ในทางคณิตศาสตร์มีแนวคิดที่แตกต่างกันสองอย่างเกี่ยวกับวงแหวนของเซตซึ่งทั้งสองอย่างหมายถึงตระกูลของเซตบาง ตระกูล

ในทฤษฎีลำดับตระกูลเซต ที่ไม่ว่างเปล่า เรียกว่าวงแหวน (ของเซต) ถ้าปิดภายใต้การรวมและการตัดกัน^{[ 1 ]} นั่นคือ ข้อความสองข้อต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับเซตทั้งหมดและ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$หมายความว่าและ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$หมายความว่า${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {R}}.}$

ในทฤษฎีการวัดกลุ่มเซตที่ไม่ว่างเปล่าเรียก ว่าวงแหวน (ของเซต) ถ้าปิดภายใต้การรวมและการเติมเต็มสัมพัทธ์ (ความแตกต่างเชิงทฤษฎีเซต) ^{[ 2 ]}นั่นคือ ข้อความสองข้อต่อไปนี้เป็นจริงสำหรับเซตทั้งหมดและ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$

1. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$หมายความว่าและ${\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {R}}}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {R}}}$หมายความว่า${\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {R}}.}$

นี่หมายความว่าวงแหวนในความหมายเชิงการวัดจะประกอบด้วยเซตว่าง เสมอ ยิ่งไปกว่านั้น สำหรับเซตAและBทั้งหมด

${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B),}$

ซึ่งแสดงให้เห็นว่ากลุ่มของเซตที่ปิดภายใต้ส่วนเติมเต็มสัมพัทธ์ก็ปิดภายใต้การตัดกันด้วย ดังนั้นวงแหวนในความหมายเชิงการวัดจึงเป็นวงแหวนในความหมายเชิงลำดับด้วย

ถ้าXเป็นเซตใดๆ แล้วเซตกำลังของX (กลุ่มของเซตย่อยทั้งหมดของX ) จะก่อให้เกิดวงแหวนของเซตในความหมายใดๆ ก็ได้

ถ้า( X , ≤)เป็นเซตที่มีลำดับบางส่วนเซตบนของ X (เซตย่อยของXที่มีคุณสมบัติเพิ่มเติมว่า ถ้าxอยู่ในเซตบนUและx ≤ yแล้วyก็ต้องอยู่ในU ด้วย ) จะปิดภายใต้การหาจุดตัดและการหาผลรวม อย่างไรก็ตาม โดยทั่วไปแล้ว เซตนี้จะไม่ปิดภายใต้การหาผลต่างของเซต

เซตเปิดและเซตปิดของปริภูมิโทโพโลยี ใดๆ ล้วนปิดภายใต้การรวมและการตัดกัน^{[ 1 ]}

บนเส้นจำนวนจริงRกลุ่มของเซตที่ประกอบด้วยเซตว่างและผลรวมจำกัดทั้งหมดของช่วงครึ่งเปิดในรูปแบบ( a , b ])โดยที่a , b ∈ Rเป็นริงในความหมายเชิงทฤษฎีการวัด

ถ้าTเป็นการแปลงใดๆ ที่กำหนดไว้บนปริภูมิ เซตที่ถูกแมปเข้าสู่ตัวมันเองโดยTจะปิดภายใต้ทั้งการรวมและการตัดกัน^{[ 1 ]}

ถ้าวงแหวนของเซตสองวงถูกกำหนดบนองค์ประกอบเดียวกัน เซตที่อยู่ในวงแหวนทั้งสองจะก่อให้เกิดวงแหวนของเซต^{[ 1 ]}

วงแหวนของเซตในความหมายเชิงทฤษฎีลำดับก่อให้เกิดแลตทิซแบบกระจายซึ่งการดำเนินการตัดกันและการรวมกันสอดคล้องกับ การดำเนินการ พบและรวม ของแลตทิซ ตามลำดับ ในทางกลับกัน แลตทิซแบบกระจายทุกอันจะสมสัณฐานกับวงแหวนของเซต ในกรณีของแลตทิซแบบกระจายจำกัด นี่คือ ทฤษฎีบทการแสดงแทนของ Birkhoffและเซตอาจถือได้ว่าเป็นเซตล่างของเซตที่มีลำดับบางส่วน^{[ 1 ]}

กลุ่มของเซตที่ปิดภายใต้การรวมและการเติมเต็มสัมพัทธ์ ก็จะปิดภายใต้ผลต่างสมมาตรและการตัดกันด้วย ในทางกลับกัน ทุกกลุ่มของเซตที่ปิดภายใต้ทั้งผลต่างสมมาตรและการตัดกัน ก็จะปิดภายใต้การรวมและการเติมเต็มสัมพัทธ์ด้วย ทั้งนี้เนื่องจากเอกลักษณ์ดังกล่าว

1. ${\displaystyle A\cup B=(A\,\triangle \,B)\,\triangle \,(A\cap B)}$และ
2. ${\displaystyle A\setminus B=A\,\triangle \,(A\cap B).}$

ผลต่างสมมาตรและการตัดกันเมื่อรวมกันจะให้โครงสร้างของวงแหวนในความหมายเชิงทฤษฎีการวัดเป็นวงแหวนบูลีน

ในความหมายเชิงทฤษฎีการวัดวงแหวน σคือวงแหวนที่ปิดภายใต้ การรวมกัน แบบนับได้และวงแหวน δคือวงแหวนที่ปิดภายใต้การตัดกันแบบนับได้ กล่าวคือ วงแหวน σ บนคือเซตที่สำหรับลำดับใดๆเรามี${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \{A_{k}\__{k=1}^{\infty }\subseteq {\mathcal {F}},}$${\textstyle \bigcup _{k=1}^{\infty }A_{k}\in {\mathcal {F}}.}$

กำหนดให้เซตหนึ่งๆฟิลด์ของเซต − หรือเรียกอีกอย่างว่าพีชคณิตเหนือ − คือวงแหวนที่บรรจุ เซตนั้นไว้ นิยามนี้บ่งชี้ว่าพีชคณิตนั้นปิดภายใต้ส่วนเติมเต็มสัมบูรณ์พีชคณิตσคือพีชคณิตที่ปิดภายใต้การรวมกันแบบนับได้ หรือเทียบเท่ากับวงแหวน σ ที่บรรจุเซตนั้นไว้ในความเป็นจริง ตามกฎของเดอ มอร์แกน วงแหวน δ ที่บรรจุเซตนั้นไว้ย่อมเป็นพีชคณิต σ ด้วยเช่นกัน ฟิลด์ของเซต โดยเฉพาะพีชคณิต σ มีความสำคัญอย่างยิ่งต่อทฤษฎีความน่าจะ เป็นสมัยใหม่ และนิยามของการ วัด${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle A^{c}=X\setminus A.}$${\displaystyle X.}$${\displaystyle X}$

เอเซมิริง (ของเซต)คือตระกูลของเซตที่มีคุณสมบัติดังต่อไปนี้ ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$

1. ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}},}$
   • ถ้า (3) เป็นจริง ก็ต่อเมื่อ${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {S}}\neq \varnothing .}$
2. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$หมายความว่าและ${\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {S}},}$
3. ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {S}}}$หมายความว่าสำหรับบางส่วนที่ไม่เกี่ยวข้องกัน${\displaystyle A\setminus B=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}}$${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}.}$

ทุกวงแหวน (ในความหมายของทฤษฎีการวัด) เป็นเซมิริง ในทางกลับกันเป็นเซมิริงแต่ไม่ใช่ริง เนื่องจากไม่ปิดภายใต้การรวมกัน ${\displaystyle {\mathcal {S}}:=\{\emptyset ,\{x\},\{y\}\}}$${\displaystyle X=\{x,y\}}$

เอเซมิอัลเจบรา ^{[ 3 ]}หรือตระกูลพื้นฐาน ^{[ 4 ]}คือชุดของเซตย่อยที่สอดคล้องกับคุณสมบัติของเซมิริง ยกเว้น (3) ถูกแทนที่ด้วย: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X}$

• ถ้า เช่นนั้นจะมี เซตที่ไม่ทับซ้อนกันอยู่จำนวนจำกัดซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขที่ว่า${\displaystyle E\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle C_{1},\ldots ,C_{n}\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle X\setminus E=\bigcup _{i=1}^{n}C_{i}.}$

เงื่อนไขนี้เข้มงวดกว่า (3) ซึ่งสามารถเห็นได้ดังต่อไปนี้ ถ้าเป็นเซมิอัลเจบราและแล้วเราสามารถเขียนสำหรับที่ไม่เกี่ยวข้องกันได้จากนั้น: ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle E,F\in {\mathcal {S}}}$${\displaystyle F^{c}=F_{1}\cup \ldots \cup F_{n}}$${\displaystyle F_{i}\in S}$$${\displaystyle E\setminus F=E\cap F^{c}=E\cap (F_{1}\cup \ldots \cup F_{n})=(E\cap F_{1})\cup \ldots \cup (E\cap F_{n})}$$

และเนื่องจากมันปิดภายใต้การตัดกัน และไม่ทับซ้อนกันเพราะมันบรรจุอยู่ใน's ที่ไม่ทับซ้อนกัน ยิ่งไปกว่านั้น เงื่อนไขนี้ เข้มงวด กว่ามาก : วงแหวนใดๆที่เป็นทั้งวงแหวนและเซมิอัลเจบรา ก็เป็นอัลเจบราด้วย ดังนั้นวงแหวนใดๆ ที่ไม่ใช่อัลเจบรา ก็ไม่ใช่เซมิอัลเจบราเช่นกัน (เช่น กลุ่มของเซตจำกัดบนเซตอนันต์) ${\displaystyle E\cap F_{i}\in S}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

• พีชคณิตของเซต  – เอกลักษณ์และความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับเซต
• δ -ring  – วงแหวนที่ปิดภายใต้จุดตัดที่นับได้
• ขอบเขตของเซต  – แนวคิดทางพีชคณิตในทฤษฎีการวัด หรือเรียกอีกอย่างว่า พีชคณิตของเซต
• ระบบ 𝜆 (ระบบ Dynkin)  – ตระกูลที่ปิดภายใต้ส่วนเติมเต็มและสหภาพที่ไม่เกี่ยวข้องกันที่นับได้
• คลาสโมโนโทน  – ทฤษฎีการวัดและทฤษฎีความน่าจะเป็นหน้าเว็บที่แสดงคำอธิบายสั้น ๆ ของเป้าหมายการเปลี่ยนเส้นทาง
• ระบบπ  – กลุ่มของเซตที่ปิดภายใต้การตัดกัน
• σ-algebra  – โครงสร้างเชิงพีชคณิตของพีชคณิตเซต
• 𝜎-ideal  – ครอบครัวที่ปิดภายใต้เซตย่อยและสหภาพที่นับได้
• 𝜎-ring  – กลุ่มของเซตที่ปิดภายใต้สหภาพที่นับได้

• Durrett, Richard (2019). ความน่าจะเป็น: ทฤษฎีและตัวอย่าง (PDF) . ชุดหนังสือเคมบริดจ์ด้านคณิตศาสตร์สถิติและความน่าจะเป็น เล่มที่ 49 (ฉบับที่ 5). เคมบริดจ์ นิวยอร์ก, นิวยอร์ก: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ . ISBN 978-1-108-47368-2. OCLC  1100115281 . สืบค้นเมื่อ 5 พฤศจิกายน 2020 .
• ฟอลแลนด์, เจอรัลด์ บี. (1999). การวิเคราะห์เชิงจริง: เทคนิคสมัยใหม่และการประยุกต์ใช้ (ฉบับที่ 2). จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์. ISBN 0-471-31716-0.

• วงแหวนของเซตในสารานุกรมคณิตศาสตร์

ครอบครัวของชุดต่างๆ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$มากกว่า${\displaystyle \Omega }$ วี ที อี
เป็นจริงอย่างแน่นอนสำหรับ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$หรือปิดภายใต้:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	กำกับโดย${\displaystyle \,\supseteq }$	${\displaystyle A\cap B}$	${\displaystyle A\cup B}$	${\displaystyle B\setminus A}$	${\displaystyle \โอเมก้า \setminus A}$	${\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots }$	${\displaystyle A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots }$	${\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}$	${\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}$	เอฟไอพี
ระบบπ
เซมิริ่ง										ไม่เคย
เซมิอัลจีบรา(เซมิฟิลด์)										ไม่เคย
ชั้นเรียนโมโนโทน						เฉพาะในกรณีที่${\displaystyle A_{i}\searrow }$	เฉพาะในกรณีที่${\displaystyle A_{i}\nearrow }$
ระบบ 𝜆 (ระบบไดน์กิน)				เฉพาะในกรณีที่${\displaystyle A\subseteq B}$			เฉพาะในกรณีที่พวกมันแยกจากกัน${\displaystyle A_{i}\nearrow }$			ไม่เคย
วงแหวน(ทฤษฎีลำดับ)
วงแหวน(ทฤษฎีการวัด)										ไม่เคย
วงแหวน δ										ไม่เคย
𝜎-ring										ไม่เคย
พีชคณิต(สาขา)										ไม่เคย
พีชคณิต 𝜎 (ฟิลด์ 𝜎)										ไม่เคย
กรอง
ตัวกรองที่เหมาะสม				ไม่เคย	ไม่เคย				ไม่เคย
แผ่นกรองขั้นต้น(ฐานกรอง)
กรองฐานย่อย
โครงสร้างแบบเปิด							(แม้กระทั่งตามอำเภอใจ)${\displaystyle \cup }$			ไม่เคย
โครงสร้างแบบปิด						(แม้กระทั่งตามอำเภอใจ)${\displaystyle \cap }$				ไม่เคย
เป็นจริงอย่างแน่นอนสำหรับ${\displaystyle {\mathcal {F}}\colon }$หรือปิดภายใต้:${\displaystyle {\mathcal {F}}}$	มุ่งลงด้านล่าง	จุดตัดจำกัด	ยูเนียนจำกัด	ส่วนเติม เต็มสัมพัทธ์	ส่วนเติมเต็มใน${\displaystyle \Omega }$	จุดตัดที่นับได้	สหภาพที่นับได้	ประกอบด้วย${\displaystyle \Omega }$	ประกอบด้วย${\displaystyle \varnothing }$	คุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด
นอกจากนี้เซมิริงคือระบบπที่ทุกส่วนเติมเต็มเท่ากับผลรวมของเซตที่ไม่ซ้ำกันจำนวนจำกัดใน เซมิแอลจีบรา เซมิแอลจีบราคือเซมิริงที่ทุกส่วนเติมเต็มเท่ากับผลรวมของเซตที่ไม่ซ้ำกันจำนวนจำกัดในเซมิแอ ล จีบรา โดยที่ เป็นองค์ประกอบใดๆ ของและถือว่า${\displaystyle B\setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle \โอเมก้า \setminus A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}.}$${\displaystyle A,B,A_{1},A_{2},\ldots }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\neq \varnothing .}$