ในทางคณิตศาสตร์เซตเชิงซิมพลิเชียลคือลำดับของเซตที่มีโครงสร้างลำดับภายใน ( ซิมพลิเชียลนามธรรม ) และแผนที่ระหว่างเซตเหล่านั้น เซต เชิงซิมพลิเชียลเป็นการขยายความของ กราฟทิศทางในมิติที่สูงกว่า

เซตเชิงซิมพลิเชียลทุกเซตก่อให้เกิด ปริภูมิ เชิงทอพอโลยีที่ "ดี" ซึ่งเรียกว่าการทำให้เป็นจริงทางเรขาคณิต การทำให้เป็นจริงนี้ประกอบด้วยซิมเพล็กซ์ทางเรขาคณิตที่เชื่อมต่อกันตามกฎของเซตเชิงซิมพลิเชียล อันที่จริง เราอาจมองเซตเชิงซิมพลิเชียลว่าเป็นโครงสร้างเชิงการจัดเรียงล้วนๆ ที่ออกแบบมาเพื่อจับแก่นแท้ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเพื่อจุดประสงค์ของทฤษฎีโฮโมโทปีโดยเฉพาะอย่างยิ่ง หมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลมีโครงสร้างแบบจำลอง ที่เป็นธรรมชาติ และหมวดหมู่โฮโมโทปี ที่สอดคล้องกัน นั้นเทียบเท่ากับหมวดหมู่โฮโมโทปีของปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่คุ้นเคย

ในทางรูปธรรม เซตซิมพลิเชียลอาจถูกนิยามว่าเป็นฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์จากหมวดหมู่ซิมเพล็ก ซ์ ไปยังหมวดหมู่ของเซตเซตซิมพลิเชียลได้รับการแนะนำในปี พ.ศ. 2493 โดยซามูเอล ไอเลนเบิร์กและโจเซฟ เอ. ซิลเบอร์^{[ 1 ]}

เซตเชิงซิมพลิเชียลถูกนำมาใช้เพื่อกำหนดควาซีแคโทรีซึ่งเป็นแนวคิดพื้นฐานของทฤษฎีแคโทดระดับสูงการสร้างที่คล้ายคลึงกับเซตเชิงซิมพลิเชียลสามารถดำเนินการได้ในแคโทดใดก็ได้ ไม่ใช่แค่ในแคโทดของเซตเท่านั้น ทำให้เกิดแนวคิดของวัตถุเชิงซิมพลิเชียลขึ้น มา

เซตเชิงซิมพลิเชียลเป็นแบบจำลองเชิงหมวดหมู่ (กล่าวคือ เป็นพีชคณิตล้วนๆ) ที่แสดงถึงปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่สามารถสร้างขึ้น (หรือแสดงได้อย่างถูกต้องแม่นยำจนถึงระดับโฮโมโทปี) จากซิมเพล็กซ์และความสัมพันธ์ของการเกิดร่วมกัน วิธีการนี้คล้ายกับแนวทางของคอมเพล็กซ์ CWในการสร้างแบบจำลองปริภูมิเชิงทอพอโลยี โดยมีความแตกต่างที่สำคัญคือ เซตเชิงซิมพลิเชียลเป็นพีชคณิตล้วนๆ และไม่มีทอพอโลยีที่แท้จริงใดๆ

เพื่อกลับไปสู่ปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่แท้จริง มีฟังก์ชันการสร้างทางเรขาคณิต ที่เปลี่ยนเซตเชิงซิมพลิเชียลให้เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่สร้างขึ้นอย่าง กะทัดรัด ผลลัพธ์คลาสสิกส่วนใหญ่เกี่ยวกับคอมเพล็กซ์ CW ในทฤษฎีโฮโมโทปีได้รับการขยายความโดยผลลัพธ์ที่คล้ายคลึงกันสำหรับเซตเชิงซิมพลิเชียล ในขณะที่นักทอพอโลยีเชิงพีชคณิตส่วนใหญ่ยังคงนิยมใช้คอมเพล็กซ์ CW แต่ก็มีกลุ่มนักวิจัยจำนวนมากขึ้นที่สนใจใช้เซตเชิงซิมพลิเชียลสำหรับการประยุกต์ใช้ในเรขาคณิตเชิงพีชคณิตซึ่งคอมเพล็กซ์ CW ไม่ได้มีอยู่ตามธรรมชาติ

เซตเชิงซิมพลิเชียลสามารถมองได้ว่าเป็นการขยายความของมัลติกราฟแบบ มีทิศทางไปยังมิติที่สูงกว่า เซตเชิงซิมพลิเชียลประกอบด้วยจุดยอด (เรียกว่า "ซิมพลิเชียล 0" ในบริบทนี้) และลูกศร ("ซิมพลิเชียล 1") ระหว่างจุดยอดเหล่านี้ จุดยอดสองจุดอาจเชื่อมต่อกันด้วยลูกศรหลายลูก และวงวนแบบมีทิศทางที่เชื่อมต่อจุดยอดกับตัวมันเองก็ได้รับอนุญาตเช่นกัน แตกต่างจากมัลติกราฟแบบมีทิศทาง เซตเชิงซิมพลิเชียลอาจมีซิมพลิเชียลที่สูงกว่าได้ ตัวอย่างเช่น ซิมพลิเชียล 2 มิติ สามารถคิดได้ว่าเป็นรูป "สามเหลี่ยม" สองมิติที่ล้อมรอบด้วยจุดยอดสามจุดA , B , C และลูกศรสามลูกB  →  C , A  →  CและA  →  Bโดยทั่วไปn-ซิมเพล็กซ์ คือวัตถุที่ประกอบขึ้นจากรายการของ จุดยอด n  + 1 จุด (ซึ่งเป็น 0-ซิมเพล็กซ์) และ หน้า n  + 1 หน้า (ซึ่งเป็น ( n  − 1)-ซิมเพล็กซ์) จุดยอดของ หน้าที่ iคือจุดยอดของn-ซิมเพล็กซ์ ลบด้วย จุดยอดที่ iจุดยอดของซิมเพล็กซ์ไม่จำเป็นต้องแตกต่างกัน และซิมเพล็กซ์ไม่ได้ถูกกำหนดโดยจุดยอดและหน้าของมัน ซิมเพล็กซ์สองอันที่แตกต่างกันอาจมีรายการหน้าเดียวกัน (และดังนั้นจึงมีรายการจุดยอดเดียวกัน) เช่นเดียวกับลูกศรสองลูกที่แตกต่างกันในมัลติกราฟอาจเชื่อมต่อจุดยอดสองจุดเดียวกัน

ไม่ควรสับสนระหว่างเซตเชิงซิมพลิเชียลกับคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรมซึ่งเป็นการขยายความของกราฟแบบไม่มีทิศทางอย่างง่ายมากกว่ากราฟหลายทิศทาง

ในทางทฤษฎี เซตเชิงซิมพลิเชียล Xคือกลุ่มของเซตX _n , n  = 0, 1, 2, ... พร้อมด้วยแผนที่บางอย่างระหว่างเซตเหล่านี้ ได้แก่แผนที่หน้าd _{n , i}  :  X _n  →  X _{n −1} ( n  = 1, 2, 3, ... และ 0 ≤  i  ≤  n ) และแผนที่ความเสื่อมs _{n , i}  :  X _n → X _{n +1} ( n  = 0, 1, 2, ... และ 0 ≤  i  ≤  n ) เราคิดว่าองค์ประกอบของX _nคือซิ มเพล็กซ์ nด้านของXแผนที่d _{n , i} กำหนดหน้าที่ i ให้กับ ซิมเพล็กซ์n ด้านแต่ละตัว ซึ่งเป็น หน้าที่ "ตรงข้าม" (กล่าวคือ ไม่ประกอบด้วย) จุดยอดที่iแผนที่s _{n , i}กำหนดให้กับ ซิมเพล็กซ์ n แต่ละตัวเป็นซิมเพล็กซ์ เสื่อมสภาพ ( n + 1) ซึ่งเกิดขึ้นจากซิมเพล็กซ์ที่กำหนดโดยการทำซ้ำจุด ยอดที่ iคำอธิบายนี้ต้องการความสัมพันธ์ที่สอดคล้องกันโดยปริยายระหว่างแผนที่d _{n , i}และs _{n , i}

แทนที่จะกำหนดให้เอกลักษณ์เชิงซิมพลิเชียลเหล่า นี้ เป็นส่วนหนึ่งของคำจำกัดความอย่างชัดเจน คำจำกัดความสมัยใหม่ที่สั้นกระชับนี้ใช้ภาษาของทฤษฎีหมวดหมู่

ให้ Δ แทนหมวดหมู่ซิมเพล็กซ์วัตถุของ Δ คือเซตจำกัดที่ไม่ว่างและเรียงลำดับโดยสมบูรณ์ และมอร์ฟิซึม คือฟังก์ชันที่รักษาลำดับ (แบบไม่เคร่งครัด) วัตถุแต่ละชิ้นจะสมมูลกันอย่างเป็นเอกลักษณ์กับวัตถุในรูปแบบ

[ n ] = {0, 1, ..., n }

โดยที่n ≥ 0

เซตX อย่างง่าย คือฟังก์ชันที่ขัดแย้งกัน

X  : Δ → เซต

โดยที่Setคือหมวดหมู่ของเซต (หรืออีกนัยหนึ่งและเทียบเท่ากัน เราอาจกำหนดเซตเชิงซิมพลิเชียลเป็นฟังก์ชันโคแวเรียนต์จากหมวดหมู่ตรงข้าม Δ ^op → Setก็ได้) เมื่อกำหนดเซตเชิงซิมพลิเชียล XเรามักจะเขียนX _nแทนที่จะเป็นX ([ n ])

เซตเชิงซิมพลิเชียลประกอบกันเป็นหมวดหมู่ ซึ่งโดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์sSetโดยที่วัตถุของหมวดหมู่นี้คือเซตเชิงซิมพลิเชียล และมอร์ฟิซึมของหมวดหมู่นี้คือการแปลงธรรมชาติระหว่างเซตเหล่านั้น นี่คือหมวดหมู่ของพรีชีฟบน Δ ดังนั้นจึงเป็นโทโพส

มอร์ฟิซึม (แผนที่) ของหมวดหมู่ซิมเพล็กซ์ Δ ถูกสร้างขึ้นโดยตระกูลมอร์ฟิซึมที่สำคัญสองตระกูล ซึ่งภาพของมอร์ฟิซึมเหล่านี้ภายใต้ฟังก์ชันเซตซิมพลิเชียลที่กำหนดเรียกว่าแผนที่หน้าและแผนที่ความเสื่อมของเซตซิมพลิเชียลนั้น

แผนที่หน้าของเซตเชิงซิมพลิเชียล Xคือภาพของมอร์ฟิซึมในเซตเชิงซิมพลิเชียลนั้นโดยที่เป็นการฉีด (ที่รักษาลำดับ) เพียงอย่างเดียวที่ "พลาด" เราจะใช้สัญลักษณ์ แทนแผนที่หน้าเหล่านี้ ตามลำดับ ดังนั้น จึงเป็นแผนที่ถ้าดัชนีแรกชัดเจน เราจะเขียน แทน${\displaystyle \delta ^{n,0},\dotsc ,\delta ^{n,n}\colon [n-1]\to [n]}$${\displaystyle \delta ^{n,i}}$${\displaystyle [n-1]\to [n]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle d_{n,0},\dotsc ,d_{n,n}}$${\displaystyle d_{n,i}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle d_{i}}$${\displaystyle d_{n,i}}$

แผนที่ความเสื่อมของเซตเชิงซิมพลิเชียลXคือภาพของมอร์ฟิซึมในเซตเชิงซิมพลิเชียลนั้นโดยที่เป็นการส่งแบบทั่วถึง (ที่รักษาลำดับ) เพียงอย่างเดียวที่ "กระทบ" สองครั้ง ให้เรากำหนดแผนที่ความเสื่อมเหล่านี้ด้วย ตามลำดับ ดังนั้น จึงเป็นแผนที่ถ้าดัชนีแรกชัดเจน เราจะเขียนแทนที่จะเป็น ${\displaystyle \sigma ^{n,0},\dotsc ,\sigma ^{n,n}\colon [n+1]\to [n]}$${\displaystyle \sigma ^{n,i}}$${\displaystyle [n+1]\to [n]}$${\displaystyle i}$${\displaystyle s_{n,0},\dotsc ,s_{n,n}}$${\displaystyle s_{n,i}}$${\displaystyle X_{n}\to X_{n+1}}$${\displaystyle s_{i}}$${\displaystyle s_{n,i}}$

แผนที่ที่กำหนดไว้นั้นสอดคล้องกับเอกลักษณ์เชิงซิมพลิเชียล ต่อไปนี้ :

1. ${\displaystyle d_{i}d_{j}=d_{j-1}d_{i}}$ ถ้าi < j (ซึ่งเป็นตัวย่อของถ้า 0 ≤ i < j ≤ n )${\displaystyle d_{n-1,i}d_{n,j}=d_{n-1,j-1}d_{n,i}}$
2. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j-1}d_{i}}$ ถ้าi < j​
3. ${\displaystyle d_{i}s_{j}={\text{id}}}$ถ้าi = jหรือi = j  + 1
4. ${\displaystyle d_{i}s_{j}=s_{j}d_{i-1}}$ ถ้าi > j  + 1
5. ${\displaystyle s_{i}s_{j}=s_{j+1}s_{i}}$ ถ้าi ≤ j​

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดลำดับของเซตXnพร้อมกับแผนที่และที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์เชิงซิมพลิเชียล จะมีเซตเชิงซิมพลิเชียล X ที่ไม่ซ้ำกันเพียงเซตเดียว_ที่มีแผนที่หน้าและแผนที่ความเสื่อมเหล่านี้ ดังนั้นเอกลักษณ์เหล่านี้จึงเป็นอีกวิธีหนึ่งในการกำหนดเซตเชิงซิมพลิเชียล ${\displaystyle d_{n,i}:X_{n}\to X_{n-1}}$${\displaystyle s_{n,i}:X_{n}\to X_{n+1}}$

เมื่อกำหนดเซตที่มีลำดับบางส่วน ( S , ≤) เราสามารถกำหนดเซตเชิงซิมพลิเชียลNSซึ่งเรียกว่าเส้นประสาทของSได้ดังนี้: สำหรับทุกวัตถุ [ n ] ของ Δ เรากำหนดNS ([ n ]) = hom _poset ([ n ], S ) ซึ่งเป็นเซตของแผนที่รักษาลำดับจาก [ n ] ไปยังSทุกมอร์ฟิซึม φ: [ n ] → [ m ] ใน Δ เป็นแผนที่รักษาลำดับ และผ่านการประกอบจะเหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่NS (φ): NS ([ m ]) → NS ([ n ]) สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าNSเป็นฟังก์ชันผกผันจาก Δ ไปยังSet : เซตเชิงซิมพลิเชียล

โดยเฉพาะอย่างยิ่ง ซิม เพล็กซ์ nตัวของเส้นประสาทNSซึ่งก็คือองค์ประกอบของNS _n = NS ([ n ]) สามารถคิดได้ว่าเป็นลำดับความยาว ( n + 1) ขององค์ประกอบจากS : ( a ₀  ≤  a ₁  ≤ ... ≤  a _n ) แผนที่หน้าd _iจะตัด องค์ประกอบที่ iออกจากรายการดังกล่าว และแผนที่ความเสื่อมs _i จะ ทำซ้ำองค์ประกอบที่ i

สามารถสร้างโครงสร้างที่คล้ายกันได้สำหรับทุกหมวดหมู่Cเพื่อให้ได้เส้นประสาทNCของCโดยที่NC ([ n ]) คือเซตของฟังก์ชันทั้งหมดจาก [ n ] ไปยังCโดยที่เราพิจารณา [ n ] เป็นหมวดหมู่ที่มีวัตถุ 0,1,..., nและมอร์ฟิซึมเดียวจากiไปยังjเมื่อใดก็ตามที่ i  ≤  j

กล่าวโดยละเอียดn-ซิมเพล็กซ์ของเส้นประสาทNCสามารถคิดได้ว่าเป็นลำดับของ มอร์ฟิซึมที่ประกอบกันได้ nตัวในC : a ₀  →  a ₁  → ... →  a _n (โดยเฉพาะอย่างยิ่ง 0-ซิมเพล็กซ์เป็นวัตถุของCและ 1-ซิมเพล็กซ์เป็นมอร์ฟิซึมของC ) แผนที่หน้าd ₀จะตัดมอร์ฟิซึมตัวแรกออกจากรายการดังกล่าว แผนที่หน้าd _nจะตัดมอร์ฟิซึมตัวสุดท้ายออก และแผนที่หน้าd _iสำหรับ 0 <  i  <  nจะตัดa _i ออก และประกอบ มอร์ฟิซึมตัวที่ iและ ( i  + 1) เข้าด้วยกัน แผนที่ความเสื่อมs _iจะทำให้ลำดับยาวขึ้นโดยการแทรกมอร์ฟิซึมเอกลักษณ์ที่  ตำแหน่ง i

เราสามารถกู้คืนโพเซตSจากเส้นประสาทNSและหมวดหมู่Cจากเส้นประสาทNCได้ ในแง่นี้ เซตเชิงซิมพลิเชียลจึงเป็นการขยายความหมายของโพเซตและหมวดหมู่

ตัวอย่างสำคัญอีกกลุ่มหนึ่งของเซตเชิงซิมพลิเชียลคือ เซตเอกฐานSYของปริภูมิเชิงทอพอโลยีYโดยที่SY _nประกอบด้วยแผนที่ต่อเนื่องทั้งหมดจากซิมเพล็กซ์เชิงทอพอโลยีมาตรฐานnมิติไปยังYเซตเอกฐานนี้จะได้รับการอธิบายเพิ่มเติมในหัวข้อถัดไป

ซิมเพล็กซ์nมาตรฐานซึ่งแสดงด้วย^Δnคือเซตซิมพลิเชียลที่กำหนดเป็นฟังก์ชัน hom _Δ (-, [ n ]) โดยที่ [ n ] หมายถึงเซตเรียงลำดับ {0, 1, ... , n ^}ของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบตัวแรก ( n + 1) ตัว (ในตำราหลายเล่ม จะเขียนแทนด้วย hom([ n ],-) โดยที่เซต hom เข้าใจว่าอยู่ในหมวดหมู่ตรงข้าม^Δop [ ^{2 ]} )

ตามทฤษฎีบทโยเนดะซิม เพล็กซ์ nตัวของเซตซิมพลิเชียลXมีความสัมพันธ์แบบ 1 ต่อ 1 กับการแปลงธรรมชาติจาก Δn ^ไปยังXกล่าว คือ${\displaystyle X_{n}=X([n])\cong \operatorname {Nat} (\operatorname {hom} _{\Delta }(-,[n]),X)=\operatorname {hom} _{\textbf {sSet}}(\Delta ^{n},X)}$

นอกจากนี้Xยังก่อให้เกิดหมวดหมู่ของซิมพลิซซึ่งแสดงด้วย โดยที่วัตถุของมันคือแผนที่ ( เช่นการแปลงธรรมชาติ) Δ ⁿ → Xและมอร์ฟิซึมของมันคือการแปลงธรรมชาติ Δ ⁿ → Δ ^mเหนือXที่เกิดขึ้นจากแผนที่ [ n ] → [ m ] ใน Δ นั่นคือเป็นหมวดหมู่สไลซ์ของ Δ เหนือX ไอโซมอร์ฟิซึมต่อไปนี้แสดงให้เห็นว่าเซตซิมพลิซXเป็นโคลิมิตของซิมพลิซของมัน: ^{[ 3 ]}${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$${\displaystyle \Delta \downarrow {X}}$

${\displaystyle X\cong \varinjlim _{\Delta ^{n}\to X}\Delta ^{n}}$

โดยที่โคลิมิตนั้นถูกหาจากหมวดหมู่ของซิมเพล็กซ์ของ X

มีฟังก์ชัน |•|: sSet → CGHausที่เรียกว่าการรับรู้ทางเรขาคณิตซึ่งนำเซตเชิงซิมเพล็กซ์Xไปสู่การรับรู้ที่สอดคล้องกันในหมวดหมู่CGHausของปริภูมิเชิงทอพอโลยีเฮาส์ดอร์ฟที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด โดย สัญชาตญาณ การรับรู้ของXคือปริภูมิเชิงทอพอโลยี (อันที่จริงคือคอมเพล็กซ์ CW ) ที่ได้มาหาก ซิมเพล็กซ์ n มิติทุกตัว ของXถูกแทนที่ด้วยซิมเพล็กซ์เชิงทอพอโลยีn มิติ (เซตย่อยมิติ nบางส่วนของปริภูมิยุคลิดมิติ ( n  + 1) ที่กำหนดไว้ด้านล่าง) และซิมเพล็กซ์เชิงทอพอโลยีเหล่านี้ถูกเชื่อมต่อเข้าด้วยกันในลักษณะเดียวกับที่ซิมเพล็กซ์ของXแขวนอยู่ด้วยกัน ในกระบวนการนี้ ทิศทางของซิมเพล็กซ์ของXจะหายไป

เพื่อกำหนดฟังก์ชันการรับรู้ เราจะกำหนดฟังก์ชันนี้บนซิมเพล็กซ์ n มาตรฐาน Δn ก่อน^{ดังนี้} : การรับรู้ทางเรขาคณิต |Δn ^|คือซิมเพล็ก ซ์ nทางทอพอโลยี มาตรฐาน ในตำแหน่งทั่วไปที่กำหนดโดย

${\displaystyle |\Delta ^{n}|=\{(x_{0},\dots ,x_{n})\in \mathbb {R} ^{n+1}:0\leq x_{i}\leq 1,\sum x_{i}=1\}.}$

ดังนั้น นิยามจึงขยายไปสู่เซตเชิงซิมพลิเชียลX ใดๆ ได้อย่างเป็นธรรมชาติ โดยการกำหนดค่า

|X| = lim _{Δ ⁿ → X} | Δ ⁿ |

โดยที่โคลิมิต นั้น ถูกหาจากหมวดหมู่ n-ซิมเพล็กซ์ของX การรับรู้ทางเรขาคณิตเป็นแบบฟังก์ชันบนsSet

เป็นเรื่องสำคัญที่เราใช้หมวดหมู่CGHausของปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟที่สร้างขึ้นอย่างกะทัดรัด แทนที่จะใช้หมวดหมู่Topของปริภูมิเชิงทอพอโลยี เป็นหมวดหมู่เป้าหมายของการสร้างทางเรขาคณิต: เช่นเดียวกับsSetและไม่เหมือนกับTopหมวดหมู่CGHausเป็นหมวดหมู่ปิดแบบคาร์ทีเซียนผลคูณเชิงหมวดหมู่ถูกกำหนดแตกต่างกันในหมวดหมู่TopและCGHausและผลคูณในCGHausสอดคล้องกับผลคูณในsSetผ่านการสร้างทางเรขาคณิต

เซตเอกลักษณ์ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีYคือเซตเชิงซิมพลิเชียลSYซึ่งกำหนดโดย

( SY )([ n ]) = hom _{T op} (|Δ ⁿ |, Y ) สำหรับแต่ละวัตถุ [ n ] ∈ Δ

แผนที่รักษาลำดับทุกแผนที่ φ:[ n ]→[ m ] เหนี่ยวนำให้เกิดแผนที่ต่อเนื่อง |Δ ⁿ |→|Δ ^m | โดย

${\displaystyle (x_{0},...,x_{n})\in |\Delta _{n}|\mapsto (y_{j}),~~y_{j}=\sum _{\phi (i)=j}x_{i}.}$

จากนั้น โดยการประกอบ จะได้แผนที่SY ( φ ) : SY ([ m ]) → SY ([ n ]) นิยามนี้คล้ายคลึงกับแนวคิดมาตรฐานในโฮโมโลยีเอกฐานของการ "สำรวจ" พื้นที่โทโพโลยีเป้าหมายด้วยซิมเพล็กซ์โทโพโลยีn มาตรฐาน ยิ่งไปกว่านั้นฟังก์ชันเอกฐานSเป็นตัวผกผันขวาของฟังก์ชันการรับรู้ทางเรขาคณิตที่อธิบายไว้ข้างต้น กล่าวคือ:

hom _Top (| X |, Y ) ≅ hom _sSet ( X , SY )

สำหรับเซตเชิงซิมเพล็กซ์X ใดๆ และปริภูมิเชิงทอพอโลยีY ใดๆ โดยสัญชาตญาณแล้ว การเชื่อมโยงนี้สามารถเข้าใจได้ดังนี้: แผนที่ต่อเนื่องจากการรับรู้ทางเรขาคณิตของXไปยังปริภูมิYจะถูกกำหนดอย่างไม่ซ้ำกัน หากเราเชื่อมโยงซิมเพล็กซ์ทุกตัวของX กับ แผนที่ต่อเนื่องจากซิมเพล็กซ์เชิงทอพอโลยีมาตรฐานที่สอดคล้องกันไปยังYในลักษณะที่แผนที่เหล่านี้เข้ากันได้กับวิธีที่ซิมเพล็กซ์ในXเชื่อมโยงกัน

ในการกำหนดโครงสร้างแบบจำลองบนหมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียล จำเป็นต้องกำหนดฟิเบรชัน โคฟิเบรชัน และสมมูลแบบอ่อน เราสามารถกำหนดฟิเบรชันให้เป็นฟิเบรชันแบบคานได้แผนที่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลถูกกำหนดให้เป็นสมมูลแบบอ่อน ถ้าการทำให้เป็นจริงทางเรขาคณิตของมันคือสมมูลแบบโฮโมโทปีแบบอ่อนของ ปริภูมิ แผนที่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลถูกกำหนดให้เป็นโคฟิเบรชันถ้ามันเป็นโมโนมอร์ฟิ ซึม ของเซตเชิงซิมพลิเชียล เป็นทฤษฎีบทที่ยากของแดเนียล ควิลเลนที่ระบุว่า หมวดหมู่ของเซตเชิงซิมพลิเชียลที่มีมอร์ฟิซึมเหล่านี้กลายเป็นหมวดหมู่แบบจำลอง และเป็นไปตามสัจพจน์สำหรับหมวดหมู่แบบจำลองเชิงซิมพลิเชียลแบบ ปิดที่เหมาะสม

จุดเปลี่ยนสำคัญของทฤษฎีนี้คือ การรับรู้ทางเรขาคณิตของไฟเบอร์เรชันของคาน (Kan fibration) คือไฟเบอร์เรของเซร์เร (Serre fibration ) ของปริภูมิ ด้วยโครงสร้างแบบจำลองนี้ ทฤษฎีโฮโมโทปีของเซตซิมพลิเชียลสามารถพัฒนาได้โดยใช้ วิธี พีชคณิตโฮโมโทปี มาตรฐาน ยิ่งไปกว่านั้น การรับรู้ทางเรขาคณิตและฟังก์ชันเอกฐานทำให้เกิดความสมมูลของควิลเลน (Quillen equivalence)ของหมวดหมู่แบบจำลองปิดที่เหนี่ยวนำให้เกิดความสมมูล

|•|: โฮ ( sSet ) ↔ โฮ ( บนสุด )

ระหว่างหมวดหมู่โฮโมโทปีสำหรับเซตเชิงซิมพลิเชียลและหมวดหมู่โฮโมโทปีปกติของคอมเพล็กซ์ CW ที่มีคลาสโฮโมโทปีของแผนที่ต่อเนื่องระหว่างกัน ส่วนหนึ่งของคำจำกัดความทั่วไปของการเชื่อมโยงแบบ Quillen คือฟังก์ชันผกผันด้านขวา (ในกรณีนี้คือฟังก์ชันเซตเอกฐาน) จะนำพาไฟเบรชัน (หรือไฟเบรชันที่ไม่สำคัญ) ไปยังไฟเบรชัน (หรือไฟเบรชันที่ไม่สำคัญ)

วัตถุเชิงซิมพลิเชียลXในหมวดหมู่Cคือฟังก์ชันคอนทราแวเรียนต์

X  : Δ → C

หรือเทียบเท่ากับฟังก์ชันโคแวเรียนต์

X : Δ ^op → C,

โดยที่ Δ ยังคงหมายถึงหมวดหมู่ซิมเพล็กซ์และ^{op หมาย} ถึง หมวดหมู่ตรงข้ามเมื่อCคือหมวดหมู่ของเซตเรากำลังพูดถึงเซตซิมพลิเชียลที่ได้นิยามไว้ข้างต้นเท่านั้น เมื่อให้Cเป็นหมวดหมู่ของกลุ่มหรือหมวดหมู่ของกลุ่มอาเบเลียนเราจะได้หมวดหมู่sGrpของกลุ่ม ซิมพลิเชียล และsAbของกลุ่มอาเบเลียน ซิมพลิเชียล ตามลำดับ

กลุ่มซิมพลิเชียลและกลุ่มอาเบเลียนซิมพลิเชียลยังประกอบด้วยโครงสร้างแบบจำลองปิดที่เหนี่ยวนำโดยโครงสร้างของเซตซิมพลิเชียลพื้นฐานอีกด้วย

กลุ่มโฮโมโทปีของกลุ่มอาเบเลียนเชิงซิมพลิเชียลสามารถคำนวณได้โดยใช้การจับคู่แบบดอลด์-คานซึ่งให้ความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่ระหว่างกลุ่มอาเบเลียนเชิงซิมพลิเชียลและคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ ที่มีขอบเขต และกำหนดโดยฟังก์ชัน

N: sAb → Ch ₊

และ

Γ: Ch ₊ →   sAb .

ดูเพิ่มเติม: แผนภาพเชิงซิมพลิเชียล

เซตเชิงซิมพลิ เชียลเดิมทีใช้เพื่ออธิบายปริภูมิจำแนกกลุ่ม อย่างแม่นยำและสะดวก แนวคิดนี้ได้รับการขยายอย่างมากโดย แนวคิดของ โกรเทน ดี คที่พิจารณาปริภูมิจำแนกประเภทของหมวดหมู่ และโดยเฉพาะอย่างยิ่งโดยงานของควิลเลน เกี่ยวกับ ทฤษฎี K ทางพีชคณิตในงานนี้ ซึ่งทำให้เขาได้รับเหรียญฟิลด์สควิลเลนได้พัฒนาวิธีการที่มีประสิทธิภาพอย่างน่าประหลาดใจสำหรับการจัดการกับเซตเชิงซิมพลิเชียลอนันต์ วิธีการเหล่านี้ถูกนำไปใช้ในสาขาอื่นๆ ที่อยู่ระหว่างขอบเขตของเรขาคณิตเชิงพีชคณิตและโทโพโลยี ตัวอย่างเช่นโฮโมโลยีของวงแหวนอังเดร-ควิลเลนเป็น "โฮโมโลยีที่ไม่เป็นอาเบเลียน" ซึ่งถูกกำหนดและศึกษาในลักษณะนี้

ทั้งทฤษฎี K ทางพีชคณิตและโฮโมโลยีของ André–Quillen ถูกกำหนดโดยใช้ข้อมูลทางพีชคณิตเพื่อเขียนเซตเชิงซิมพลิเชียล จากนั้นจึงหาโฮโมโทปีกรุ๊ปของเซตเชิงซิมพลิเชียลนี้

วิธีการเชิงซิมพลิเชียลมักมีประโยชน์เมื่อต้องการพิสูจน์ว่าปริภูมิหนึ่งเป็นปริภูมิวงวนแนวคิดพื้นฐานคือ ถ้าเป็นกลุ่มที่มีปริภูมิจำแนกประเภทแล้วจะสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับปริภูมิวงวนถ้าตัวมันเองเป็นกลุ่ม เราสามารถทำซ้ำกระบวนการนี้ได้ และจะสมมูลเชิงโฮโมโทปีกับปริภูมิวงวนคู่ ในกรณีที่ เป็นกลุ่มอาเบเลียน เราสามารถทำซ้ำกระบวนการนี้ได้เป็นอนันต์ครั้ง และจะได้ว่าเป็นปริภูมิวงวนอนันต์ ${\displaystyle G}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \Omega BG}$${\displaystyle BG}$${\displaystyle G}$${\displaystyle \โอเมก้า ^{2}B(BG)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle G}$

แม้ว่า จะไม่ใช่กลุ่มอาเบเลียน แต่ก็อาจเกิดขึ้นได้ว่ามีองค์ประกอบที่สลับที่กันได้ดีพอที่จะใช้แนวคิดข้างต้นเพื่อพิสูจน์ว่าเป็นปริภูมิวงวนอนันต์ ด้วยวิธีนี้ เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าทฤษฎีพีชคณิตของวงแหวน ซึ่งถือว่าเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยี เป็นปริภูมิวงวนอนันต์ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K}$

ในช่วงไม่กี่ปีที่ผ่านมา เซตเชิงซิมพลิเชียลถูกนำมาใช้ในทฤษฎีหมวดหมู่ระดับสูงและเรขาคณิตเชิงพีชคณิตอนุพันธ์หมวดหมู่กึ่งสมบูรณ์สามารถคิดได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่การประกอบของมอร์ฟิซึมถูกกำหนดไว้เพียงแค่ระดับโฮโมโทปีเท่านั้น และข้อมูลเกี่ยวกับการประกอบของโฮโมโทปีที่สูงกว่าก็ยังคงอยู่ หมวดหมู่กึ่งสมบูรณ์ถูกนิยามว่าเป็นเซตเชิงซิมพลิเชียลที่ตรงตามเงื่อนไขเพิ่มเติมอีกหนึ่งข้อ คือ เงื่อนไขคานแบบอ่อน

• ชุดเดลต้า
• เซตเดนดรอยด์ซึ่งเป็นการขยายความของเซตซิมพลิเชียล
• พรีชีฟแบบซิมพลิเชียล
• หมวดหมู่กึ่ง
• คอมเพล็กซ์คัน
• การติดต่อสื่อสารระหว่างดอลด์และคาน
• โฮโมโทปีเชิงซิมพลิเชียล
• ทรงกลมซิมพลิเชียล
• คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลนามธรรม
• ส่วนขยายอะโนดีน
• ความสมมูลอย่างอ่อนระหว่างเซตเชิงซิมพลิเชียล

• Riehl, Emily . "บทนำอย่างง่าย ๆ เกี่ยวกับเซตเชิงซิมพลิเชียล" (PDF )
• เมย์, เจ. ปีเตอร์ . วัตถุเชิงซิมพลิเชียลในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต ,สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยชิคาโก 1967
• เซตซิมพลิเชียลที่ห้องปฏิบัติการn