ในทางคณิตศาสตร์ตัวกรองบนเซตคือตระกูลของเซตย่อยซึ่งปิดภายใต้เซตใหญ่และการตัดกันแบบจำกัด แนวคิดนี้มีต้นกำเนิดมาจากโทโพโลยี ซึ่งบริเวณใกล้เคียงของจุดหนึ่งก่อให้เกิดตัวกรองบนปริภูมิ ตัวกรองได้รับการแนะนำโดยHenri Cartanในปี 1937 ^{[ 1 ] [ 2 ]}และดังที่ได้อธิบายไว้ในบทความที่อุทิศให้กับตัวกรองในโทโพโลยี ตัวกรองเหล่านี้ถูกนำมาใช้ในภายหลังโดยNicolas BourbakiในหนังสือTopologie Générale ของเขา ในฐานะทางเลือกแทนแนวคิดที่เกี่ยวข้องของเน็ตที่พัฒนาขึ้นในปี 1922 โดยEH MooreและHerman L. Smith ตัวกรอง เหล่านี้ยังพบการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีแบบจำลองและทฤษฎีเซต อีก ด้วย

ต่อมาตัวกรองบนเซตถูกขยายความไปเป็นตัวกรองลำดับโดยเฉพาะอย่างยิ่ง ตัวกรองบนเซตคือตัวกรองลำดับบนเซตกำลังของ เซต ที่เรียงลำดับตามการรวม ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

แนวคิดที่ว่าตัวกรองแบบคู่ขนานนั้นเป็นอุดมคติตัว กรอง อัลตร้าฟิลเตอร์เป็นตัวกรองประเภทหนึ่งที่มีความสำคัญเป็นพิเศษ

เมื่อกำหนดเซตตัวกรองบน​​คือเซตของเซตย่อยของเช่นนั้น: ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$เป็นการปิดขึ้นด้านบน : ถ้าเป็นเช่นนั้นและแล้ว,${\displaystyle A,B\subseteq X}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A\subseteq B}$${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$
• ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัด: , [ ^{a ] ​​,}และถ้าและแล้ว${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {F}}}$

เอตัวกรอง ที่เหมาะสม (หรือไม่เสื่อมสภาพ) คือตัวกรองที่เหมาะสมในฐานะเซตย่อยของเซตกำลัง(กล่าวคือ ตัวกรองที่ไม่เหมาะสมเพียงอย่างเดียวคือซึ่งประกอบด้วยเซตย่อยที่เป็นไปได้ทั้งหมด) โดยการปิดขึ้นด้านบน ตัวกรองจะเหมาะสมก็ต่อเมื่อมันไม่ประกอบด้วยเซตว่าง ^{[ 4 ]}ผู้เขียนหลายคนใช้ข้อตกลงว่าตัวกรองต้องเหมาะสมตามคำจำกัดความ ^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

เมื่อและเป็นตัวกรองสองตัวบนเซตเดียวกัน โดยที่ถือว่าหยาบกว่า^{[ 10 ]}กว่า(หรือเป็นซับฟิลเตอร์ของ) ในขณะที่ละเอียดกว่า^{[ 10 ]}กว่า(หรือ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\subseteq {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$อยู่ภายใต้หรือเป็นซูเปอร์ฟิลเตอร์ ^{[ 11 ]}ของ) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• เซตซิงเกิลตันเรียกว่า ตัวกรอง แบบไม่สำคัญหรือแบบไม่ต่อเนื่องบน^{[ 12 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{X\}}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเป็นเซตย่อยของ ซึ่ง เซตย่อยของเป็นเซตเหนือกว่าของจะก่อให้เกิด ตัว กรองหลัก^{[ 3 ]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$
• ถ้าเป็นพื้นที่โทโพโลยีและแล้วเซตของย่านใกล้เคียงของจะเป็นตัวกรองบน​​ตัวกรองย่านใกล้เคียง [ ^{13 ] หรือ}ตัวกรองบริเวณใกล้เคียง^{[ 14 ]}ของ${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$
• ตัวอย่างมากมายเกิดขึ้นจากเงื่อนไข "ขนาด" ที่หลากหลาย:
  • ถ้าเป็นเซต เซตของเซตย่อยโคไฟไนต์ ทั้งหมด ของ(กล่าวคือ เซตที่มีส่วนเติมเต็มในเป็นเซตจำกัด) จะเป็นตัวกรองบน​​ตัวกรอง Fréchet ^{[ 12 ] [ 15 ] [ 5 ]} (หรือตัวกรองโคไฟไนต์^{[ 13 ]} )${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
  • ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นเซตเซตย่อยที่นับได้ร่วมกันของ(เซตที่มีส่วนเติมเต็มที่นับได้) จะก่อให้เกิดตัวกรองตัวกรองที่นับได้ร่วมกัน^{[ 14 ]}ซึ่งละเอียดกว่าตัวกรอง Fréchet โดยทั่วไปแล้ว สำหรับจำนวนเชิงคาร์ดินัล ใดๆ เซตย่อยที่มีส่วนเติมเต็มที่มีจำนวนเชิงคาร์ดินัลไม่เกิน จะก่อให้เกิดตัวกรอง${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$
  • ถ้าเป็นปริภูมิเมตริก เช่นเซตย่อยที่มีขอบเขตร่วมกันของ(เซตที่มีส่วนเติมเต็มเป็นเซตที่มีขอบเขต ) จะสร้างตัวกรองบน^{​​[ 16 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
  • ถ้าเป็นปริภูมิการวัดที่สมบูรณ์ (เช่น ปริภูมิ ที่มีการวัดแบบเลเบส ) เซตย่อย โคนัลของกล่าวคือ เซตย่อยที่มีส่วนเติมเต็มมีการวัดเป็นศูนย์ จะก่อให้เกิดตัวกรองบน​​(สำหรับปริภูมิการวัดที่ไม่สมบูรณ์ เราสามารถเลือกเซตย่อยซึ่งแม้จะไม่จำเป็นต้องวัดได้ แต่ก็บรรจุอยู่ในเซตย่อยที่วัดได้ซึ่งมีการวัดเป็นศูนย์)${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
  • ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นปริภูมิการวัดเซตย่อยที่มีส่วนเติมเต็มอยู่ในเซตย่อยที่วัดได้ซึ่งมีการวัดจำกัด จะก่อให้เกิดตัวกรองบน${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
  • ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เซต ย่อย comeagerของกล่าวคือ เซตย่อยที่มีส่วนเติมเต็มเป็นmeagerจะก่อให้เกิดตัวกรองบน${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
  • เซตย่อยที่มีความหนาแน่นตามธรรมชาติเท่ากับ 1 จะสร้างตัวกรองบน^{​​[ 17 ]}${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} }$
• ตัวกรองคลับของจำนวนนับไม่ถ้วนปกติ คือตัวกรองของเซตทั้งหมดที่ประกอบด้วยเซตย่อยคลับของ จำนวนนับ นั้น${\displaystyle \kappa }$${\displaystyle \kappa }$
• ถ้าเป็นตระกูลของตัวกรองบน​​และเป็นตัวกรองบน​​แล้ว ก็คือตัวกรองบน​​ที่เรียกว่าตัวกรองของ Kowalsky ^{[ 18 ]}${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {J}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \bigcup _{A\in {\mathcal {J}}}\bigcap _{i\in A}{\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle X}$

เคอร์เนลของฟิลเตอร์บนคือจุดตัดของเซตย่อยทั้งหมดของ ใน${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

ตัวกรองบนหลัก^{[ 3 ]} (หรืออะตอมิก^{[ 13 ]} ) เมื่อมีรูปแบบที่เรียบง่ายเป็นพิเศษ: ประกอบด้วยซูเปอร์เซตของสำหรับซับเซตคงที่บางเซตเมื่อสิ่งนี้จะให้ตัวกรองที่ไม่เหมาะสม เมื่อเป็นเซตเดี่ยว ตัวกรองนี้ (ซึ่งประกอบด้วยซับเซตทั้งหมดที่มี) เรียกว่าตัวกรองพื้นฐาน^{[ 3 ]} (หรือตัวกรองแบบไม่ต่อเนื่อง^{[ 19 ]} ) ที่ เกี่ยวข้องกับ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle Y=\varnothing }$${\displaystyle Y=\{y\}}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$

ตัวกรองจะเป็นตัวกรองหลักก็ต่อเมื่อเคอร์เนลของเป็นองค์ประกอบของและเมื่อเป็นเช่นนั้นตัวกรองจะประกอบด้วยซูเปอร์เซตของเคอร์เนล^{[ 20 ]}บนเซตจำกัด ตัวกรองทุกตัวเป็นตัวกรองหลัก (เนื่องจากการตัดกันที่กำหนดเคอร์เนลเป็นเซตจำกัด) ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

ตัวกรองจะเรียกว่าเป็นอิสระเมื่อมีเคอร์เนลว่างเปล่า มิฉะนั้นจะเรียกว่าคงที่ (และถ้าเป็นองค์ประกอบของเคอร์เนล จะ^{เรียก}ว่าคงที่โดย ) ^{[ 21 ]}ตัวกรองบนเซตจะเป็นอิสระก็ต่อเมื่อมีตัวกรอง Fréchetบน[ ^{22 ]}${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ตัวกรองสองตัวและบนตาข่ายเมื่อสมาชิกทุกตัวของตัดกับสมาชิกทุกตัวของ[ ^{23 ] สำหรับ}ตัวกรองทุกตัวบนจะมีคู่ตัวกรองที่ไม่ซ้ำกัน( ส่วนอิสระของ) และ( ส่วนหลักของ) บนโดยที่เป็นอิสระเป็นส่วนหลักและไม่สร้างตาข่ายกับส่วนหลักคือตัวกรองหลักที่สร้างโดยเคอร์เนลของและส่วนอิสระประกอบด้วยองค์ประกอบของโดยอาจมีการลบองค์ประกอบจำนวนใดก็ได้จากเคอร์เนล^{[ 22 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}\cap {\mathcal {F}}_{p}={\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{p}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{f}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

ตัวกรองจะมีความลึกนับได้ก็ต่อเมื่อเคอร์เนลของเซตย่อยที่นับได้ใดๆ ของเป็น ส่วนหนึ่ง ของ^{[ 14 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

แนวคิดของตัวกรองบนเซตเป็นกรณีพิเศษของแนวคิดทั่วไปของตัวกรองบนเซตที่มีลำดับบางส่วนตามคำนิยาม ตัวกรองบนเซตที่มีลำดับบางส่วน คือเซตย่อยของ เซต ที่มีการปิดขึ้นด้านบน (ถ้าและจากนั้น) และมีทิศทางลงด้านล่าง (เซตย่อยจำกัดทุกเซตของเซตมีขอบล่างในเซต) ตัวกรองบนเซตนั้นเหมือนกับตัวกรองบนเซตกำลังที่เรียงลำดับโดยการรวม^{[ b ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle y\in {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$

ถ้าเป็นตระกูลของตัวกรองบน​​การตัดกันของมันคือตัวกรองบน​​การตัดกันเป็นการ ดำเนินการ ขอบล่างที่ใหญ่ที่สุดในเซตของตัวกรองบนที่เรียงลำดับบางส่วนโดยการรวม ซึ่งทำให้ตัวกรองบนมีโครงสร้างแลตทิซที่สมบูรณ์^{[ 14 ] [ 24 ]}${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

จุดตัดประกอบด้วยเซตย่อยซึ่งสามารถเขียนได้เป็น โดยที่สำหรับแต่ละ ${\displaystyle \bigcap _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle i\in I}$

เมื่อกำหนดตระกูลของเซตย่อยจะมีตัวกรองขั้นต่ำบน(ในความหมายของการรวม) ซึ่งมี อยู่สามารถสร้างเป็นการตัดกัน (ขอบล่างที่มากที่สุด) ของตัวกรองทั้งหมดบน ที่มี อยู่ตัวกรองนี้เรียกว่าตัวกรองที่สร้างโดยและกล่าวได้ว่าเป็น ฐานย่อย ของตัวกรองของ^{[ 25 ]}${\displaystyle {\mathcal {S}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$

ตัวกรองที่สร้างขึ้นสามารถอธิบายได้ชัดเจนยิ่งขึ้น: ได้รับจากการปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัด จากนั้นขึ้นไปข้างบน กล่าวคือประกอบด้วยเซตย่อยที่สำหรับบางค่า^{[ 11 ]}${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle A_{0}\cap \dots \cap A_{n-1}\subseteq Y}$${\displaystyle A_{0},\dots ,A_{n-1}\in {\mathcal {B}}}$

เนื่องจากการดำเนินการเหล่านี้รักษาเคอร์เนลไว้ จึงสรุปได้ว่าเป็นตัวกรองที่เหมาะสมก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัดกล่าวคือ การตัดกันของกลุ่มย่อยแบบจำกัดของไม่ว่างเปล่า^{[ 16 ]}${\displaystyle \langle {\mathcal {S}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

ในแลตติซที่สมบูรณ์ของตัวกรองที่เรียงลำดับตามการรวมขอบเขตบนที่น้อยที่สุดของตระกูลตัวกรองคือตัวกรองที่สร้างโดย^{[ 20 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle \bigcup _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$

ตัวกรองสองตัวและบนตาข่ายก็ต่อเมื่อเหมาะสม เท่านั้น ^{[ 23 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{2}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}_{1}\cup {\mathcal {F}}_{2}\rangle }$

ให้เป็นตัวกรองบน​​ฐานตัวกรองของคือตระกูลของเซตย่อยโดยที่เป็นการปิดขึ้นของ^{กล่าว}คือประกอบด้วยเซตย่อยเหล่านั้นซึ่งสำหรับบาง^{[ 6} ]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle A\subseteq Y}$${\displaystyle A\in {\mathcal {B}}}$

การปิดขึ้นด้านบนนี้เป็นตัวกรองก็ต่อเมื่อเป็นทิศทางลง กล่าวคือไม่ว่างเปล่า และสำหรับทุก ๆจะมีอยู่เช่นนั้น[ ^{6 ] [ 13 ] เมื่อ}เป็นเช่นนี้จะถูกเรียกว่าตัวกรองล่วงหน้าและการปิดขึ้นด้านบนก็เท่ากับตัวกรองที่สร้างขึ้น[ ^{16 ] ดังนั้น}การเป็นฐานตัวกรองของจึงเป็นคุณสมบัติที่แข็งแกร่งกว่าการเป็นฐานย่อยตัวกรองของ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle A,B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \langle {\mathcal {B}}\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

• เมื่อเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และฐานตัวกรองของตัวกรองย่านใกล้เคียงของเรียกว่าฐานย่านใกล้เคียงสำหรับและในทำนองเดียวกัน ฐานย่อยตัวกรองของตัวกรองย่านใกล้เคียงของเรียกว่าฐานย่อยย่านใกล้เคียงสำหรับ ย่านใกล้เคียง แบบเปิดของจะก่อให้เกิดฐานย่านใกล้เคียงสำหรับ เสมอตามนิยามของตัวกรองย่านใกล้เคียง ในลูกบอลปิดที่มีรัศมีเป็นบวกโดยรอบก็จะก่อให้เกิดฐานย่านใกล้เคียงสำหรับเช่นกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$
• ให้เป็นเซตอนันต์ และให้ประกอบด้วยเซตย่อยของซึ่งมีจุดทั้งหมด ยกเว้นจุดเดียว แล้วเป็นฐานย่อยของตัวกรอง Fréchetบนซึ่งประกอบด้วยเซตย่อยโคไฟไน ต์ การปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัด คือ ตัวกรอง Fréchet ทั้งหมด แต่มีฐานที่เล็กกว่าของตัวกรอง Fréchet ซึ่งประกอบด้วยฐานย่อยเช่น ฐานที่เกิดจากเซตย่อยของซึ่งมีจุดทั้งหมด ยกเว้นจำนวนคี่จำกัด อันที่จริง สำหรับทุกฐานของตัวกรอง Fréchet การลบเซตย่อยใดๆ จะทำให้ได้ฐานอื่นของตัวกรอง Fréchet${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$
• ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เซตเปิดหนาแน่นของจะก่อให้เกิดฐานตัวกรองบน​​เนื่องจากเซตเหล่านั้นปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัด ตัวกรองที่พวกมันสร้างขึ้นประกอบด้วยส่วนเติมเต็มของเซตที่ไม่หนาแน่นที่ใดเลยบน การจำกัดให้เหลือเฉพาะ เซตเปิดหนาแน่นที่ เป็นศูนย์จะได้ฐานตัวกรองอีกฐานหนึ่งสำหรับตัวกรองเดียวกัน${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$
• ในทำนองเดียวกัน ถ้าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี การตัดกันที่นับได้ของเซตย่อยเปิดหนาแน่นจะก่อให้เกิดฐานตัวกรองซึ่งสร้างตัวกรองของเซตย่อยโคเอเจอร์${\displaystyle X}$
• ให้เป็นเซต และให้เป็นเน็ตที่มีค่าใน กล่าวคือ เป็นตระกูลที่มีโดเมนเป็นเซตทิศทาง ฐานตัวกรองของหางของประกอบด้วยเซตสำหรับ; มันปิดลงด้านล่างโดยทิศทางของตัวกรองที่สร้างขึ้นเรียกว่าตัวกรองเหตุการณ์หรือตัวกรองของหางของตัวกรองลำดับ^{[ 26 ]}หรือ${\displaystyle X}$${\displaystyle (x_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle \{x_{j},j\geq i\}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle I}$${\displaystyle (x_{n})}$ตัวกรองพื้นฐานคือตัวกรองที่เป็นตัวกรองความเป็นไปได้ของเน็ตบางเน็ต ตัวอย่างนี้เป็นพื้นฐานในการประยุกต์ใช้ตัวกรองในโทโพโลยี ^{[ 13 ] [ 27 ]}
• ทุกระบบ πเป็นฐานตัวกรอง

ถ้าเป็นตัวกรองบน​​และร่องรอยของบนคือซึ่งเป็นตัวกรอง^{[ 15 ]}${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle \{A\cap Y,A\in {\mathcal {F}}\}}$

ให้เป็นฟังก์ชัน ${\displaystyle f:X\to Y}$

เมื่อเป็นตระกูลของเซตย่อยของ ภาพของ ตระกูลนั้นโดยจะถูกกำหนดดังนี้ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$

$${\displaystyle f({\mathcal {F}})=\{\{f(x),x\in A\},A\in {\mathcal {F}}\}}$$

ตัวกรองภาพโดยตัวกรองบนถูกกำหนดให้เป็นตัวกรองที่สร้างขึ้น[ ^{28 ] ถ้า}เป็นฟังก์ชันทั่วถึง แสดงว่าเป็นตัวกรองอยู่แล้ว ในกรณีทั่วไปเป็นฐานตัวกรอง ดังนั้น จึงเป็นการปิดขึ้นด้านบน^{[ 29 ]}ยิ่งไปกว่านั้น ถ้าเป็นฐานตัวกรองของแล้วเป็นฐานตัวกรองของ ${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$${\displaystyle f({\mathcal {F}})}$${\displaystyle \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle f({\mathcal {B}})}$${\displaystyle \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$

แกนหลักของและเชื่อมโยงกันด้วย ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$${\displaystyle f\left(\bigcap {\mathcal {F}}\right)\subseteq \bigcap \langle f({\mathcal {F}})\rangle }$

เมื่อกำหนดตระกูลของเซตและตัวกรองบนแต่ละเซตตัวกรองผลคูณบนเซตผลคูณจะถูกกำหนดให้เป็นตัวกรองที่สร้างขึ้นโดยเซตสำหรับและโดยที่คือการฉายภาพจากเซตผลคูณไปยังส่วนประกอบที่ -th ^{[ 12 ] [ 30 ]}โครงสร้างนี้คล้ายกับโทโพโลยีผลคูณ ${\displaystyle (X_{i})_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}X_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}^{-1}(A)}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle A\in {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle \pi _{i}:\left(\prod _{j\in I}X_{j}\right)\to X_{i}}$${\displaystyle i}$

ถ้าแต่ละอันเป็นฐานตัวกรองบน​​ฐานตัวกรองของจะกำหนดโดยเซตโดยที่เป็นตระกูลที่สำหรับทุกและสำหรับทุก ยกเว้นจำนวนจำกัด^{[ 12 ] [ 31 ]}${\displaystyle {\mathcal {B}}_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}{\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle \prod _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle (A_{i})}$${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {F}}_{i}}$${\displaystyle i\in I}$${\displaystyle A_{i}=X_{i}}$${\displaystyle i\in I}$

• รากฐานเชิงสัจพจน์ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีสำหรับนิยามของปริภูมิเชิงทอพอโลยีในแง่ของตัวกรอง
• ตัวกรองในทางโทโพโลยี  – การใช้ตัวกรองเพื่ออธิบายและจำแนกลักษณะแนวคิดและผลลัพธ์พื้นฐานทางโทโพโลยีทั้งหมด
• ปริภูมิการบรรจบกัน (Convergence space ) คือการขยายแนวคิดของปริภูมิเชิงทอพอโลยีโดยใช้ตัวกรอง (Filters)
• ตัวกำหนดปริมาณตัวกรอง
• อัลตร้าฟิลเตอร์  – ตัวกรองคุณภาพสูงสุด
• ตัวกรองทั่วไป (Generic filter ) คือตัวกรองชนิดหนึ่งที่ใช้ในการบังคับ เชิงเซต (set-theoretic forcing)