ในทางคณิตศาสตร์แลตทิซแบบกระจาย (distributive lattice)คือแลตทิซที่การดำเนินการรวม (join) และการตัดกัน (meet) กระจายซึ่งกันและกัน ตัวอย่างต้นแบบของโครงสร้างดังกล่าวคือกลุ่มของเซตที่การดำเนินการแลตทิซสามารถกำหนดได้โดยการรวมเซต(union)และ การตัดกันของ เซต (intersection ) อันที่จริง แลตทิซของเซตเหล่านี้อธิบายภาพรวมได้อย่างสมบูรณ์: แลตทิซแบบกระจายทุกอัน—โดยไม่คำนึงถึงความเหมือนกัน — สามารถกำหนดได้ในรูปของแลตทิซของเซตดังกล่าว

เช่นเดียวกับกรณีของแลตทิซแบบใดๆ เราสามารถเลือกที่จะพิจารณาแลตทิซแบบกระจายLได้ทั้งในฐานะโครงสร้างของทฤษฎีลำดับหรือของพีชคณิตสากล มุมมองทั้งสองและความสัมพันธ์ระหว่างกันนั้นได้มีการกล่าวถึงในบทความเกี่ยวกับแลตทิซในสถานการณ์ปัจจุบัน คำอธิบายเชิงพีชคณิตดูเหมือนจะสะดวกกว่า

แลตทิซ ( L ,∨,∧) เรียกว่า แลตทิ ซแบบกระจายได้ถ้าเอกลักษณ์เพิ่มเติมต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกx , yและzในL :

x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ).

เมื่อพิจารณาแลตทิซเป็นเซตที่มีลำดับบางส่วน สิ่งนี้กล่าวว่าการดำเนินการพบปะจะรักษาการรวมแบบจำกัดที่ไม่ว่างเปล่า ข้อเท็จจริงพื้นฐานของทฤษฎีแลตทิซคือเงื่อนไขข้างต้นเทียบเท่ากับคู่ ของมัน : ^{[ 1 ]}

x ∨ ( y ∧ z ) = ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) สำหรับทุกx , yและzในL

ในทุกแลตทิซ หากเรากำหนดความสัมพันธ์ลำดับp ≤ qตามปกติให้หมายถึงp ∧ q = pแล้ว อสมการx ∧ ( y ∨ z ) ≥ ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ) และอสมการคู่ของมันx ∨ ( y ∧ z ) ≤ ( x ∨ y ) ∧ ( x ∨ z ) จะเป็นจริงเสมอ แลตทิซนั้นเป็นแบบกระจายได้หากอสมการผกผันข้อใดข้อหนึ่งเป็นจริงด้วยเช่นกัน ข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับความสัมพันธ์ของเงื่อนไขนี้กับเงื่อนไขการกระจายอื่นๆ ของทฤษฎีลำดับสามารถพบได้ในบทความการกระจาย (ทฤษฎีลำดับ )

Sholander (1951) ^{[ 2 ]}ให้ลักษณะเฉพาะที่เรียบง่ายของแลตติซแบบกระจายโดยใช้เพียงและเท่านั้น ${\textstyle a\wedge (a\vee b)=a}$${\textstyle a\wedge (b\vee c)=(c\wedge a)\vee (b\wedge a)}$

มอร์ฟิซึมของแลตทิซแบบกระจายนั้นก็คือโฮโมมอร์ฟิซึมของแลตทิซตามที่ได้กล่าวไว้ในบทความเกี่ยวกับแลตทิซนั่นคือฟังก์ชันที่เข้ากันได้กับการดำเนินการของแลตทิซทั้งสองแบบ เนื่องจากมอร์ฟิซึมของแลตทิซดังกล่าวรักษาสภาพโครงสร้างของแลตทิซไว้ ดังนั้นมันจึงรักษาคุณสมบัติการกระจายไว้ด้วย (และด้วยเหตุนี้จึงเป็นมอร์ฟิซึมของแลตทิซแบบกระจาย)

แลตติสแบบกระจาย (Distributive lattices) เป็นโครงสร้างที่พบได้ทั่วไป แต่ก็ค่อนข้างเฉพาะเจาะจงเช่นกัน ดังที่กล่าวมาแล้ว ตัวอย่างหลักของแลตติสแบบกระจายคือแลตติสของเซต ซึ่งการรวม (join) และการตัดกัน (meet) กำหนดโดยการดำเนินการทางทฤษฎีเซตตามปกติ ตัวอย่างเพิ่มเติมได้แก่:

• พีชคณิตลินเดนบอมของตรรกะ ส่วนใหญ่ ที่รองรับการเชื่อมและการแยกนั้นเป็นแลตทิซแบบกระจาย กล่าวคือ "และ" กระจายอยู่เหนือ "หรือ" และในทางกลับกัน
• พีชคณิตบูลีนทุก รูปแบบ เป็นแลตทิซแบบกระจาย
• พีชคณิตเฮย์ติงทุกตัวเป็นแลตทิซแบบกระจาย โดยเฉพาะอย่างยิ่งรวมถึงโลเคิล ทั้งหมด และด้วยเหตุนี้จึง รวมถึงแลตทิ ซเซตเปิด ทั้งหมด ของปริภูมิเชิงทอพอ โลยี ด้วย นอกจากนี้ โปรดทราบว่าพีชคณิตเฮย์ติงสามารถมองได้ว่าเป็นพีชคณิตลินเดนบอมของตรรกะเชิงสัญชาตญาณซึ่งทำให้พวกมันเป็นกรณีพิเศษของตัวอย่างแรก
• เซตที่มีลำดับสมบูรณ์ทุกเซตเป็นแลตทิซแบบกระจาย โดยมีค่าสูงสุดเป็นจุดเชื่อมต่อ และค่าต่ำสุดเป็นจุดบรรจบ
• จำนวนธรรมชาติก่อให้เกิดแลตทิซการกระจาย (สมบูรณ์แบบมีเงื่อนไข) โดยใช้ตัวหารร่วมมากเป็นตัวเชื่อม (meet) และตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดเป็นตัวเชื่อม (join) แลตทิซนี้ยังมีสมาชิกที่เล็กที่สุด คือ 1 ซึ่งจึงทำหน้าที่เป็นสมาชิกเอกลักษณ์สำหรับการเชื่อม (join)
• กำหนดให้จำนวนเต็มบวกnเซตของตัวหาร บวกทั้งหมด ของnจะก่อให้เกิดแลตทิซแบบกระจาย โดยมีตัวหารร่วมมากเป็น meet และตัวคูณร่วมที่น้อยที่สุดเป็น join นี่คือพีชคณิตบูลีนก็ต่อเมื่อnเป็นจำนวนที่ไม่มีตัวประกอบกำลังสอง
• ปริภูมิเวกเตอร์ที่มีการเรียงลำดับแบบแลตติสคือ แลตติสแบบกระจาย
• แลตติซของ Youngซึ่งได้มาจากการเรียงลำดับการรวมของไดอะแกรม Youngที่แสดงถึงการแบ่งส่วนจำนวนเต็มเป็นแลตติซแบบกระจาย
• จุดของโพลีโทปแบบกระจาย ( โพลีโทปนูนที่ปิดภายใต้การดำเนินการขั้นต่ำตามพิกัดและการดำเนินการสูงสุดตามพิกัด) โดยการดำเนินการทั้งสองนี้เป็นการดำเนินการเชื่อมและพบของแลตทิซ^{[ 3 ]}

ในช่วงเริ่มต้นของการพัฒนาทฤษฎีแลตติสCharles S. Peirceเชื่อว่าแลตติสทั้งหมดเป็นแบบกระจาย นั่นคือ การกระจายเป็นผลมาจากสัจพจน์ของแลตติสที่เหลือ^{[ 4 ] [ 5 ]} อย่างไรก็ตามSchröder , Voigt, ^{( de )} Lüroth , Korselt [ ^{6 ]}และDedekindได้ให้การพิสูจน์ ความ ^{เป็น อิสระ [ 4 ]}

โครงสร้างเพชรM ₃

โครงตาข่ายห้าเหลี่ยมN ₅

แผนภาพ Hasseของแลตทิซต้นแบบสองแบบที่ไม่กระจายตัว แลตทิซรูปเพชรM ₃ไม่กระจายตัวเนื่องจากx ∧ ( y ∨ z ) = x ∧ 1 = x ≠ 0 = 0 ∨ 0 = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )ในขณะที่แลตทิซรูปห้าเหลี่ยมN ₅ไม่กระจายตัวเนื่องจากx ∧ ( y ∨ z ) = x ∧ 1 = x ≠ z = 0 ∨ z = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z )

มีสูตรที่เทียบเท่ากับคำจำกัดความข้างต้นอยู่หลายแบบ ตัวอย่างเช่นLเป็นแบบกระจายก็ต่อเมื่อเงื่อนไขต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับทุกองค์ประกอบx , y , zในL : ในทำนองเดียวกันLเป็นแบบกระจายก็ต่อเมื่อ $${\displaystyle (x\wedge y)\vee (y\wedge z)\vee (z\wedge x)=(x\vee y)\wedge (y\vee z)\wedge (z\vee x).}$$

${\displaystyle x\wedge z=y\wedge z}$และมักจะหมายความโดยนัยเสมอ${\displaystyle x\vee z=y\vee z}$${\displaystyle x=y.}$

แลตติซ ที่ไม่กระจายตัวที่ง่ายที่สุดคือM ₃หรือ "แลตติซรูปเพชร" และN ₅หรือ "แลตติซรูปห้าเหลี่ยม" แลตติซจะกระจายตัวได้ก็ต่อเมื่อไม่มีแลตติซย่อยใดที่สมมาตรกับM ₃หรือ  N ₅แลตติซย่อยคือเซตย่อยที่ปิดภายใต้การดำเนินการ "พบ" และ "รวม" ของแลตติซดั้งเดิม โปรดทราบว่านี่ไม่ใช่สิ่งเดียวกันกับการเป็นเซตย่อยที่เป็นแลตติซภายใต้ลำดับดั้งเดิม (แต่การดำเนินการ "รวม" และ "พบ" อาจแตกต่างกัน) ลักษณะเฉพาะเพิ่มเติมได้มาจากทฤษฎีการแทนในส่วนถัดไป

อีกวิธีหนึ่งในการกล่าวถึงข้อเท็จจริงเดียวกันคือ แลตทิซแบบกระจายทุกตัวเป็นผลคูณย่อยโดยตรงของสำเนาของโซ่สององค์ประกอบหรือ สมาชิก ที่ไม่สามารถลดทอนย่อยได้ เพียงตัวเดียว ในกลุ่มของแลตทิซแบบกระจายคือโซ่สององค์ประกอบ ผลที่ตามมาคือ แลตทิซแบบบูลีน ทุกตัว ก็มีคุณสมบัตินี้เช่นกัน^{[ 7 ]}

สุดท้ายแล้ว คุณสมบัติการกระจายตัวยังนำมาซึ่งคุณสมบัติที่ดีอื่นๆ อีกหลายประการ ตัวอย่างเช่น องค์ประกอบของแลตทิซแบบกระจายตัวจะเป็นmeet-primeก็ต่อเมื่อเป็นmeet-irreducible เท่านั้น แม้ว่าโดยทั่วไปแล้วคุณสมบัติหลังจะอ่อนกว่าก็ตาม ด้วยหลักการคู่ขนาน สิ่งเดียวกันนี้ก็เป็นจริงสำหรับองค์ประกอบjoin-primeและjoin-irreducible ด้วย^{[ 8 ]}ถ้าแลตทิซเป็นแบบกระจายตัว ความสัมพันธ์การครอบคลุม ของมัน จะก่อให้เกิดกราฟมัธยฐาน^{[ 9 ]}

นอกจากนี้ แลตทิซแบบกระจายทุกอันยังเป็นแบบโมดูลาร์ อีก ด้วย

บทนำได้กล่าวถึงลักษณะสำคัญที่สุดของแลตติสแบบกระจายไว้แล้ว นั่นคือ แลตติสจะเป็นแบบกระจายก็ต่อเมื่อมันสมสัณฐานกับแลตติสของเซต (ปิดภายใต้การรวมและการตัดกัน ของเซต ) (โครงสร้างหลังนี้บางครั้งเรียกว่าวงแหวนของเซตในบริบทนี้) การที่การรวมและการตัดกันของเซตเป็นแบบกระจายในความหมายข้างต้นนั้นเป็นข้อเท็จจริงพื้นฐาน ส่วนทิศทางอื่นนั้นซับซ้อนกว่า เนื่องจากต้องอาศัยทฤษฎีบทการแสดงแทนที่กล่าวไว้ด้านล่าง ข้อคิดสำคัญจากลักษณะนี้คือ เอกลักษณ์ (สมการ) ที่ใช้ได้ในแลตติสแบบกระจายทั้งหมดนั้นเหมือนกับเอกลักษณ์ที่ใช้ได้ในแลตติสของเซตทั้งหมดในความหมายข้างต้น

ทฤษฎีบทการแทนของ Birkhoffสำหรับแลตทิซแบบกระจายระบุว่า แลตทิซแบบกระจาย จำกัด ทุกตัว จะสม isomorphic กับแลตทิซของเซตล่างของposetขององค์ประกอบ join-prime (หรือเทียบเท่า: join-irreducible) สิ่งนี้สร้างการจับคู่แบบหนึ่ง ต่อหนึ่ง (จนถึงisomorphism ) ระหว่างคลาสของ poset จำกัดทั้งหมดและคลาสของแลตทิซแบบกระจายจำกัดทั้งหมด การจับคู่แบบหนึ่งต่อหนึ่งนี้สามารถขยายไปสู่ความเป็นคู่ของหมวดหมู่ระหว่าง homomorphism ของแลตทิซแบบกระจายจำกัดและฟังก์ชัน monotoneของ poset จำกัดได้ อย่างไรก็ตาม การขยายผลลัพธ์นี้ไปยังแลตทิสอนันต์จำเป็นต้องเพิ่มโครงสร้างเพิ่มเติม

ทฤษฎีบทการแทนอีกทฤษฎีหนึ่งในช่วงแรก ปัจจุบันรู้จักกันในชื่อทฤษฎีบทการแทนของสโตนสำหรับแลตทิซแบบกระจาย (ชื่อนี้ตั้งขึ้นเพื่อเป็นเกียรติแก่มาร์แชล ฮาร์วีย์ สโตนผู้พิสูจน์ทฤษฎีบทนี้เป็นคนแรก) ทฤษฎีบทนี้อธิบายแลตทิซแบบกระจายว่าเป็นแลตทิซของ เซต เปิดกระชับ ใน ปริภูมิเชิงทอ พอโลยี บางประเภท ผลลัพธ์นี้สามารถมองได้ทั้งในฐานะการวางนัยทั่วไปของทฤษฎีบทการแทนที่มีชื่อเสียงของสโตนสำหรับพีชคณิตบูลีนและในฐานะการเฉพาะเจาะจงของการตั้งค่าทั่วไปของทฤษฎีบทคู่ของสโตน

ฮิลารี พรีสต์ลีย์ได้กำหนดรูปแบบการแทนที่สำคัญอีกประการหนึ่งไว้ในทฤษฎีบทการแทนสำหรับแลตทิซแบบกระจายในการกำหนดรูปแบบนี้ แลตทิซแบบกระจายถูกใช้เพื่อสร้างปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีลำดับบางส่วนเพิ่มเติมบนจุดต่างๆ ทำให้ได้ปริภูมิสโตนแบบ มีลำดับ (หรือปริภูมิพรีสต์ลีย์ ) ที่แยกตามลำดับอย่างสมบูรณ์ แลตทิซดั้งเดิมจะถูกกู้คืนเป็นชุดของ เซตล่างแบบ ปิดและเปิดของปริภูมินี้

จากทฤษฎีบทของสโตนและพรีสต์ลีย์ ทำให้เห็นได้ง่ายว่าแลตทิซแบบกระจายใดๆ ก็ตามนั้นสมมูลกับแลตทิซของเซต อย่างไรก็ตาม การพิสูจน์ข้อความทั้งสองนั้นต้องอาศัยทฤษฎีบทอุดมคติเฉพาะของบูลีนซึ่งเป็นรูปแบบอ่อนของสัจพจน์ของการเลือก

สามารถสร้างแลตทิซ แบบ กระจาย อิสระเหนือเซตของตัวสร้างGได้ง่ายกว่าแลตทิซอิสระทั่วไปมาก ข้อสังเกตแรกคือ การใช้กฎการกระจาย ทุกเทอมที่เกิดจากการดำเนินการทวิภาคและบนเซตของตัวสร้างสามารถแปลงเป็นรูปแบบปกติ ที่เทียบเท่ากันได้ดังต่อไปนี้ : ${\displaystyle \lor }$${\displaystyle \land }$

${\displaystyle M_{1}\lor M_{2}\lor \cdots \lor M_{n},}$

โดยที่ meet และ join เป็นกลุ่มจำกัดของสมาชิกในGยิ่งไปกว่านั้น เนื่องจากทั้ง meet และ join มีคุณสมบัติสมาคมสลับที่และเอกลักษณ์เราจึงสามารถละเลยสมาชิกซ้ำและลำดับ และแสดง join ของ meet ดังตัวอย่างข้างต้นเป็นเซตของเซตได้ ${\displaystyle M_{i}}$

${\displaystyle \{N_{1},N_{2},\ldots ,N_{n}\},}$

โดยที่เป็นเซตย่อยจำกัดของGอย่างไรก็ตาม ยังคงเป็นไปได้ที่พจน์สองพจน์ดังกล่าวจะหมายถึงองค์ประกอบเดียวกันของแลตทิซแบบกระจาย ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อมีดัชนีjและkที่ทำให้เป็นเซตย่อยของในกรณีนี้ จุดตัดของจะอยู่ต่ำกว่าจุดตัดของและด้วยเหตุนี้จึงสามารถลบเซตที่ซ้ำซ้อนออก ได้อย่างปลอดภัย โดยไม่เปลี่ยนแปลงการตีความของพจน์ทั้งหมด ผลที่ตามมาคือ เซตของเซตย่อยจำกัดของGจะถูกเรียกว่าไม่ซ้ำซ้อนเมื่อใดก็ตามที่องค์ประกอบทั้งหมดของเซตนั้นไม่สามารถเปรียบเทียบกันได้ (โดยสัมพันธ์กับการเรียงลำดับของเซตย่อย) กล่าวคือ เมื่อมันก่อตัวเป็นแอนติเชนของเซตจำกัด ${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle N_{j}}$${\displaystyle N_{k}.}$${\displaystyle N_{k}}$${\displaystyle N_{j},}$${\displaystyle N_{k}}$${\displaystyle N_{i}}$

ตอนนี้แลตทิซแบบกระจายอิสระเหนือเซตของตัวสร้างGถูกนิยามบนเซตของเซตย่อยจำกัดที่ไม่ซ้ำซ้อนทั้งหมดของGการรวมกันของเซตจำกัดที่ไม่ซ้ำซ้อนสองเซตได้มาจากการรวมกันโดยการลบเซตที่ซ้ำซ้อนทั้งหมดออก ในทำนองเดียวกัน การตัดกันของสองเซตSและTก็คือเวอร์ชันที่ไม่ซ้ำซ้อนของการตรวจสอบว่าโครงสร้างนี้เป็นแลตทิซแบบกระจายที่มีคุณสมบัติสากล ที่ต้องการ นั้นเป็นเรื่องปกติ ${\displaystyle \{N\cup M\mid N\in S,M\in T\}.}$

จำนวนองค์ประกอบในแลตทิซแบบกระจายอิสระที่มี ตัวสร้าง nตัว กำหนดโดยจำนวนเดเดคินด์จำนวนเหล่านี้เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็ว และทราบเฉพาะสำหรับn  ≤ 9 เท่านั้น

2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788, 286386577668298411128469151667598498812366 (ลำดับA000372ในOEIS )

ตัวเลขข้างต้นแสดงจำนวนองค์ประกอบในแลตติสแบบกระจายอิสระ ซึ่งการดำเนินการของแลตติสคือการรวมและการตัดกันของเซตจำกัดขององค์ประกอบ รวมถึงเซตว่าง หากไม่อนุญาตให้มีการรวมและการตัดกันของเซตว่าง แลตติสแบบกระจายอิสระที่ได้จะมีองค์ประกอบน้อยลงสององค์ประกอบ จำนวนองค์ประกอบของแลตติสเหล่านั้นจะเรียงลำดับดังนี้

0, 1, 4, 18, 166, 7579, 7828352, 2414682040996, 56130437228687557907786, 286386577668298411128469151667598498812364 (ลำดับA007153ในOEIS )

• แลตทิซแบบกระจายอย่างสมบูรณ์ — แลตทิซที่การเชื่อมต่อจำนวนอนันต์กระจายตัวไปทั่วจุดตัดจำนวนอนันต์
• ทฤษฎีทวิภาวะสำหรับแลตทิซแบบกระจาย
• พื้นที่สเปกตรัม

• เบอร์ริส, สแตนลีย์ เอ็น.; ซานคัปปานาวาร์, เอชพี (1981). หลักสูตรพีชคณิตสากล . สปริงเกอร์-เวอร์แลก. ISBN 3-540-90578-2.
• ลำดับ OEIS A006982 (จำนวนของแลตติซแบบกระจายที่ไม่มีป้ายกำกับซึ่งมีnองค์ประกอบ)