ในคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในการศึกษาทฤษฎีเซตพีชคณิตของเซต^{[ a ]}กำหนดคุณสมบัติและกฎของเซตการดำเนินการทางทฤษฎีเซตของการรวมการตัดกันและการเติมเต็มและความสัมพันธ์ ของ ความเท่าเทียมกันของเซตและการรวม เซต นอกจากนี้ยังให้ขั้นตอนที่เป็นระบบสำหรับการประเมินนิพจน์และการคำนวณที่เกี่ยวข้องกับการดำเนินการและความสัมพันธ์เหล่านี้

เซตของเซตใดๆ ที่ปิดภายใต้การดำเนินการทางทฤษฎีเซตจะก่อให้เกิดพีชคณิตบูลีนโดยที่ ตัวดำเนินการ ร่วมคือยูเนียน ตัวดำเนิน การพบกันคืออินเตอร์เซกชัน ตัวดำเนินการส่วนเติมเต็มคือส่วนเติมเต็มเซต^{[ 1 ]}โดยที่ด้านล่างคือ⁠ ⁠${\displaystyle \varnothing }$และด้านบนคือ เซต เอกภพภายใต้การพิจารณา

เซตคือกลุ่มของวัตถุทางคณิตศาสตร์ จำนวนมาก ตัวอย่างของวัตถุดังกล่าวได้แก่ตัวเลขสัญลักษณ์จุดในอวกาศเส้นรูปทรงเรขาคณิตอื่นๆตัวแปรฟังก์ชันหรือแม้แต่เซตอื่นๆ^{[ 2 ]}โดยทั่วไปเซตจะใช้ตัวอักษรพิมพ์ใหญ่และวงเล็บ ปีกกาแทนเซตเช่นและ${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$${\displaystyle B=\{a,b,c,x,y,z\}}$

พีชคณิตของเซตศึกษาคุณสมบัติและกฎของเซตในเชิงพีชคณิต โดยพื้นฐานแล้ว มีการดำเนินการทางทฤษฎีเซตสองอย่างคือยูเนียน ( ⁠ ⁠${\displaystyle \cup }$ ) อินเตอร์เซกชันและ ( ⁠ ⁠${\displaystyle \cap }$ ) ยูเนียนเป็นการดำเนินการทางทฤษฎีเซตที่รวบรวมสมาชิกทั้งหมดของสองเซตขึ้นไปเข้าเป็นเซตเดียว อินเตอร์เซกชันรวบรวมองค์ประกอบร่วมของสองเซตขึ้นไป ตัวอย่างเช่น ให้และแล้ว, ในทำนองเดียวกัน พีชคณิตของเซตสามารถตีความได้ว่าเป็นพีชคณิตของจำนวน เช่นเดียวกับการบวกและการคูณทาง เลขคณิต ที่มีคุณสมบัติการสลับที่และการเชื่อมโยงยูเนียนและอินเตอร์เซกชันของเซตก็เช่น กัน ^{[ 3 ] [ b ]}ในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์ทางเลขคณิต "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" มีคุณสมบัติการสะท้อน สมมาตรแบบผกผันและการถ่ายทอดความสัมพันธ์ของเซต "เซตย่อย" ก็ เช่นกัน ^{[ 4 ]}เอกลักษณ์หรือ "กฎ" เหล่านี้มีดังต่อไปนี้^{[ 5 ]}${\displaystyle A=\{1,2,3,5\}}$${\displaystyle B=\{2,4,6\}}$${\displaystyle A\cup B=\{1,2,3,4,5,6\}}$${\displaystyle A\cap B=\{2\}}$

คุณสมบัติการสลับเปลี่ยน

• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cup B=B\cup A}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cap B=B\cap A}$

คุณสมบัติการเชื่อมโยง

• ⁠ ⁠${\displaystyle (A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle (A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)}$

สมบัติการกระจาย

• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$

การรวมกันและการตัดกันของเซตอาจมองได้ว่าคล้ายคลึงกับการบวกและการคูณของตัวเลข เช่นเดียวกับการบวกและการคูณ การดำเนินการของการรวมกันและการตัดกันนั้นสามารถสลับที่ได้และจัดกลุ่มได้ และการตัดกันสามารถกระจายได้เหนือการรวมกัน^{[ 3 ]}อย่างไรก็ตาม ต่างจากการบวกและการคูณ การรวมกันยังสามารถกระจายได้เหนือการตัดกันอีกด้วย

คุณสมบัติเพิ่มเติมอีกสองคู่เกี่ยวข้องกับเซตพิเศษที่เรียกว่าเซตว่างและเซตเอกภพเซตเหล่านี้ไม่มีสมาชิก และเซตเอกภพมีสมาชิกที่เป็นไปได้ทั้งหมด (ในบริบทเฉพาะ) ตามลำดับ เซตที่สมาชิกไม่ได้อยู่ในเซตใดเซตหนึ่งเรียกว่าเซตส่วนเติมเต็ม ตัวดำเนินการนี้หมายถึง เซต ส่วน เติม เต็มหรือเซตส่วนเติมเต็ม (อ่านว่า "จำนวนเฉพาะ") ในทำนองเดียวกัน เซตส่วนเติมเต็มของเซตคือเซตที่อยู่ในเซตเอกภพและไม่อยู่ในเซต เอกภพ กล่าวคือเซตเอกภพ^{[ 6 ]}${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {U}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\complement }}$${\displaystyle A'}$${\displaystyle A^{\complement }}$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {U}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A^{\complement }={\boldsymbol {U}}\setminus A}$

ตัวตน

• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cap {\boldsymbol {U}}=A}$

คอมพลีเมนต์

• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cup A^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cap A^{\complement }=\varnothing }$

นิพจน์เอกลักษณ์ (พร้อมกับนิพจน์การสลับที่) กล่าวว่า เช่นเดียวกับ 0 และ 1 สำหรับการบวกและการคูณ[ 7 ^{]และเป็น} องค์ประกอบเอกลักษณ์สำหรับการรวมและการตัดกัน ตามลำดับ${\displaystyle \varnothing }$${\displaystyle {\boldสัญลักษณ์ {U}}}$

ต่างจากการบวกและการคูณ ยูเนียนและอินเตอร์เซกชันไม่มีตัวผกผันอย่างไรก็ตาม กฎของส่วนเติมเต็มให้คุณสมบัติพื้นฐานของการดำเนินการเอกภาคที่คล้ายกับการผกผันในระดับหนึ่งของการหาค่าเติมเต็มของเซต

สูตรห้าคู่ก่อนหน้านี้ ได้แก่ สูตรการสลับที่ สูตรการจัดกลุ่ม สูตรการกระจาย สูตรเอกลักษณ์ และสูตรส่วนเติมเต็ม ครอบคลุมพีชคณิตเซตทั้งหมด ในแง่ที่ว่าข้อเสนอที่ถูกต้องทุกข้อในพีชคณิตเซตสามารถอนุมานได้จากสูตรเหล่านี้

หากสูตรส่วนเติมเต็มถูกลดทอนให้เหลือเพียงกฎ⁠ ⁠${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$ แล้ว นี่ ก็ คือพีชคณิตของตรรกะเชิงเส้น ประพจน์อย่างแท้จริง

เอกลักษณ์แต่ละอย่างที่กล่าวมาข้างต้นเป็นหนึ่งในคู่เอกลักษณ์ โดยที่แต่ละเอกลักษณ์สามารถแปลงเป็นอีกเอกลักษณ์หนึ่งได้โดยการสลับ⁠ ⁠${\displaystyle \cup }$และ⁠ ⁠${\displaystyle \cap }$ในขณะเดียวกันก็สามารถสลับ⁠ ⁠${\displaystyle \varnothing }$และ⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ได้ เช่นกัน

นี่เป็นตัวอย่างของคุณสมบัติที่สำคัญและทรงพลังอย่างยิ่งของพีชคณิตเซต นั่นคือหลักการทวิภาวะของเซต ซึ่งกล่าวว่า สำหรับข้อความที่เป็นจริงเกี่ยวกับเซตใดๆ ข้อความ ทวิภาวะที่ได้จากการสลับการรวมและการตัดกัน การสลับ⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle \varnothing }$และการกลับด้านการรวม ก็เป็นจริงเช่นกัน ข้อความหนึ่งเรียกว่าเป็นทวิภาวะในตัวเองถ้ามันเท่ากับทวิภาวะของมันเอง

สำหรับเซตย่อย⁠ ⁠${\displaystyle A}$และ⁠ ⁠${\displaystyle B}$ ใดๆ ของเซตเอกภพ⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$เอกลักษณ์ต่อไปนี้เป็นจริง:

กฎที่ไร้ผล

• [ ${\displaystyle A\cup A=A}$^{หลักฐาน1 ]}​
• [ ${\displaystyle A\cap A=A}$^{การพิสูจน์2} ]

กฎหมายการครอบงำ

• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cup {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {U}}}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$

กฎการดูดซับ

• [ ${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}$^{หลักฐาน}ที่^{3 ]}
• [ ${\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$^{หลักฐาน}ที่^{4 ]}

การหาจุดร่วมสามารถแสดงได้ในรูปของผลต่างของเซต:

⁠ ⁠${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$

ให้⁠ ⁠${\displaystyle A}$และ⁠ ⁠${\displaystyle B}$เป็นเซตย่อยของเอกภพ⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$แล้ว:

กฎของเดอ มอร์แกน

• ⁠ ⁠${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}$

กฎ การเติมเต็มสองเท่าหรือกฎการผกผัน

• ⁠ ⁠${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$

กฎส่วนเติมเต็มสำหรับเซตเอกภพและเซตว่าง

• ⁠ ⁠${\displaystyle \varnothing ^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\complement }=\varnothing }$

โปรดสังเกตว่ากฎการเติมเต็มสองเท่าเป็นกฎทวิภาคในตัวเอง ข้อความต่อไปนี้ก็เป็นกฎทวิภาคในตัวเองเช่นกัน โดยกล่าวว่าส่วนเติมเต็มของเซตคือเซตเดียวที่สอดคล้องกับกฎการเติมเต็ม กล่าวอีกนัยหนึ่ง การเติมเต็มมีลักษณะเฉพาะโดยกฎการเติมเต็ม: ให้⁠ ⁠${\displaystyle A}$และ⁠ ⁠${\displaystyle B}$เป็นเซตย่อยของเอกภพ⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$ ,

ความเป็นเอกลักษณ์ของส่วนประกอบ

• ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle A\cup B={\boldsymbol {U}}}$และ⁠ ⁠${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$แล้ว⁠ ⁠${\displaystyle B=A^{\complement }}$

พีชคณิตของเซตประกอบด้วยการรวมเซต นั่นคือความสัมพันธ์ทวิภาคที่เซตหนึ่งเป็นเซตย่อยของอีกเซตหนึ่ง ซึ่งเป็นลำดับบางส่วนถ้า⁠ ⁠${\displaystyle A}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle B}$และ⁠ ⁠${\displaystyle C}$เป็นเซตแล้ว จะเป็นจริงดังต่อไปนี้:

การสะท้อนกลับ

• ⁠ ⁠${\displaystyle A\subseteq A}$

ความไม่สมมาตร

• และก็${\displaystyle A\subseteq B}$ต่อเมื่อ${\displaystyle B\subseteq A}$​​​​${\displaystyle A=B}$

การถ่ายทอด

• ถ้าและแล้ว​${\displaystyle A\subseteq B}$​​${\displaystyle B\subseteq C}$​​​${\displaystyle A\subseteq C}$

สำหรับเซตใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle S}$เซตกำลังของ⁠ ⁠${\displaystyle S}$ซึ่งเรียงลำดับโดยการรวม จะเป็นแลตทิซที่มีขอบเขตและด้วยเหตุนี้ เมื่อรวมกับกฎการกระจายและกฎส่วนเติมเต็มข้างต้น จะแสดงให้เห็นว่าเป็นพีชคณิตบูลีนนั่นคือ ถ้า⁠ ⁠${\displaystyle A}$ , ⁠ ⁠${\displaystyle B}$และ⁠ ⁠${\displaystyle C}$เป็นเซตย่อยของเซต⁠ ⁠${\displaystyle S}$แล้วข้อต่อไปนี้จะเป็นจริง:

การมีอยู่ขององค์ประกอบที่เล็กที่สุดและองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด

• ⁠ ⁠${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$

การมีอยู่ของการเชื่อมต่อ

• ⁠ ⁠${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$

• ถ้าและแล้ว​${\displaystyle A\subseteq C}$​​${\displaystyle B\subseteq C}$​​​${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$

การมีอยู่ของการประชุม

• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$
• ถ้าและแล้ว​${\displaystyle C\subseteq A}$​​${\displaystyle C\subseteq B}$​​​${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$

เซตการรวม⁠ ⁠${\displaystyle A\subseteq B}$เทียบเท่ากับข้อความอื่นๆ ที่เกี่ยวข้องกับการรวม การตัดกัน และส่วนเติมเต็ม กล่าวคือ สำหรับเซตสองเซตใดๆ⁠ ⁠${\displaystyle A}$และ⁠ ⁠${\displaystyle B}$ข้อความต่อไปนี้เทียบเท่ากัน:

• ⁠ ⁠${\displaystyle A\subseteq B}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cap B=A}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\cup B=B}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\setminus B=\varnothing }$
• ⁠ ⁠${\displaystyle B^{\complement }\subseteq A^{\complement }}$

สิ่งนี้แสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ของการรวมเซตสามารถอธิบายได้ด้วยการดำเนินการอย่างใดอย่างหนึ่งระหว่างการรวมเซตหรือการตัดกันของเซต ซึ่งหมายความว่าแนวคิดเรื่องการรวมเซตนั้นไม่จำเป็นในเชิงสัจพจน์

ข้อเสนอต่อไปนี้แสดงรายการเอกลักษณ์หลายประการเกี่ยวกับส่วนเติมเต็มเชิงสัมพัทธ์และความแตกต่างเชิงทฤษฎีเซต

ข้อ เสนอ ที่9 : สำหรับเอกภพใดๆและ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$เซตย่อย${\displaystyle A}$, และของ, เอกลักษณ์${\displaystyle B}$ต่อไปนี้เป็น${\displaystyle C}$จริง: ${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$

• ⁠ ⁠${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus (A\cap C)=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle (B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\cup C)}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$
• ⁠ ⁠${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle B\setminus A=A^{\complement }\cap B}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle (B\setminus A)^{\complement }=A\cup B^{\complement }}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}\setminus A=A^{\complement }}$
• ⁠ ⁠${\displaystyle A\setminus {\boldsymbol {U}}=\varnothing }$

• σ-algebraคือพีชคณิตของเซต ซึ่งสมบูรณ์แล้วเพื่อรวมการดำเนินการที่นับได้เป็นอนันต์
• ทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์
• รูปภาพ (คณิตศาสตร์) § คุณสมบัติ
• ฟิลด์ของเซต
• รายการเอกลักษณ์และความสัมพันธ์ของเซต
• ทฤษฎีเซตแบบง่าย
• เซต (คณิตศาสตร์)
• ปริภูมิเชิงทอพอโลยี — เซตย่อยของ⁠ ⁠${\displaystyle \wp (X)}$ ซึ่ง เป็นเซตกำลังของ⁠ ⁠${\displaystyle X}$ปิดโดยสัมพันธ์กับยูเนียนใดๆ อินเตอร์เซกชันจำกัด และประกอบด้วย⁠ ⁠${\displaystyle \varnothing }$และ⁠ ⁠${\displaystyle X}$

• Halmos, Paul R. (1960). ทฤษฎีเซตแบบง่าย . Princeton: Nostrand.
• Halmos, Paul R. (2018). บรรยายเรื่องพีชคณิตบูลีน . สำนักพิมพ์โดเวอร์.
• สโตลล์, โรเบิร์ต อาร์.; ทฤษฎีเซตและตรรกศาสตร์ , ไมเนโอลา, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์โดเวอร์ (1979) ISBN 0-486-63829-4" พีชคณิตของเซต" หน้า 16-23
• คูแรนต์, ริชาร์ด; ร็อบบินส์, เฮอร์เบิร์ต; สจ๊วต, เอียน (1996). คณิตศาสตร์คืออะไร?: แนวทางเบื้องต้นสู่แนวคิดและวิธีการ . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยออกซ์ฟอร์ด สหรัฐอเมริกา. ISBN 978-0-19-510519-3.

• การดำเนินการบนเซตที่ ProvenMath