเฉพาะอย่างยิ่ง [0,ω ₁ ] ไม่ใช่เซตที่นับได้เป็นอันดับแรก อย่างไรก็ตาม ปริภูมิย่อย [0,ω ₁ ) เป็นเซตที่นับได้เป็นอันดับแรก เนื่องจากจุดเดียวใน [0,ω ₁ ] ที่ไม่มีฐานเฉพาะ ที่นับได้ คือ ω ₁คุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการได้แก่

• ทั้ง [0,ω ₁ ) และ [0,ω ₁ ] ไม่สามารถแยกได้หรือนับได้แบบสองลำดับ
• [0,ω ₁ ] เป็นเซตกระชับ (compact ) ในขณะที่ [0,ω ₁ ) เป็นเซตกระชับแบบลำดับ (sequentially compact)และเซตกระชับแบบนับได้ (countably compact ) แต่ไม่ใช่เซตกระชับ (compact) หรือ เซตกระชับกึ่งลำดับ (paracompact)

จำนวนเชิงอันดับใดๆก็สามารถมองได้ว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี โดยการกำหนดทอพอโลยีเชิงอันดับให้กับมัน (อันที่จริง จำนวนเชิงอันดับมีการจัดลำดับที่ดีดังนั้นโดยเฉพาะอย่างยิ่ง จึง มีการจัดลำดับโดยสมบูรณ์ ) เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น นี่คือทอพอโลยีปกติที่กำหนดให้กับจำนวนเชิงอันดับ ยิ่งไปกว่านั้น หากเรายินดีที่จะยอมรับชั้นที่เหมาะสมว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เราก็อาจมองชั้นของจำนวนเชิงอันดับทั้งหมดเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีเชิงอันดับได้เช่นกัน

เซตของจุดลิมิตของลำดับαคือเซตของลำดับลิมิตที่น้อยกว่าα ลำดับถัดไป (และศูนย์) ที่น้อยกว่าα เป็นจุดโดดเดี่ยวในαโดยเฉพาะอย่างยิ่งω (หมายถึงเซต[0, ω ) ) เป็น ปริภูมิเชิงทอพอโลยี แบบไม่ต่อเนื่องเช่นเดียวกับลำดับจำกัดแต่ละตัว แต่ไม่มีลำดับใดที่มากกว่าωที่เป็นแบบไม่ต่อเนื่อง ลำดับαเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบกระชับ ก็ต่อเมื่อ αเป็นลำดับถัดไปหรือศูนย์เท่านั้น

เซตปิดของลำดับαคือเซตที่ประกอบด้วยลำดับลิมิตที่น้อยกว่าαเมื่อใดก็ตามที่ช่วงเปิดทุกช่วงที่ประกอบด้วยลำดับลิมิตนั้นตัดกับเซตปิดดังกล่าว

แน่นอนว่า จำนวนเชิงอันดับใดๆ ก็เป็นเซตย่อยเปิดของจำนวนเชิงอันดับที่ใหญ่กว่าได้ เรายังสามารถกำหนดโทโพโลยีบนจำนวนเชิงอันดับได้ในลักษณะอุปนัยดังต่อไปนี้: 0 คือปริภูมิโทโพโลยีว่างเปล่า α +1 ได้มาจากการทำให้ α เป็นปริภูมิกระชับแบบจุดเดียวและสำหรับδ ซึ่ง เป็นจำนวนเชิงอันดับลิมิตδจะมี โทโพโลยี ลิมิตแบบอุปนัยโปรดสังเกตว่า ถ้าαเป็นจำนวนเชิงอันดับผู้สืบทอดαจะเป็นปริภูมิกระชับ ซึ่งในกรณีนี้ การทำให้ α เป็นปริภูมิกระชับแบบจุดเดียวα +1 คือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของαและจุดหนึ่ง

ในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี จำนวนเชิงอันดับทั้งหมดเป็นเฮาส์ดอร์ฟและปกติ นอกจากนี้ ยังไม่เชื่อมต่อกันโดยสมบูรณ์ (ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันเป็นจุด) กระจัดกระจาย (ทุกปริภูมิย่อยที่ไม่ว่างเปล่ามีจุดโดดเดี่ยว ในกรณีนี้ ให้เลือกองค์ประกอบที่เล็กที่สุด) และมีมิติเป็นศูนย์ (ทอพอโลยีมีฐานปิดเปิด : ในที่นี้ ให้เขียนช่วงเปิด ( β , γ ) เป็นการรวมกันของช่วงปิดเปิด ( β , γ '+1) = [ β +1, γ '] สำหรับγ '< γ ) อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้วพวกมันไม่ได้ไม่เชื่อมต่อกันอย่างสุดขั้ว (มีเซตเปิด เช่น จำนวนคู่จาก ω ซึ่งการปิด ของมัน ไม่ใช่เซตเปิด)

ปริภูมิเชิงทอพอโลยี ω ₁และปริภูมิต่อเนื่อง ω ₁ +1 มักถูกใช้เป็นตัวอย่างในตำราเรียนเกี่ยวกับปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่นับไม่ได้ เช่น ในปริภูมิเชิงทอพอโลยี ω ₁ +1 สมาชิก ω ₁อยู่ในส่วนปิดของเซตย่อย ω ₁แม้ว่าจะไม่มีลำดับของสมาชิก (ที่มีความยาวนับได้) ใน ω ₁ใดที่มีสมาชิก ω ₁เป็นลิมิตก็ตาม สมาชิกใน ω ₁เป็นเซตที่นับได้ สำหรับลำดับของเซตดังกล่าว การรวมกันของเซตเหล่านี้คือการรวมกันของเซตที่นับได้จำนวนนับได้ ดังนั้นจึงยังคงนับได้ การรวมกันนี้เป็นขอบเขตบนของสมาชิกของลำดับ และดังนั้นจึงเป็นขอบเขตบนของลิมิตของลำดับ หากมี

ปริภูมิ ω ₁เป็นปริภูมิที่นับได้ลำดับแรกแต่ไม่ใช่ปริภูมิที่นับได้ลำดับที่สองและ ω ₁ +1 ไม่มีคุณสมบัติทั้งสองนี้ แม้จะเป็นปริภูมิกระชับ ก็ตาม นอกจากนี้ยังควรสังเกตว่าฟังก์ชันต่อเนื่อง ใดๆ จาก ω ₁ไปยังR ( เส้นจำนวนจริง ) จะมีค่าคงที่ในที่สุด ดังนั้นปริภูมิกระชับแบบสโตน-เช็กของ ω ₁จึงเป็น ω ₁ +1 เช่นเดียวกับปริภูมิกระชับแบบจุดเดียว (ซึ่งแตกต่างอย่างสิ้นเชิงกับ ω ซึ่งปริภูมิกระชับแบบสโตน-เช็กของมันมีขนาดใหญ่กว่า ω มาก)

ถ้าαเป็นลำดับลิมิต และXเป็นเซตลำดับของสมาชิกในX ที่มีดัชนีเป็น αหมายถึงฟังก์ชันจากαไปยังXแนวคิดนี้ ซึ่งเรียกว่าลำดับอนันต์หรือลำดับที่มีดัชนีเป็นลำดับเป็นการขยายแนวคิดของลำดับธรรมดา ลำดับธรรมดาจะสอดคล้องกับกรณีที่α = ω

ถ้าXเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เรากล่าวว่าลำดับขององค์ประกอบในX ที่มีดัชนี α จะลู่เข้าสู่ลิมิตxเมื่อมันลู่เข้าเป็นเน็ตกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ เมื่อกำหนดย่านใกล้เคียง U ใดๆของ x จะมีลำดับ β < α เช่นนั้นx _ιอยู่ในUสำหรับทุกι ≥ β

ลำดับดัชนีเชิงอันดับมีประสิทธิภาพมากกว่าลำดับดัชนีธรรมดา (ω) ในการกำหนดลิมิตในทางโทโพโลยี ตัวอย่างเช่น ω ₁เป็นจุดลิมิตของ ω ₁ +1 (เพราะเป็นลำดับดัชนีลิมิต) และที่จริงแล้ว มันคือลิมิตของลำดับดัชนี ω ₁ซึ่งแมปเชิงอันดับใดๆ ที่น้อยกว่า ω ₁ไปยังตัวมันเอง อย่างไรก็ตาม มันไม่ใช่ลิมิตของลำดับดัชนีธรรมดา (ω) ใดๆ ใน ω ₁เนื่องจากลิมิตดังกล่าวมีค่าน้อยกว่าหรือเท่ากับผลรวมของสมาชิกในลำดับนั้น ซึ่งเป็นผลรวมที่นับได้ของเซตที่นับได้ ดังนั้นตัวมันเองจึงนับได้เช่นกัน

อย่างไรก็ตาม ลำดับดัชนีเชิงอันดับไม่ทรงพลังพอที่จะใช้แทนเน็ต (หรือฟิลเตอร์ ) โดยทั่วไปได้ ตัวอย่างเช่น บนระนาบไทโคนอฟ (ปริภูมิผลคูณ) จุดมุมเป็นจุดลิมิต (อยู่ในส่วนปิด) ของเซตย่อยเปิดแต่ไม่ใช่ลิมิตของลำดับดัชนีเชิงอันดับของจำนวนเชิงอันดับใน ${\displaystyle (\omega _{1}+1)\times (\omega +1)}$${\displaystyle (\โอเมก้า _{1},\โอเมก้า )}$${\displaystyle \omega _{1}\times \omega }$${\displaystyle \omega _{1}\times \omega }$

• รายการโทโพโลยี
• โทโพโลยีขีดจำกัดล่าง
• เส้นยาว (โทโพโลยี)
• ต่อเนื่องเชิงเส้น
• โทโพโลยีเชิงลำดับ (การวิเคราะห์เชิงฟังก์ชัน)
• พื้นที่ที่สั่งซื้อบางส่วน