ในทางคณิตศาสตร์ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์คือเซต โครงสร้าง ของซิมเพล็กซ์ (เช่นจุดส่วนของเส้นตรงสามเหลี่ยมและ ส่วน ที่ เทียบเท่าในมิติ n ) โดยที่หน้า และจุดตัดทั้งหมดขององค์ประกอบจะรวมอยู่ในเซตด้วย (ดูภาพประกอบ) ซิ มพลิเชียลคอมเพล็กซ์ไม่ควรสับสนกับแนวคิดที่เป็นนามธรรมมากกว่าของเซตซิมพลิเชียลที่ปรากฏในทฤษฎีโฮโมโท ปีซิมพลิเชียลสมัยใหม่ ส่วนที่เทียบเท่ากับซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ในเชิงการ จัดเรียง ล้วนๆ คือ ซิ มพลิเชียลคอมเพล็กซ์ เชิงนามธรรม เพื่อแยกแยะซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ออกจากซิม พลิเชียลคอมเพล็กซ์เชิงนามธรรม ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์เชิงนามธรรมมักเรียกว่าซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์เชิงเรขาคณิต [ ^{1 ] : 7}

คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล คือเซตของซิมพลิเชียลที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$

1. ทุกหน้าของซิมเพล็กซ์จากก็อยู่ใน ด้วยเช่นกัน${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$
2. จุดตัดที่ไม่ว่างเปล่า ของซิ มเพล็กซ์สองอันใดๆจะเป็นหน้าของทั้งและ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}\in {\mathcal {K}}}$${\displaystyle \sigma _{1}}$${\displaystyle \sigma _{2}}$

โปรดดูคำจำกัดความของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลนามธรรม เพิ่มเติม ซึ่งโดยคร่าวๆ แล้วคือคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลที่ไม่มีรูปทรงเรขาคณิตที่เกี่ยวข้อง

ซิมพลิเชียล k-คอมเพล็กซ์ คือ ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ ที่มิติที่ใหญ่ที่สุดของซิมเพล็กซ์ใดๆ ในนั้นเท่ากับkตัวอย่างเช่น ซิมพลิเชียล 2-คอมเพล็กซ์ ต้องมีสามเหลี่ยมอย่างน้อยหนึ่งรูป และต้องไม่มี รูปทรง สี่เหลี่ยมด้าน เท่า หรือซิมเพล็กซ์ที่มีมิติสูงกว่า ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$

คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล k บริสุทธิ์หรือเอกพันธุ์คือ คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลที่ซิมเพล็กซ์ทุกตัวที่มีมิติน้อยกว่าkเป็นหน้าของซิมเพล็กซ์บางตัวที่มีมิติเท่ากับk พอดี โดยทั่วไปแล้ว คอมเพล็กซ์ 1 บริสุทธิ์ "ดูเหมือน" ว่ามันประกอบขึ้นจากเส้นตรงจำนวนมาก คอมเพล็กซ์ 2 "ดูเหมือน" ว่ามันประกอบขึ้นจากสามเหลี่ยมจำนวนมาก เป็นต้น ตัวอย่างของ คอมเพล็กซ์ ที่ไม่เอกพันธุ์คือสามเหลี่ยมที่มีส่วนของเส้นตรงติดอยู่กับจุดยอดจุดหนึ่ง คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลบริสุทธิ์สามารถคิดได้ว่าเป็น ผล การสร้างสามเหลี่ยมและให้คำจำกัดความของรูปทรงหลายเหลี่ยม ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$${\displaystyle \sigma \in {\mathcal {K}}}$

ด้านหนึ่งคือซิมเพล็กซ์สูงสุด กล่าวคือ ซิมเพล็กซ์ใดๆ ในคอมเพล็กซ์ที่ไม่ใช่ด้านของซิมเพล็กซ์ที่ใหญ่กว่า^{[ 2 ]} (โปรดสังเกตความแตกต่างจาก"ด้าน" ของซิมเพล็กซ์ ) คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลบริสุทธิ์สามารถคิดได้ว่าเป็นคอมเพล็กซ์ที่ด้านทั้งหมดมีมิติเดียวกัน สำหรับ (คอมเพล็กซ์ขอบเขตของ) โพลีโทปซิมพลิเชียลสิ่งนี้สอดคล้องกับความหมายจากคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงของทรงหลายเหลี่ยม

บางครั้งคำว่า"face"ถูกใช้เพื่อหมายถึงซิมเพล็กซ์ของคอมเพล็กซ์ ซึ่งไม่ควรสับสนกับ "face" ของซิมเพล็กซ์

สำหรับคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลที่ฝังอยู่ในปริภูมิk มิติ บางครั้งหน้า kหน้าจะถูกเรียกว่าเซลล์คำว่าเซลล์บางครั้งถูกใช้ในความหมายที่กว้างกว่าเพื่อหมายถึงเซต ที่มีลักษณะทาง โทโพโลยี เหมือนกับซิ ม เพล็กซ์ ซึ่งนำไปสู่คำจำกัดความของคอมเพล็กซ์เซลล์

พื้นที่พื้นฐานซึ่งบางครั้งเรียกว่าตัวพาของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล คือการรวมกันของซิมพลิเชียลต่างๆ โดยปกติจะใช้สัญลักษณ์หรือแทน ${\displaystyle |{\คณิตศาสตร์ {K}}|}$${\displaystyle \|{\คณิตศาสตร์ {K}}\|}$

ภายในสัมพัทธ์ของซิมเพล็กซ์ทั้งหมดในรูปแบบการแบ่งส่วนของพื้นที่พื้นฐาน: สำหรับแต่ละจุดจะมีซิมเพล็กซ์เพียงหนึ่งเดียวในที่บรรจุอยู่ในภายในสัมพัทธ์ ซิมเพล็กซ์นี้เรียกว่าส่วนรองรับของxและใช้สัญลักษณ์[ ^{3 ] : 9} ${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$${\displaystyle |{\คณิตศาสตร์ {K}}|}$${\displaystyle x\in |{\mathcal {K}}|}$${\displaystyle {\คณิตศาสตร์ {K}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \operatorname {supp} (x)}$

ให้Kเป็นซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ และให้Sเป็นชุดของซิมพลิเชียลใน K

ส่วนปิดของS (แทนด้วย) คือซับคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียลที่เล็กที่สุดของKที่บรรจุซิมเพล็กซ์แต่ละอันในS ได้มาจากการเพิ่มหน้าแต่ละหน้าของซิมเพล็กซ์ทุกอันใน S เข้าไปใน S ซ้ำๆ กัน${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$${\displaystyle \mathrm {Cl} \ S}$

ดาวแห่ง S ( แทนด้วย) คือการรวมกันของดาวของแต่ละซิมเพล็กซ์ในSสำหรับซิมเพล็กซ์sเดี่ยว ดาวแห่งsคือเซตของซิมเพล็กซ์ในKที่มีsเป็นหน้า ดาวแห่งSโดยทั่วไปไม่ใช่คอมเพล็กซ์ซิมเพล็กซ์เอง ดังนั้นผู้เขียนบางคนจึงกำหนดดาวปิดแห่ง S (แทนด้วย) ว่าเป็นการปิดของดาวแห่ง S ${\displaystyle \mathrm {st} \ S}$${\displaystyle \mathrm {St} \ S}$${\displaystyle \mathrm {Cl} \ \mathrm {st} \ S}$

ค่าเชื่อมโยงของS (แทนด้วย) เท่ากับ. มันคือค่าดาวปิดของSลบด้วยค่าดาวของทุกหน้าของ S${\displaystyle \mathrm {Lk} \ S}$${\displaystyle \mathrm {Cl} {\big (}\mathrm {st} (S){\big )}\setminus \mathrm {st} {\big (}\mathrm {Cl} (S){\big )}}$

ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิตคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลมักมีประโยชน์สำหรับการคำนวณที่เป็นรูปธรรม สำหรับการนิยามกลุ่มโฮโมโลยีของคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียล เราสามารถอ่านคอมเพล็กซ์ลูกโซ่ ที่สอดคล้อง กันได้โดยตรง โดยมีเงื่อนไขว่าต้องมีการวางแนวที่สอดคล้องกันของซิมพลิเชียลทั้งหมด ข้อกำหนดของทฤษฎีโฮโมโทปีนำไปสู่การใช้ปริภูมิที่ทั่วไปกว่า นั่นคือคอมเพล็กซ์ CWคอมเพล็กซ์อนันต์เป็นเครื่องมือทางเทคนิคพื้นฐานในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต ในโทโพโลยีเชิงพีชคณิต ปริภูมิโทโพโลยีแบบกระชับ ซึ่งโฮโมมอร์ฟิกกับการรับรู้ทางเรขาคณิตของคอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลจำกัด มักเรียกว่าทรงหลายเหลี่ยม (ดูSpanier 1966 , Maunder 1996 , Hilton & Wylie 1967 )

นักคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงมักศึกษาเวกเตอร์fของซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ d Δ ซึ่งเป็นลำดับจำนวนเต็มโดยที่f _iคือจำนวนหน้ามิติ ( i − 1) ของ Δ (ตามธรรมเนียมf ₀  = 1 เว้นแต่ Δ จะเป็นคอมเพล็กซ์ว่าง) ตัวอย่างเช่น ถ้า Δ เป็นขอบของทรงแปดเหลี่ยม เวกเตอร์ fของมันคือ (1, 6, 12, 8) และถ้า Δ เป็นซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์แรกที่แสดงในภาพด้านบน เวกเตอร์ f ของมันคือ (1, 18, 23, 8, 1) ทฤษฎีบท Kruskal–Katonaให้ลักษณะเฉพาะที่สมบูรณ์ของเวกเตอร์fที่เป็นไปได้ ของซิมพลิเชีย ล คอมเพล็กซ์${\displaystyle (f_{0},f_{1},f_{2},\ldots ,f_{d+1})}$

โดยการใช้ เวกเตอร์ fของซิมพลิเชียล d-คอมเพล็กซ์ Δ เป็นสัมประสิทธิ์ของพหุนาม (ที่เขียนเรียงลำดับเลขชี้กำลังจากมากไปน้อย) เราจะได้พหุนาม fของ Δ ในสองตัวอย่างข้างต้น พหุนาม fจะเป็นและตามลำดับ ${\displaystyle x^{3}+6x^{2}+12x+8}$${\displaystyle x^{4}+18x^{3}+23x^{2}+8x+1}$

นักคณิตศาสตร์เชิงการจัดเรียงมักสนใจเวกเตอร์ hของคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล Δ ซึ่งเป็นลำดับของสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่ได้จากการแทนค่าx  − 1 ลงใน พหุนาม fของ Δ ในทางคณิตศาสตร์ ถ้าเราเขียนF _Δ ( x ) ให้หมายถึง พหุนาม fของ Δ แล้วพหุนาม hของ Δ คือ

${\displaystyle F_{\Delta }(x-1)=h_{0}x^{d+1}+h_{1}x^{d}+h_{2}x^{d-1}+\cdots +h_{d}x+h_{d+1}}$

และ เวกเตอร์ hของ Δ คือ

${\displaystyle (h_{0},h_{1},h_{2},\cdots ,h_{d+1}).}$

เราคำนวณเวกเตอร์ h ของขอบเขตทรงแปดเหลี่ยม (ตัวอย่างแรกของเรา) ดังนี้:

${\displaystyle F(x-1)=(x-1)^{3}+6(x-1)^{2}+12(x-1)+8=x^{3}+3x^{2}+3x+1.}$

ดังนั้น เวกเตอร์ h ของขอบของทรงแปดเหลี่ยมคือ (1, 3, 3, 1) การที่เวกเตอร์ hนี้สมมาตรนั้นไม่ใช่เรื่องบังเอิญ อันที่จริงแล้ว สิ่งนี้เกิดขึ้นทุกครั้งที่ Δ เป็นขอบของรูปทรงหลายเหลี่ยมเชิงซิมพลิ เชียล (ซึ่งก็คือสมการของ Dehn–Sommerville ) อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว เวกเตอร์ hของเชิงซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์ไม่จำเป็นต้องเป็นบวกเสมอไป ตัวอย่างเช่น ถ้าเรากำหนดให้ Δ เป็น 2-คอมเพล็กซ์ที่เกิดจากสามเหลี่ยมสองรูปตัดกันที่จุดยอดร่วมกันเพียงจุดเดียว เวกเตอร์ h ที่ได้จะ เป็น (1, 3, −2)

ทฤษฎีบท g อัน โด่งดัง ของStanley , Billera และ Lee ได้ให้ลักษณะเฉพาะที่สมบูรณ์ของเวกเตอร์hของโพลีโทปเชิงซิมพลิเชียลทั้งหมด

สามารถมองเห็นได้ว่าซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์มีโครงสร้างทางเรขาคณิตเช่นเดียวกับกราฟสัมผัสของการจัดเรียงทรงกลม (กราฟที่จุดยอดเป็นศูนย์กลางของทรงกลมและขอบจะมีอยู่ก็ต่อเมื่อองค์ประกอบการจัดเรียงที่สอดคล้องกันสัมผัสกัน) และด้วยเหตุนี้จึงสามารถใช้เพื่อกำหนดคุณสมบัติเชิงการจัดเรียงของการจัดเรียงทรงกลม เช่น จำนวนคู่ที่สัมผัสกัน (1-ซิมพลิเชียล) จำนวนสามที่สัมผัสกัน (2-ซิมพลิเชียล) และจำนวนสี่ที่สัมผัสกัน (3-ซิมพลิเชียล) ในการจัดเรียงทรงกลม

การสร้างสามเหลี่ยมในปริภูมิเชิงทอพอโลยี คือโฮมีโอเมอร์ฟิซึมโดยที่เป็นคอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล ${\displaystyle X}$${\displaystyle t:|{\mathcal {T}}|\rightarrow X}$${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

พื้นที่เชิงทอพอโลยีไม่จำเป็นต้องยอมรับการแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม และหากยอมรับได้ ก็จะไม่เป็นเอกลักษณ์เสมอ ไป แมนิโฟลด์เชิงทอพอโลยีที่มีมิติสามารถสร้างเป็นรูปสามเหลี่ยมได้เสมอ^{[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}แต่ไม่จำเป็นสำหรับ^{[ 7 ] [ 8 ]}${\displaystyle d\leq 3}$${\displaystyle d>3}$

แมนิโฟลด์ที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ในทุกมิติจะยอมรับการแบ่งเป็นรูปสามเหลี่ยม^{[ 9 ]}${\displaystyle d\geq 1}$

คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลเชิงนามธรรม มิติใด ๆสามารถฝังอยู่ในปริภูมิมิติได้^{[ 10 ] : บทที่ 1 ทฤษฎีบท 3 [ 11 ] : บทที่ 4 §1.9} ผลลัพธ์นี้เป็นคู่ขนานเชิงเส้นแบบชิ้นส่วนของทฤษฎีบทการฝัง Whitney (แบบอ่อน ) ${\displaystyle d}$${\displaystyle (2d+1)}$

ปัญหาการรับรู้เชิง ซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์คือ: เมื่อกำหนดซิมพลิเชียลคอมเพล็กซ์จำกัดแล้ว ให้ตัดสินใจว่ามันเป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับวัตถุทางเรขาคณิตที่กำหนดหรือไม่ ปัญหานี้ไม่สามารถตัดสินได้ สำหรับแมนิโฟลด์มิติ dใดๆสำหรับ^{[ 12 ] [ 13 ] : 9–11} ${\displaystyle d\geq 5}$

• คอมเพล็กซ์ซิมพลิเชียลนามธรรม
• การแบ่งย่อยแบบแบรีเซนทริก
• การสร้างสามเหลี่ยมเชิงพลวัตเชิงสาเหตุ
• ชุดเดลต้า
• แรงโน้มถ่วงควอนตัมแบบวงวน
• โซ่รูปหลายเหลี่ยม – คอมเพล็กซ์เชิงซิม  พลิเชียล 1 มิติ
• ทฤษฎีบทของทักเกอร์
• ต้นไม้ซิมเพล็กซ์

• ไวส์สไตน์, เอริค ดับเบิลยู. "คอมเพล็กซ์เชิงซิมพลิเชียล" . MathWorld .