ในวิชาโทโพโลยีทางคณิตศาสตร์ซับเบส (หรือซับเบส , พรีเบส , พรีเบส ) สำหรับโทโพโลยีτของปริภูมิโทโพโลยี( X , τ)คือกลุ่มย่อยของ τ ที่สร้าง τ ขึ้นมา ในความหมายที่ว่าเป็นโทโพโลยีที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วยเซตเปิด τ บางผู้เขียนใช้คำจำกัดความที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย และยังมีสูตรอื่นๆ ที่เทียบเท่ากันซึ่งมีประโยชน์เช่นกัน ซึ่งจะกล่าวถึงต่อไป ${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle B}$

ซับเบสเป็นแนวคิดที่อ่อนแอกว่าเบสสำหรับโทโพโลยี

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีทอพอโลยีA ฐานย่อยของมักถูกกำหนดให้เป็นชุดย่อยของ ที่สอดคล้องกับเงื่อนไขสมมูลสามข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau }$

1. ${\displaystyle \tau }$คือโทโพโลยีที่เล็กที่สุดที่บรรจุ: โทโพโลยีใดๆบนที่บรรจุจะต้องมี ด้วยเช่นกัน${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau ^{\prime }}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau .}$
2. ${\displaystyle \tau }$คือจุดตัดของโทโพโลยีทั้งหมดบนพื้นที่ที่บรรจุอยู่${\displaystyle X}$${\displaystyle B.}$
3. ชุดของเซตเปิดที่ประกอบด้วย และ การตัดกันแบบจำกัดทั้งหมดขององค์ประกอบของก่อให้เกิดฐานสำหรับ^{[ 1 ] [หมายเหตุ 1 ]}ซึ่งหมายความว่าเซตเปิด แท้ทุกเซต ในสามารถเขียนได้ใน รูปของการ รวมกันของการตัดกันแบบจำกัดขององค์ประกอบของกล่าวคือ เมื่อกำหนดจุดในเซตเปิดจะมีเซตจำนวนจำกัดของที่การตัดกันของเซตเหล่านี้ประกอบด้วยและ อยู่ใน${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle B.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U\subsetneq X,}$${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U.}$

หากเราสมมติเพิ่มเติมว่าครอบคลุมหรือหากเราใช้ ข้อตกลง การตัดกันแบบศูนย์ก็ไม่จำเป็นต้องรวมไว้ในคำจำกัดความที่สาม ${\displaystyle B}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ถ้าเป็นฐานย่อยของ เราจะกล่าวว่าสร้างโทโพโลยีคำศัพท์นี้มีที่มาจากการสร้าง อย่างชัดเจนจากโดยใช้คำนิยามที่สองหรือสามข้างต้น ${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle B}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle B}$

สมาชิกของเซตย่อยฐานเรียกว่าเซตย่อยฐาน (เซตเปิด) ส่วนเซตที่ประกอบด้วยเซตย่อยฐานเรียกว่าเซตคลุม ย่อยฐาน (เซตเปิด)

สำหรับเซตย่อยใดๆของเซตกำลังจะมีโทโพโลยีที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวซึ่งมีฐานย่อยเป็น ซึ่งก็คือจุดตัดของโทโพโลยีทั้งหมดบน ที่ประกอบด้วยอย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง กล่าวคือ ไม่มีฐานย่อยที่ไม่ซ้ำกันเพียงหนึ่งเดียวสำหรับโทโพโลยีที่กำหนด ${\displaystyle S}$${\displaystyle \wp (X),}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$

ดังนั้น เราสามารถเริ่มต้นด้วยโทโพโลยีที่กำหนดไว้แล้ว และหาฐานย่อยสำหรับโทโพโลยีนั้นได้ และเรายังสามารถเริ่มต้นด้วยกลุ่มย่อยใดๆ ของเซตกำลังและสร้างโทโพโลยีที่สร้างขึ้นจากกลุ่มย่อยนั้นได้ เราสามารถใช้คำจำกัดความที่เทียบเท่ากันข้างต้นได้อย่างอิสระ อันที่จริง ในหลายกรณี เงื่อนไขหนึ่งในสามข้อนั้นมีประโยชน์มากกว่าเงื่อนไขอื่นๆ ${\displaystyle \wp (X)}$

โดยทั่วไปแล้ว จะมีการให้คำจำกัดความของ subbase ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย ซึ่งกำหนดให้ subbase ครอบคลุม^{[ 2 ]} ในกรณีนี้คือการรวมกันของเซตทั้งหมดที่อยู่ในซึ่งหมายความว่าจะไม่มีความสับสนเกี่ยวกับการใช้ nullary intersections ในคำจำกัดความ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}.}$

อย่างไรก็ตาม นิยามนี้ไม่เทียบเท่ากับนิยามทั้งสามข้างต้นเสมอไป มีปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีกลุ่มย่อยของทอพอโลยีอยู่ โดย ที่ เป็นทอพอโลยีที่เล็กที่สุดที่บรรจุแต่ไม่ครอบคลุมตัวอย่างเช่น พิจารณาปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีและสำหรับบางค่าเห็นได้ชัดว่าเป็นฐานย่อยของแต่ไม่ครอบคลุมตราบใดที่มีอย่างน้อย n องค์ประกอบ ในทางปฏิบัติ นี่เป็นเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นได้ยาก เช่น ฐานย่อยของปริภูมิที่มีอย่างน้อย ₂จุด และสอดคล้องกับสัจพจน์การแยกT1จะต้องเป็นการครอบคลุมของปริภูมินั้น ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \tau =\{\varnothing ,\{p\},X\}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\{\{p\}\}}$${\displaystyle p\in X.}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2}$

โทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดยเซตย่อยใดๆ(รวมถึงเซตว่าง) จะเท่ากับโทโพโลยีพื้นฐาน${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq \{\varnothing ,X\}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\varnothing }$${\displaystyle \{\varnothing ,X\}.}$

ถ้าเป็นโทโพโลยีบนและเป็นฐานสำหรับแล้วโทโพโลยีที่สร้างโดยคือดังนั้น ฐานใดๆสำหรับโทโพโลยีก็เป็นฐานย่อยสำหรับ ด้วย ถ้าเป็นเซตย่อยใดๆ ของแล้วโทโพโลยีที่สร้างโดยจะเป็นเซตย่อยของ${\displaystyle \tau }$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \tau .}$

โทโพโลยีปกติบนจำนวนจริง มีฐานย่อยที่ประกอบด้วย ช่วงเปิด กึ่งอนันต์ ทั้งหมด ที่มีรูปแบบหรือโดยที่และเป็นจำนวนจริง ช่วงเปิดเหล่านี้รวมกันสร้างโทโพโลยีปกติ เนื่องจากจุดตัดของช่วงเปิดเหล่านี้สร้าง โท โพโลยีปกติ ฐานย่อยที่สองเกิดขึ้นจากการเลือกกลุ่มย่อย โดยที่และเป็นจำนวนตรรกยะฐานย่อยที่สองนี้สร้างโทโพโลยีปกติเช่นกัน เนื่องจากช่วงเปิดที่มี เป็นจำนวนตรรกยะ เป็นฐานสำหรับโทโพโลยีแบบยุคลิดปกติ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle (-\infty ,a)}$${\displaystyle (b,\infty ),}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,b)=(-\infty ,b)\cap (a,\infty )}$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a,}$${\displaystyle b}$

ฐานย่อยที่ประกอบด้วยช่วงเปิดกึ่งอนันต์ทั้งหมดในรูปแบบเพียงอย่างเดียว โดยที่เป็นจำนวนจริง ไม่ก่อให้เกิดโทโพโลยีแบบปกติ โทโพโลยีที่ได้ไม่เป็นไปตามสัจพจน์การแยกT ₁เนื่องจากถ้าเซตเปิดทุก เซต ที่ประกอบด้วยก็ประกอบด้วย ด้วยเช่นกัน${\displaystyle (-\infty ,a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a.}$

โทโพโลยีเริ่มต้นบน ที่กำหนดโดยตระกูลของฟังก์ชันโดยที่แต่ละ ฟังก์ชัน มีโทโพโลยี คือ โทโพโลยีที่หยาบที่สุดบนโดยที่แต่ละฟังก์ชันมีความต่อเนื่องเนื่องจากความต่อเนื่องสามารถกำหนดได้ในแง่ของภาพผกผันของเซตเปิด นั่นหมายความว่า โทโพโลยีเริ่มต้นบนจะได้มาจากการเลือกฟังก์ชันทั้งหมด โดยที่ ครอบคลุมเซตย่อยเปิดทั้งหมดของเป็นฐานย่อย ${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}:X\to Y_{i},}$${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{i}^{-1}(U),}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y_{i},}$

กรณีพิเศษที่สำคัญสองกรณีของโทโพโลยีเริ่มต้น ได้แก่โทโพโลยีผลคูณซึ่งตระกูลของฟังก์ชันคือเซตของการฉายภาพจากผลคูณไปยังตัวประกอบแต่ละตัว และโทโพโลยีปริภูมิย่อยซึ่งตระกูลประกอบด้วยฟังก์ชันเพียงฟังก์ชันเดียว คือแผนที่ การรวม

โทโพโลยีแบบกระชับ-เปิดบนปริภูมิของฟังก์ชันต่อเนื่องจากไปยัง มีฐานย่อยเป็นเซตของฟังก์ชัน โดยที่เป็นเซตกระชับและเป็นเซตย่อยเปิดของ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$$${\displaystyle V(K,U)=\{f:X\to Y\mid f(K)\subseteq U\}}$$${\displaystyle K\subseteq X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle Y.}$

สมมติว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีแบบเฮาส์ด อร์ฟที่มี ซึ่ง ประกอบด้วยสมาชิกตั้งแต่สองตัวขึ้นไป (ตัวอย่าง เช่น ที่มีทอพอโลยี แบบยุคลิด ) ให้ เป็นเซตย่อย เปิดที่ไม่ว่างใดๆของ(ตัวอย่างเช่นอาจเป็นช่วงเปิดที่มีขอบเขตและไม่ว่างใน) และให้แทนทอพอโลยีของ ปริภูมิย่อย บนที่สืบทอดมาจาก(ดังนั้น) จากนั้นทอพอโลยีที่สร้างโดยบนจะเท่ากับยูเนียน(ดูเชิงอรรถสำหรับคำอธิบาย) ^{[หมายเหตุ 2 ]} โดยที่(เนื่องจากเป็นเฮาส์ดอร์ฟ ความเท่าเทียมกันจะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ) โปรดทราบว่าถ้าเป็นเซตย่อยแท้ของแล้วคือทอพอโลยีที่เล็กที่สุดบนที่มีแต่ไม่ครอบคลุม(นั่นคือ ยูเนียนเป็นเซตย่อยแท้ของ) ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle Y\in \tau }$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle \nu \subseteq \tau }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$${\displaystyle \{X\}\cup \nu \subseteq \tau }$${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle Y=X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \{X\}\cup \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigcup _{V\in \nu }V=Y}$${\displaystyle X}$

ข้อดีอย่างหนึ่งของซับเบสคือ การตรวจสอบ ความต่อเนื่องของฟังก์ชันนั้นจำเป็นต้องทำบนซับเบสของเรนจ์เท่านั้น กล่าวคือ ถ้าเป็นแผนที่ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยี และถ้าเป็นซับเบสสำหรับแล้วจะต่อเนื่องก็ต่อเมื่อเปิดในสำหรับทุก ๆ เน็ต(หรือลำดับ ) จะลู่เข้าสู่จุดก็ต่อเมื่อทุก ย่านย่อยของ ซับเบสของประกอบด้วยทั้งหมดสำหรับ ที่มีขนาดใหญ่พอสมควร${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle Y,}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}(B)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}.}$${\displaystyle x_{\bullet }=\left(x_{i}\right)_{i\in I}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$

ทฤษฎีบทฐานย่อยของอเล็กซานเดอร์เป็นผลลัพธ์ที่สำคัญเกี่ยวกับฐานย่อยซึ่งเป็นผลงานของเจมส์ แวดเดลล์ อเล็กซานเดอร์ที่ 2 [ ^{3 ] ผลลัพธ์}ที่สอดคล้องกันสำหรับปกคลุมแบบเปิดพื้นฐาน (แทนที่จะเป็นฐานย่อย) นั้นพิสูจน์ได้ง่ายกว่ามาก

ทฤษฎีบทฐานย่อยของอเล็กซานเดอร์ : ^{[ 3 ] [ 1 ]}ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และเป็นฐานย่อยของถ้าการคลุมทุกตัวของโดยองค์ประกอบจากมีการคลุมย่อยจำกัด แล้วจะเป็นปริภูมิกระชับ${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$

บทกลับของทฤษฎีบทนี้ก็เป็นจริงเช่นกัน (เพราะการคลุมทุกชุดของโดยสมาชิกของเป็นการคลุมแบบเปิดของ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และเป็นฐานย่อยของถ้าเป็นปริภูมิกระชับ (compact space) แล้ว การคลุมทุกแบบของโดยสมาชิกจากจะมี การคลุมย่อยแบบจำกัดจำนวน${\displaystyle (X,\tau )}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \tau .}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

แม้ว่าการพิสูจน์นี้จะใช้Zorn's Lemmaแต่การพิสูจน์นี้ไม่จำเป็นต้องใช้ความแข็งแกร่งของการเลือกอย่างเต็มที่ แต่จะอาศัยหลักการUltrafilter ระหว่างกลางแทน ^{[ 3 ]}

โดยใช้ทฤษฎีบทนี้ร่วมกับซับเบสข้างต้น เราสามารถพิสูจน์ได้อย่างง่ายดายว่าช่วงปิดที่มีขอบเขตในนั้นเป็นปริภูมิกระชับ โดยทั่วไปแล้วทฤษฎีบทของไทโคนอฟซึ่งกล่าวว่าผลคูณของปริภูมิกระชับที่ไม่ว่างเปล่าเป็นปริภูมิกระชับนั้น สามารถพิสูจน์ได้สั้นๆ หากใช้ทฤษฎีบทซับเบสของอเล็กซานเดอร์ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

• ฐาน (โทโพโลยี)  – กลุ่มของเซตเปิดที่ใช้ในการกำหนดโทโพโลยี