ในทางคณิตศาสตร์ปริภูมิเชิงทอพอโลยี จะเรียก ว่ามี ความกะทัดรัดตามลำดับ (sequentially compact)ถ้าลำดับของจุดทุกจุดในปริภูมิเชิงทอพอโลยีมีลำดับ ย่อย ลู่เข้าที่จุดหนึ่งในปริภูมิเชิง ทอพอ โลยี ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ปริภูมิเมตริกทุก ปริภูมิ เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยธรรมชาติ และสำหรับปริภูมิเมตริก แนวคิดเรื่องความกะทัดรัดและความกะทัดรัดตามลำดับนั้นเทียบเท่ากัน (โดยใช้สัจพจน์ของการเลือกที่นับได้ ) อย่างไรก็ตาม มีปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กะทัดรัดตามลำดับแต่ไม่กะทัดรัด และมีปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กะทัดรัดแต่ไม่กะทัดรัดตามลำดับอยู่ด้วย

ปริภูมิของจำนวนจริง ทั้งหมด ที่มีโทโพโลยีมาตรฐานนั้นไม่เป็นปริภูมิกระชับเชิงลำดับ ลำดับที่กำหนดโดยสำหรับจำนวนธรรมชาติ ทั้งหมด เป็นลำดับที่ไม่มีลำดับย่อยลู่เข้า ${\displaystyle (s_{n})}$${\displaystyle s_{n}=n}$${\displaystyle n}$

ในปริภูมิที่นับได้แรกลำดับจะมีลำดับย่อยลู่เข้าก็ต่อเมื่อ ${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle \bigcap _{n}{\overline {\{x_{m}\mid m\geq n\}}}}$

ไม่ว่างเปล่า อันที่จริง ลิมิตของลำดับย่อยลู่เข้าจะต้องอยู่ในจุดตัดข้างต้น (ทิศทางนี้ใช้ได้กับปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ) ในทางกลับกัน ถ้าอยู่ในจุดตัดข้างต้น ให้เป็นฐานย่านใกล้เคียง ที่นับได้ ที่ จากนั้นเลือกจำนวนเต็มแบบอุปนัยโดยที่เป็นจำนวนเต็มที่น้อยที่สุดที่มีคุณสมบัติ (1) และ (2) ซึ่งเป็นไปได้เนื่องจากเป็น เซต ที่ มีลำดับที่ดีดังนั้น${\displaystyle x}$${\displaystyle x\in \cdots \subset U_{2}\subset U_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle n_{i}>0}$${\displaystyle n_{i}}$${\displaystyle n_{i}>n_{i-1}}$${\displaystyle x_{n_{i}}\in U_{i}}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle x_{n_{j}}\to x}$

จุดตัดบนเส้นข้างต้นเรียกว่าจุดรวมกลุ่มดังนั้น สำหรับปริภูมิที่นับได้เป็นอันดับแรก นิยามของปริภูมิที่กระชับตามลำดับจึงเหมือนกับการกล่าวว่าลำดับแต่ละลำดับในปริภูมินั้นมีจุดรวมกลุ่ม

ถ้าปริภูมิเป็นปริภูมิเมตริกปริภูมินั้นจะกระชับตามลำดับก็ต่อเมื่อปริภูมินั้นกระชับ (ดูทฤษฎีบทไฮเน-โบเรล § การสรุปทั่วไป ) ^{[ 1 ]} นี่คือวิธีที่จะเห็นสิ่งนี้ โดยใช้เพียงการเลือกที่นับได้เราต้องแสดงให้เห็นว่า "กระชับตามลำดับ" หมายถึง "กระชับ" ก่อนอื่น เราสังเกตว่ามีขอบเขตโดยสมบูรณ์ หมายความว่าสำหรับแต่ละจะมีการคลุมจำกัดของ ที่ประกอบด้วยลูกบอลเปิดรัศมีอันที่จริง หากล้มเหลวสำหรับบางโดยการเลือกที่นับได้ ให้เลือกลำดับเช่นนั้น ${\displaystyle X}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle x_{n}}$

${\displaystyle x_{n}\not \in B(x_{1},\epsilon )\cup \cdots \cup B(x_{n-1},\epsilon ).}$

ลำดับนี้ไม่มีลำดับย่อยลู่เข้า ซึ่งเป็นข้อขัดแย้งดังนั้นจึงสรุปได้ว่ามีฐานที่นับได้ ด้วยเหตุนี้ จึงเพียงพอที่จะแสดงว่า เป็นเซตกระชับที่นับได้ กล่าวคือ ลำดับที่ลดลงของเซตย่อยปิดที่ไม่ว่างแต่ละเซตจะมีจุดตัดที่ไม่ว่าง แต่สิ่งนี้ชัดเจนอยู่แล้วเนื่องจาก ${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots }$

${\displaystyle \emptyset \neq \cap _{n}{\overline {\{x_{m}\mid m\geq n\}}}\subset \cap _{n}E_{n}}$

สำหรับลำดับบางลำดับที่มี.${\displaystyle x_{n}}$${\displaystyle x_{n}\in E_{n}}$${\displaystyle \square }$

ลำดับที่นับไม่ได้ตัวแรกที่มีโทโพโลยีลำดับเป็นตัวอย่างของปริภูมิโทโพโลยีที่กระชับตามลำดับแต่ไม่กระชับผลคูณโทโพโลยีของสำเนาของช่วงหน่วยปิดเป็นตัวอย่างของปริภูมิกระชับที่ไม่กระชับตามลำดับ^{[ 2 ]}${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}}$

ปริภูมิเชิงทอพอโลยีเรียกว่าเป็นปริภูมิกระชับจุดลิมิตถ้าเซตย่อยอนันต์ทุกเซตของมีจุดลิมิตอยู่ในและเป็นปริภูมิกระชับนับได้ถ้าเซตคลุมเปิด นับได้ทุกเซต มีเซตคลุมย่อยจำกัด ในปริภูมิเมตริกแนวคิดเรื่องความกระชับแบบลำดับ ความกระชับจุดลิมิต ความกระชับนับได้ และความกระชับ ล้วนสมมูลกัน (ถ้าเราสมมติสัจพจน์ของการเลือก ) ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ในพื้นที่ลำดับ (Hausdorff)ความกะทัดรัดแบบลำดับเทียบเท่ากับความกะทัดรัดแบบนับได้^{[ 3 ]}

นอกจากนี้ยังมีแนวคิดเรื่องการบีบอัดลำดับจุดเดียว—แนวคิดคือลำดับที่ไม่ลู่เข้าทั้งหมดควรจะลู่เข้าสู่จุดพิเศษ^{[ 4 ]}

• ทฤษฎีบทโบลซาโน-ไวเออร์สตรัส  – ลำดับที่มีขอบเขตในปริภูมิยูคลิดมิติจำกัดมีลำดับย่อยลู่เข้า
• ปริภูมิเฟรเชต์-อูรีโซห์น  – ประเภทหนึ่งของปริภูมิเชิงทอพอโลยี
• ลำดับการครอบคลุมแผนที่
• ปริภูมิเชิงลำดับ  – ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีลักษณะเฉพาะด้วยลำดับ