ในทางคณิตศาสตร์เซตย่อย ของเซตที่มีลำดับก่อนหน้าเรียกว่าcofinalหรือfrequent ^{[ 1 ]}ถ้าสำหรับทุกๆเป็นไปได้ที่จะหาองค์ประกอบในที่ครอบงำ(อย่างเป็นทางการคือ) ${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle (A,\leq )}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle b}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a\leq b}$

เซตย่อยโคฟินัลมีความสำคัญมากในทฤษฎีเซตทิศทางและเน็ตโดยที่ “ เน็ตย่อยโคฟินัล ” เป็นการขยายความที่เหมาะสมของ “ ลำดับย่อย ” นอกจากนี้ยังมีความสำคัญในทฤษฎีลำดับรวมถึงทฤษฎีจำนวนเชิงคาร์ดินัล โดยที่จำนวน สมาชิกน้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของเซตย่อยโคฟินัลของเรียกว่าโคฟินัลลิตี้ของ${\displaystyle A}$${\displaystyle A.}$

ให้เป็นความสัมพันธ์ทวิภาคเอกพันธุ์บนเซต เซตย่อย กล่าวได้ว่าเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายหรือเซตย่อยที่พบบ่อย^{[ 1 ]}เมื่อเทียบกับถ้าเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle A.}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle \,\leq \,}$

สำหรับทุกสิ่งย่อมมีบางสิ่งที่...${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle a\leq b.}$

เซตย่อยที่ไม่บ่อยเรียกว่าเซตที่ไม่บ่อย^{[ 1 ]} คำจำกัดความนี้มักใช้เมื่อเป็นเซตแบบมีทิศทางซึ่งเป็นเซตแบบเรียงลำดับล่วงหน้าที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติม ${\displaystyle (A,\leq )}$

ฟังก์ชันสุดท้าย

แผนที่ ระหว่างเซตทิศทางสอง เซต เรียกว่าเป็นแผนที่สุดท้าย^{[ 2 ]}ถ้าภาพของเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของ${\displaystyle f:X\to A}$${\displaystyle f(X)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle A.}$

เซตย่อยที่เริ่มต้นพร้อมกัน

กล่าวได้ว่าเซตย่อยหนึ่ง เป็นเซต ที่มีจุดเริ่มต้นร่วมกัน (หรือหนาแน่นในแง่ของการบังคับ ) หากเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle B\subseteq A}$

สำหรับทุกๆจะมีบางสิ่งเช่นนั้น อยู่${\displaystyle a\in A,}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle b\leq a.}$

นี่คือคู่ตรงข้ามเชิงทฤษฎีลำดับของแนวคิดเรื่องเซตย่อยร่วมสุดท้าย เซตย่อยร่วมสุดท้าย (หรือเซตย่อยร่วมเริ่มต้น) คือเซต หนาแน่น โดยสัมพันธ์กับ โทโพโลยีลำดับขวา (หรือลำดับซ้าย)

ความสัมพันธ์โคฟินัลบนเซตที่มีลำดับบางส่วน (" โพเซต ") เป็นความสัมพันธ์สะท้อนกลับ : ทุกโพเซตเป็นโคฟินัลในตัวเอง นอกจากนี้ยังเป็นความสัมพันธ์ถ่ายทอด : ถ้าเป็นเซตย่อยโคฟินัลของโพเซตและเป็นเซตย่อยโคฟินัลของ(โดยใช้ลำดับบางส่วนของกับ) แล้วก็เป็นเซตย่อยโคฟินัลของ ด้วยเช่นกัน${\displaystyle B}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle C}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$${\displaystyle A.}$

สำหรับเซตที่มีลำดับบางส่วนและมีสมาชิกสูงสุด เซตย่อย ร่วมสุดท้ายทุกเซตจะต้องมีสมาชิกสูงสุด ทั้งหมด มิฉะนั้น สมาชิกสูงสุดที่ไม่ได้อยู่ในเซตย่อยนั้นจะไม่น้อยกว่าหรือเท่ากับสมาชิกใดๆ ในเซตย่อยนั้น ซึ่งขัดกับนิยามของเซตร่วมสุดท้าย สำหรับเซตที่มีลำดับบางส่วนและมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดเซตย่อยจะเป็นเซตร่วมสุดท้ายก็ต่อเมื่อมันมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดนั้น (ซึ่งเป็นผลสืบเนื่องมาจากสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดจำเป็นต้องเป็นสมาชิกสูงสุด) เซตที่มีลำดับบางส่วนที่ไม่มีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดหรือสมาชิกสูงสุดจะมีเซตย่อยร่วมสุดท้ายที่ไม่ซ้ำกัน ตัวอย่างเช่นจำนวนธรรมชาติ คู่และ คี่เป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายที่ไม่ซ้ำกันของเซตของจำนวนธรรมชาติทั้งหมด

ถ้าเซตที่มีลำดับบางส่วนยอมรับ เซตย่อยที่ มีลำดับสมบูรณ์และโคฟินัลแล้ว เราก็สามารถหาเซตย่อยที่มีลำดับที่ดีและโคฟินัลในเซตที่มีลำดับ สมบูรณ์ได้${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle A.}$

ถ้าเป็นเซตทิศทางและถ้าเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของแล้วก็เป็นเซตทิศทางเช่นกัน^{[ 1 ]}${\displaystyle (A,\leq )}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (B,\leq )}$

ซูเปอร์เซตใด ๆ ของซับเซตโคฟินัลก็จะเป็นโคฟินัลด้วยเช่นกัน^{[ 1 ]}

ถ้าเป็นเซตที่มีทิศทาง และถ้าการรวมกันของเซตย่อยจำนวนจำกัด (หนึ่งเซตหรือมากกว่า) บางส่วนเป็นเซตที่มีจุดร่วมสุดท้าย อย่างน้อยหนึ่งเซตก็จะเป็นเซตที่มีจุดร่วมสุดท้ายเช่นกัน^{[ 1 ]}คุณสมบัตินี้ไม่เป็นจริงโดยทั่วไปหากไม่มีสมมติฐานว่าเซตนั้นมีทิศทาง ${\displaystyle (A,\leq )}$${\displaystyle S_{1}\cup \cdots \cup S_{n}}$${\displaystyle S_{1},\ldots ,S_{n}}$${\displaystyle (A,\leq )}$

ความสัมพันธ์ของกลุ่มย่อยและฐานของเพื่อนบ้าน

ให้เป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีและให้แทนตัวกรองย่านใกล้เคียงณ จุดความสัมพันธ์ของ เซตย่อยคือลำดับบางส่วนบน: กล่าวคือ สำหรับเซตและ ใดๆ ให้ประกาศว่าก็ต่อเมื่อ(ดังนั้นโดยพื้นฐานแล้ว เท่ากับ) เซตย่อยเรียกว่าฐานย่านใกล้เคียงณ จุด ก็ต่อเมื่อ (และก็ต่อเมื่อ) เป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของ นั่นคือ ก็ต่อเมื่อ สำหรับทุกมี บางตัวที่(นั่นคือ เช่นนั้น) ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle \,\supseteq \,}$${\displaystyle {\mathcal {N}}_{x}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle S\leq T}$${\displaystyle S\supseteq T}$${\displaystyle \,\leq \,}$${\displaystyle \,\supseteq \,}$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {N}}_{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle \left({\mathcal {N}}_{x},\supseteq \right);}$${\displaystyle N\in {\mathcal {N}}_{x}}$${\displaystyle B\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle N\supseteq B.}$${\displaystyle N\leq B}$

เซตย่อยโคไฟนัลของจำนวนจริง

สำหรับค่าใดๆช่วงนั้นเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของแต่ไม่ใช่เซตย่อยร่วมสุดท้ายของ เซตของจำนวนธรรมชาติ (ประกอบด้วยจำนวนเต็มบวก) เป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของแต่ไม่ใช่สำหรับเซตของจำนวนเต็มลบ${\displaystyle -\infty <x<\infty ,}$${\displaystyle (x,\infty )}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq ).}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle -\mathbb {N} :=\{-1,-2,-3,\ldots \}.}$

ในทำนองเดียวกัน สำหรับช่วงเวลาใดๆช่วงนั้นเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของแต่ไม่ใช่เซตย่อยร่วมสุดท้ายของ เซตของจำนวนเต็มลบเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของแต่ไม่ เป็น เช่นนั้นสำหรับจำนวนธรรมชาติ เซต ของ จำนวนเต็มทั้งหมดเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของและเป็นเซตย่อยร่วมสุดท้ายของ เช่นกัน และเช่นเดียวกันกับเซต${\displaystyle -\infty <y<\infty ,}$${\displaystyle (-\infty ,y)}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq ).}$${\displaystyle -\mathbb {N} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$${\displaystyle \mathbb {N} .}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$${\displaystyle \mathbb {Q} .}$

กรณีเฉพาะแต่สำคัญกรณีหนึ่งคือ ถ้าเป็นเซตย่อยของเซตกำลังของเซตบางเซตที่เรียงลำดับโดยการรวมแบบย้อนกลับเมื่อกำหนดลำดับนี้ เซตย่อยจะเป็น cofinal ในถ้าสำหรับทุก ๆจะมีเช่นนั้น${\displaystyle A}$${\displaystyle \wp (E)}$${\displaystyle E,}$${\displaystyle \,\supseteq .}$${\displaystyle A,}$${\displaystyle B\subseteq A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle a\supseteq b.}$

ตัวอย่างเช่น ให้เป็นกลุ่มและให้เป็นเซตของกลุ่มย่อยปกติ ที่มี ดัชนีจำกัดการเติมเต็มแบบโปรไฟไนต์ของถูกกำหนดให้เป็นลิมิตผกผันของระบบผกผันของผลหาร จำกัด ของ(ซึ่งถูกกำหนดพารามิเตอร์โดยเซต) ในสถานการณ์นี้ เซตย่อยร่วมสุดท้ายทุกเซตของเพียงพอที่จะสร้างและอธิบายการเติมเต็มแบบโปรไฟไนต์ของ${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E.}$

• โคไฟไนต์  – เซตย่อยที่มีคอมพลีเมนต์จำกัดPages displaying short descriptions of redirect targets
• โคฟินาลิตี้  – ขนาดของเซตย่อยในทฤษฎีลำดับ
• ชุดบน  – ชุดย่อยของการสั่งซื้อล่วงหน้าที่ประกอบด้วยองค์ประกอบขนาดใหญ่ทั้งหมดPages displaying short descriptions of redirect targets
  • เซตย่อยของเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งประกอบด้วยทุกองค์ประกอบที่มีเงื่อนไข${\displaystyle U}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle y\in P}$${\displaystyle x\in U}$${\displaystyle x\leq y}$