ในโทโพโลยีและสาขาคณิตศาสตร์ ที่เกี่ยวข้อง ระบบเพื่อนบ้านระบบเพื่อนบ้านที่สมบูรณ์ [ ^{1 ] หรือ}ตัวกรองเพื่อนบ้าน สำหรับจุดในปริภูมิโทโพโลยีคือการรวบรวมเพื่อนบ้าน ทั้งหมด ของ${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$

บริเวณใกล้เคียงของจุดหรือเซต

หนึ่งย่านเปิดรอบจุด (หรือเซตย่อย ^{[หมายเหตุ 1 ]} )ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีคือเซตย่อยเปิดของที่ประกอบด้วย A${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x.}$ย่านใกล้เคียงของใน${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$คือเซตย่อยใดๆที่มีย่านใกล้เคียงแบบเปิดของอยู่ กล่าวคือเป็นย่านใกล้เคียงของในก็ต่อเมื่อมีเซตย่อยแบบเปิดบางเซตที่มี ^{อยู่ [ 2 ] [ 3 ]} หรือกล่าวอีกนัยหนึ่ง ย่านใกล้เคียงของคือเซตใดๆ ที่มี อยู่ในส่วนภายในเชิงโทโพโลยีของ ${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x\in U\subseteq N}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ที่สำคัญคือ "ย่านใกล้เคียง" ไม่จำเป็นต้องเป็นเซตเปิดเสมอไป ย่านใกล้เคียงที่บังเอิญเป็นเซตเปิดก็เรียกว่า "ย่านใกล้เคียงแบบเปิด" เช่นกัน ^{[หมายเหตุ 2 ]} ในทำนองเดียวกัน ย่านใกล้เคียงที่เป็น เซต ปิด (หรือเซตกระชับ เซตเชื่อมต่อฯลฯ) ก็เรียกว่า...ย่านปิด (ตามลำดับ)ย่าน ที่อยู่อาศัยขนาดกะทัดรัด(เช่น ย่านที่เชื่อมต่อกันเป็นต้น) นอกจากนี้ยังมีย่านประเภทอื่นๆ อีกมากมายที่ใช้ในโทโพโลยีและสาขาที่เกี่ยวข้อง เช่นการวิเคราะห์เชิงฟังก์ชันกลุ่มของย่านทั้งหมดที่มีคุณสมบัติ "ที่มีประโยชน์" บางอย่างมักจะก่อตัวเป็นฐานของย่านแม้ว่าหลายครั้งย่านเหล่านี้จะไม่จำเป็นต้องเปิดกว้างพื้นที่ที่มีขนาดกะทัดรัดในระดับท้องถิ่นคือพื้นที่ที่ทุกจุดมีฐานของย่านที่ประกอบด้วยเซตขนาดกะทัดรัดทั้งหมด

ตัวกรองละแวกใกล้เคียง

ระบบเพื่อนบ้านสำหรับจุด (หรือ เซตย่อย ที่ไม่ว่างเปล่า ) คือตัวกรองที่เรียกว่าตัวกรองเพื่อนบ้านสำหรับ จุดนั้น ตัวกรองเพื่อนบ้านสำหรับจุดนั้นเหมือนกับตัวกรองเพื่อนบ้านของเซตที่มีสมาชิกตัวเดียว${\displaystyle x}$${\displaystyle x.}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle \{x\}.}$

เอในระดับชุมชนหรือในระดับท้องถิ่น (หรือฐานชุมชนหรือฐานท้องถิ่น ) สำหรับจุดหนึ่งคือฐานตัวกรองของตัวกรองย่านใกล้เคียง ซึ่งหมายความว่าเป็นเซตย่อย ที่สำหรับทุก ๆจะมีบางค่าที่ ^{[ 3 ]}ในที่นี้หมายถึงเซตของย่านใกล้เคียงทั้งหมดของนั่นคือ สำหรับย่านใกล้เคียงใด ๆเราสามารถหาย่านใกล้เคียงในฐานย่านใกล้เคียงที่อยู่ใน${\displaystyle x}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$$${\displaystyle V\in {\mathcal {N}}(x),}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle B\subseteq V.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle V}$${\displaystyle B}$${\displaystyle V.}$

ในทำนอง เดียวกันฐานท้องถิ่นที่ก็ต่อเมื่อตัวกรองเพื่อนบ้านสามารถกู้คืนได้จากในแง่ที่ว่าความเท่าเทียมกันต่อไปนี้เป็นจริง: ^{[ 4 ]}ครอบครัวเป็นฐานเพื่อนบ้านสำหรับก็ต่อเมื่อเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของที่เกี่ยวข้องกับลำดับบางส่วน (ที่สำคัญ ลำดับบางส่วนนี้คือ ความสัมพันธ์ของ เซตใหญ่ไม่ใช่ ความสัมพันธ์ ของเซตย่อย ) ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\left\{V\subseteq X~:~B\subseteq V{\text{ สำหรับบาง }}B\in {\mathcal {B}}\right\}\!\!\;.}$$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}(x)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \left({\mathcal {N}}(x),\supseteq \right)}$${\displaystyle \supseteq }$

เอฐานย่อยใกล้เคียงที่คือตระกูลของเซตย่อยของแต่ละเซตย่อย ซึ่งประกอบด้วยโดยที่กลุ่มของการตัดกันขององค์ประกอบของเซตย่อยเหล่านั้น ก่อให้เกิดฐานใกล้เคียงที่${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle x.}$

ถ้า มี โทโพโลยีแบบยุคลิดตามปกติแล้ว บริเวณใกล้เคียงของคือเซตย่อยทั้งหมดที่มีจำนวนจริง บางจำนวนอยู่ ซึ่งตัวอย่างเช่น เซตต่อไปนี้ทั้งหมดเป็นบริเวณใกล้เคียงของใน: แต่ไม่มีเซตต่อไปนี้ใดเป็นบริเวณใกล้เคียงของ: โดย ที่แทนจำนวนตรรกยะ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle N\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle r>0}$${\displaystyle (-r,r)\subseteq N.}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle \mathbb {R} }$$${\displaystyle (-2,2),\;[-2,2],\;[-2,\infty ),\;[-2,2)\cup \{10\},\;[-2,2]\cup \mathbb {Q} ,\;\mathbb {R} }$$${\displaystyle 0}$$${\displaystyle \{0\},\;\mathbb {Q} ,\;(0,2),\;[0,2),\;[0,2)\cup \mathbb {Q} ,\;(-2,2)\setminus \left\{1,{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{3}},{\tfrac {1}{4}},\ldots \right\}}$$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

ถ้าเป็นเซตย่อยเปิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้ว สำหรับทุก ๆจะเป็นย่านใกล้เคียงของใน โดยทั่วไปแล้ว ถ้าเป็นเซตใด ๆ และแทนส่วนภายในเชิงทอพอโลยีของในแล้วจะเป็นย่านใกล้เคียง (ใน) ของทุก ๆ จุดและยิ่งไปกว่านั้นจะไม่ใช่ย่านใกล้เคียงของจุดอื่นใด กล่าวอีกนัยหนึ่งจะเป็นย่านใกล้เคียงของจุดก็ต่อเมื่อ${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle u\in U,}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle N\subseteq X}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x\in \operatorname {int} _{X}N.}$

ฐานชุมชน

ในปริภูมิเชิงทอพอโลยีใดๆ ระบบย่านใกล้เคียงสำหรับจุดหนึ่งๆ ก็คือฐานย่านใกล้เคียงสำหรับจุดนั้นด้วยเช่นกัน เซตของย่านใกล้เคียงแบบเปิดทั้งหมดที่จุดหนึ่งๆ จะก่อให้เกิดฐานย่านใกล้เคียงที่จุดนั้น สำหรับจุดใดๆใน ปริภูมิ เมตริกลำดับของทรงกลมเปิดรอบๆ จุดนั้นโดยมีรัศมีจะก่อให้เกิดฐานย่านใกล้เคียง แบบ นับได้ซึ่งหมายความว่าปริภูมิเมตริกทุกปริภูมิสามารถ นับ ได้ เป็นอันดับแรก${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle 1/n}$${\displaystyle {\mathcal {B}}=\left\{B_{1/n}:n=1,2,3,\dots \right\}}$

เมื่อกำหนดปริภูมิที่มีโทโพโลยีแบบไม่ต่อเนื่องระบบเพื่อนบ้านสำหรับจุดใดๆจะประกอบด้วยปริภูมิทั้งหมดเท่านั้น ${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=\{X\}}$

ในโทโพโลยีแบบอ่อนบนปริภูมิของการวัดบนปริภูมิหนึ่ง ฐานของย่านใกล้เคียงเกี่ยวกับ จะกำหนดโดย โดย ที่เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ที่มีขอบเขตจาก ไปยังจำนวนจริง และเป็นจำนวนจริงบวก ${\displaystyle E,}$${\displaystyle \nu }$$${\displaystyle \left\{\mu \in {\mathcal {M}}(E):\left|\mu f_{i}-\nu f_{i}\right|<r_{i},\,i=1,\dots ,n\right\}}$$${\displaystyle f_{i}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle r_{1},\dots ,r_{n}}$

ปริภูมิเซมินอร์มและกลุ่มโทโพโลยี

ในปริภูมิเซมินอร์มซึ่งเป็น ปริภูมิ เวกเตอร์ที่มีโทโพโลยีที่เกิดจากเซมินอร์มระบบเพื่อนบ้านทั้งหมดสามารถสร้างขึ้นได้โดยการเลื่อนระบบเพื่อนบ้านสำหรับจุดกำเนิด $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)={\mathcal {N}}(0)+x.}$$

เนื่องจากตามสมมติฐาน การบวกเวกเตอร์มีความต่อเนื่องแยกกันในโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำ ดังนั้น โทโพโลยีจึงถูกกำหนดโดยระบบเพื่อนบ้านที่จุดกำเนิด โดยทั่วไปแล้ว สิ่งนี้ยังคงเป็นจริงเสมอเมื่อปริภูมิเป็นกลุ่มโทโพโลยีหรือโทโพโลยีถูกกำหนดโดยซูโดเมตริก

สมมติให้และเป็นฐานย่านใกล้เคียงสำหรับในทำให้เป็นเซตทิศทางโดยการเรียงลำดับบางส่วนโดยการรวมซูเปอร์เซตจากนั้นไม่ใช่ย่านใกล้เคียงของในก็ต่อเมื่อมีเน็ตที่มีดัชนีใน อยู่เช่นนั้นสำหรับทุก(ซึ่งหมายความว่าใน) ${\displaystyle u\in U\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \,\supseteq .}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}}$${\displaystyle X\setminus U}$${\displaystyle x_{N}\in N\setminus U}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}}$${\displaystyle \left(x_{N}\right)_{N\in {\mathcal {N}}}\to u}$${\displaystyle X}$

• ฐาน (โทโพโลยี)  – ชุดของเซตเปิดที่ใช้ในการกำหนดโทโพโลยี
• กรองตามเซต  – กลุ่มของเซตย่อยที่แสดงถึงเซตขนาดใหญ่
• ตัวกรองในทางโทโพโลยี  – การใช้ตัวกรองเพื่ออธิบายและจำแนกลักษณะแนวคิดและผลลัพธ์พื้นฐานทางโทโพโลยีทั้งหมด
• ปริภูมิเวกเตอร์เชิงทอพอโลยีแบบนูนเฉพาะที่  – ปริภูมิที่มีทอพอโลยีที่สร้างขึ้นจากเซตแบบนูน
• บริเวณใกล้เคียง (คณิตศาสตร์)  – เซตเปิดที่ประกอบด้วยจุดที่กำหนด
• ซับเบส  – กลุ่มของเซตย่อยที่สร้างโทโพโลยีขึ้นมา
• ย่านท่อ  – ย่านของท่อย่อย

• บูร์บากิ, นิโคลัส (1989) [1966] โทโพโลยีทั่วไป: บทที่ 1–4 [ Topologie Générale ] องค์ประกอบทางคณิตศาสตร์ . เบอร์ลินนิวยอร์ก: Springer Science & Business Media ไอเอสบีเอ็น 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129 .
• Dixmier, Jacques (1984). โทโพโลยีทั่วไป . ตำราเรียนคณิตศาสตร์ระดับปริญญาตรี. แปลโดย Berberian, SK นิวยอร์ก: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC  10277303 .
• วิลลาร์ด, สตีเฟน (2004) [1970]. โทโพโลยีทั่วไป . ไมเนโอลา, นิวยอร์ก : สำนักพิมพ์โดเวอร์ . ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC  115240 .