จุดตัด

จุดตัดของเซตสองเซตซึ่งแสดงด้วยวงกลมอยู่ในสีแดง${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A\cap B}$
พิมพ์	ตั้งค่าการทำงาน
สนาม	ทฤษฎีเซต
คำแถลง	จุดตัดของและคือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้งเซตและเซต${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$
คำแถลงเชิงสัญลักษณ์	${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ และ }}x\in B\}}$

ในทฤษฎีเซตการตัดกันของเซตสองเซต และแสดงด้วย^{[ 1 ]}คือเซตที่มีสมาชิกทั้งหมดของที่เป็นสมาชิกของหรือเทียบเท่ากับสมาชิกทั้งหมดของที่เป็นสมาชิกของ^{[ 2 ]}แนวคิดของการตัดกันในฐานะการดำเนินการทางพีชคณิตโดยใช้เซตเป็นตัว ดำเนินการได้ รับการขยายความมาจากเรขาคณิตซึ่งพบได้ในกรณีของเซตจุด ทางเรขาคณิต เช่น จุดแต่ละจุด เส้น ( เซตจุดอนันต์ที่นับไม่ได้) ระนาบ เป็นต้น ${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A\cap B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A.}$

การหาจุดร่วมจะเขียนโดยใช้สัญลักษณ์ " " ระหว่างพจน์ต่างๆ นั่นคือ ในรูปแบบการเขียนแบบอินฟิกซ์ตัวอย่างเช่น จุดร่วมของเซตมากกว่าสองเซต (จุดร่วมแบบทั่วไป) สามารถเขียนได้ดังนี้ ซึ่งคล้ายกับ การเขียนใน รูป แบบซิกมาตัวใหญ่${\displaystyle \cap }$$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{2,3,4\}=\{2,3\}}$$$${\displaystyle \{1,2,3\}\cap \{4,5,6\}=\varnothing }$$$${\displaystyle \mathbb {Z} \cap \mathbb {N} =\mathbb {N} }$$$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x^{2}=1\}\cap \mathbb {N} =\{1\}}$$$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{n}A_{i}}$$

สำหรับคำอธิบายเกี่ยวกับสัญลักษณ์ที่ใช้ในบทความนี้ โปรดดูตารางสัญลักษณ์ทางคณิตศาสตร์

จุดตัดของเซตสองเซตและแสดงด้วย, ^{[ 3 ]}คือเซตของวัตถุทั้งหมดที่เป็นสมาชิกของทั้งเซตและ ในสัญลักษณ์: ${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$$${\displaystyle A\cap B=\{x:x\in A{\text{ and }}x\in B\}.}$$

นั่นคือเป็นองค์ประกอบของจุดตัดก็ต่อเมื่อเป็นทั้งองค์ประกอบของและเป็นองค์ประกอบของ^{[ 3 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$

ตัวอย่างเช่น:

• จุดตัดของเซต {1, 2, 3} และ {2, 3, 4} คือ {2, 3}
• เลข 9 ไม่ อยู่ ในส่วนที่ทับซ้อนกันของเซตของจำนวนเฉพาะ {2, 3, 5, 7, 11, ...} และเซตของจำนวนคี่ {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} เพราะ 9 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ
• จุดตัดของเซตจุดทางเรขาคณิตสองเซต เช่น เส้นตรงสองเส้น คือเซตที่มีจุดเพียงจุดเดียว สำหรับเส้นตรงที่ไม่ขนานกันและอยู่ในระนาบเดียวกัน

เรากล่าวว่า${\displaystyle A}$เซต และ ตัดกัน (พบกัน) ก็ต่อ${\displaystyle B}$เมื่อมีเซต บางตัวที่เป็นสมาชิกของทั้งเซตและซึ่งในกรณีนี้เราจะกล่าวว่าตัดกัน (พบกัน)ที่ จุด หรือกล่าวอีกนัย หนึ่งตัดกันก็ต่อเมื่อส่วนตัดกันของเซตทั้งสองเป็นเซตที่มีสมาชิกอาศัยอยู่หมายความว่ามีเซต บางตัวที่ทำให้เซต ตัดกัน${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in A\cap B.}$

เรากล่าวว่าเซตและเป็นเซตที่ไม่เกี่ยวข้องกันหากเซต ไม่ตัดกันในภาษาที่เข้าใจง่ายคือ เซตทั้งสองไม่มีองค์ประกอบร่วมกัน เซตและเป็นเซตที่ไม่เกี่ยวข้องกัน หากส่วนที่ตัดกันของเซตทั้งสองว่างเปล่าซึ่งเขียนแทนด้วย${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A\cap B=\varnothing .}$

ตัวอย่างเช่น:

• เซตและเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกัน ในขณะที่เซตของจำนวนคู่ตัดกับเซตของจำนวนทวีคูณของ 3 ที่จุดตัดของจำนวนทวีคูณของ 6${\displaystyle \{1,2\}}$${\displaystyle \{3,4\}}$
• เส้นตรงขนานสองเส้นที่อยู่ในระนาบเดียวกันจะไม่ตัดกัน

การหาจุดตัดแบบไบนารีเป็นการ ดำเนินการ แบบสมาคมกล่าวคือ สำหรับเซตใดๆและ เซต หนึ่ง จะมี ${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C,}$

$${\displaystyle A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C.}$$ดังนั้นจึงสามารถละวงเล็บได้โดยไม่เกิดความกำกวม: ทั้งสองแบบข้างต้นสามารถเขียนได้เป็น การตัดกัน ยังเป็นการสลับที่ได้นั่นคือ สำหรับเซตใดๆและจะได้ การตัดกันของเซตใดๆ กับเซตว่างจะได้เซตว่าง นั่นคือ สำหรับเซตใดๆนอกจาก นี้ การดำเนินการตัดกันยังเป็นตัวผกผันนั่นคือ เซตใดๆจะสอดคล้องกับเงื่อนไข ที่ว่า คุณสมบัติทั้งหมดเหล่านี้เป็นผลมาจากข้อเท็จจริงที่คล้ายคลึงกันเกี่ยวกับการเชื่อมโยงเชิงตรรกะ ${\displaystyle A\cap B\cap C}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B,}$$${\displaystyle A\cap B=B\cap A.}$$${\displaystyle A}$$${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\cap A=A}$

อินเตอร์เซกชันกระจายตัวเหนือยูเนียนและยูเนียนกระจายตัวเหนืออินเตอร์เซกชัน กล่าวคือ สำหรับเซตใดๆและจะมี ภายในเอกภพ หนึ่ง เราสามารถกำหนดคอมพลีเมนต์ของให้เป็นเซตของสมาชิกทั้งหมดของ ที่ไม่ได้อยู่ในนอกจากนี้ อินเตอร์เซกชันของและอาจเขียนได้เป็นคอมพลีเมนต์ของยูเนียนของคอมพลีเมนต์ของทั้งสองเซต ซึ่งได้มาอย่างง่ายดายจากกฎของเดอ มอร์แกน :${\displaystyle A,B,}$${\displaystyle C,}$$${\displaystyle {\begin{aligned}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{aligned}}}$$${\displaystyle U,}$${\displaystyle A^{c}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$$${\displaystyle A\cap B=\left(A^{c}\cup B^{c}\right)^{c}}$$

แนวคิดทั่วไปที่สุดคือการหาจุดตัดของกลุ่มเซตที่ไม่ว่าง เปล่าใดๆ ถ้า เป็น เซต ที่ไม่ว่างเปล่าซึ่งสมาชิกในเซตเหล่านั้นเป็นเซตเช่นกัน แล้วเป็นสมาชิกของจุดตัดของ ก็ต่อ เมื่อสำหรับทุกสมาชิกของเป็นสมาชิกของ ในสัญลักษณ์: ${\displaystyle M}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle A.}$$${\displaystyle \left(x\in \bigcap _{A\in M}A\right)\Leftrightarrow \left(\forall A\in M,\ x\in A\right).}$$

สัญลักษณ์สำหรับแนวคิดสุดท้ายนี้อาจแตกต่างกันอย่างมากนักทฤษฎีเซตบางคนจะเขียน " " ในขณะที่คนอื่นๆ จะเขียน " " แทน สัญลักษณ์หลังนี้สามารถขยายความได้เป็น " " ซึ่งหมายถึงจุดตัดของกลุ่มเซต โดยที่เป็นเซตที่ไม่ว่าง และเป็นเซตสำหรับทุกๆ${\displaystyle \bigcap M}$${\displaystyle {\bigcap }_{A\in M}A}$${\displaystyle {\bigcap }_{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}.}$${\displaystyle I}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle i\in I.}$

ในกรณีที่เซตดัชนี เป็นเซตของจำนวนธรรมชาติเราอาจเห็น สัญลักษณ์ที่คล้ายคลึงกับสัญลักษณ์ของผลคูณอนันต์ ได้:${\displaystyle I}$$${\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A_{i}.}$$

เมื่อการจัดรูปแบบทำได้ยาก สามารถเขียนแบบนี้ได้เช่นกัน " " ตัวอย่างสุดท้ายนี้ ซึ่งเป็นจุดตัดของเซตจำนวนนับได้นั้น เป็นเรื่องที่พบได้บ่อยมาก สำหรับตัวอย่างเพิ่มเติม โปรดดูบทความเกี่ยวกับσ- algebras ${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \cdots }$

ในส่วนก่อนหน้านี้ เราได้ยกเว้นกรณีที่เป็นเซตว่าง ( ) เหตุผลมีดังนี้: การตัดกันของคอลเลกชันถูกกำหนดให้เป็นเซต (ดูสัญกรณ์การสร้างเซต ) ถ้าเป็นเซตว่าง จะไม่มีเซตในดังนั้นคำถามจึงกลายเป็น "เซต ใดบ้างที่ตรงตามเงื่อนไขที่ระบุ?" คำตอบดูเหมือนจะเป็นเซต ที่เป็นไปได้ทั้งหมดเมื่อเป็นเซตว่าง เงื่อนไขที่ให้ไว้ข้างต้นเป็นตัวอย่างของความจริงที่ว่างเปล่าดังนั้นการตัดกันของตระกูลว่างควรจะเป็นเซตสากล ( องค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับการดำเนินการตัดกัน) ^{[ 4 ]} แต่ในทฤษฎีเซตมาตรฐาน ( ZF ) เซตสากลไม่มีอยู่จริง ${\displaystyle M}$${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle M}$$${\displaystyle \bigcap _{A\in M}A=\{x:{\text{ for all }}A\in M,x\in A\}.}$$${\displaystyle M}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M}$

อย่างไรก็ตาม เมื่อจำกัดอยู่ในบริบทของเซตย่อยของเซตที่กำหนดไว้แนวคิดของการตัดกันของกลุ่มเซตย่อยว่างเปล่าของ นั้นมีความหมายชัดเจน ในกรณีนั้น ถ้าเป็นเซตว่างเปล่า การตัดกันของมันคือเนื่องจากเซตย่อยว่างเปล่าทั้งหมดตรงตามเงื่อนไขที่กำหนด การตัดกันของกลุ่มเซตย่อยว่างเปล่าของ จึง เท่ากับเซตย่อย ทั้งหมดของ ในสูตร สิ่งนี้สอดคล้องกับสัญชาตญาณที่ว่า เมื่อกลุ่มเซตย่อยเล็กลง การตัดกันของกลุ่มเซตย่อยเหล่านั้นก็จะมากขึ้น ในกรณีสุดขั้ว กลุ่มเซตย่อยว่างเปล่าจะมีส่วนตัดกันเท่ากับเซตพื้นฐานทั้งหมด ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \bigcap M=\bigcap \varnothing =\{x\in X:x\in A{\text{ for all }}A\in \varnothing \}}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle \bigcap \varnothing =X.}$

นอกจากนี้ ในทฤษฎีประเภท นั้นมีประเภทที่กำหนดไว้ดังนั้นจุดตัดจึงเข้าใจได้ว่าเป็นประเภท(ประเภทของเซตที่มีองค์ประกอบอยู่ใน) และเราสามารถกำหนดให้ เป็นเซตสากลของ(เซตที่มีองค์ประกอบเป็นเทอมทั้งหมดของประเภท) ${\displaystyle x}$${\displaystyle \tau ,}$${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle \bigcap _{A\in \emptyset }A}$${\displaystyle \mathrm {set} \ \tau }$${\displaystyle \tau }$

• พีชคณิตของเซต  – เอกลักษณ์และความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับเซต
• จำนวนสมาชิกของเซต  – ขนาดของเซตในทางคณิตศาสตร์
• ส่วนเติมเต็ม  – เซตขององค์ประกอบที่ไม่อยู่ในเซตย่อยที่กำหนด
• จุดตัด (เรขาคณิตแบบยุคลิด)  – รูปทรงที่เกิดจากจุดร่วมของรูปทรงอื่นๆPages displaying short descriptions of redirect targets
• กราฟแสดงจุดตัด  – กราฟที่แสดงจุดตัดระหว่างเซตที่กำหนดให้
• ทฤษฎีจุดตัด  – สาขาหนึ่งของเรขาคณิตเชิงพีชคณิต
• รายการเอกลักษณ์และความสัมพันธ์ของเซต  – ความเท่าเทียมกันสำหรับการรวมกันของเซต
• การเชื่อมโยงเชิงตรรกะ  – ตัวเชื่อมเชิงตรรกะ AND
• MinHash  – เทคนิคการขุดข้อมูล
• ทฤษฎีเซตแบบง่าย  – ทฤษฎีเซตแบบไม่เป็นทางการ
• ผลต่างสมมาตร  – จำนวนสมาชิกในเซตใดเซตหนึ่งจากสองเซตเท่านั้น
• ยูเนียน  – เซตของสมาชิกในเซตใดเซตหนึ่ง

• Devlin, KJ (1993). ความสุขของเซต: พื้นฐานของทฤษฎีเซตร่วมสมัย (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: Springer-Verlag. ISBN 3-540-94094-4.
• มุนเครส, เจมส์ อาร์. (2000). "ทฤษฎีเซตและตรรกศาสตร์" โทโพโลยี (ฉบับพิมพ์ครั้งที่สอง). อัปเปอร์ แซดเดิล ริเวอร์: เพรนทิส ฮอลล์. ISBN 0-13-181629-2.
• โรเซน, เคนเนธ (2007). "โครงสร้างพื้นฐาน: เซต ฟังก์ชัน ลำดับ และผลรวม" คณิตศาสตร์เชิงดิสครีตและการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่หก). บอสตัน: แมคกรอว์-ฮิลล์. ISBN 978-0-07-322972-0.

วิกิมีเดียคอมมอนส์มีสื่อที่เกี่ยวข้องกับการหาจุดตัด (ทฤษฎีเซต )

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "จุดตัด" . แมธเวิลด์ .