ความสัมพันธ์ทวิภาคแบบถ่ายทอด วี ที อี
สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร โททอลเซมิคอนเน็กซ์ ต่อต้านปฏิกิริยาสะท้อน ความสัมพันธ์สมมูล วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ สั่งซื้อล่วงหน้า(กึ่งสั่งซื้อ) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อบางส่วน ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การสั่งซื้อล่วงหน้า ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดลำดับแบบกึ่งดี ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดระเบียบที่ดี ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ โครงตาข่าย ✗ วาย ✗ ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ ข้อต่อเซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ วาย ✗ ✗ มีท-เซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย คำสั่งที่เข้มงวดแต่ไม่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย ลำดับที่เข้มงวดทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร คำจำกัดความสำหรับทุกคนและ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ และ }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ หรือ }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
Yเครื่องหมาย * แสดงว่าคุณสมบัติของคอลัมน์นั้นเป็นจริงเสมอสำหรับพจน์ของแถวนั้น (ทางซ้ายสุด) ในขณะที่ เครื่องหมาย ✗แสดงว่าคุณสมบัตินั้นไม่ได้รับการรับประกันโดยทั่วไป (อาจเป็นจริงหรือไม่ก็ได้) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูลทุกความสัมพันธ์เป็นสมมาตร แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นปฏิสมมาตรจะแสดงด้วย * ในคอลัมน์ "สมมาตร" และ เครื่องหมาย ✗ในคอลัมน์ "ปฏิสมมาตร" ตามลำดับ Y โดยปริยายแล้ว นิยามทั้งหมดกำหนดให้ความสัมพันธ์เอกพันธุ์ ต้องเป็นแบบถ่ายทอดได้ กล่าวคือ สำหรับทุกถ้าและแล้ว นิยามของคำศัพท์อาจต้องการคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ไม่ได้ระบุไว้ในตารางนี้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle a,b,c,}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle bRc}$${\displaystyle aRc.}$

ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะทฤษฎีลำดับลำดับบางส่วนบนเซตคือการจัดเรียงที่ทำให้สำหรับคู่ของสมาชิกบางคู่ สมาชิกคู่หนึ่งมาก่อนอีกคู่หนึ่ง คำว่า " บางส่วน"ใช้เพื่อบ่งชี้ว่าไม่ใช่ทุกคู่ของสมาชิกจะต้องเปรียบเทียบกันได้ กล่าวคือ อาจมีคู่ที่ไม่มีสมาชิกคู่ใดมาก่อนอีกคู่หนึ่ง ดังนั้น ลำดับบางส่วนจึงเป็นการขยายความของลำดับทั้งหมดซึ่งทุกคู่สามารถเปรียบเทียบกันได้

ในทางทฤษฎี ลำดับบางส่วน (partial order) คือความสัมพันธ์ทวิภาคเอกพันธุ์ (homogeneous binary relation)ที่มีคุณสมบัติสะท้อนกลับ ( reflexive) สมมาตรผกผัน ( antisymmetric ) และถ่ายทอด (transitive ) เซตที่มีลำดับบางส่วน ( poset ) คือคู่ลำดับ ที่ประกอบด้วยเซต(เรียกว่าเซตพื้นฐานของ) และลำดับบางส่วนบนเซตนั้นเมื่อความหมายชัดเจนจากบริบทและไม่มีความกำกวมเกี่ยวกับลำดับบางส่วนบางครั้งเซตนั้นเองก็เรียกว่า poset ด้วย ${\displaystyle P=(X,\leq )}$${\displaystyle X}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

โดยทั่วไป คำว่าลำดับบางส่วน (partial order)มักหมายถึงความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนแบบสะท้อนกลับ (reflexive partial order relations) ซึ่งในบทความนี้เรียกว่า ลำดับบางส่วนแบบ ไม่เข้มงวด (non-strict partial orders) อย่างไรก็ตาม ผู้เขียนบางท่านใช้คำนี้กับความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนอีกประเภทหนึ่งที่พบได้ทั่วไป คือ ความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนแบบไม่สะท้อนกลับ (irreflexive partial order relations) หรือที่เรียกว่า ลำดับบางส่วนแบบเข้มงวด (strict partial orders) ลำดับบางส่วนแบบเข้มงวดและไม่เข้มงวดสามารถจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งได้ดังนั้นสำหรับทุกลำดับบางส่วนแบบเข้มงวด จะมีลำดับบางส่วนแบบไม่เข้มงวดที่สอดคล้องกันเพียงหนึ่งเดียว และในทางกลับกัน

การสะท้อนกลับที่อ่อนแอ [ ^{1 ] หรือลำดับบางส่วน ที่}ไม่เข้มงวด [ ^{2 ]}ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าลำดับบางส่วนคือความสัมพันธ์เอกพันธุ์≤ บนเซต ที่สะท้อน สมมาตรผกผันและถ่ายทอดได้กล่าวคือ สำหรับทุก ๆ เซตจะต้องเป็นไปตาม: ^{[ 1 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle a,b,c\in P,}$

1. การสะท้อนกลับ : กล่าวคือ ทุกองค์ประกอบมีความสัมพันธ์กับตัวมันเอง${\displaystyle a\leq a}$
2. ความไม่สมมาตร : ถ้าและแล้วกล่าวคือ ไม่มีองค์ประกอบที่แตกต่างกันสองอย่างอยู่ก่อนหน้ากัน${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq a}$${\displaystyle a=b}$
3. คุณสมบัติการถ่ายทอด : ถ้าและแล้ว${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle b\leq c}$${\displaystyle a\leq c}$

ลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดเรียกอีกอย่างว่าลำดับก่อนหน้า แบบปฏิ สมมาตร

ไร้การ^{สะท้อน}กลับแข็งแกร่ง [ ^{1 ]}หรือลำดับบางส่วนที่เข้มงวด (strict partial order)คือความสัมพันธ์เอกพันธุ์ (homogeneous relation) บนเซตที่ไม่สะท้อน (irreflexive(asymmetric)และถ่ายทอด (transitive) กล่าวคือ เป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้สำหรับทุก ๆ${\displaystyle P}$${\displaystyle a,b,c\in P:}$

1. ความไม่สะท้อนกลับ : กล่าวคือ ไม่มีองค์ประกอบใดเกี่ยวข้องกับตัวมันเอง (เรียกอีกอย่างว่า การต่อต้านการสะท้อนกลับ)${\displaystyle \neg \left(a<a\right)}$
2. ความไม่สมมาตร : ถ้า เป็นเช่นนั้น ก็ไม่ใช่${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<a}$
3. คุณสมบัติการถ่ายทอด : ถ้าและแล้ว${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<c}$${\displaystyle a<c}$

ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดจะเป็นแบบไม่สมมาตรก็ต่อเมื่อเป็นแบบไม่สะท้อนกลับ^{[ 3 ]}ดังนั้นคำจำกัดความจึงเหมือนกันหากละเว้นความไม่สะท้อนกลับหรือความไม่สมมาตร (แต่ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง)

การสั่งซื้อบางส่วนแบบเข้มงวดเรียกอีกอย่างว่า การ สั่งซื้อล่วงหน้า แบบ เข้มงวด

ลำดับบางส่วนแบบเข้มงวดและแบบไม่เข้มงวดบนเซตมีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด ลำดับบางส่วนแบบไม่เข้มงวดสามารถแปลงเป็นลำดับบางส่วนแบบเข้มงวดได้โดยการลบความสัมพันธ์ทั้งหมดในรูปแบบนั้น กล่าวคือ ลำดับบางส่วนแบบเข้มงวดคือเซตที่คือความสัมพันธ์เอกลักษณ์บนและหมายถึงการลบเซต ในทางกลับกัน ลำดับบางส่วนแบบเข้มงวด < บนสามารถแปลงเป็นลำดับบางส่วนแบบไม่เข้มงวดได้โดยการเพิ่มความสัมพันธ์ทั้งหมดในรูปแบบนั้น กล่าวคือคือลำดับบางส่วนแบบไม่เข้มงวด ดังนั้น ถ้าคือลำดับบางส่วนแบบไม่เข้มงวด ลำดับบางส่วนแบบเข้มงวด < ที่สอดคล้องกันคือเคอร์เนลแบบไม่สะท้อนกลับที่กำหนดโดย ใน ทางกลับกัน ถ้า < คือลำดับบางส่วนแบบเข้มงวด ลำดับบางส่วนแบบไม่เข้มงวดที่สอดคล้องกันคือการปิดแบบสะท้อนกลับที่กำหนดโดย: ${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle a\leq a;}$${\displaystyle <\;:=\ \leq \ \setminus \ \Delta _{P}}$${\displaystyle \Delta _{P}:=\{(p,p):p\in P\}}$${\displaystyle P\times P}$${\displaystyle \;\setminus \;}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq \;:=\;\Delta _{P}\;\cup \;<\;}$${\displaystyle \leq }$$${\displaystyle a<b{\text{ if }}a\leq b{\text{ and }}a\neq b.}$$${\displaystyle \leq }$$${\displaystyle a\leq b{\text{ if }}a<b{\text{ or }}a=b.}$$

คู่(หรือตรงข้าม ) ของความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนถูกกำหนดโดยการให้เป็นความสัมพันธ์ผกผันของ กล่าว คือถ้าและเฉพาะเมื่อคู่ ของลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดคือลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวด[ ^{4 ] และ}คู่ ของลำดับบางส่วนที่เข้มงวดคือลำดับบางส่วนที่เข้มงวด คู่ ของคู่ ของความสัมพันธ์ คือความสัมพันธ์ดั้งเดิม ${\displaystyle R^{\text{op}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\text{op}}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xR^{\text{op}}y}$${\displaystyle yRx}$

เมื่อกำหนดเซตและความสัมพันธ์ลำดับบางส่วน ซึ่งโดยทั่วไปคือลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดเราสามารถขยายสัญกรณ์ของเราเพื่อกำหนดความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนสี่แบบและได้อย่างไม่ซ้ำกันโดยที่ เป็นความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวด บนเป็นความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนที่เข้มงวดที่เกี่ยวข้องบน( เคอร์เนลที่ไม่สะท้อนกลับของ) เป็นคู่ของและเป็นคู่ของ ตามหลักการแล้ว คำว่าเซตที่มีลำดับบางส่วนหมายถึงเซตที่มีความสัมพันธ์เหล่านี้ทั้งหมดที่กำหนดไว้อย่างเหมาะสม แต่ในทางปฏิบัติ เราจำเป็นต้องพิจารณาเพียงความสัมพันธ์เดียวหรือหรือในบางกรณีที่หายาก ความสัมพันธ์ที่ไม่เข้มงวดและเข้มงวดร่วมกัน^{[ 5 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \leq ,}$${\displaystyle <,}$${\displaystyle \geq ,}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle P}$${\displaystyle <}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle <}$${\displaystyle (P,\leq )}$${\displaystyle (P,<)}$${\displaystyle (P,\leq ,<)}$

บางครั้ง คำว่าเซตที่มีลำดับจะถูกใช้เป็นคำย่อสำหรับเซตที่มีลำดับบางส่วนตราบใดที่บริบทชัดเจนว่าไม่ได้หมายถึงลำดับประเภทอื่น โดยเฉพาะอย่างยิ่งเซตที่มีลำดับสมบูรณ์ก็สามารถเรียกว่า "เซตที่มีลำดับ" ได้เช่นกัน โดยเฉพาะในพื้นที่ที่โครงสร้างเหล่านี้พบได้บ่อยกว่าโพเซต ผู้เขียนบางคนใช้สัญลักษณ์ที่แตกต่างจากเช่น^{[ 6 ]}หรือ^{[ 7 ]}เพื่อแยกแยะลำดับบางส่วนออกจากลำดับสมบูรณ์ ${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \sqsubseteq }$${\displaystyle \preceq }$

เมื่อกล่าวถึงลำดับบางส่วนไม่ควรถือว่าเป็นส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์นี้เป็นการผกผันของเคอร์เนลที่ไม่สะท้อนกลับของซึ่งเป็นเซตย่อยของส่วนเติมเต็มของ เสมอแต่จะเท่ากับส่วนเติมเต็มของ^ก็ต่อเมื่อเป็นลำดับทั้งหมด[ ^{a ]}${\displaystyle \leq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \leq }$

อีกวิธีหนึ่งในการกำหนดลำดับบางส่วนที่พบในวิทยาการคอมพิวเตอร์คือผ่านแนวคิดของการเปรียบเทียบโดยเฉพาะอย่างยิ่งตามที่ได้กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ สามารถสังเกตได้ว่าองค์ประกอบสองตัวxและyอาจมีความสัมพันธ์แบบใดแบบหนึ่งจากสี่แบบที่ไม่ซ้ำกันระหว่างกัน ได้แก่x < yหรือx = yหรือx > yหรือxและy ไม่ สามารถเปรียบเทียบกันได้ซึ่งสามารถแสดงได้ด้วยฟังก์ชันที่ส่งคืนรหัสหนึ่งในสี่รหัสเมื่อได้รับองค์ประกอบสองตัว^{[ 8 ] [ 9 ]}คำจำกัดความนี้เทียบเท่ากับลำดับบางส่วนบนเซตอยด์โดยที่ความเท่าเทียมกันถือเป็นความสัมพันธ์สมมูล ที่กำหนดไว้ แทนที่จะเป็นความเท่าเทียมกันของเซต^{[ 10 ]}${\displaystyle \leq ,<,\geq ,{\text{ and }}>}$${\displaystyle {\text{compare}}:P\times P\to \{<,>,=,\vert \}}$

Wallis นิยามแนวคิดทั่วไปของความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนว่าเป็นความสัมพันธ์เอกพันธุ์ ใดๆ ที่เป็นทรานซิทีฟและแอนติสมมาตรซึ่งรวมถึงลำดับบางส่วนแบบสะท้อนและไม่สะท้อนเป็นประเภทย่อย^{[ 1 ]}

โพเซตจำกัดสามารถมองเห็นได้ผ่านแผนภาพ Hasse [ ^{11 ] โดย}เฉพาะอย่างยิ่ง การใช้ความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนที่เข้มงวดสามารถสร้างกราฟแบบไม่มีวงจรทิศทาง (DAG) ได้โดยการใช้แต่ละองค์ประกอบของเป็นโหนดและแต่ละองค์ประกอบของเป็นขอบการลดแบบทรานซิทีฟของ DAG นี้^{[ b ]}ก็คือแผนภาพ Hasse ในทำนองเดียวกัน กระบวนการนี้สามารถย้อนกลับเพื่อสร้างลำดับบางส่วนที่เข้มงวดจาก DAG บางอย่างได้ ในทางตรงกันข้าม กราฟที่เกี่ยวข้องกับลำดับบางส่วนที่ไม่เข้มงวดจะมีวงวนในตัวเองที่ทุกโหนด ดังนั้นจึงไม่ใช่ DAG เมื่อกล่าวว่าลำดับที่ไม่เข้มงวดถูกแสดงด้วยแผนภาพ Hasse ในความเป็นจริงแล้วจะแสดงลำดับที่เข้มงวดที่สอดคล้องกัน ${\displaystyle (P,<)}$${\displaystyle P}$${\displaystyle <}$

ตัวอย่างมาตรฐานของโพเซตที่เกิดขึ้นในวิชาคณิตศาสตร์ ได้แก่:

• จำนวนจริงหรือโดยทั่วไปแล้ว เซตที่มีลำดับสมบูรณ์ใดๆ ที่เรียงลำดับตามความสัมพันธ์มาตรฐานน้อยกว่าหรือเท่ากับ ≤ ถือเป็นลำดับบางส่วน
• บนจำนวนจริง ความสัมพันธ์ แบบน้อยกว่า (<) ทั่วไปนั้นเป็นลำดับบางส่วนที่เข้มงวด เช่นเดียวกับ ความสัมพันธ์ แบบมากกว่า (>) ทั่วไปบนจำนวนจริง${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$
• ตามนิยามแล้วลำดับอ่อนที่เข้มงวด ทุกอันเป็น ลำดับบางส่วนที่เข้มงวดเช่นกัน
• เซตของเซตย่อย ของเซตที่กำหนด ( เซตกำลังของเซตนั้น) เรียงลำดับตามการรวม (ดูรูปที่ 1) ในทำนองเดียวกัน เซตของลำดับที่เรียงลำดับตามลำดับย่อยและเซตของสตริงที่เรียงลำดับตามสตริงย่อย
• เซตของจำนวนธรรมชาติที่มีความสัมพันธ์ของการหารลงตัว (ดูรูปที่ 3 และรูปที่ 6)
• เซตของจุดยอดของกราฟทิศทางที่ไม่มีวงจรเรียงลำดับตามความสามารถในการเข้าถึง
• เซตของปริภูมิย่อยของปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับตามการรวม
• สำหรับเซตที่มีลำดับบางส่วนP ปริภูมิของ ลำดับที่ประกอบด้วย ลำดับทั้งหมดขององค์ประกอบจากPโดยที่ลำดับaมาก่อนลำดับb ก็ต่อ เมื่อทุกองค์ประกอบในaมาก่อนองค์ประกอบที่สอดคล้องกันในb กล่าว อย่างเป็นทางการคือ ก็ต่อเมื่อสำหรับทุก; นั่นคือลำดับแบบองค์ประกอบต่อองค์ประกอบ${\displaystyle \left(a_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }\leq \left(b_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$
• สำหรับเซตXและเซตที่มีลำดับบางส่วนP ปริภูมิฟังก์ชันที่ประกอบด้วยฟังก์ชันทั้งหมดจากXไปยังPโดยที่f ≤ gก็ต่อเมื่อf ( x ) ≤ g ( x )สำหรับทุก x${\displaystyle x\in X.}$
• รั้วคือเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งกำหนดโดยลำดับสลับกันของความสัมพันธ์เชิงลำดับa < b > c < d ...
• เซตของเหตุการณ์ในทฤษฎีสัมพัทธภาพพิเศษและในกรณีส่วนใหญ่^{[ c ]}ทฤษฎีสัมพัทธภาพทั่วไปโดยที่สำหรับเหตุการณ์สองเหตุการณ์XและYนั้นX ≤ Yก็ต่อเมื่อYอยู่ในกรวยแสง ในอนาคต ของXเหตุการณ์Yจะได้รับผลกระทบจากX ได้ ก็ต่อเมื่อX ≤ Yเท่านั้น

ตัวอย่างที่คุ้นเคยอย่างหนึ่งของเซตที่มีลำดับไม่สมบูรณ์คือกลุ่มบุคคลที่เรียงลำดับตาม ลำดับ วงศ์ตระกูลคู่บุคคลบางคู่มีความสัมพันธ์แบบบรรพบุรุษ-ลูกหลาน แต่คู่บุคคลอื่นๆ นั้นไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ โดยที่ไม่มีใครเป็นลูกหลานของอีกฝ่ายหนึ่ง

รูปที่ 4aลำดับตามพจนานุกรม${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

รูปที่ 4bคำสั่งซื้อสินค้า${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$

รูปที่ 4cการปิดสะท้อนกลับของลำดับผลิตภัณฑ์โดยตรงที่เข้มงวดบนองค์ประกอบที่ครอบคลุมโดย(3, 3)และครอบคลุม(3, 3)จะถูกเน้นด้วยสีเขียวและสีแดงตามลำดับ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} .}$

เรียงลำดับตามความแข็งแกร่งที่เพิ่มขึ้น กล่าวคือ จำนวนคู่ที่ลดลง ลำดับย่อยที่เป็นไปได้สามแบบบนผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตที่มีลำดับย่อยสองเซต ได้แก่ (ดูรูปที่ 4):

• ลำดับตามพจนานุกรม :   ( a , b ) ≤ ( c , d )ถ้าa < cหรือ ( a = cและb ≤ d )
• ลำดับผลิตภัณฑ์ : ( a , b ) ≤ ( c , d ) ถ้าa ≤ cและb ≤ d ;
• การปิดสะท้อนกลับของผลคูณโดยตรงของลำดับที่เข้มงวดที่สอดคล้องกัน:   ( a , b ) ≤ ( c , d )ถ้า ( a < cและb < d ) หรือ ( a = cและb = d )

ทั้งสามอย่างนี้สามารถนิยามได้ในทำนองเดียวกันสำหรับผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตมากกว่าสองเซต

เมื่อนำไปใช้กับปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับ บน ฟิลด์เดียวกันผลลัพธ์ในแต่ละกรณีก็จะเป็นปริภูมิเวกเตอร์เรียงลำดับเช่นกัน

ดูเพิ่มเติมเกี่ยวกับลำดับในผลคูณคาร์ทีเซียนของเซตที่มีลำดับสมบูรณ์

อีกวิธีหนึ่งในการรวมโพเซตสองชุด (ที่ไม่ทับซ้อนกัน) คือผลรวมเชิงลำดับ^{[ 12 ]} (หรือผลรวมเชิงเส้น ) ^{[ 13 ]} Z = X ⊕ Yซึ่งกำหนดบนการรวมกันของเซตพื้นฐานXและYโดยลำดับa ≤ _Z bก็ต่อเมื่อ:

• a , b ∈ Xโดยที่a ≤ _X bหรือ
• a , b ∈ Yโดยที่a ≤ _Y bหรือ
• a ∈ Xและb ∈ Y​

ถ้าโพเซตสองโพเซตมีลำดับที่ดี ผลรวมเชิงลำดับของโพเซตทั้งสองก็จะมีลำดับที่ดีเช่นกัน^{[ 14 ]}

ลำดับย่อยแบบอนุกรม-ขนานเกิดจากการดำเนินการบวกเชิงลำดับ (ในบริบทนี้เรียกว่า การประกอบอนุกรม) และการดำเนินการอีกอย่างหนึ่งที่เรียกว่า การประกอบขนาน การประกอบขนานคือการรวมกันแบบไม่ทับซ้อนกันของเซตที่มีลำดับย่อยสองเซต โดยไม่มีความสัมพันธ์เชิงลำดับระหว่างองค์ประกอบของเซตหนึ่งกับองค์ประกอบของอีกเซตหนึ่ง

ตัวอย่างเหล่านี้ใช้เซตลำดับบางส่วนซึ่งประกอบด้วยเซตของเซตย่อยทั้งหมดของเซตที่มีสามสมาชิกโดยเรียงลำดับตามการรวมเซต (ดูรูปที่ 1) ${\displaystyle ({\mathcal {P}}(\{x,y,z\}),\subseteq )}$${\displaystyle \{x,y,z\},}$

• aมีความสัมพันธ์กับbเมื่อa ≤ bนี่ไม่ได้หมายความว่าbจะมีความสัมพันธ์กับa ด้วยเสมอไป เพราะความสัมพันธ์ไม่จำเป็นต้องสมมาตรตัวอย่างเช่น a มีความสัมพันธ์กับ b แต่ b ไม่มีความสัมพันธ์ในทางกลับกัน${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y\},}$
• aและbจะเปรียบเทียบกันได้ก็ต่อเมื่อa ≤ bหรือb ≤ aมิฉะนั้นจะเปรียบเทียบกันไม่ได้ตัวอย่างเช่นและสามารถเปรียบเทียบกันได้ ในขณะที่และไม่สามารถ เปรียบเทียบกันได้${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{y\}}$
• ลำดับสมบูรณ์หรือลำดับเชิงเส้นคือลำดับบางส่วนที่ทุกคู่ขององค์ประกอบสามารถเปรียบเทียบกันได้ กล่าวคือ เป็นไป ตามหลักไตรภาคตัวอย่างเช่น จำนวนธรรมชาติที่มีลำดับมาตรฐาน
• เชน(Chain)คือเซตย่อยของโพเซต (Poset) ที่เป็นเซตที่มีลำดับสมบูรณ์ (Totally Ordered Set) ตัวอย่างเช่นเป็นเชน${\displaystyle \{\{\,\},\{x\},\{x,y,z\}\}}$
• แอนติเชน (Antichain)คือเซตย่อยของโพเซต (Poset) ที่ไม่มีสมาชิกสองตัวที่แตกต่างกันสามารถเปรียบเทียบกันได้ ตัวอย่างเช่น เซตของสมาชิกเดี่ยว (singletons)${\displaystyle \{\{x\},\{y\},\{z\}\}.}$
• กล่าวได้ว่าองค์ประกอบa น้อยกว่าองค์ประกอบb อย่างเคร่งครัด ถ้าa ≤ bและตัวอย่างเช่นน้อยกว่าอย่างเคร่งครัด${\displaystyle a\neq b.}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,y\}.}$
• กล่าวได้ว่าองค์ประกอบa ถูก ครอบคลุมโดยองค์ประกอบbเขียนแทนด้วยa ⋖ b (หรือa <: b ) ถ้าaน้อยกว่าb อย่างเคร่งครัด และไม่มีองค์ประกอบที่สามcแทรกอยู่ระหว่างทั้งสององค์ประกอบนั้น กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ถ้าทั้งa ≤ bและเป็นจริง และa ≤ c ≤ bเป็นเท็จสำหรับแต่ละcที่มี โดยใช้ลำดับที่เข้มงวด < ความสัมพันธ์a ⋖ bสามารถเขียนใหม่ได้อย่างเทียบเท่าว่า " a < bแต่ไม่ใช่a < c < bสำหรับc ใดๆ " ตัวอย่างเช่นถูกครอบคลุมโดยแต่ไม่ถูกครอบคลุมโดย${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle a\neq c\neq b.}$${\displaystyle \{x\}}$${\displaystyle \{x,z\},}$${\displaystyle \{x,y,z\}.}$

ในกลุ่มพยัญชนะคู่ (poset) มีแนวคิดเกี่ยวกับองค์ประกอบที่ "ใหญ่ที่สุด" และ "เล็กที่สุด" อยู่หลายประการดังนี้: ${\displaystyle P,}$

• สมาชิกที่ใหญ่ที่สุดและสมาชิกที่เล็กที่สุด: สมาชิกหนึ่งๆจะเป็นสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดก็ต่อเมื่อสำหรับทุกสมาชิกสมาชิกหนึ่งๆจะ เป็น สมาชิก ที่เล็กที่สุดก็ต่อ เมื่อสำหรับทุกสมาชิกเซตลำดับที่มีสมาชิกเพียงตัวเดียวจะมีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดหรือเล็กที่สุดได้เพียงตัวเดียวเท่านั้น ในตัวอย่างที่เราใช้ สมาชิกเป็นสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด และเป็นสมาชิกที่เล็กที่สุด${\displaystyle g\in P}$${\displaystyle a\leq g}$${\displaystyle a\in P.}$${\displaystyle m\in P}$${\displaystyle m\leq a}$${\displaystyle a\in P.}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$${\displaystyle \{\,\}}$
• องค์ประกอบสูงสุดและองค์ประกอบต่ำสุด: องค์ประกอบหนึ่งจะเป็นองค์ประกอบสูงสุดก็ต่อเมื่อไม่มีองค์ประกอบอื่นใดที่ทำให้ในทำนองเดียวกัน องค์ประกอบหนึ่งจะเป็นองค์ประกอบต่ำสุดก็ต่อเมื่อไม่มีองค์ประกอบอื่นใดที่ทำให้ถ้าเซตลำดับที่มีจำนวนสมาชิกมากที่สุดมีองค์ประกอบที่ใหญ่ที่สุด องค์ประกอบนั้นจะต้องเป็นองค์ประกอบสูงสุดเพียงหนึ่งเดียว แต่มิเช่นนั้นอาจมีองค์ประกอบสูงสุดมากกว่าหนึ่งตัว และในทำนองเดียวกันสำหรับองค์ประกอบที่เล็กที่สุดและองค์ประกอบต่ำสุด ในตัวอย่างที่เราใช้และคือองค์ประกอบสูงสุดและต่ำสุด เมื่อลบองค์ประกอบเหล่านี้ออก จะเหลือองค์ประกอบสูงสุด 3 ตัวและองค์ประกอบต่ำสุด 3 ตัว (ดูรูปที่ 5)${\displaystyle g\in P}$${\displaystyle a\in P}$${\displaystyle a>g.}$${\displaystyle m\in P}$${\displaystyle a\in P}$${\displaystyle a<m.}$${\displaystyle \{x,y,z\}}$${\displaystyle \{\,\}}$
• ขอบเขตบนและขอบเขตล่าง : สำหรับเซตย่อยAของPสมาชิกxในPเป็นขอบเขตบนของAถ้าa  ≤  xสำหรับแต่ละสมาชิกaในAโดยเฉพาะอย่างยิ่งxไม่จำเป็นต้องอยู่ในAเพื่อเป็นขอบเขตบนของA ใน ทำนองเดียวกัน สมาชิกxในPเป็นขอบเขตล่างของAถ้าa  ≥  xสำหรับแต่ละสมาชิกaในAสมาชิกที่มากที่สุดในPเป็นขอบเขตบนของPเอง และสมาชิกที่น้อยที่สุดเป็นขอบเขตล่างของPในตัวอย่างของเรา เซตเป็นขอบเขตบนสำหรับกลุ่มของสมาชิก${\displaystyle \{x,y\}}$${\displaystyle \{\{x\},\{y\}\}.}$

ยกตัวอย่างอีกประการหนึ่ง ลองพิจารณาจำนวนเต็ม บวก ที่เรียงลำดับตามการหารลงตัว: 1 เป็นสมาชิกที่เล็กที่สุด เนื่องจากหารสมาชิกอื่นๆ ได้ทั้งหมด ในทางกลับกัน เซตลำดับบางส่วนนี้ไม่มีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด เซตลำดับบางส่วนนี้ไม่มีสมาชิกที่ใหญ่ที่สุดด้วยซ้ำ เนื่องจากg ใดๆ ก็ หาร 2g ได้ซึ่งแตกต่างจาก g ดังนั้นgจึงไม่ใช่สมาชิกที่ใหญ่ที่สุด หากตัดเลข 1 ออกไป โดยยังคงใช้การหารลงตัวเป็นลำดับของสมาชิกที่มากกว่า 1 เซตลำดับบางส่วนที่ได้จะไม่มีสมาชิกที่เล็กที่สุด แต่จำนวนเฉพาะ ใดๆ ก็เป็นสมาชิกที่เล็กที่สุดสำหรับเซตนี้ ในเซตลำดับบางส่วนนี้ 60 เป็นขอบเขตบน (แม้จะไม่ใช่ขอบเขตบนที่เล็กที่สุด) ของเซตย่อยที่ไม่มีขอบเขตล่าง (เนื่องจาก 1 ไม่อยู่ในเซตลำดับบางส่วน) ในทางกลับกัน 2 เป็นขอบเขตล่างของเซตย่อยของกำลังของ 2 ซึ่งไม่มีขอบเขตบน หากรวมเลข 0 เข้าไปด้วย เลข 0 จะเป็นองค์ประกอบที่มากที่สุด เนื่องจากเป็นพหุคูณของจำนวนเต็มทุกจำนวน (ดูรูปที่ 6) ${\displaystyle \{2,3,5,10\},}$

รูปที่ 7aแผนที่รักษาลำดับ แต่ไม่สะท้อนลำดับ (เนื่องจากf ( u ) ≼ f ( v )แต่ไม่ใช่ u v)${\displaystyle \leq }$

รูปที่ 7bไอโซมอร์ฟิซึมลำดับระหว่างตัวหารของ 120 (เรียงลำดับบางส่วนตามการหารลงตัว) และเซตย่อยปิดตัวหารของ{2, 3, 4, 5, 8} (เรียงลำดับบางส่วนตามการรวมเซต)

กำหนดให้เซตที่มีลำดับบางส่วนสองเซต( S , ≤)และ( T , ≼)ฟังก์ชันจะเรียกว่าฟังก์ชันรักษาลำดับหรือฟังก์ชันโมโนโทน หรือฟังก์ชันไอโซโทนถ้าสำหรับ ทุกx ≥ แสดงว่าf ( x ) ≼ f ( y )ถ้า ( U , ≲ ) เป็นเซตที่มีลำดับบางส่วนเช่นกัน และทั้งf ( x ) และ f ( y ) รักษาลำดับ การประกอบกันของฟังก์ชันทั้งสองก็จะรักษาลำดับด้วยฟังก์ชันจะเรียกว่าฟังก์ชันสะท้อนลำดับถ้าสำหรับทุกx ≼ f ( y ) แสดงว่าf ( x ) ...ถ้าการฝังลำดับเป็น ฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึงจะเรียกว่าไอโซมอร์ฟิซึมลำดับและลำดับบางส่วน( S , ≤)และ( T , ≼)จะเรียกว่าเป็นไอโซม อร์ฟิก ลำดับไอโซมอร์ฟิกจะมี ไดอะแกรม Hasseที่มีโครงสร้างคล้ายกัน(ดูรูปที่ 7a) สามารถแสดงได้ว่าถ้ามีแผนที่รักษาลำดับและอยู่เช่นนั้นและให้ฟังก์ชันเอกลักษณ์บนSและTตามลำดับ แล้วSและTจะเป็นไอโซมอร์ฟิกลำดับ^{[ 15 ]}${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle x,y\in S,}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle g:T\to U}$${\displaystyle g\circ f:S\to U}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle x,y\in S,}$${\displaystyle x\leq y.}$${\displaystyle f(x)=f(y)}$${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\leq x}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle \leq .}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle f:S\to T}$${\displaystyle g:T\to U}$${\displaystyle g\circ f}$${\displaystyle f\circ g}$

ตัวอย่างเช่น การแมปจากเซตของจำนวนธรรมชาติ (เรียงลำดับตามการหารลงตัว) ไปยังเซตกำลังของจำนวนธรรมชาติ (เรียงลำดับตามการรวมในเซต) สามารถกำหนดได้โดยการนำแต่ละจำนวนไปยังเซตของตัวหารเฉพาะ ของมัน การแมป นี้รักษาลำดับ: ถ้าxหารy ลงตัว ตัวหารเฉพาะของ xแต่ละตัวก็จะเป็นตัวหารเฉพาะของy ด้วย อย่างไรก็ตาม การแมปนี้ไม่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง (เนื่องจากมันแมปทั้ง 12 และ 6 ไปยังเซตกำลัง) และไม่สะท้อนลำดับ (เนื่องจาก 12 ไม่หาร 6 ลงตัว) การนำแต่ละจำนวนไปยังเซตของ ตัวหาร กำลังเฉพาะ ของมันแทน จะกำหนดการแมปที่รักษาลำดับ สะท้อนลำดับ และดังนั้นจึงเป็นการฝังลำดับ มันไม่ใช่ไอโซมอร์ฟิซึมลำดับ (เนื่องจากตัวอย่างเช่น มันไม่ได้แมปจำนวนใดๆ ไปยังเซต) แต่สามารถทำให้เป็นไอโซมอร์ฟิซึมลำดับได้โดยการจำกัดโคโดเมนของมันไว้ที่รูปที่ 7b แสดงเซตย่อยของ และภาพไอโซมอ ร์ฟิกของมันภายใต้gการสร้างไอโซมอร์ฟิซึมลำดับดังกล่าวลงในเซตกำลังสามารถขยายไปสู่ลำดับบางส่วนที่หลากหลาย ซึ่งเรียกว่าแลตทิซแบบกระจายดูทฤษฎีบทการแทนของเบิร์คฮอฟฟ์ ${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$${\displaystyle \{2,3\}}$${\displaystyle g:\mathbb {N} \to \mathbb {P} (\mathbb {N} )}$${\displaystyle \{4\}}$${\displaystyle g(\mathbb {N} ).}$${\displaystyle \mathbb {N} }$

ลำดับA001035ในOEISแสดงจำนวนลำดับย่อยบนเซตขององค์ประกอบที่มีป้ายกำกับ n รายการ:

โปรดทราบว่าS ( n , k )หมายถึงจำนวนสเตอร์ลิงชนิดที่สอง

จำนวนคำสั่งย่อยที่เข้มงวดนั้นเท่ากับจำนวนคำสั่งย่อยทั่วไป

หากนับเฉพาะไอโซม อร์ฟิซึม จะได้ ลำดับ 1, 1, 2, 5, 16, 63, 318, ... (ลำดับA000112ในOEIS )

โพเซตหนึ่งเรียก ว่าซับโพเซตของโพเซตอื่นได้ก็ต่อเมื่อเป็นเซตย่อยของและเป็นเซตย่อยของเงื่อนไขหลังนี้เทียบเท่ากับข้อกำหนดที่ว่า สำหรับและ ใดๆ ใน(และด้วยเหตุนี้ใน ด้วย) ถ้าแล้ว${\displaystyle P^{*}=(X^{*},\leq ^{*})}$${\displaystyle P=(X,\leq )}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq ^{*}}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\leq ^{*}y}$${\displaystyle x\leq y}$

ถ้าเป็นเซตย่อยของและยิ่งไปกว่านั้น สำหรับทุกและในเมื่อใดก็ตามที่เรามี ด้วยเราจะเรียกเซตย่อยของที่เกิดจากและเขียนว่า ${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle x\leq y}$${\displaystyle x\leq ^{*}y}$${\displaystyle P^{*}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle X^{*}}$${\displaystyle P^{*}=P[X^{*}]}$

ลำดับบางส่วนบนเซตเรียกว่าส่วนขยายของลำดับบางส่วนอื่นบนเซตที่มีเงื่อนไขว่าสำหรับองค์ประกอบทั้งหมดเมื่อใดก็ตามที่เป็นกรณีที่ส่วนขยายเชิงเส้นคือส่วนขยายที่เป็นลำดับเชิงเส้น (นั่นคือลำดับทั้งหมด) ตัวอย่างคลาสสิกคือ ลำดับพจนานุกรมของเซตที่มีลำดับทั้งหมดเป็นส่วนขยายเชิงเส้นของลำดับผลคูณของเซตเหล่านั้น ลำดับบางส่วนทุกลำดับสามารถขยายเป็นลำดับทั้งหมดได้ ( หลักการขยายลำดับ ) ^{[ 16 ]}${\displaystyle \leq ^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle X}$${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle x\leq y,}$${\displaystyle x\leq ^{*}y.}$

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์อัลกอริทึมสำหรับค้นหาส่วนขยายเชิงเส้นของลำดับบางส่วน (ซึ่งแสดงเป็น ลำดับ การเข้าถึงของกราฟแบบมีทิศทางและไม่มีวงจร ) เรียกว่าการเรียงลำดับเชิงโทโพโลยี

ทุก poset (และทุกเซตที่มีลำดับก่อนหน้า ) อาจถือได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่สำหรับวัตถุ x และyจะมีมอร์ฟิซึมจาก x ไปยัง y ได้อย่างมากที่สุดเพียงหนึ่งเดียว กล่าวให้ชัดเจนยิ่งขึ้น ให้hom( x , y ) = {( x , y )}ถ้าx ≤ y (และมิฉะนั้นจะเป็นเซตว่าง ) และหมวดหมู่ดังกล่าวบางครั้งเรียกว่า thin${\displaystyle x}$${\displaystyle y,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$${\displaystyle (y,z)\circ (x,y)=(x,z).}$

เซต ลำดับชั้นสมมูลกันก็ต่อเมื่อพวกมันเป็นไอโซมอร์ฟิก กันเท่านั้น ในเซตลำดับชั้น สมาชิกที่เล็กที่สุด (ถ้ามี) จะเป็นวัตถุเริ่มต้นและสมาชิกที่ใหญ่ที่สุด (ถ้ามี) จะเป็นวัตถุสุดท้ายนอกจากนี้ เซตเรียงลำดับล่วงหน้าทุกเซตก็สมมูลกับเซตลำดับชั้น สุดท้ายนี้ หมวดหมู่ย่อยทุกหมวดของเซตลำดับชั้นจะปิด ด้วย ไอโซมอร์ฟิซึม

ถ้าเป็นเซตที่มีลำดับบางส่วนซึ่งได้รับโครงสร้างของปริภูมิเชิงทอพอโลยีแล้ว โดยทั่วไปจะถือว่าเป็น เซตย่อย ปิดของปริภูมิผลคูณ เชิงทอพอโลยี ภายใต้สมมติฐานนี้ ความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนจะมีพฤติกรรมที่ดีที่ขีดจำกัดในแง่ที่ว่า ถ้าและและ สำหรับทุกแล้ว^{[ 17 ]}${\displaystyle P}$${\displaystyle \{(a,b):a\leq b\}}$${\displaystyle P\times P.}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }a_{i}=a,}$${\displaystyle \lim _{i\to \infty }b_{i}=b,}$${\displaystyle i,}$${\displaystyle a_{i}\leq b_{i},}$${\displaystyle a\leq b.}$

เซตแบบนูนในเซตลำดับบาง ส่วน Pคือเซตย่อยIของPที่มีคุณสมบัติว่า สำหรับxและy ใดๆ ในIและz ใดๆ ในPถ้าx ≤ z ≤ yแล้วzก็อยู่ในI ด้วย นิยามนี้เป็นการขยายความหมายของช่วงของจำนวนจริงเมื่ออาจเกิดความสับสนกับเซตแบบนูนในเรขาคณิตจะใช้คำว่า " เซต แบบนูนตามลำดับ " แทนคำว่า "เซตแบบนูน"

สับแลตทิซนูนของแลตทิซLคือสับแลตทิซของLที่เป็นเซตแบบนูนของL ด้วยเช่นกัน สับแลตทิซนูนที่ไม่ว่างเปล่าทุกอันสามารถแสดงได้อย่างไม่ซ้ำกัน โดย เป็นจุดตัดของฟิลเตอร์และไอเดียลของL

ช่วงในเซตลำดับบางส่วนP คือเซตย่อยที่สามารถกำหนดได้ด้วยสัญกรณ์ช่วง:

• สำหรับa ≤ bช่วงปิด[ a , b ]คือเซตของสมาชิกxที่สอดคล้องกับa ≤ x ≤ b (นั่นคือa ≤ xและx ≤ b ) โดยช่วงปิดนี้จะต้องมีสมาชิกอย่างน้อยคือaและb
• โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เข้มงวด "<" ช่วงเปิด( a , b )คือเซตของสมาชิกxที่สอดคล้องกับa < x < b (กล่าวคือa < xและx < b ) ช่วงเปิดอาจว่างเปล่าได้แม้ว่าa < bตัวอย่างเช่น ช่วงเปิด(0, 1)บนจำนวนเต็มนั้นว่างเปล่า เนื่องจากไม่มีจำนวนเต็มxใดที่0 < x < 1
• ช่วงครึ่งเปิด[ a , b )และ( a , b ]ถูกกำหนดในลักษณะเดียวกัน

เมื่อใดก็ตาม ที่เงื่อนไข a ≤ bไม่เป็นจริง ช่วงทั้งหมดเหล่านี้จะเป็นช่วงว่างเปล่า ทุกช่วงเป็นเซตแบบนูน แต่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ในเซตลำดับของตัวหารของ 120 ที่เรียงลำดับตามการหารลงตัว (ดูรูปที่ 7b) เซต {1, 2, 4, 5, 8} เป็นเซตแบบนูน แต่ไม่ใช่ช่วง

ช่วงIจะเป็นช่วงที่มีขอบเขต ถ้ามีสมาชิกที่ทำให้I ⊆ [ a , b ]ทุกช่วงที่สามารถแสดงได้ในรูปแบบสัญกรณ์ช่วง ย่อมเป็นช่วงที่มีขอบเขตอย่างชัดเจน แต่ข้อความกลับกันนั้นไม่เป็นจริง ตัวอย่างเช่น ให้P = (0, 1) ∪ (1, 2) ∪ (2, 3)เป็นเซตย่อยของจำนวนจริง เซตย่อย(1, 2)เป็นช่วงที่มีขอบเขต แต่ไม่มีค่าต่ำสุดหรือค่าสูงสุดใน  Pดังนั้นจึงไม่สามารถเขียนในรูปแบบสัญกรณ์ช่วงโดยใช้สมาชิกของ  Pได้ ${\displaystyle a,b\in P}$

เซตลำดับบางส่วนเรียกว่าเซตจำกัดเฉพาะที่ถ้าช่วงจำกัดทุกช่วงเป็นเซตจำกัด ตัวอย่างเช่น จำนวนเต็มเป็นเซตจำกัดเฉพาะที่ภายใต้การเรียงลำดับตามธรรมชาติ ลำดับพจนานุกรมของผลคูณคาร์ทีเซียนไม่ใช่เซตจำกัดเฉพาะที่ เนื่องจาก(1, 2) ≤ (1, 3) ≤ (1, 4) ≤ (1, 5) ≤ ... ≤ (2, 1)โดยใช้สัญกรณ์ช่วง คุณสมบัติ " aถูกครอบคลุมโดยb " สามารถเขียนใหม่ได้เทียบเท่ากับ${\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} }$${\displaystyle [a,b]=\{a,b\}.}$

แนวคิดเรื่องช่วงในลำดับบางส่วนนี้ไม่ควรสับสนกับลำดับบางส่วนประเภทเฉพาะที่เรียกว่าลำดับ ช่วง

สื่อที่เกี่ยวข้องกับแผนภาพ Hasseใน Wikimedia Commons ซึ่งแต่ละภาพแสดงตัวอย่างของลำดับบางส่วน