ในเรขาคณิตจุดตัดระหว่างวัตถุทางเรขาคณิต (ซึ่งมองว่าเป็นเซตของจุด) คือจุด เส้น หรือเส้นโค้งที่พบร่วมกันในวัตถุสองชิ้นขึ้นไป (เช่น เส้นตรง เส้นโค้ง ระนาบ และพื้นผิว) กรณีที่ง่ายที่สุดในเรขาคณิตแบบยุคลิดคือจุดตัดระหว่างเส้นตรงสองเส้น ที่แตกต่างกัน ซึ่งอาจเป็นจุดหนึ่งจุด (บางครั้งเรียกว่าจุดยอด ) หรือว่างเปล่า (ถ้าเส้นตรงขนานกัน ) จุดตัดทางเรขาคณิตประเภทอื่นๆ ได้แก่:

• จุดตัดระหว่างเส้นและระนาบ
• จุดตัดระหว่างเส้นและทรงกลม
• จุดตัดของทรงหลายเหลี่ยมกับเส้นตรง
• จุดตัดของส่วนของเส้นตรง
• เส้นโค้งจุดตัด

การหาจุดตัดของระนาบ – วัตถุทางเรขาคณิตเชิงเส้นที่ฝังอยู่ใน ปริภูมิที่ มีมิติ สูงกว่า – เป็นงานง่ายๆ ในพีชคณิตเชิงเส้นกล่าวคือ การแก้ระบบสมการเชิงเส้นโดยทั่วไป การหาจุดตัดจะนำไปสู่สมการที่ไม่เป็นเชิงเส้นซึ่งสามารถแก้ได้ด้วยวิธีเชิงตัวเลขเช่น การใช้การวนซ้ำของนิวตันปัญหาจุดตัดระหว่างเส้นตรงกับภาคตัดกรวย (วงกลมวงรีพาราโบลา ฯลฯ) หรือรูปทรงกำลังสอง (ทรงกลม ทรงกระบอก ไฮเปอร์โบ โลอิดฯลฯ) จะนำไปสู่สมการกำลังสองที่สามารถแก้ได้ง่าย จุดตัดระหว่างรูปทรงกำลังสองจะนำไปสู่สมการกำลังสี่ที่สามารถแก้ได้ด้วยวิธีทางพีชคณิต

แนวคิดเรื่องจุดตัดจากเรขาคณิตได้รับการขยายไปสู่สถานะของการดำเนินการกับเซต นั่นคือจุดตัด (ทฤษฎีเซต)ในงานของจูเซปเป เปอาโน

สำหรับการหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้นที่ไม่ขนานกัน

${\displaystyle a_{1}x+b_{1}y=c_{1},\ a_{2}x+b_{2}y=c_{2}}$

เราสามารถหาพิกัดของจุดตัดได้ โดย ใช้กฎของเครเมอร์ หรือโดยการแทนค่าตัวแปร  : ${\displaystyle (x_{s},y_{s})}$

${\displaystyle x_{s}={\frac {c_{1}b_{2}-c_{2}b_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}},\quad y_{s}={\frac {a_{1}c_{2}-a_{2}c_{1}}{a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}}}.\ }$

(ในกรณีที่เส้นขนานกันและไม่สามารถใช้สูตรเหล่านี้ได้ เนื่องจากต้องหารด้วย 0) ${\displaystyle a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}=0}$

สำหรับ เส้นตรง สองเส้นที่ไม่ขนานกันอาจไม่จำเป็นต้องมีจุดตัดกัน (ดูแผนภาพ) เพราะจุดตัดของเส้นตรงที่สอดคล้องกันไม่จำเป็นต้องอยู่ภายในส่วนของเส้นตรงเหล่านั้น เพื่อตรวจสอบสถานการณ์นี้ จึงใช้การแสดงเส้นตรงในรูปแบบพาราเมตริก: ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$${\displaystyle (x_{3},y_{3}),(x_{4},y_{4})}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

${\displaystyle (x(s),y(s))=(x_{1}+s(x_{2}-x_{1}),y_{1}+s(y_{2}-y_{1})),}$

${\displaystyle (x(t),y(t))=(x_{3}+t(x_{4}-x_{3}),y_{3}+t(y_{4}-y_{3})).}$

เส้นตรงแต่ละเส้นจะตัดกันเฉพาะที่จุดร่วมจุดหนึ่งของเส้นตรงที่สอดคล้องกันก็ต่อเมื่อพารามิเตอร์ที่สอดคล้องกันนั้นเป็นไปตามเงื่อนไข ที่กำหนด พารามิเตอร์เหล่านั้นคือคำตอบของระบบสมการเชิงเส้น ${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$${\displaystyle s_{0},t_{0}}$${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$${\displaystyle s_{0},t_{0}}$

${\displaystyle s(x_{2}-x_{1})-t(x_{4}-x_{3})=x_{3}-x_{1},}$

${\displaystyle s(y_{2}-y_{1})-t(y_{4}-y_{3})=y_{3}-y_{1}\ .}$

สามารถหาค่าsและt ได้ โดยใช้กฎของ Cramer (ดูด้านบน ) หากเงื่อนไขเป็นไปตามที่กำหนด ก็สามารถแทนค่าหรือลงในการแสดงพารามิเตอร์ที่สอดคล้องกัน และได้จุดตัด ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$${\displaystyle s_{0}}$${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle (x_{0},y_{0})}$

ตัวอย่าง: สำหรับส่วนของเส้นตรงและจะได้ระบบเชิงเส้น ${\displaystyle (1,1),(3,2)}$${\displaystyle (1,4),(2,-1)}$

${\displaystyle 2s-t=0}$

${\displaystyle s+5t=3}$

และนั่นหมายความว่า เส้นทั้งสองตัดกันที่จุด ${\displaystyle s_{0}={\tfrac {3}{11}},t_{0}={\tfrac {6}{11}}}$${\displaystyle ({\tfrac {17}{11}},{\tfrac {14}{11}})}$

หมายเหตุ:หากพิจารณาเส้นตรง แทนที่จะเป็นส่วนของเส้นตรง ที่กำหนดโดยคู่ของจุด แต่ละเงื่อนไขสามารถละทิ้งได้ และวิธีการนี้จะให้จุดตัดของเส้นตรงเหล่านั้น (ดูด้านบน ) ${\displaystyle 0\leq s_{0},t_{0}\leq 1}$

สำหรับจุดตัดของ

• เส้นและวงกลม${\displaystyle ax+by=c}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}}$

เราแก้สมการเส้นตรงหาค่าxหรือyแล้วแทนค่าลงในสมการวงกลม และได้คำตอบ (โดยใช้สูตรของสมการกำลังสอง) ดังนี้ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2})}$

${\displaystyle x_{1/2}={\frac {ac\pm b{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

${\displaystyle y_{1/2}={\frac {bc\mp a{\sqrt {r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}{a^{2}+b^{2}}}\ ,}$

ถ้าเงื่อนไขนี้เป็นจริงโดยมีความไม่เท่ากันอย่างเคร่งครัด จะมีจุดตัดสองจุด ในกรณีนี้ เส้นตรงนั้นเรียกว่าเส้นตัดวงกลม และส่วนของเส้นตรงที่เชื่อมจุดตัดทั้งสองเรียกว่าคอร์ดของวงกลม ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}>0\ .}$

ถ้าเงื่อนไขอสมการแบบอ่อนเป็นจริง จะมีจุดตัดเพียงจุดเดียว และเส้นตรงนั้นจะสัมผัสกับวงกลม แต่ถ้าเงื่อนไขอสมการแบบอ่อนไม่เป็นจริง เส้นตรงนั้นจะไม่ตัดกับวงกลม ${\displaystyle r^{2}(a^{2}+b^{2})-c^{2}=0}$

อีกวิธีที่รวดเร็วในการหาจุดตัดคือ การใช้ สมมติฐาน โดยแก้หาค่าก่อนโดยใช้สมการเส้นตรง ซึ่งจะลดรูปเหลือและจากนั้นแก้หาค่าโดยใช้สมการวงกลม ซึ่งจะลดรูปเหลือ ${\displaystyle (x_{1/2},y_{1/2})=s(a,b)\pm t(b,-a)}$${\displaystyle s}$${\displaystyle s(a^{2}+b^{2})=c}$${\displaystyle t}$${\displaystyle (s^{2}+t^{2})(a^{2}+b^{2})=r^{2}}$

ถ้าจุดกึ่งกลางของวงกลมไม่ใช่จุดกำเนิด โปรดดู^{[ 1 ]}การตัดกันของเส้นตรงและพาราโบลาหรือไฮเปอร์โบลาอาจได้รับการปฏิบัติในลักษณะเดียวกัน

การหาจุดตัดของวงกลมสองวง

• ${\displaystyle (x-x_{1})^{2}+(y-y_{1})^{2}=r_{1}^{2},\ \quad (x-x_{2})^{2}+(y-y_{2})^{2}=r_{2}^{2}}$

สามารถลดรูปไปเป็นกรณีตัดกันระหว่างเส้นตรงและวงกลมได้เช่นเดียวกับกรณีที่กล่าวมาแล้ว โดยการลบสมการทั้งสองที่กำหนดให้ จะได้สมการเส้นตรง:

${\displaystyle 2(x_{2}-x_{1})x+2(y_{2}-y_{1})y=r_{1}^{2}-x_{1}^{2}-y_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}+y_{2}^{2}.}$

เส้นพิเศษนี้คือเส้นรากฐานของวงกลมทั้งสองวง

กรณีพิเศษ :${\displaystyle \;x_{1}=y_{1}=y_{2}=0}$ ในกรณีนี้ จุดกำเนิดคือจุดศูนย์กลางของวงกลมวงแรก และจุดศูนย์กลางที่สองอยู่บนแกน x (ดูแผนภาพ) สมการของเส้นตรงรากที่สองจะลดรูปเหลือและจุดตัดสามารถเขียนได้เป็น โดยที่ ${\displaystyle \;2x_{2}x=r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}\;}$${\displaystyle (x_{0},\pm y_{0})}$

${\displaystyle x_{0}={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+x_{2}^{2}}{2x_{2}}},\quad y_{0}={\sqrt {r_{1}^{2}-x_{0}^{2}}}\ .}$

ในกรณีที่วงกลมทั้งสองไม่มีจุดร่วมกัน ในกรณีที่วงกลมทั้งสองมีจุดร่วมกันหนึ่งจุด และเส้นรากที่สองเป็นเส้นสัมผัสร่วม ${\displaystyle r_{1}^{2}<x_{0}^{2}}$${\displaystyle r_{1}^{2}=x_{0}^{2}}$

กรณีทั่วไปใดๆ ตามที่เขียนไว้ข้างต้น สามารถแปลงเป็นกรณีพิเศษได้โดยการเลื่อนและการหมุน

จุดตัดของแผ่นดิสก์ สองแผ่น (ส่วนภายในของวงกลมทั้งสอง) จะก่อให้เกิดรูปทรงที่เรียกว่า เลนส์

ปัญหาการหาจุดตัดระหว่างวงรี/ไฮเปอร์โบลา/พาราโบลา กับภาคตัดกรวย อื่น นำไปสู่ระบบสมการกำลังสองซึ่งในบางกรณีพิเศษสามารถแก้ไขได้ง่ายโดยการกำจัดพิกัดหนึ่งตัว คุณสมบัติพิเศษของภาคตัดกรวยอาจช่วยให้ได้คำตอบโดยทั่วไป จุดตัดสามารถหาได้โดยการแก้สมการด้วยวิธีการวนซ้ำของนิวตัน ถ้า ก) ภาคตัดกรวยทั้งสองกำหนดโดยปริยาย (ด้วยสมการ) จะต้องใช้วิธีการวนซ้ำของนิวตันแบบ 2 มิติ ข) ภาคตัดกรวยหนึ่งกำหนดโดยปริยายและอีกภาคตัดกรวยหนึ่งกำหนดโดยพารามิเตอร์ จะต้องใช้วิธีการวนซ้ำของนิวตันแบบ 1 มิติ ดูส่วนถัดไป

เส้นโค้งสองเส้นในปริภูมิสองมิติ ซึ่งสามารถหาอนุพันธ์ได้อย่างต่อเนื่อง (กล่าวคือไม่มีส่วนโค้งหักศอก) จะมีจุดตัดกันก็ต่อเมื่อเส้นโค้งทั้งสองมีจุดร่วมกันบนระนาบ และที่จุดนั้น (ดูแผนภาพ): ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ก) เส้นสัมผัสที่แตกต่างกัน ( จุดตัดขวางหลังจากการตัดขวาง ) หรือ

b) เส้นสัมผัสร่วมกันและตัดกัน ( จุดตัดสัมผัส )

ถ้าเส้นโค้งทั้งสองมีจุดSและเส้นสัมผัสร่วมกันที่จุดนั้น แต่ไม่ตัดกัน แสดงว่าเส้นโค้งทั้งสองสัมผัสกันที่จุดSเท่านั้น

เนื่องจากจุดตัดที่สัมผัสกันเกิดขึ้นไม่บ่อยและจัดการได้ยาก ดังนั้นการพิจารณาต่อไปนี้จึงละเว้นกรณีนี้ อย่างไรก็ตาม ในทุกกรณีต่อไปนี้ เงื่อนไขเชิงอนุพันธ์ที่จำเป็นทั้งหมดถือว่ามีอยู่แล้ว การหาจุดตัดมักนำไปสู่สมการไม่เชิงเส้นหนึ่งหรือสองสมการ ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยวิธีการวนซ้ำของนิวตัน รายการกรณีที่ปรากฏมีดังต่อไปนี้:

• ถ้ากำหนดเส้นโค้งทั้งสองมาอย่างชัดเจนแล้วการเทียบเส้นโค้งทั้งสองจะได้สมการดังนี้${\displaystyle y=f_{1}(x),\ y=f_{2}(x)}$

${\displaystyle f_{1}(x)=f_{2}(x)\ .}$

• ถ้าเส้นโค้งทั้งสองกำหนดด้วยพารามิเตอร์:${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:(x_{2}(s),y_{2}(s)).}$

เมื่อนำมาเท่ากันจะได้สมการสองตัวแปร:

${\displaystyle x_{1}(t)=x_{2}(s),\ y_{1}(t)=y_{2}(s)\ .}$

• ถ้าเส้นโค้งหนึ่งกำหนดด้วยพารามิเตอร์ ส่วนอีกเส้นโค้งหนึ่งกำหนดโดยปริยาย:${\displaystyle C_{1}:(x_{1}(t),y_{1}(t)),\ C_{2}:f(x,y)=0.}$

นี่เป็นกรณีที่ง่ายที่สุดนอกเหนือจากกรณีที่ระบุไว้อย่างชัดเจน เราต้องแทรกการแสดงค่าพาราเมตริกของเข้าไปในสมการของเส้นโค้งและจะได้สมการดังนี้: ${\displaystyle C_{1}}$${\displaystyle f(x,y)=0}$${\displaystyle C_{2}}$

${\displaystyle f(x_{1}(t),y_{2}(t))=0\ .}$

• หากเส้นโค้งทั้งสองถูกกำหนดไว้โดยปริยาย:${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=0,\ C_{2}:f_{2}(x,y)=0.}$

ในที่นี้ จุดตัดคือคำตอบของระบบสมการ

${\displaystyle f_{1}(x,y)=0,\ f_{2}(x,y)=0\ .}$

การวนซ้ำของนิวตันใดๆ จำเป็นต้องมีค่าเริ่มต้นที่สะดวก ซึ่งสามารถหาได้จากการแสดงภาพของเส้นโค้งทั้งสอง เส้นโค้งที่กำหนดพารามิเตอร์หรือกำหนดอย่างชัดเจนนั้นสามารถมองเห็นได้ง่าย เนื่องจากสามารถคำนวณจุดที่สอดคล้องกันสำหรับพารามิเตอร์tหรือxได้อย่างง่ายดาย สำหรับเส้นโค้งที่กำหนดโดยปริยาย งานนี้จะไม่ง่ายนัก ในกรณีนี้ เราต้องกำหนดจุดบนเส้นโค้งโดยใช้ค่าเริ่มต้นและการวนซ้ำ ดู^{[ 2 ]}

ตัวอย่าง:

1: และวงกลม(ดูแผนภาพ) ${\displaystyle C_{1}:(t,t^{3})}$${\displaystyle C_{2}:(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-10=0}$

การวนซ้ำแบบนิวตันสำหรับฟังก์ชัน ${\displaystyle t_{n+1}:=t_{n}-{\frac {f(t_{n})}{f'(t_{n})}}}$

${\displaystyle f(t)=(t-1)^{2}+(t^{3}-1)^{2}-10}$ต้องดำเนินการ โดยสามารถเลือกค่าเริ่มต้นเป็น −1 และ 1.5 ได้

จุดตัดคือ: (−1.1073, −1.3578), (1.6011, 4.1046)

2:${\displaystyle C_{1}:f_{1}(x,y)=x^{4}+y^{4}-1=0,}$

${\displaystyle C_{2}:f_{2}(x,y)=(x-0.5)^{2}+(y-0.5)^{2}-1=0}$(ดูแผนภาพประกอบ)

การวนซ้ำของนิวตัน

${\displaystyle {x_{n+1} \choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta _{x} \choose y_{n}+\delta _{y}}}$จะต้องดำเนินการ โดยที่คำตอบของระบบสมการเชิงเส้น อยู่ที่ใด${\displaystyle {\delta _{x} \choose \delta _{y}}}$

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\{\frac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\frac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{pmatrix}}{\delta _{x} \choose \delta _{y}}={-f_{1} \choose -f_{2}}}$ณ จุด. สามารถเลือกค่าเริ่มต้นเป็น (−0.5, 1) และ (1, −0.5) ได้${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$

ระบบสมการเชิงเส้นนี้สามารถแก้ไขได้โดยใช้กฎของเครเมอร์

จุดตัดคือ (−0.3686, 0.9953) และ (0.9953, −0.3686)

หากต้องการหาจุดตัดของรูปหลายเหลี่ยม สองรูป สามารถตรวจสอบจุดตัดของส่วนของเส้นตรงคู่ใดก็ได้ของรูปหลายเหลี่ยม (ดูด้านบน ) สำหรับรูปหลายเหลี่ยมที่มีส่วนของเส้นตรงจำนวนมาก วิธีนี้ค่อนข้างใช้เวลานาน ในทางปฏิบัติจะเร่งความเร็วของอัลกอริทึมการหาจุดตัดโดยใช้การทดสอบหน้าต่างในกรณีนี้จะแบ่งรูปหลายเหลี่ยมออกเป็นรูปหลายเหลี่ยมย่อยขนาดเล็ก และกำหนดหน้าต่างที่เล็กที่สุด (สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีด้านขนานกับแกนพิกัด) สำหรับรูปหลายเหลี่ยมย่อยใดๆ ก่อนที่จะเริ่มการหาจุดตัดของส่วนของเส้นตรงสองเส้นซึ่งใช้เวลานาน จะทำการทดสอบหน้าต่างคู่ใดก็ได้เพื่อหาจุดร่วมกัน ดู^{[ 3 ]}

ในพื้นที่สามมิติ จะมีจุดตัด (จุดร่วม) ระหว่างเส้นโค้งและพื้นผิว ในส่วนต่อไปนี้ เราจะพิจารณาเฉพาะ จุดตัดตามแนวขวาง เท่านั้น

จุดตัดระหว่างเส้นตรงและระนาบที่ตำแหน่งทั่วไปในสามมิติ คือ จุด

โดยทั่วไป เส้นตรงในอวกาศจะถูกแทนด้วยพารามิเตอร์ และระนาบจะถูกแทนด้วยสมการเมื่อแทนค่าพารามิเตอร์ลงในสมการ จะได้สมการเชิงเส้น ${\displaystyle (x(t),y(t),z(t))}$${\displaystyle ax+by+cz=d}$

${\displaystyle ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,}$

สำหรับ พารามิเตอร์ของจุดตัด${\displaystyle t_{0}}$${\displaystyle (x(t_{0}),y(t_{0}),z(t_{0}))}$

ถ้าสมการเชิงเส้นไม่มีคำตอบ เส้นตรงนั้นจะอยู่บนระนาบหรือขนานกับระนาบนั้น

ถ้าเส้นตรงเส้นหนึ่งถูกกำหนดโดยระนาบสองระนาบที่ตัดกันและต้องการให้ถูกตัดโดยระนาบที่สามจุดตัดร่วมของระนาบทั้งสามจะต้องได้รับการประเมิน ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2}$${\displaystyle \varepsilon _{3}:\ {\vec {n}}_{3}\cdot {\vec {x}}=d_{3}}$

ระนาบสามระนาบที่มีเวกเตอร์ตั้งฉากเชิงเส้นที่เป็นอิสระต่อกันจะมีจุดตัดกัน ${\displaystyle \varepsilon _{i}:\ {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {x}}=d_{i},\ i=1,2,3}$${\displaystyle {\vec {n}}_{1},{\vec {n}}_{2},{\vec {n}}_{3}}$

${\displaystyle {\vec {p}}_{0}={\frac {d_{1}({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})+d_{2}({\vec {n}}_{3}\times {\vec {n}}_{1})+d_{3}({\vec {n}}_{1}\times {\vec {n}}_{2})}{{\vec {n}}_{1}\cdot ({\vec {n}}_{2}\times {\vec {n}}_{3})}}\ .}$

ในการพิสูจน์นั้น เราควรสร้างกฎของผลคูณเชิงสเกลาร์สามตัวขึ้นมา ถ้าผลคูณเชิงสเกลาร์สามตัวเท่ากับ 0 แสดงว่าระนาบนั้นไม่มีจุดตัดกันสามจุด หรือจุดตัดกันนั้นเป็นเส้นตรง (หรือระนาบ ถ้าทั้งสามระนาบเป็นระนาบเดียวกัน) ${\displaystyle {\vec {n}}_{i}\cdot {\vec {p}}_{0}=d_{i},\ i=1,2,3,}$

ในทำนองเดียวกันกับกรณีระนาบ กรณีต่อไปนี้จะนำไปสู่ระบบที่ไม่เป็นเชิงเส้น ซึ่งสามารถแก้ไขได้โดยใช้การวนซ้ำของนิวตันแบบ 1 มิติหรือ 3 มิติ^{[ 4 ]}

• เส้นโค้งพาราเมตริกและ${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$

พื้นผิวพาราเมตริก${\displaystyle S:(x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,}$

• เส้นโค้งพาราเมตริกและ${\displaystyle C:(x(t),y(t),z(t))}$

พื้นผิวโดยนัย${\displaystyle S:f(x,y,z)=0\ .}$

ตัวอย่าง:

เส้นโค้งพาราเมตริก และ${\displaystyle C:(t,t^{2},t^{3})}$

พื้นผิวโดยปริยาย(ดูรูปภาพ)${\displaystyle S:x^{4}+y^{4}+z^{4}-1=0}$

จุดตัดคือ: (−0.8587, 0.7374, −0.6332), (0.8587, 0.7374, 0.6332)

จุดตัดระหว่าง เส้นตรงกับทรงกลมเป็นกรณีพิเศษที่เรียบง่าย

เช่นเดียวกับกรณีของเส้นตรงและระนาบ จุดตัดระหว่างเส้นโค้งและพื้นผิวในตำแหน่งทั่วไปประกอบด้วยจุดที่ไม่ต่อเนื่อง แต่เส้นโค้งอาจอยู่ภายในพื้นผิวบางส่วนหรือทั้งหมดก็ได้

พื้นผิวสองพื้นผิวที่ตัดกันในแนวตั้งฉากจะทำให้เกิดเส้นโค้งตัดกันกรณีที่ง่ายที่สุดคือเส้นตัดกันของระนาบสองระนาบที่ไม่ขนานกัน

เมื่อจุดตัดระหว่างทรงกลมกับระนาบไม่ใช่จุดว่างเปล่าหรือจุดเดียว จุดนั้นจะเป็นวงกลม สามารถอธิบายได้ดังนี้:

ให้Sเป็นทรงกลมที่มีจุดศูนย์กลางOและPเป็นระนาบที่ตัดกับS ลากเส้น OEตั้งฉากกับPและตัด กับ Pที่จุดEให้AและBเป็นจุดสองจุดที่แตกต่างกันในจุดตัดนั้นAOEและBOEเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านร่วมกันคือOEและด้านตรงข้ามมุมฉากAOและBOเท่ากัน ดังนั้นด้านที่เหลือAEและBEจึงเท่ากัน ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าจุดทั้งหมดในจุดตัดนั้นอยู่ห่างจากจุดEในระนาบP เป็นระยะทางเท่า กัน กล่าวอีกนัยหนึ่งคือจุดทั้งหมดในจุดตัดนั้นอยู่บนวงกลมCที่มีจุดศูนย์กลางE ^{[ 5 ]}ซึ่งพิสูจน์ได้ว่าจุดตัดของPและSอยู่ภายใน วงกลม Cโปรดทราบว่าOEเป็นแกนของวงกลม

ทีนี้ลองพิจารณาจุดDบนวงกลมCเนื่องจากCอยู่ในวงกลม Pดังนั้นD ก็อยู่ในวงกลม P ด้วย เช่นกัน ในทางกลับกัน สามเหลี่ยมAOEและDOEเป็นสามเหลี่ยมมุมฉากที่มีด้านร่วมคือOEและด้านประกอบมุมฉากEAและED เท่ากัน ดังนั้น ด้าน ตรง ข้ามมุมฉากAOและDOจึงเท่ากัน และเท่ากับรัศมีของวงกลมSดังนั้นDจึงอยู่ใน วงกลม Sนี่เป็นการพิสูจน์ว่าCอยู่ภายในจุดตัดของวงกลมPและS

ผลที่ตามมาคือ บนทรงกลมจะมีวงกลมเพียงวงเดียวที่สามารถลากผ่านจุดสามจุดที่กำหนดได้^{[ 6 ]}

สามารถขยายการพิสูจน์เพื่อแสดงว่าจุดบนวงกลมทั้งหมดอยู่ห่างจากขั้วใดขั้วหนึ่งของวงกลมเป็นระยะเชิงมุม ร่วมกัน ^{[ 7 ]}

ลองเปรียบเทียบกับภาคตัดกรวยซึ่งสามารถสร้างรูปทรงวงรีได้ เช่นกัน

เพื่อแสดงว่าจุดตัดที่ไม่ใช่จุดตัดศูนย์ของทรงกลมสองลูกเป็นวงกลม ให้สมมติ ( โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป ) ว่าทรงกลมลูกหนึ่ง (ที่มีรัศมี) มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกำเนิด จุดบนทรงกลมนี้เป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle R}$

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}.}$

นอกจากนี้ โดยไม่เสียความเป็นทั่วไป สมมติว่าทรงกลมลูกที่สองซึ่งมีรัศมีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดบนแกน x ด้านบวก ห่างจากจุดกำเนิดเป็นระยะ จุดต่างๆ บนทรงกลมนี้เป็นไปตามเงื่อนไข ${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle (x-a)^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}.}$

จุดตัดของทรงกลมทั้งสองคือเซตของจุดที่สอดคล้องกับสมการทั้งสอง การลบสมการทั้งสองจะได้

${\displaystyle {\begin{aligned}(x-a)^{2}-x^{2}&=r^{2}-R^{2}\\a^{2}-2ax&=r^{2}-R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{aligned}}}$

ในกรณีพิเศษทรงกลมทั้งสองมีจุดศูนย์กลางร่วมกัน มีความเป็นไปได้สองประการ: ถ้าทรงกลมทั้งสองจะทับกัน และส่วนที่ตัดกันคือทรงกลมทั้งหมด; ถ้าทรงกลมทั้งสองจะไม่ทับกัน และส่วนที่ตัดกันว่างเปล่า เมื่อaไม่เป็นศูนย์ ส่วนที่ตัดกันจะอยู่ในระนาบแนวตั้งที่มีพิกัด x นี้ ซึ่งอาจตัดกับทรงกลมทั้งสอง สัมผัสกับทรงกลมทั้งสอง หรืออยู่นอกทรงกลมทั้งสอง ผลลัพธ์นี้ได้มาจากการพิสูจน์ก่อนหน้านี้สำหรับการตัดกันระหว่างทรงกลมกับระนาบ ${\displaystyle a=0}$${\displaystyle R=r}$${\displaystyle R\not =r}$

• จุดตัดระหว่างเส้นและระนาบ
• จุดตัดระหว่างเส้นและทรงกลม
• จุดตัดระหว่างเส้นและทรงกระบอก
• เรขาคณิตวิเคราะห์ #จุดตัด
• เรขาคณิตเชิงคำนวณ
• สมการของเส้นตรง
• จุดตัด (ทฤษฎีเซต)
• ทฤษฎีจุดตัด

• Haines, Eric (6 มิถุนายน 2021). "จุดตัด (หน้าแหล่งข้อมูลการติดตามรังสี)" . การเรนเดอร์แบบเรียลไทม์. สืบค้นเมื่อ14 ธันวาคม 2023 . ตารางรวมรูทีนจุดตัดสำหรับวัตถุยอดนิยมต่างๆ โดยชี้ไปยังแหล่งข้อมูลในหนังสือและบนเว็บ
• Nicholas M. Patrikalakis และ Takashi Maekawa, การตรวจสอบรูปร่างสำหรับการออกแบบและการผลิตโดยใช้คอมพิวเตอร์ช่วย , Springer, 2002, ISBN 3540424547, 9783540424543, หน้า 408. [1]
• ไซค์ส, เอ็ม.; คอมสต็อก, ซีอี (1922). เรขาคณิตทรงสามมิติ . แรนด์ แม็คนอลลี. หน้า  81 เป็นต้น ไป.