ในทาง โทโพโล ยีเซตโคลโอเพน ( คำผสมระหว่างเซตปิดและเซตเปิด ) ในปริภูมิโทโพโลยีคือเซตที่เป็นทั้งเซตเปิดและ เซต ปิดความเป็นไปได้นี้อาจดูขัดกับสัญชาตญาณ เนื่องจากความหมายทั่วไปของคำว่าเปิดและปิดเป็นคำตรงข้ามกัน แต่คำจำกัดความทางคณิตศาสตร์ของคำทั้งสองไม่ได้ขัดแย้งกันเซตหนึ่งเป็นเซตปิดหากเซตส่วนเติมเต็ม ของมัน เป็นเซตเปิด ซึ่งทำให้เซตเปิดที่มีเซตส่วนเติมเต็มเป็นเซตเปิดเช่นกัน กลายเป็นเซตเปิดและเซตปิดได้ทั้งคู่ ดังที่นักโทโพโลยี เจมส์ มัน เครส อธิบายไว้ว่า ต่างจากประตู "เซตสามารถเป็นได้ทั้งเซตเปิด เซตปิด เซตทั้งสอง หรือเซตที่ไม่มีเลย!" ^{[ 1 ]}ซึ่งเน้นย้ำว่าความหมายของ "เปิด"/"ปิด" สำหรับประตูนั้นไม่เกี่ยวข้องกับความหมายของเซต (ดังนั้นการแบ่งแยกประตูแบบเปิด/ปิดจึงไม่สามารถนำไปใช้กับเซตแบบเปิด/ปิดได้) ความแตกต่างกับประตูนี้ทำให้ปริภูมิโทโพโลยีที่เรียกว่า " ปริภูมิประตู " ได้รับชื่อนี้

ในปริภูมิโทโพโลยีใดๆเซตว่างและปริภูมิทั้งหมดต่างก็เป็นปริภูมิปิด^{[ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

ทีนี้ลองพิจารณาปริภูมิที่ประกอบด้วยการรวมกันของช่วงเปิดสอง ช่วง และโทโพโลยีบน นั้นสืบทอดมาจากโทโพโลยีปกติบนเส้นจำนวนจริง ในฐานะโทโพโลยีของปริภูมิ ย่อยในเซต นั้น เป็นเซตปิดและเปิด เช่นเดียวกับเซตนี่เป็นตัวอย่างที่ค่อนข้างทั่วไป: เมื่อใดก็ตามที่ปริภูมิประกอบด้วยส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันจำนวนจำกัดและไม่ทับซ้อนกันในลักษณะนี้ ส่วนประกอบเหล่านั้นจะเป็นเซตปิดและเปิด ${\displaystyle X}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (2,3)}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (2,3).}$

สมมติให้เป็นเซตอนันต์ภายใต้เมตริกแบบไม่ ต่อเนื่อง  กล่าวคือ จุดสองจุดจะมีระยะห่าง 1 ถ้าไม่ใช่จุดเดียวกัน และ 0 ถ้าเป็นจุดเดียวกัน ภายใต้ปริภูมิเมตริก ที่ได้ เซตที่มีจุดเดียวใดๆ ก็เป็นเซตเปิด ดังนั้น เซตใดๆ ที่เป็นผลรวมของจุดเดียว ก็เป็นเซตเปิดเช่นกัน เนื่องจากเซตใดๆ เป็นเซตเปิด ส่วนเติมเต็มของเซตใดๆ ก็เป็นเซตเปิดด้วย และด้วยเหตุนี้ เซตใดๆ จึงเป็นเซตปิด ดังนั้น เซตทั้งหมดในปริภูมิเมตริกนี้เป็นเซตปิด-เปิด ${\displaystyle X}$${\displaystyle p,q\in X}$

ตัวอย่างที่ซับซ้อนกว่านั้น ลองพิจารณาปริภูมิ ของ จำนวนตรรกยะทั้งหมดที่มีโทโพโลยีปกติ และเซตของจำนวนตรรกยะบวกทั้งหมดที่มีกำลังสองมากกว่า 2 โดยใช้ข้อเท็จจริงที่ว่าไม่อยู่ในเราสามารถแสดงได้อย่างง่ายดายว่าเป็นเซตย่อยปิดและเปิดของ( ไม่ใช่เซตย่อยปิดและเปิดของเส้นจำนวนจริง เพราะ ไม่ใช่ทั้งเซตเปิดและเซตปิดใน) ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} ,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$

• ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเชื่อมต่อกันได้ก็ต่อเมื่อเซตปิดและเปิดมีเพียงเซตว่างและตัวมันเองเท่านั้น${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• เซตจะเรียกว่าเซตปิดก็ต่อเมื่อขอบเขต ของเซตนั้น ว่างเปล่า^{[ 4 ]}
• เซตย่อยปิดและเปิดใดๆ ของปริภูมิหนึ่งคือการรวมกันของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน (ซึ่งอาจมีจำนวนอนันต์) ของปริภูมินั้น${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• ถ้า ส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกันทั้งหมดของเป็นเซตเปิด (ตัวอย่างเช่น ถ้ามีส่วนประกอบเพียงจำนวนจำกัด หรือ ถ้าเป็นเซตที่เชื่อมต่อกันในระดับท้องถิ่น ) แล้ว เซต จะเป็นเซตปิดและเปิดใน ก็ต่อเมื่อ เป็นผลรวมของส่วนประกอบที่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจะเป็นปริภูมิไม่ต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเซตย่อยทั้งหมดของปริภูมินั้นเป็นเซตปิดและเซตเปิด${\displaystyle X}$
• โดยใช้การรวมและการตัดกันเป็นตัวดำเนินการ เซตย่อยปิดและเปิดของปริภูมิ เชิง ทอพอโลยีที่กำหนดให้จะก่อให้เกิดพีชคณิตบูลีน พีชคณิตบูลี นทุกตัวสามารถได้มาด้วยวิธีนี้จากปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่เหมาะสม: ดูทฤษฎีบทการแทนของสโตนสำหรับพีชคณิตบูลีน${\displaystyle X}$

• รายการเอกลักษณ์และความสัมพันธ์ของเซต  – ความเท่าเทียมกันสำหรับการรวมกันของเซต