ในทางคณิตศาสตร์ลิมิตผกผัน (หรือเรียกว่าลิมิตเชิงฉาย ) คือโครงสร้างที่ช่วยให้สามารถ "เชื่อมต่อ" วัตถุ ที่เกี่ยวข้องกันหลายๆ ชิ้นเข้าด้วยกัน โดยกระบวนการเชื่อมต่อที่แน่นอนจะถูกกำหนดโดยมอร์ฟิซึมระหว่างวัตถุเหล่านั้น ลิมิตผกผันสามารถนิยามได้ในหมวดหมู่ ใดๆ ก็ได้ แม้ว่าการมีอยู่ของมันจะขึ้นอยู่กับหมวดหมู่ที่พิจารณา พวกมันเป็นกรณีพิเศษของแนวคิดเรื่องลิมิตในทฤษฎีหมวดหมู่

โดยการทำงานในหมวดหมู่คู่ขนานกล่าวคือ โดยการกลับทิศทางของลูกศร ลิมิตผกผันจะกลายเป็นลิมิตตรงหรือลิมิตอุปนัยและลิมิตจะกลายเป็นโคลิมิต

เราเริ่มต้นด้วยนิยามของระบบผกผัน (หรือระบบเชิงฉาย) ของกลุ่มและโฮโมมอร์ฟิ ซึม ให้ I เป็นเซตลำดับที่มีทิศทาง (ไม่ใช่ผู้เขียนทุกคนที่กำหนดให้Iต้องมีทิศทาง) ให้ ( A _i ) _{i ∈ I}เป็นตระกูลของกลุ่ม และสมมติว่าเรามีตระกูลของโฮโมมอร์ฟิซึมสำหรับทุก(โปรดสังเกตลำดับ) ที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle (I,\leq )}$${\displaystyle f_{ij}:A_{j}\to A_{i}}$${\displaystyle i\leq j}$

1. ${\displaystyle f_{ii}}$คือเอกลักษณ์บน,${\displaystyle A_{i}}$
2. ${\displaystyle f_{ik}=f_{ij}\circ f_{jk}\quad {\text{สำหรับทุก }}i\leq j\leq k.}$

จากนั้นคู่ดังกล่าวเรียกว่าระบบผกผันของกลุ่มและมอร์ฟิซึมเหนือและมอร์ฟิซึมเหล่านั้นเรียกว่ามอร์ฟิซึมการเปลี่ยนผ่านของระบบ ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$${\displaystyle I}$${\displaystyle f_{ij}}$

ลิมิตผกผันของระบบผกผันคือกลุ่มย่อยของผลคูณโดยตรงของ⁠ ⁠ซึ่งกำหนดไว้ดังนี้ ${\displaystyle ((A_{i})_{i\in I},(f_{ij})_{i\leq j\in I})}$${\displaystyle A_{i}}$

${\displaystyle A=\varprojlim _{i\in I}{A_{i}}=\left\{\left.{\vec {a}}\in \prod _{i\in I}A_{i}\;\right|\;a_{i}=f_{ij}(a_{j}){\text{ for all }}i\leq j{\text{ in }}I\right\}.}$

นิยามข้างต้นของระบบผกผันบ่งชี้ว่า ระบบนั้นปิดภายใต้การคูณแบบจุดต่อจุด และดังนั้นจึงเป็นกลุ่ม เนื่องจาก ${\displaystyle A}$

${\displaystyle f_{i,j}(a_{j}\cdot b_{j})=f_{i,j}(a_{j})\cdot f_{i,j}(b_{j})=a_{i}\cdot b_{i}}$

สำหรับทุกคนและ${\displaystyle i<j}$ทุกๆ​${\displaystyle {\vec {a}},{\vec {b}}\in A}$

ลิมิตผกผันมาพร้อมกับการฉายภาพตามธรรมชาติπ _i : A → A _iซึ่งเลือก ส่วนประกอบที่ iของผลคูณโดยตรงสำหรับแต่ละใน ลิมิตผกผันและการฉายภาพตามธรรมชาติเป็นไปตามคุณสมบัติสากลที่อธิบายไว้ในส่วนถัดไป ${\displaystyle A}$${\displaystyle i}$${\displaystyle I}$

โครงสร้างเดียวกันนี้สามารถดำเนินการได้หาก's เป็นเซตเซมิกรุปปริภูมิเชิงทอพอโลยีวงแหวนโมดูล( เหนือวงแหวนที่กำหนด) พีชคณิต (เหนือวงแหวนที่กำหนด) เป็นต้น และโฮโมมอร์ฟิซึมเป็นมอร์ฟิซึมในหมวดหมู่ ที่สอดคล้องกัน ลิมิตผกผันก็จะอยู่ในหมวดหมู่นั้นด้วย^{[ 1 ]}โดยทั่วไปแล้ว โครงสร้างนี้ใช้ได้เมื่อ⁠ ⁠อยู่ในวาไรตี้ในความหมายของพีชคณิตสากลนั่นคือ โครงสร้างพีชคณิตประเภทหนึ่ง ซึ่งสัจพจน์ไม่มีเงื่อนไข ( ฟิลด์ไม่ก่อให้เกิดพีชคณิต เนื่องจากศูนย์ไม่มีตัวผกผันการคูณ ) ${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$

ลิมิตผกผันสามารถนิยามได้ในเชิงนามธรรมในหมวดหมู่ ใดๆ โดยอาศัยคุณสมบัติสากลให้ Y เป็นระบบผกผันของวัตถุและมอร์ฟิซึม ในหมวดหมู่C (นิยามเดียวกับข้างต้น) ลิมิตผกผันของระบบนี้คือวัตถุXในCพร้อมกับมอร์ฟิซึมπ _i : X → X _i (เรียกว่าการฉายภาพ ) ที่สอดคล้องกับπ _i = ∘ π _jสำหรับทุกi ≤ jคู่ ( X , π _i ) ต้องเป็นสากลในแง่ที่ว่าสำหรับคู่ ( Y , ψ _i ) อื่นๆ จะต้องมีมอร์ฟิซึมu : Y → X ที่ไม่ซ้ำกันเพียงตัวเดียวเท่านั้น ที่ทำให้ไดอะแกรม เป็นจริง${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$${\displaystyle f_{ij}}$

สลับที่ได้สำหรับทุกi ≤ jลิมิตผกผันมักใช้สัญลักษณ์ แทน

${\displaystyle X=\varprojlim X_{i}}$

โดยที่ระบบผกผันและการฉายภาพเชิงแคนอนิกเป็นที่เข้าใจแล้ว ${\textstyle (X_{i},f_{ij})}$${\displaystyle \pi _{i}}$

ในบางหมวดหมู่ ลิมิตผกผันของระบบผกผันบางระบบอาจไม่มีอยู่จริง อย่างไรก็ตาม หากมีอยู่จริง ก็จะเป็นเอกลักษณ์ในความหมายที่เข้มงวด กล่าวคือ เมื่อกำหนดลิมิตผกผันสองตัวใดๆXและX'ของระบบผกผันแล้ว จะมีไอโซมอร์ฟิซึมX ′ → X ที่ไม่ซ้ำ กันเพียงหนึ่งเดียว ซึ่ง สลับตำแหน่งได้กับแผนที่การฉายภาพ

ระบบผกผันและลิมิตผกผันในหมวดหมู่Cสามารถอธิบายได้อีกแบบหนึ่งโดยใช้ฟังก์ชัน เซตที่มีลำดับบางส่วนใดๆIสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นหมวดหมู่ขนาดเล็กโดยที่มอร์ฟิซึมประกอบด้วยลูกศรi → j ก็ต่อเมื่อi ≤ j เท่านั้น ระบบผกผันจึงเป็นเพียงฟังก์ชันผกผันแบบคอนทราแวเรียนต์I → Cให้เป็นหมวดหมู่ของฟังก์ชันเหล่านี้ (โดยมีการแปลงธรรมชาติเป็นมอร์ฟิซึม) วัตถุXของCสามารถพิจารณาได้ว่าเป็นระบบผกผันแบบไม่สำคัญ โดยที่วัตถุทั้งหมดเท่ากับXและลูกศรทั้งหมดเป็นเอกลักษณ์ของXสิ่งนี้กำหนด "ฟังก์ชันไม่สำคัญ" จากCไปยังลิมิตผกผัน ถ้ามีอยู่ จะถูกกำหนดให้เป็นแอดจอยต์ขวาของฟังก์ชันไม่สำคัญนี้ ${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}}$${\displaystyle C^{I^{\mathrm {op} }}.}$

• วงแหวนของจำนวนเต็มp -adic คือลิมิตผกผันของวงแหวน(ดูเลขคณิตมอดูลาร์ ) โดยที่เซตดัชนีคือจำนวนธรรมชาติที่มีลำดับปกติ และมอร์ฟิซึมคือ "หาเศษเหลือ" กล่าวคือ เราพิจารณาลำดับของจำนวนเต็มโดยที่แต่ละองค์ประกอบของลำดับ "ฉาย" ลงไปยังองค์ประกอบก่อนหน้า กล่าวคือเมื่อใดก็ตามที่โทโพโลยีธรรมชาติบน จำนวนเต็ม p -adic คือโทโพโลยีที่แสดงไว้ในที่นี้ นั่นคือโทโพโลยีผลคูณ โดย มีเซตทรงกระบอกเป็นเซตเปิด${\displaystyle \mathbb {Z} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle (n_{1},n_{2},\dots )}$${\displaystyle n_{i}\equiv n_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$${\displaystyle i<j.}$
• โซ ลีนอยด์ p -adicคือลิมิตผกผันของกลุ่มโทโพโลยีโดยที่เซตดัชนีเป็นจำนวนธรรมชาติที่มีลำดับปกติ และมอร์ฟิซึมคือ "การหาเศษเหลือ" กล่าวคือ เราพิจารณาลำดับของจำนวนจริงที่แต่ละองค์ประกอบของลำดับ "ฉาย" ลงไปยังองค์ประกอบก่อนหน้า กล่าวคือเมื่อใดก็ตามที่องค์ประกอบของลำดับนั้นมีรูปแบบที่แน่นอนคือ โดยที่เป็น จำนวนเต็ม p -adic และคือ "เศษเหลือ"${\displaystyle \mathbb {R} /p^{n}\mathbb {Z} }$${\displaystyle (x_{1},x_{2},\dots )}$${\displaystyle x_{i}\equiv x_{j}{\mbox{ mod }}p^{i}}$${\displaystyle i<j.}$${\displaystyle n+r}$${\displaystyle n}$${\displaystyle r\in [0,1)}$
• วงแหวนของอนุกรมกำลังเชิงรูปธรรมเหนือวงแหวนสลับที่Rสามารถคิดได้ว่าเป็นลิมิตผกผันของวงแหวนโดยมีดัชนีเป็นจำนวนธรรมชาติที่เรียงลำดับตามปกติ โดยมีมอร์ฟิซึมจากไปยังกำหนดโดยการฉายภาพตามธรรมชาติ${\displaystyle \textstyle R[[t]]}$${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n+j}R[t]}$${\displaystyle \textstyle R[t]/t^{n}R[t]}$
• กลุ่มโปรไฟไนต์ถูกนิยามว่าเป็นลิมิตผกผันของกลุ่มไฟไนต์ (แบบไม่ต่อเนื่อง)
• ให้เซตดัชนีIของระบบผกผัน ( X _i , ) มีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด คือ mแล้วการฉายภาพตามธรรมชาติπ _m : X → X _mเป็นไอโซมอร์ฟิซึม${\displaystyle f_{ij}}$
• ในหมวดหมู่ของเซตระบบผกผันทุกระบบมีลิมิตผกผัน ซึ่งสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยวิธีพื้นฐาน โดยเป็นเซตย่อยของผลคูณของเซตที่ประกอบกันเป็นระบบผกผัน ลิมิตผกผันของระบบผกผันใดๆ ของเซตจำกัดที่ไม่ว่างเปล่า จะต้องไม่ว่างเปล่า นี่เป็นการขยายความของทฤษฎีบทของ Kőnigในทฤษฎีกราฟ และสามารถพิสูจน์ได้ด้วยทฤษฎีบทของ Tychonoffโดยมองว่าเซตจำกัดเป็นปริภูมิแบบแยกส่วนขนาดกะทัดรัด แล้วจึงนำคุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด มาใช้ ในการกำหนดลักษณะความกะทัดรัด
• ในหมวดหมู่ของปริภูมิเชิงทอพอโลยีระบบผกผันทุกระบบจะมีลิมิตผกผัน ซึ่งสร้างขึ้นโดยการวางทอพอโลยีเริ่มต้น (โดยสัมพันธ์กับแผนที่การฉายภาพไปยังปริภูมิองค์ประกอบของระบบผกผัน) บนลิมิตผกผันเชิงเซตพื้นฐาน สิ่งนี้เรียกว่าทอพอโลยีลิมิต
  • เซตของสตริง อนันต์ คือลิมิตผกผันของเซตของสตริงจำกัด และด้วยเหตุนี้จึงมีโทโพโลยีลิมิต เนื่องจากปริภูมิเดิมเป็นปริภูมิแบบไม่ต่อเนื่องปริภูมิลิมิตจึงเป็นปริภูมิที่ไม่เชื่อมต่อกันโดยสิ้นเชิง นี่เป็นวิธีหนึ่งในการทำให้จำนวนp -adic และเซตแคนเตอร์ (ในรูปของสตริงอนันต์) เป็นจริงได้
  • คุณสมบัติอีกประการหนึ่งของโทโพโลยีลิมิตคือ หากแต่ละพื้นที่ในระบบลิมิตผกผันเป็น พื้นที่โทโพโลยี แบบกะทัดรัดและเฮาส์ดอร์ฟ โทโพโลยีลิมิตที่สร้างขึ้นจากระบบลิมิตจะไม่ว่างเปล่า การพิสูจน์ดั้งเดิมของข้อความนี้อาศัยการกำหนดโทโพโลยีลิมิตแบบอื่น ซึ่งเกี่ยวข้องกับการนำเซตย่อยของโทโพโลยีผลคูณของ's ต่างๆ ^{[ 2 ]}${\displaystyle X_{n}}$${\displaystyle \{X_{n},f_{n}\}}$${\displaystyle X_{n}}$

สำหรับหมวดหมู่อาเบเลียนCฟังก์ชันลิมิตผกผัน

${\displaystyle \varprojlim :C^{I}\rightarrow C}$

ซ้ายคือ ค่าที่แน่นอน ถ้าIเป็นเซตที่มีลำดับ (ไม่ใช่แค่มีลำดับบางส่วน) และนับได้และCคือหมวดหมู่Abของกลุ่มอาเบเลียน เงื่อนไขของ Mittag-Leffler คือเงื่อนไขของมอร์ฟิซึมการเปลี่ยนผ่านf _ijที่รับประกันความแม่นยำของโดยเฉพาะอย่างยิ่งEilenbergได้สร้างฟังก์ชันเตอร์ขึ้นมา ${\displaystyle \varprojlim }$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}:\operatorname {Ab} ^{I}\rightarrow \operatorname {Ab} }$

(ออกเสียงว่า "ลิม วัน") โดยที่ถ้า ( A _i , f _ij ), ( B _i , g _ij ) และ ( C _i , h _ij ) เป็นระบบผกผันสามระบบของกลุ่มอาเบเลียน และ

${\displaystyle 0\rightarrow A_{i}\rightarrow B_{i}\rightarrow C_{i}\rightarrow 0}$

เป็นลำดับที่แน่นอนและสั้นของระบบผกผัน จากนั้น

${\displaystyle 0\rightarrow \varprojlim A_{i}\rightarrow \varprojlim B_{i}\rightarrow \varprojlim C_{i}\rightarrow \varprojlim {}^{1}A_{i}}$

เป็นลำดับที่แน่นอนใน Ab

ถ้าช่วงของมอร์ฟิซึมของระบบผกผันของกลุ่มอาเบเลียน ( A _i , f _ij ) เป็นแบบคงที่กล่าวคือ สำหรับทุกkจะมีj ≥ k อยู่จริง โดยที่สำหรับทุกi ≥ j  : เราจะกล่าวว่าระบบนั้นสอดคล้องกับเงื่อนไขของ Mittag- Leffler ${\displaystyle f_{kj}(A_{j})=f_{ki}(A_{i})}$

ชื่อ "มิตตาก-เลฟเฟลอร์" สำหรับเงื่อนไขนี้ได้รับการตั้งโดยบูร์บากิในบทของพวกเขาเกี่ยวกับโครงสร้างเอกรูปสำหรับผลลัพธ์ที่คล้ายกันเกี่ยวกับลิมิตผกผันของปริภูมิเอกรูปเฮาส์ดอร์ฟที่สมบูรณ์ มิตตาก-เลฟเฟลอร์ใช้ข้อโต้แย้งที่คล้ายกันในการพิสูจน์ทฤษฎีบทของมิตตาก-เลฟเฟลอร์

สถานการณ์ต่อไปนี้เป็นตัวอย่างที่แสดงให้เห็นว่าเงื่อนไขของ Mittag-Leffler เป็นไปตามที่กำหนด:

• ระบบที่มอร์ฟิซึมf _ijเป็นการส่งแบบทั่วถึง
• ระบบของปริภูมิเวกเตอร์ มิติจำกัด หรือกลุ่มอาเบเลียนจำกัด หรือโมดูลที่มีความยาว จำกัด หรือโมดูลอาร์ทิเนียน

ตัวอย่างที่ไม่เป็นศูนย์นั้นได้มาจากการกำหนดให้Iเป็นจำนวนเต็มที่ ไม่เป็นลบ โดยให้A _i = p ⁱ Z , B _i = ZและC _i = B _i / A _i = Z / p ⁱ Zแล้ว ${\displaystyle \varprojlim {}^{1}}$

${\displaystyle \varprojlim {}^{1}A_{i}=\mathbf {Z} _{p}/\mathbf {Z} }$

โดยที่Z _pหมายถึงจำนวนเต็ม p- adic

โดยทั่วไปแล้ว ถ้าCเป็นหมวดหมู่เอเบเลียนใดๆ ที่มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเพียงพอแล้วC ^I ก็มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งเพียงพอเช่นกัน และฟังก์ชันอนุพันธ์ ทางขวา ของฟังก์ชันลิมิตผกผันจึงสามารถกำหนดได้ ฟังก์ชันอนุพันธ์ทางขวาตัวที่ nจะถูกแทนด้วย

${\displaystyle R^{n}\varprojlim :C^{I}\rightarrow C.}$

ในกรณีที่Cสอดคล้องกับสัจพจน์ของGrothendieck (AB4*) Jan-Erik Roosได้ขยายฟังก์ชัน lim ¹บนAb ^Iไปเป็นอนุกรมของฟังก์ชัน lim ⁿโดยที่

${\displaystyle \varprojlim {}^{n}\cong R^{n}\varprojlim .}$

เป็นที่เชื่อกันมาเกือบ 40 ปีแล้วว่า Roos ได้พิสูจน์แล้ว (ในSur les foncteurs dérivés de lim. Applications. ) ว่า lim ¹ A _i = 0 สำหรับ ( A _i , f _ij ) ซึ่งเป็นระบบผกผันที่มีมอร์ฟิซึมการเปลี่ยนผ่านแบบทั่วถึง และIคือเซตของจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ (ระบบผกผันดังกล่าว มักเรียกว่า " ลำดับ Mittag-Leffler ") อย่างไรก็ตาม ในปี 2002 Amnon NeemanและPierre Deligneได้สร้างตัวอย่างของระบบดังกล่าวในหมวดหมู่ที่สอดคล้องกับ (AB4) (นอกเหนือจาก (AB4*)) โดยมี lim ¹ A _i ≠ 0 ตั้งแต่นั้นมา Roos ได้แสดงให้เห็นแล้ว (ใน "Derived functors of inverse limits revisited") ว่าผลลัพธ์ของเขานั้นถูกต้องหากCมีเซตของตัวสร้าง (นอกเหนือจากการสอดคล้องกับ (AB3) และ (AB4*))

แบร์รี มิตเชลล์ได้แสดงให้เห็นแล้ว (ในบทความ "มิติโคฮอโมโลจิกของเซตที่มีทิศทาง") ว่า ถ้า เซต Iมีจำนวนสมาชิก เท่ากับจำนวนอนันต์ลำดับที่dแล้วlim R ⁿ จะเป็นศูนย์สำหรับทุก n ≥ d + 2 ซึ่งใช้ได้กับ ไดอะแกรมที่มีดัชนีเป็น Iในหมวดหมู่ของโมดูลR โดยที่ Rเป็นวงแหวนสลับที่ได้ แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นจริงในหมวดหมู่อาเบเลียนใดๆ (ดูบทความของรูสเรื่อง "Derived functors of inverse limits revisited" สำหรับตัวอย่างของหมวดหมู่อาเบเลียนที่ lim ⁿบนไดอะแกรมที่มีดัชนีเป็นเซตที่นับได้ จะมีค่าไม่เป็นศูนย์สำหรับ  n  > 1) ${\displaystyle \aleph _{d}}$

คู่เชิงหมวดหมู่ของลิมิตผกผันคือลิมิตตรง (หรือลิมิตอุปนัย) แนวคิดที่ทั่วไปกว่านั้นคือลิมิตและโคลิมิตในทฤษฎีหมวดหมู่ คำศัพท์ค่อนข้างสับสน: ลิมิตผกผันเป็นกลุ่มของลิมิต ในขณะที่ลิมิตตรงเป็นกลุ่มของโคลิมิต