ใน ทางคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ( combinatorics ) คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลนามธรรม (ASC) ซึ่งมักเรียกว่าคอมเพล็กซ์นามธรรมหรือเพียงแค่คอมเพล็กซ์คือตระกูลของเซตที่ปิดภายใต้การเลือกเซตย่อยกล่าวคือ เซตย่อยทุกเซตของเซตในตระกูลก็อยู่ในตระกูลด้วยเช่นกัน เป็นคำอธิบายเชิงการจัดเรียงล้วนๆ ของแนวคิดทางเรขาคณิตของคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล [ ^{1 ] ตัวอย่าง}เช่น ในคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล 2 มิติ เซตในตระกูลคือสามเหลี่ยม (เซตขนาด 3) ขอบของสามเหลี่ยม (เซตขนาด 2) และจุดยอดของสามเหลี่ยม (เซตขนาด 1)

ในบริบทของmatroidsและgreedoidsคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลนามธรรมยังเรียกว่าระบบอิสระอีก ด้วย ^{[ 2 ]}

สามารถศึกษาซิมเพล็กซ์นามธรรมได้ด้วยวิธีทางพีชคณิตโดยการสร้างวงแหวนสแตนลีย์-ไรส์เนอร์ซึ่งเป็นการสร้างความสัมพันธ์อันทรงพลังระหว่างคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงและพีชคณิตเชิงสลับเปลี่ยน

กลุ่มΔของเซตย่อยจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าของเซตSเรียกว่า เซตแฟมิลี

กลุ่มเซตΔเรียกว่าคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมถ้าสำหรับทุกเซตXในΔและทุกเซตย่อยที่ไม่ว่างY ⊆ XเซตYก็เป็นสมาชิกของΔ ด้วยเช่น กัน

เซตจำกัดที่อยู่ในΔเรียกว่าหน้าของคอมเพล็กซ์ และหน้าYกล่าวได้ว่าอยู่ในหน้าX อีกหน้าหนึ่ง ถ้าY ⊆ Xดังนั้น นิยามของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมสามารถกล่าวใหม่ได้ว่า ทุกหน้าของหน้าของคอมเพล็กซ์Δนั้นเป็นหน้าของΔ เอง เซตจุดยอดของΔถูกกำหนดให้เป็นV (Δ) = ∪Δซึ่งเป็นการรวมกันของทุกหน้าของΔสมาชิกของเซตจุดยอดเรียกว่าจุดยอดของคอมเพล็กซ์ สำหรับทุกจุดยอดvของΔเซต { v } เป็นหน้าของคอมเพล็กซ์ และทุกหน้าของคอมเพล็กซ์เป็นเซตย่อยจำกัดของเซตจุดยอด

หน้าสูงสุดของΔ (กล่าวคือ หน้าที่ไม่ใช่เซตย่อยของหน้าอื่นใด) เรียกว่าหน้า ของ คอมเพล็กซ์มิติของหน้าXในΔถูกกำหนดโดยdim( X ) = | X | − 1 : หน้าที่ประกอบด้วยองค์ประกอบเดียวจะมีมิติเป็นศูนย์ หน้าที่ประกอบด้วยสององค์ประกอบจะมีมิติเป็นหนึ่ง เป็นต้นมิติของคอมเพล็กซ์dim(Δ)ถูกกำหนดให้เป็นมิติที่ใหญ่ที่สุดของหน้าใดๆ ของมัน หรืออนันต์หากไม่มีขอบเขตจำกัดสำหรับมิติของหน้า

กล่าวได้ว่า คอมเพล็กซ์Δเป็นคอมเพล็กซ์จำกัดหากมีจำนวนหน้าจำกัด หรือเทียบเท่ากับเซตของจุดยอดจำกัด นอกจากนี้Δยังเรียกว่าเป็นคอมเพล็กซ์บริสุทธิ์หากมีมิติจำกัด (แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นจำกัด) และทุกหน้ามีมิติเท่ากัน กล่าวอีกนัยหนึ่งΔเป็นคอมเพล็กซ์บริสุทธิ์ หากdim(Δ)เป็นค่าจำกัด และทุกหน้าบรรจุอยู่ในหน้าที่มีมิติdim(Δ )

คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลนามธรรมหนึ่งมิติเทียบเท่าทางคณิตศาสตร์กับกราฟแบบไม่มีทิศทางอย่างง่าย : เซตของจุดยอดของคอมเพล็กซ์สามารถมองได้ว่าเป็นเซตของจุดยอดของกราฟ และด้านสององค์ประกอบของคอมเพล็กซ์สอดคล้องกับขอบแบบไม่มีทิศทางของกราฟ ในมุมมองนี้ ด้านหนึ่งองค์ประกอบของคอมเพล็กซ์สอดคล้องกับจุดยอดโดดเดี่ยวที่ไม่มีขอบเชื่อมต่อใดๆ

ซับคอมเพล็กซ์ของΔคือซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์นามธรรมLซึ่งทุกหน้าของLเป็นส่วนหนึ่งของΔกล่าวคือL ⊆ ΔและLเป็นซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์นามธรรม ซับคอมเพล็กซ์ที่ประกอบด้วยเซตย่อยทั้งหมดของหน้าเดียวของΔมักเรียกว่าซิมเพล็กซ์ของΔ (อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางคนใช้คำว่า "ซิมเพล็กซ์" สำหรับหน้า หรือใช้ในความหมายที่กำกวมสำหรับทั้งหน้าและซับคอมเพล็กซ์ที่เกี่ยวข้องกับหน้า โดยเปรียบเทียบกับ ศัพท์เฉพาะของ ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ที่ ไม่ใช่นามธรรม (เรขาคณิต) เพื่อหลีกเลี่ยงความกำกวม ในบทความนี้เราจึงไม่ใช้คำว่า "ซิมเพล็กซ์" สำหรับหน้าในบริบทของคอมเพล็กซ์นามธรรม)

โครงร่างdของΔคือซับคอมเพล็กซ์ของΔที่ประกอบด้วยหน้าทั้งหมดของΔที่มีมิติไม่เกินdโดยเฉพาะอย่างยิ่งโครงร่าง 1เรียกว่ากราฟพื้นฐานของΔโครงร่าง 0 ของΔสามารถระบุได้ว่าเป็นเซตของจุดยอด แม้ว่าในเชิงรูปแบบแล้วจะไม่เหมือนกันเสียทีเดียว (เซตของจุดยอดเป็นเซตเดียวของจุดยอดทั้งหมด ในขณะที่โครงร่าง 0 เป็นกลุ่มของเซตที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียว)

ลิงก์ของหน้าYในΔซึ่งมักจะเขียนแทนด้วยΔ/ Yหรือlk _Δ ( Y )คือซับคอมเพล็กซ์ของΔที่กำหนดโดย

${\displaystyle \Delta /Y:=\{X\in \Delta \mid X\cap Y=\varnothing ,\,X\cup Y\in \Delta \}.}$

โปรดสังเกตว่าลิงก์ของเซตว่างคือΔนั่นเอง

กำหนดให้มีคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมสองชุด คือΔและΓแผนที่เชิงซิมพลิเชียลคือฟังก์ชันfที่แมปจุดยอดของΔไปยังจุดยอดของΓและมีคุณสมบัติว่าสำหรับหน้าใดๆX ของ Δ ภาพf ( X ) จะ เป็นหน้าของ Γ มีหมวดหมู่SCpxที่มีคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมเป็นวัตถุและแผนที่เชิงซิมพลิเชียลเป็นมอร์ฟิ ซึม ซึ่งเทียบเท่ากับหมวดหมู่ที่เหมาะสมซึ่งกำหนดโดยใช้ คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลที่ ไม่ใช่นามธรรม  

ยิ่งไปกว่านั้น มุมมองเชิงหมวดหมู่ช่วยให้เรากระชับความสัมพันธ์ระหว่างเซตพื้นฐานSของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมΔและเซตจุดยอดV (Δ) ⊆ SของΔ ได้มากขึ้น : สำหรับวัตถุประสงค์ในการกำหนดหมวดหมู่ของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรม องค์ประกอบของSที่ไม่ได้อยู่ในV (Δ)นั้นไม่เกี่ยวข้อง กล่าว คือ SCpxเทียบเท่ากับหมวดหมู่ที่:

• ออบเจกต์คือเซตSที่มีกลุ่มของเซตย่อยจำกัดที่ไม่ว่างเปล่าΔซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่มีสมาชิกเดียวทั้งหมด และถ้าXอยู่ในΔและY ⊆ Xไม่ว่างเปล่า แล้วYก็จะอยู่ในΔด้วย
• มอร์ฟิซึมจาก( S , Δ)ไปยัง( T , Γ)คือฟังก์ชันf  : S → Tซึ่งภาพของสมาชิกใดๆ ของΔเป็นสมาชิกของΓ

เราสามารถเชื่อมโยงคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรม (ASC) K ใดๆ กับปริภูมิ เชิงทอ พอโล ยี ซึ่งเรียกว่า การรับรู้ทางเรขาคณิตของมันได้มีหลายวิธีในการกำหนด ${\displaystyle |K|}$${\displaystyle |K|}$

คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลเชิงเรขาคณิต (GSC) ทุกตัวจะกำหนด ASC ได้ดังนี้: ^{[ 3 ] : 14} จุดยอดของ ASC คือจุดยอดของ GSC และหน้าของ ASC คือเซตจุดยอดของหน้าของ GSC ตัวอย่างเช่น พิจารณา GSC ที่มีจุดยอด 4 จุด {1,2,3,4} โดยที่หน้าสูงสุดคือสามเหลี่ยมระหว่าง {1,2,3} และเส้นตรงระหว่าง {2,4} และ {3,4} จากนั้น ASC ที่สอดคล้องกันจะประกอบด้วยเซต {1,2,3}, {2,4}, {3,4} และเซตย่อยทั้งหมดของเซตเหล่านี้ เรากล่าวว่า GSC คือการสร้างทางเรขาคณิตของ ASC

ASC ทุกตัวมีการรับรู้ทางเรขาคณิต สิ่งนี้เห็นได้ง่ายสำหรับ ASC ที่จำกัด^{[ 3 ] : 14} ให้ระบุจุดยอดในกับจุดยอดของซิมเพล็กซ์มิติ ( N − 1) ใน สร้าง GSC { conv (F): F เป็นหน้าใน K} เห็นได้ชัดว่า ASC ที่เกี่ยวข้องกับ GSC นี้เหมือนกับKดังนั้นเราจึงได้สร้างการรับรู้ทางเรขาคณิตของK ขึ้นมาจริงๆ ในความเป็นจริง ASC สามารถรับรู้ได้โดยใช้มิติที่น้อยกว่ามาก ถ้า ASC เป็น มิติ d (นั่นคือ จำนวนสมาชิกสูงสุดของซิมเพล็กซ์ในนั้นคือd +1) มันจะมีการรับรู้ทางเรขาคณิตในแต่อาจไม่มีการรับรู้ทางเรขาคณิตใน^{[ 3 ] : 16} กรณีพิเศษd =1 สอดคล้องกับข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดีว่ากราฟ ใดๆ ก็สามารถพล็อตใน ได้โดยที่ขอบเป็นเส้นตรงที่ไม่ตัดกันยกเว้นที่จุดยอดร่วมกัน แต่กราฟ ใดๆ ก็ไม่ สามารถพล็อตใน ได้ด้วยวิธีนี้ ${\displaystyle N:=|V(K)|}$${\displaystyle V(K)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{N}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d+1}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2d}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

ถ้าK คือ n- ซิ ม เพล็ก ซ์เชิงคอมบินาทอริกมาตรฐานก็ สามารถระบุได้อย่างเป็นธรรมชาติ^ด้วย Δn${\displaystyle |K|}$

การรับรู้ทางเรขาคณิตสองแบบของ ASC เดียวกัน แม้ในปริภูมิยุคลิดที่มีมิติต่างกัน ก็เป็นโฮโมมอร์ฟิกกัน [ ^{3 ] : 14} ดังนั้น เมื่อกำหนด ASC K แล้ว เราสามารถพูดถึงการรับรู้ทางเรขาคณิตของKได้

ขั้นตอนการสร้างมีดังนี้ ขั้นแรก กำหนดให้เป็นเซตย่อยของที่ประกอบด้วยฟังก์ชันที่ตรงตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้: ${\displaystyle |K|}$${\displaystyle [0,1]^{S}}$${\displaystyle t\colon S\to [0,1]}$

${\displaystyle \{s\in S:t_{s}>0\}\in K}$

${\displaystyle \sum _{s\in S}t_{s}=1}$

ทีนี้ลองนึกถึงเซตขององค์ประกอบที่ มีขอบเขตจำกัดว่าเป็นลิมิตโดยตรงของโดยที่Aครอบคลุมเซตย่อยจำกัดของSและกำหนดโทโพโลยีที่เหนี่ยวนำให้ กับลิมิตโดยตรงนั้น จากนั้น กำหนดโท โพโล ยี ของปริภูมิ ย่อย${\displaystyle [0,1]^{S}}$${\displaystyle [0,1]^{A}}$${\displaystyle |K|}$

อีกทางเลือกหนึ่ง ให้แทนหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นหน้าของKและมอร์ฟิซึมเป็นการรวม ต่อไป ให้ เลือกอันดับทั้งหมดบนเซตจุดยอดของKและกำหนดฟังก์ชันFจากไปยังหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีดังต่อไปนี้ สำหรับหน้าX ใดๆ ในKที่มีมิติnให้F ( X ) = Δ ⁿเป็นซิม เพล็กซ์ nมาตรฐาน อันดับบนเซตจุดยอดจะระบุการจับคู่ แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่ไม่ซ้ำกัน ระหว่างองค์ประกอบของXและจุดยอดของΔ ⁿโดยเรียงลำดับตามปกติe ₀ < e ₁ < ... < e _nถ้าY ⊆ Xเป็นหน้าที่มีมิติm < nการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งนี้จะระบุ หน้า m มิติ ที่ ไม่ซ้ำกัน ของΔ ⁿกำหนดให้F ( Y ) → F ( X )เป็นการฝังเชิงเส้นแอฟฟินที่ ไม่ซ้ำกัน ของΔmเป็นหน้าเฉพาะของ^Δnโดยที่แผนที่บนจุดยอดจะรักษาลำดับ ^ไว้${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$

จากนั้นเราสามารถกำหนดการรับรู้ทางเรขาคณิต เป็นโคลิมิตของฟังก์ชันFได้ โดยเฉพาะอย่างยิ่ง คือปริภูมิผลหารของการรวมกันที่ไม่ทับซ้อนกัน${\displaystyle |K|}$${\displaystyle |K|}$

${\displaystyle \coprod _{X\in K}{F(X)}}$

โดยความสัมพันธ์สมมูล ที่ ระบุ จุดy ∈ F ( Y )กับภาพของจุดนั้นภายใต้แผนที่F ( Y ) → F ( X )สำหรับทุกการรวมY ⊆ X

1. ให้Vเป็นเซตจำกัดที่มีขนาดสมาชิกn + 1ซิมเพล็กซ์ เชิงคอมบินาทอริก nที่มีเซตจุดยอดVคือ ASC ที่หน้าทั้งหมดเป็นเซตย่อยที่ไม่ว่างของV (กล่าวคือ เป็นเซตกำลังของV ) ถ้าV = S = {0, 1, ..., n } แล้ว ASC นี้เรียกว่าซิมเพล็กซ์เชิงคอม บินาทอ ริกnมาตรฐาน

2. ให้Gเป็นกราฟแบบไม่มีทิศทางคอมเพล็กซ์คลิกของGคือ ASC ที่มีหน้าทั้งหมดเป็นคลิก (กราฟย่อยสมบูรณ์) ของGคอมเพล็กซ์อินดิเพนเดนต์ของGคือ ASC ที่มีหน้าทั้งหมดเป็นเซตอิสระของG (มันคือคอมเพล็กซ์คลิกของกราฟส่วนเติมเต็มของ G) คอมเพล็กซ์คลิกเป็นตัวอย่างต้นแบบของคอมเพล็กซ์แฟลก คอมเพล็กซ์แฟลกคือคอมเพล็กซ์K ที่มีคุณสมบัติว่าทุกเซต ซึ่งเซตย่อย 2 สมาชิกทั้งหมดของมันเป็นหน้าของKนั้น ตัวมันเองก็เป็นหน้าของKด้วย

3. ให้Hเป็นไฮเปอร์กราฟการจับคู่ในHคือเซตของขอบในHซึ่งขอบสองขอบทุกคู่ในเซตนั้นจะไม่ ทับซ้อนกัน คอมเพล็กซ์ การจับคู่ของHคือ ASC ที่มีหน้าทั้งหมดเป็นการจับคู่ในHมันคือคอมเพล็กซ์ความเป็นอิสระของกราฟเส้นของH

4. ให้Pเป็นเซตที่มีลำดับบางส่วน (poset) คอมเพล็กซ์ลำดับของPคือ ASC ซึ่งหน้าทั้งหมดของมันคือโซ่ จำกัด ในP กลุ่ม โฮโมโลยีและตัวแปรทางโทโพโลยีอื่น ๆ ของมันมีข้อมูลสำคัญเกี่ยวกับ poset P

5. ให้Mเป็นปริภูมิเมตริกและδเป็นจำนวนจริง คอมเพล็กซ์เวียโทริส-ริปส์ (Vietoris–Rips complex ) เป็น ASC (Assisted Complex) ที่มีหน้าเป็นเซตย่อยจำกัดของMที่มีเส้นผ่านศูนย์กลางไม่เกินδมีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีโฮโมโลยีกลุ่มไฮเปอร์โบลิกการประมวลผลภาพและเครือข่าย ad hoc เคลื่อนที่เป็นอีกตัวอย่างหนึ่งของคอมเพล็กซ์ธง (flag complex)

6. ให้S เป็นอุดมคติเอกนาม ที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง ในวงแหวนพหุนาม (นั่น คือ อุดมคติที่สร้างขึ้นจากผลคูณของเซตย่อยของตัวแปร) เวกเตอร์เลขชี้กำลังของเอกนามที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสองของ S ที่ไม่ได้อยู่ ใน Sจะกำหนดคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมผ่านแผนที่n = n + ...${\displaystyle I}$${\displaystyle S=K[x_{1},\dots ,x_{n}]}$${\displaystyle S}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathbf {a} \in \{0,1\}^{n}\mapsto \{i\in [n]:a_{i}=1\}}$${\displaystyle I_{\Delta }}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle S/I_{\Delta }}$${\displaystyle {\Delta }}$

7. สำหรับปริภูมิคลุมเปิดC ใดๆ ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีคอมเพล็กซ์ประสาทของCคือคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมที่ประกอบด้วยกลุ่มย่อยของC ที่มี ส่วนตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า

จำนวนของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมบนองค์ประกอบที่มีป้ายกำกับไม่เกินn ตัว (นั่นคือบนเซตSที่มีขนาดn ) มีค่าน้อยกว่าจำนวนเดเดคินด์ลำดับที่ n อยู่หนึ่งจำนวนเหล่านี้เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วมาก และทราบเฉพาะสำหรับn ≤ 9เท่านั้น จำนวนเดเดคินด์มีดังนี้ (เริ่มต้นจากn = 0):

1, 2, 5, 19, 167, 7580, 7828353, 2414682040997, 56130437228687557907787, 286386577668298411128469151667598498812365 (ลำดับA014466ในOEIS ) ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนของแอนติเชน ที่ไม่ว่างเปล่า ของเซตย่อยของเซตn

จำนวนของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมที่มีจุดยอดเป็น องค์ประกอบที่มีป้ายกำกับจำนวน n ตัวพอดี นั้น กำหนดโดยลำดับ "1, 2, 9, 114, 6894, 7785062, 2414627396434, 56130437209370320359966, 286386577668298410623295216696338374471993" (ลำดับA006126ในOEIS ) โดยเริ่มต้นที่n = 1 ซึ่งสอดคล้องกับจำนวนของแอนติเชนคัฟเวอร์ของเซตที่มีป้ายกำกับจำนวนn ตัว และมีการจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งที่ชัดเจนระหว่างแอนติเชนคัฟเวอร์ของเซตที่มีป้ายกำกับจำนวน n ตัวกับ คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลบ นองค์ประกอบจำนวน nตัวที่อธิบายในแง่ของหน้าสูงสุดของพวกมัน

จำนวนของคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลนามธรรมบน องค์ประกอบที่ไม่มีป้ายกำกับจำนวน n ตัว จะแสดงด้วยลำดับ "1, 2, 5, 20, 180, 16143, 489996795, 1392195548399980210" (ลำดับA006602ในOEIS ) โดยเริ่มที่n = 1

ปัญหาการรับรู้เชิง ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์คือ: เมื่อกำหนด ASC จำกัดแล้ว ให้ตัดสินใจว่าการรับรู้ทางเรขาคณิตของ ASC นั้นเป็นโฮโมมอร์ฟิกกับวัตถุทางเรขาคณิตที่กำหนดหรือไม่ ปัญหานี้ไม่สามารถตัดสินได้สำหรับ แมนิโฟลด์มิติ d ใดๆ สำหรับd ≥ 5 ^{[ 4 ]}

คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมที่เรียกว่าคุณสมบัติการขยายหรือคุณสมบัติการแลกเปลี่ยนจะให้ผลลัพธ์เป็นแมทรอยด์นิพจน์ต่อไปนี้แสดงความสัมพันธ์ระหว่างเทอมต่างๆ:

ไฮเปอร์กราฟ = เซตแฟมิลี ⊃ ระบบอิสระ = คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรม ⊃ แมทรอยด์

• ทฤษฎีบทครัสกัล-คาโตนา
• เซตซิมพลิเชียล