ในโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ปริภูมิย่อยของปริภูมิโทโพโลยี คือเซตย่อยSของXซึ่งมีโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำมาจาก X เรียกว่าโทโพโลยีของปริภูมิย่อย^{[ 1 ]} (หรือโทโพโลยีสัมพัทธ์^{[ 1 ]}โท โพโล ยีที่สืบทอด^{[ 2 ]}โทโพโลยีที่เหนี่ยวนำ^{[ 1 ]}หรือโทโพโลยีร่องรอย ) ^{[ 3 ]}${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau }$

เมื่อกำหนดปริภูมิเชิงทอพอโลยีและเซตย่อยของ ทอพอโลยี ของปริภูมิย่อยบนจะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle \tau _{S}=\lbrace S\cap U\mid U\in \tau \rbrace .}$

กล่าวคือ เซตย่อยของจะเป็นเซตเปิดในโทโพโลยีของปริภูมิย่อยก็ต่อเมื่อมันเป็นการตัดกันของกับเซตเปิดในถ้ามีโทโพโลยีของปริภูมิย่อยแล้ว มันจะเป็นปริภูมิเชิงโทโพโลยีในตัวของมันเอง และเรียกว่าปริภูมิย่อยของโดยทั่วไปแล้ว เซตย่อยของปริภูมิเชิงโทโพโลยีจะถือว่ามีโทโพโลยีของปริภูมิย่อย เว้นแต่จะระบุไว้เป็นอย่างอื่น ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle (X,\tau )}$

อีกทางเลือกหนึ่ง เราสามารถกำหนดโทโพโลยีของปริภูมิย่อยสำหรับเซตย่อยของเป็นโทโพโลยีที่หยาบที่สุดสำหรับแผนที่การรวม${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X}$

เป็น ค่า ต่อ เนื่อง

โดยทั่วไปแล้ว สมมติว่า เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจากเซตหนึ่งไปยังปริภูมิเชิงทอพอโลยีหนึ่ง แล้วทอพอโลยีของปริภูมิย่อยบนจะถูกนิยามว่าเป็นทอพอโลยีที่หยาบที่สุดสำหรับ ซึ่งเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เซตเปิดในทอพอโลยีนี้คือเซตที่มีรูปแบบสำหรับ เซต เปิดในดังนั้นจึงเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับภาพของมันใน(ด้วยทอพอโลยีของปริภูมิย่อยเช่นกัน) และเรียกว่าการฝังเชิงทอพอโลยี ${\displaystyle \iota }$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle \iota ^{-1}(U)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \iota }$

ปริภูมิย่อยเรียกว่าปริภูมิย่อยเปิดถ้าฟังก์ชันฉีด (injection) เป็นแผนที่เปิดกล่าวคือ ถ้าภาพส่งต่อของเซตเปิดของปริภูมิย่อยนั้นเป็นเซตเปิดในปริภูมิย่อยนั้น ในทำนองเดียวกัน ปริภูมิย่อยเรียกว่าปริภูมิย่อยปิดถ้าฟังก์ชันฉีดเป็นแผนที่ ปิด${\displaystyle S}$${\displaystyle \iota }$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \iota }$

ความแตกต่างระหว่างเซตและปริภูมิเชิงทอพอโลยีมักจะถูกทำให้คลุมเครือในเชิงสัญลักษณ์เพื่อความสะดวก ซึ่งอาจเป็นแหล่งที่มาของความสับสนเมื่อพบคำจำกัดความเหล่านี้เป็นครั้งแรก ดังนั้น เมื่อใดก็ตามที่เป็นเซตย่อยของและเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี สัญลักษณ์ " " และ " " มักจะใช้เพื่ออ้างถึงทั้งและซึ่งถือว่าเป็นเซตย่อยสองเซตของและยังใช้เพื่ออ้างถึงและในฐานะปริภูมิเชิงทอพอโลยี ซึ่งมีความสัมพันธ์กันดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้น ดังนั้นวลีเช่น " ปริภูมิย่อยเปิดของ" จึงใช้เพื่อหมายความว่าเป็นปริภูมิย่อยเปิดของในความหมายที่ใช้ข้างต้น นั่นคือ: (i) ; และ (ii) ถือว่า มีทอพอโลยีของปริภูมิย่อย ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,\tau _{S})}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (S,\tau _{S})}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle S}$

ต่อไปนี้จะแทนจำนวนจริงด้วยโทโพโลยีปกติของมัน ${\displaystyle \mathbb {R} }$

• โทโพโลยีของปริภูมิย่อยของจำนวนธรรมชาติในฐานะที่เป็นปริภูมิย่อยของคือ โทโพโล ยีแบบไม่ต่อเนื่อง${\displaystyle \mathbb {R} }$
• จำนวนตรรกยะที่ถือว่าเป็นปริภูมิย่อยของไม่มี โทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่อง (ตัวอย่างเช่น {0} ไม่ใช่เซตเปิดในเพราะไม่มีเซตย่อยเปิดของที่การตัดกันกับจะได้ผลลัพธ์เป็น เพียง เซตที่มีสมาชิกเดียวคือ {0} เท่านั้น ) ถ้าaและbเป็นจำนวนตรรกยะ ช่วง ( a , b ) และ [ a , b ] จะเป็นเซตเปิดและเซตปิดตามลำดับ แต่ถ้าaและbเป็นจำนวนอตรรกยะ เซตของจำนวนตรรกยะx ทั้งหมด ที่มีa < x < bจะเป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิด${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• เซต [0,1] ในฐานะที่เป็นปริภูมิย่อยของเป็นทั้งปริภูมิเปิดและปริภูมิปิด ในขณะที่ในฐานะที่เป็นเซตย่อยของเป็นเพียงเซตปิดเท่านั้น${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• เนื่องจากเป็นปริภูมิย่อยของ, [0, 1] ∪ [2, 3] จึงประกอบด้วย เซต เปิด สองเซตที่ไม่ทับซ้อนกัน (ซึ่งเป็นเซตปิดด้วย) และดังนั้นจึงเป็นปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกัน${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ให้S = [0, 1) เป็นปริภูมิย่อยของเส้นจำนวนจริงแล้ว [0, 1/2 ) เป็นเซตเปิดในS แต่ไม่ใช่เซตเปิดใน(เช่น การตัดกันระหว่าง (-1/2 , 1/2 )และS จะได้ผลลัพธ์เป็น [0, 1/2 ) )ในทำนองเดียวกัน [ 1/2 , 1) เป็นเซตปิดในSแต่ไม่ใช่เซตปิดใน(เนื่องจากไม่มีเซตย่อยเปิดของที่สามารถตัดกับ [0, 1) แล้วได้ผลลัพธ์เป็น [ 1/2, 1)) S เป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิดในฐานะเซตย่อยของตัวมันเอง แต่ไม่ใช่ในฐานะเซตย่อยของ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

โทโพโลยีของปริภูมิย่อยมีคุณสมบัติเฉพาะดังต่อไปนี้ ให้เป็นปริภูมิย่อยของและให้เป็นแผนที่การรวม แล้วสำหรับปริภูมิโทโพโลยีใดๆแผนที่จะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อแผนที่ประกอบต่อเนื่อง ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i:Y\to X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle f:Z\to Y}$${\displaystyle i\circ f}$

คุณสมบัตินี้มีลักษณะเฉพาะในแง่ที่ว่าสามารถใช้เพื่อกำหนดโทโพโลยีของปริภูมิย่อยบนได้ ${\displaystyle Y}$

เราจะแสดงคุณสมบัติเพิ่มเติมบางประการของโทโพโลยีของปริภูมิย่อย ในส่วนต่อไปนี้ ให้เป็นปริภูมิย่อยของ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

• ถ้าต่อเนื่องแล้ว การจำกัดขอบเขตไปยัง ก็จะเป็นต่อเนื่องเช่นกัน${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle S}$
• ถ้าต่อเนื่อง แล้วก็จะต่อเนื่องเช่นกัน${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f:X\to f(X)}$
• เซตปิดในคือเซตที่ตัดกันระหว่างกับเซตปิดในอย่าง แม่นยำ${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเป็นปริภูมิย่อยของแล้วก็เป็นปริภูมิย่อยของที่มีโทโพโลยีเดียวกัน กล่าวอีกนัยหนึ่ง โทโพโลยีของปริภูมิย่อยที่สืบทอดมาจากจะเหมือนกับโทโพโลยีที่สืบทอดมาจาก${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle A}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• สมมติว่าเป็นปริภูมิย่อยเปิดของ(ดังนั้น) แล้วเซตย่อยของจะเป็นเซตเปิดในก็ต่อเมื่อ เป็นเซตเปิดใน${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S\in \tau }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• สมมติว่าเป็นปริภูมิย่อยปิดของ(ดังนั้น) แล้วเซตย่อยของจะเป็นเซตปิดในก็ต่อเมื่อ เป็นเซตปิดใน${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\setminus S\in \tau }$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเป็นพื้นฐานสำหรับแล้วก็เป็นพื้นฐานสำหรับ เช่นกัน${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{S}=\{U\cap S:U\in B\}}$${\displaystyle S}$
• โทโพโลยีที่เกิดขึ้นบนเซตย่อยของปริภูมิเมตริกโดยการจำกัดเมตริกให้อยู่บนเซตย่อยนั้น จะสอดคล้องกับโทโพโลยีของปริภูมิย่อยสำหรับเซตย่อยนั้น

ถ้าปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีคุณสมบัติเชิงทอพอโลยี บางอย่าง บ่งชี้ว่าปริภูมิย่อยของปริภูมิเชิงทอพอโลยีนั้นมีคุณสมบัติดังกล่าวด้วย เราจะกล่าวว่าคุณสมบัตินั้นเป็นแบบสืบทอดได้ถ้าเฉพาะปริภูมิย่อยแบบปิดเท่านั้นที่ต้องมีคุณสมบัตินั้นร่วมกัน เราจะเรียกว่าเป็นแบบสืบทอดได้แบบอ่อน

• พื้นที่ย่อยแบบเปิดและแบบปิดทุกส่วนของ พื้นที่ ที่สามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์นั้นล้วนสามารถกำหนดเมตริกได้อย่างสมบูรณ์เช่นกัน
• ปริภูมิย่อยเปิดทุกปริภูมิของปริภูมิแบร์ล้วนเป็นปริภูมิแบร์
• ปริภูมิย่อยปิดทุกปริภูมิในปริภูมิกระชับล้วนเป็นปริภูมิกระชับ
• การเป็นพื้นที่แบบเฮาส์ดอร์ฟนั้นสืบทอดกันมา
• การเป็นพื้นที่ปกติเป็นลักษณะทางพันธุกรรมที่ไม่รุนแรงนัก
• ความมีขอบเขตโดยสมบูรณ์นั้นเป็นลักษณะทางพันธุกรรม
• การตัดขาดจากโลกภายนอกอย่างสิ้นเชิงเป็นกรรมพันธุ์
• ความสามารถในการนับครั้งแรกและความสามารถในการนับครั้งที่สองเป็นคุณสมบัติที่ถ่ายทอดทางพันธุกรรม

• พื้นที่ผลหารแนวคิดคู่
• โครงสร้างผลิตภัณฑ์
• โทโพโลยีผลรวมโดยตรง