ในเรขาคณิตและคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียง ทรงกลมซิมพลิเชียล (หรือทรงกลมเชิงการจัดเรียง ) มิติdคือ คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล ที่สมมูลกับทรงกลมมิติ d ทรงกลมซิมพลิเชียล บางรูปเกิดขึ้นจากขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยมนูนอย่างไรก็ตาม ในมิติที่สูงกว่า ทรงกลมซิมพลิเชียลส่วนใหญ่ไม่สามารถได้มาด้วยวิธีนี้

ปัญหาเปิดที่สำคัญอย่างหนึ่งในสาขานี้คือสมมติฐาน gซึ่งคิดค้นโดยปีเตอร์ แมคมัลเลนซึ่งถามถึงจำนวนหน้าที่เป็นไปได้ของมิติต่างๆ ของทรงกลมซิมพลิเชียล ในเดือนธันวาคม 2018 สมมติฐาน g ได้รับการพิสูจน์โดยคาริม อดิปราซิโตในบริบททั่วไปของทรงกลมโฮโมโลยีเชิงตรรกะ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• สำหรับn ≥ 3 ใดๆ วัฏจักร nมิติเชิงง่ายC _nคือวงกลมเชิงซิมพลิเชียลกล่าวคือทรงกลมเชิงซิมพลิเชียลมิติ 1 การสร้างนี้สร้างวงกลมเชิงซิมพลิเชียลทั้งหมด
• ขอบของทรง หลายเหลี่ยมนูน ในR³ที่มีหน้าเป็นรูปสามเหลี่ยม เช่นทรงแปดเหลี่ยมหรือทรงยี่สิบเหลี่ยม คือ ^ทรงกลมซิมพลิเชียล 2 มิติ
• โดยทั่วไปแล้ว ขอบเขตของ โพลีโทปนูนเชิงซิมพลิเชียล แบบกะทัดรัด (หรือมีขอบเขต ) มิติ ( d + 1) ใดๆ ในปริภูมิยุคลิดจะเป็นทรงกลมเชิงซิมพลิเชียลd มิติ

จาก สูตรของออยเลอร์จะได้ว่าทรงกลมซิมพลิเชียล 2 มิติใดๆ ที่มีจุดยอดn จุด จะมีขอบ 3n − 6 ขอบ และหน้า 2n − 4 หน้า กรณีn = 4 นั้นเกิดขึ้นได้จากทรงสี่เหลี่ยมหน้าจั่ว โดยการแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริก ซ้ำๆ ทำให้สามารถสร้างทรงกลมซิมพลิเชียลสำหรับn ≥ 4 ได้อย่างง่ายดาย ยิ่งไปกว่านั้นเอิร์นส์ สไตน์นิทซ์ได้ให้ลักษณะเฉพาะของโครงร่าง 1 มิติ (หรือกราฟขอบ) ของรูปหลายเหลี่ยมนูนในR³ซึ่งบ่งชี้ว่าทรงกลมซิมพลิเชียล 2 มิติใดๆ ก็เป็นขอบเขตของรูปหลายเหลี่ยมนูนเช่น ^กัน

Branko Grünbaumสร้างตัวอย่างของทรงกลมเชิงซิมพลิเชียลที่ไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยม (กล่าวคือ ทรงกลมเชิงซิมพลิเชียลที่ไม่ใช่ขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยม) Gil Kalaiพิสูจน์ว่าในความเป็นจริงแล้ว ทรงกลมเชิงซิมพลิเชียล "ส่วนใหญ่" ไม่ใช่รูปทรงหลายเหลี่ยม ตัวอย่างที่เล็กที่สุดมีมิติd = 4 และมีf ₀ = 8 จุดยอด

ทฤษฎีบทขอบเขตบนให้ขอบเขตบนสำหรับจำนวนf _iของ หน้า iของทรงกลมซิม พลิเชียล d ใดๆ ที่มีf ₀ = nจุดยอด ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์สำหรับโพลีโทปนูนซิมพลิเชียลโดยPeter McMullenในปี 1970 ^{[ 3 ]}และโดยRichard Stanleyสำหรับทรงกลมซิมพลิเชียลทั่วไปในปี 1975

ข้อสันนิษฐานgซึ่งกำหนดโดย McMullen ในปี 1970 ถามถึงลักษณะเฉพาะที่สมบูรณ์ของ เวกเตอร์ fของ ทรงกลม d มิติเชิง ซิมพลิเชียล กล่าวคือ ลำดับที่เป็นไปได้ของจำนวนหน้าในแต่ละมิติสำหรับทรงกลมdมิติเชิงซิมพลิเชียลคืออะไร ในกรณีของทรงกลมโพลีโทป คำตอบได้รับจากทฤษฎีบทgซึ่งพิสูจน์ในปี 1979 โดย Billera และ Lee (การมีอยู่) และ Stanley (ความจำเป็น) มีการตั้งข้อสันนิษฐานว่าเงื่อนไขเดียวกันนี้จำเป็นสำหรับทรงกลมเชิงซิมพลิเชียลทั่วไป ข้อสันนิษฐานนี้ได้รับการพิสูจน์โดยKarim Adiprasitoในเดือนธันวาคม 2018 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

• สมการ Dehn–Sommerville