ในทางคณิตศาสตร์เซตบน ของเซตที่มีลำดับบางส่วนคือเซตย่อยที่มีคุณสมบัติว่า ถ้าsอยู่ในSและถ้าxในXมีค่ามากกว่าsแล้วxก็อยู่ในS ด้วย ส่วน เซตล่างนั้นนิยามในทำนองเดียวกัน คือเป็นเซตย่อยSของXที่มีคุณสมบัติว่า สมาชิกx ใดๆ ในXที่อยู่หน้าสมาชิกของSจะต้องเป็นสมาชิกของS ด้วยเช่น กัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

เซตบนและเซตล่างเป็นที่รู้จักกันในชื่ออื่นๆ อีกมากมาย เซตบนอาจเรียกว่าเซตปิดขึ้นเซตขึ้นเซตไอโซโทนหรือตัวกรองลำดับในขณะที่เซตล่างอาจเรียกว่าเซตปิดลงเซตลงเซตลดลงกึ่งอุดมคติหรืออุดมคติลำดับ [ ^{1 ] [ 2 ] อย่างไรก็ตาม} คำว่า "อุดมคติลำดับ" และ "ตัวกรองลำดับ" ยังใช้สำหรับแนวคิดที่จำกัดมากขึ้นอีกด้วย^{[ 3 ]}

ให้เป็นเซตที่มีลำดับล่วงหน้า (เหมือนกับเซตที่มีลำดับบางส่วน ยกเว้นข้อกำหนดที่บ่งชี้ว่าถูกตัดออกไป) ${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle x\leq y,\,y\leq x}$${\displaystyle x=y}$

เซตบนใน(เรียกอีกอย่างว่า เซต ปิดขึ้นเซตขึ้นเซตเพิ่มขึ้นหรือเซตไอโซโทน ) ^{[ 1 ]}คือเซตย่อยที่ "ปิดภายใต้การขึ้น" ในความหมายต่อไปนี้: สำหรับทุกในและในถ้าแล้วอยู่ใน ${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle u}$${\displaystyle U}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle u\leq x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$

แนวคิดคู่ขนานคือเซตที่ต่ำกว่า (เรียกอีกอย่างว่าเซตปิดลงเซตลงเซตลดลงหรือเซมิไอเดียล ) ซึ่งเป็นเซตย่อยที่ "ปิดเมื่อลง": สำหรับทุก ๆในและทุก ๆในถ้าแล้วจะอยู่ใน${\displaystyle L}$${\displaystyle l}$${\displaystyle L}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\leq l}$${\displaystyle x}$${\displaystyle L.}$

บางครั้ง คำว่าorder idealถูกใช้เป็นคำพ้องความหมายกับ lower set ^{[ 4 ] [ 2 ] [ 5 ]}อย่างไรก็ตาม โดย ทั่วไปแล้ว idealยังถูกนิยามอย่างเฉพาะเจาะจงว่าเป็น lower set ที่มีทิศทางขึ้น [ ^{3 ] [ 6 ] ใน}ทางกลับกันfilterคือ upper set ที่มีทิศทางลง (นั่นคือ ทุก subset จำกัดจะมีขอบเขตล่าง)

สำหรับเซตที่มีลำดับที่ดีเซตย่อยมักเรียกว่าส่วนเริ่มต้น

คุณสมบัติต่อไปนี้ระบุไว้ในแง่ของเซตบน และคุณสมบัติคู่ขนานที่สอดคล้องกันสำหรับเซตล่างก็ยังคงใช้ได้เช่นกัน

• ชุดที่สั่งจองล่วงหน้าทุกชุดถือเป็นชุดที่เหนือกว่าชุดอื่นๆ
• จุดตัดและจุดรวมของกลุ่มเซตบนใดๆ ก็ตาม ก็จะได้เซตบนเช่นกัน
• ส่วนเติมเต็มของเซตบนคือเซตล่าง และในทางกลับกัน
• เมื่อกำหนดเซตที่มีลำดับบางส่วนกลุ่มของเซตบนที่มีลำดับพร้อม ความสัมพันธ์ การรวมจะเป็นแลตทิซที่สมบูรณ์ซึ่งเรียกว่าแลตทิซเซตบน${\displaystyle (X,\leq ),}$${\displaystyle X}$
• เซตบนทุกเซตของเซตที่มีลำดับบางส่วนจำกัดจะเท่ากับเซตบนที่เล็กที่สุดซึ่งประกอบด้วยสมาชิกขั้นต่ำ ทั้งหมด ของเซตนั้น${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y.}$
• สำหรับลำดับบางส่วนที่สอดคล้องกับเงื่อนไขลูกโซ่จากบนลงล่างแอนติเชนและเซตบนจะจับคู่กันแบบหนึ่งต่อหนึ่งผ่านการจับคู่แบบ หนึ่งต่อหนึ่งดังต่อไปนี้ : แมปแอนติเชนแต่ละตัวไปยังส่วนปิดบนของมัน (ดูด้านล่าง); ในทางกลับกัน แมปเซตบนแต่ละตัวไปยังเซตขององค์ประกอบที่เล็กที่สุดของมัน การจับคู่นี้ไม่เป็นจริงสำหรับลำดับบางส่วนที่ทั่วไปกว่านี้ ตัวอย่างเช่น เซตของจำนวนจริง และต่างก็ถูกแมปไปยังแอนติเชนว่าง${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>0\}}$${\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :x>1\}}$

เซตบนและเซตล่างปรากฏอยู่ในสาขาต่างๆ ของคณิตศาสตร์

• ในเซตที่มีลำดับสมบูรณ์ของจำนวนจริง เซตล่างประกอบด้วย "รังสีซ้าย" เช่นและรวมถึงเซตว่างและเซตทั้งหมด เซตบนประกอบด้วย "รังสีขวา" เช่นและ${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle (-\infty ,3]}$${\displaystyle (-\infty ,5)}$${\displaystyle \emptyset }$${\displaystyle (3,\infty )}$${\displaystyle [5,\infty )}$
• ในการวิเคราะห์เชิงจริงจำนวนจริงมักถูกนิยามว่าเป็นDedekind cutโดยนิยามแล้ว Dedekind cut คือเซตย่อยล่างแท้ที่ไม่ว่างของ จำนวนจริง และไม่มีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด${\displaystyle \mathbb {Q} }$
• ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี และเป็นจุด ในปริภูมินั้น ให้เป็นเซตของย่านใกล้เคียงทั้งหมด (ไม่จำเป็นต้องเป็นย่านเปิด) ของ จุด แล้วเป็นเซตบนในเซตกำลังของที่เรียงลำดับโดยการรวม เนื่องจากเซตใดๆ ที่ประกอบด้วยย่านใกล้เคียงของจุด ก็เป็นย่านใกล้เคียงของจุดนั้นด้วย${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle F}$${\displaystyle X}$
• ตัวกรอง ใดๆบนเซต จะเป็นเซตบนในเซตกำลังที่เรียงลำดับตามการรวม ตัวอย่างก่อนหน้านี้เกี่ยวกับตัวกรองบริเวณใกล้เคียงของจุดในปริภูมิเชิงทอพอโลยีเป็นตัวอย่างหนึ่งของเรื่องนี้${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$
• คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรม - เซตตระกูลที่ปิดลงด้านล่างโดยสัมพันธ์กับการบรรจุ

เมื่อกำหนดสมาชิกของเซตที่มีลำดับก่อนหน้าแล้วการปิดด้านบนหรือการปิดขึ้นด้านบนของ สมาชิกนั้น จะถูกกำหนดโดย ${\displaystyle x}$${\displaystyle (X,\leq ),}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \uparrow \!x=\{u\in X:x\leq u\}}$

ในขณะที่การ ปิดด้านล่างหรือการปิดลงด้านล่างโดย${\displaystyle x}$

${\displaystyle \downarrow \!x=\{l\in X:l\leq x\}.}$^{[ 7 ]}

เซตบนและเซตล่างของรูปแบบและเรียกว่าเซตหลักส่วนปิดบนขององค์ประกอบนั้นก็คือสิ่งเดียวกันกับตัวกรองหลักที่สร้างขึ้นโดยองค์ประกอบนั้น เนื่องจากมีทิศทางลงเช่นกัน ${\displaystyle \uparrow \!x}$${\displaystyle \downarrow \!x}$

โดยทั่วไปแล้ว เมื่อกำหนดเซตย่อยการปิดบนและการปิดล่างของจะถูกกำหนดเป็น และตามลำดับ^{[ 7 ]}โดยจะเป็นเซตบนและเซตล่างที่เล็กที่สุดที่บรรจุการปิดบนและการปิดล่าง เมื่อมองในฐานะฟังก์ชันจากเซตกำลังของไปยังตัวมันเอง ถือเป็นตัวอย่างของ ตัวดำเนินการปิดของ Kuratowskiดังนั้น การปิดบนของเซต จึงเท่ากับการตัดกันของเซตบนทั้งหมดที่บรรจุเซตนั้น และในทำนองเดียวกันสำหรับเซตล่าง ${\displaystyle A\subset X,}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \uparrow \!A=\bigcup _{a\in A}\uparrow \!a}$${\displaystyle \downarrow \!A=\bigcup _{a\in A}\downarrow \!a}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$

ในทฤษฎีหมวดหมู่ poset สามารถถูกมองว่าเป็นหมวดหมู่ได้ (และมักจะเป็นเช่นนั้น) โดยการเขียนมอร์ฟิซึมก็ต่อเมื่อ จากนั้นการปิดล่างจะสอดคล้องกับหมวดหมู่ sliceเหนือในขณะที่การปิดบนที่อยู่ภายใต้^{[ 8 ]}${\displaystyle x\to y}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle \downarrow x}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x}$

ให้เป็นเซตลำดับ จากนั้นเราจะมี^{[ 9 ]}${\displaystyle X}$

${\displaystyle \eta :X\hookrightarrow {\mathfrak {P}}(X)}$

โดยที่คือเซตกำลังของและคือส่วนปิดล่างของแผนที่นี้เป็นการฝังตัวในแง่ที่ว่ามันเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและโมโนโทน: ${\displaystyle {\mathfrak {P}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \eta (x)={\downarrow \!x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \eta }$

${\displaystyle x\leq y\Longleftrightarrow {\downarrow \!x}\subseteq {\downarrow \!y}.}$^{[ 10 ]}

ดังนั้น โครงสร้างข้างต้นจึงสามารถใช้แทนการเรียงลำดับที่กำหนดโดยการรวมเซต และยังให้ข้อดีต่างๆ เช่น ขอบเขตบนที่น้อยที่สุดมีอยู่เสมอ (อาจอยู่นอกภาพของ) กล่าวคือ การรวมกัน ตัวอย่างเช่น เทคนิคนี้สามารถใช้เพื่อลดการพิสูจน์ของเลมมาของ Zornให้เป็นกรณีของเซตโพเซต^{[ 11 ]}${\displaystyle \eta }$

ตามที่ Paul Taylor ชี้ให้เห็นข้างต้นนั้นเป็นอนาล็อกของการฝังตัวในเลมมา Yonedaในทฤษฎีหมวดหมู่^{[ 12 ] [ 13 ]}${\displaystyle \eta }$

ภาพของlies อยู่ในเซตของเซตล่างทั้งหมดใน. แต่โดยเฉพาะอย่างยิ่ง มันอยู่ในเซตของเซตล่างแบบ มี ทิศทาง ทั้งหมด (ไอเดียล) ซึ่งแสดงด้วย และเรียกว่าการเติมเต็มไอเดียลของ. ^{[ 14 ]}จากนั้นs เป็นไปตามคุณสมบัติสากลที่ทำให้เป็นฟังก์ชันอิสระในความหมาย: มันเป็นฟังก์ชันผกผันซ้ายของฟังก์ชันลืมจากหมวดหมู่ของdcposไปยังหมวดหมู่ของ posets ^{[ 15 ]}${\displaystyle \eta }$${\displaystyle X}$${\displaystyle I(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \eta :X\hookrightarrow I(X)}$${\displaystyle I}$

กล่าวกันว่าฟังก์ชันระหว่างโพเซตเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบสก็อตต์หากเป็นฟังก์ชันเอกภาค (รักษาไว้) และรักษาค่าสูงสุดแบบมีทิศทาง^{[ 16 ]}จากนั้นโพเซตจะมีโทโพโลยีที่เซตย่อยเป็นเซตเปิดก็ต่อเมื่อฟังก์ชันลักษณะเฉพาะบนเป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแบบสก็อตต์ โทโพโลยีนี้เรียกว่าโทโพโลยีสก็อตต์กล่าวคือ เซตเปิดในโทโพโลยีนี้คือเซตบนที่ถ้าสำหรับเซตแบบมีทิศทางแล้วจะอยู่ในสำหรับบางค่า[ ^{17 ] แนวคิด}ในที่นี้คือค่าสูงสุดสอดคล้องกับการประมาณที่ดีที่สุด ดังนั้นหากมีการประมาณที่ดีที่สุดอยู่ในเซต การประมาณแบบจำกัดบางอย่างก็จะอยู่ในเซตนั้นแล้ว ${\displaystyle \leq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \textstyle \sup _{i}x_{i}\in U}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle i}$

โทโพโลยีแบบสกอตต์ปรากฏให้เห็นอย่างเด่นชัดในทฤษฎีโดเมนซึ่งเป็นสาขาหนึ่งของทฤษฎีลำดับที่มีความเชื่อมโยงอย่างแน่นหนากับวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ เช่นเดียวกับโทโพโลยีแบบซาริสกีที่ใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิต โทโพโลยีแบบสกอตต์เป็นตัวอย่างสำคัญของปริภูมิโทโพโลยีที่ไม่ใช่แบบเฮาส์ดอร์ฟ

เซตของเซตล่างทั้งหมดของโพเซตที่กำหนดสามารถเรียงลำดับได้โดยการรวม โพเซตที่ได้ ซึ่งแทนด้วยเป็น แล ตทิซ (หมายความว่าทุกเซตย่อยของมีขอบเขตบนน้อยที่สุดและขอบเขตล่างมากที่สุด) และเป็นแลตทิซแบบกระจาย (หมายความว่าการดำเนินการสองอย่างคือขอบเขตบนน้อยที่สุดและขอบเขตล่างมากที่สุดกระจายซึ่งกันและกัน) ทฤษฎีบทการแทนของเบิร์คฮอฟฟ์ยืนยันว่าแลตทิซแบบกระจายจำกัดทุกตัวเกิดขึ้น (จนถึงไอโซมอร์ฟิซึม) ในลักษณะนี้เช่นเดียวกับแลตทิซของเซตล่างของโพเซตจำกัดที่ไม่ซ้ำกัน ${\displaystyle P}$${\displaystyle J(P)}$${\displaystyle J(P)}$

• เซตโคฟินัล – เซตย่อยของเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งประกอบด้วยสมาชิกทุกตัว และสมาชิกบางตัวโดยที่${\displaystyle U}$${\displaystyle (X,\leq )}$${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x\leq y.}$

• โทโพโลยีระดับบน