ระบบไดน์กิน

Q: คำนิยาม

ให้เป็นเซต และให้เป็น กลุ่มของเซตย่อย ของ(นั่นคือเป็นเซตย่อยของ เซตกำลัง ของ) แล้วเป็นระบบไดน์กิน ถ้า Ω {\displaystyle \Omega } ดี {\displaystyle D} Ω {\displaystyle \Omega } ดี {\displaystyle D} Ω {\displaystyle \Omega } ดี {\displaystyle D}

Q: ทฤษฎีบท π-แล ของเซียร์ปินสกี้–ไดนคิน

ทฤษฎีบท π -𝜆 ของ Sierpiński-Dynkin : [ 3 ] ถ้าเป็น ระบบ π และเป็นระบบ Dynkin ที่มีแล้ว พี {\displaystyle P} ดี {\displaystyle D} พี ⊆ ดี , {\displaystyle P\subseteq D,} σ { พี } ⊆ ดี . {\displaystyle \sigma \{P\}\subseteq D.}

ระบบDynkin [ ¹^]ซึ่งตั้งชื่อตามEugene Dynkinคือชุดของเซตย่อย ของ เซตสากลอื่น ที่สอดคล้อง ^กับชุดของสัจพจน์ที่อ่อนกว่าของพีชคณิต 𝜎ระบบ Dynkin บางครั้งเรียกว่าระบบ 𝜆 (Dynkin เองก็ใช้คำนี้) หรือระบบ d [ ²^]^{ตระกูล}เซตเหล่านี้มีการประยุกต์ใช้ในทฤษฎีการวัดและความน่าจะเป็น $\Omega$

การประยุกต์ใช้ระบบ 𝜆 ที่สำคัญอย่างหนึ่งคือ ทฤษฎีบท $π$ -𝜆 ดังที่แสดงด้านล่าง

คำนิยาม

ให้เป็นเซต และให้เป็นกลุ่มของเซตย่อยของ(นั่นคือเป็นเซตย่อยของเซตกำลังของ) แล้วเป็นระบบไดน์กิน ถ้า $\Omega$ $D$ $\Omega$ $D$ $\Omega$ $D$

$\Omega \in D;$
$D$ ปิดภายใต้ส่วนเติมเต็มของเซตย่อยในเซตใหญ่: ถ้าและแล้ว $A,B\in D$ $A\subseteq B,$ $B\setminus A\in D;$
$D$ ปิดภายใต้การรวมกัน ที่เพิ่มขึ้นแบบนับได้ : ถ้าเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้น^[^{หมายเหตุ 1}^]ของเซตในแล้ว $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq A_{3}\subseteq \cdots$ $D$ $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.$

สามารถตรวจสอบได้ง่ายๆ^{[หมายเหตุ 2 ]}ว่าระบบ Dynkin ใดๆ ก็ตามเป็นไปตามเงื่อนไขดังต่อไปนี้: $D$

$\varnothing \in D;$
$D$ $D$ ปิดภายใต้ส่วนเติมเต็มใน: ถ้าแล้ว $\Omega$ $\Omega$ ${\textstyle A\in D,}$ ${\textstyle A\in D,}$ $\Omega \setminus A\in D;$ $\Omega \setminus A\in D;$
- การพาชมการแสดงต่างๆ ที่ $A:=\Omega$ $\varnothing \in D.$
$D$ $D$ มีคุณสมบัติปิดภายใต้การรวมกันแบบนับได้ของ เซต ที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ : ถ้าเป็นลำดับของ เซต ที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆใน(หมายความว่าสำหรับทุก) แล้ว $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ $D$ $D$ $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ $A_{i}\cap A_{j}=\varnothing$ $i\neq j$ $i\neq j$ $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.$ $\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in D.$
- เพื่อให้ชัดเจน คุณสมบัตินี้ยังใช้ได้กับลำดับจำกัดของเซตที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ (โดยกำหนดให้สำหรับทุก) $A_{1},\ldots ,A_{n}$ $A_{i}:=\varnothing$ $i>n$

ในทางกลับกัน สามารถตรวจสอบได้อย่างง่ายดายว่าตระกูลของเซตที่ตรงตามเงื่อนไข 4-6 เป็นคลาส Dynkin ^{[หมายเหตุ 3 ]} ด้วยเหตุนี้ ผู้เขียนกลุ่มเล็กๆ จึงได้นำเงื่อนไข 4-6 มาใช้ในการกำหนดระบบ Dynkin

ข้อเท็จจริงที่สำคัญคือ ระบบ Dynkin ใดๆ ที่เป็นระบบ $π$ ด้วย (กล่าวคือ ปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัด) จะเป็นพีชคณิต 𝜎ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยสังเกตว่าเงื่อนไข 2 และ 3 ร่วมกับการปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัด บ่งบอกถึงการปิดภายใต้การรวมกันแบบจำกัด ซึ่งในทางกลับกันก็บ่งบอกถึงการปิดภายใต้การรวมกันแบบนับได้

เมื่อกำหนดเซตย่อยใด ๆ ของจะมีระบบ Dynkin ที่ไม่ซ้ำกันเพียงระบบเดียว ซึ่งแทนด้วยซึ่งเป็นระบบที่เล็กที่สุดเมื่อเทียบกับที่ประกอบด้วยนั่นคือ ถ้าเป็นระบบ Dynkin ใด ๆ ที่ประกอบด้วยแล้วจะเรียกว่าระบบ Dynkin ที่สร้างขึ้นโดย ตัวอย่างเช่น สำหรับตัวอย่างอื่น ให้และ; แล้ว ${\mathcal {J}}$ $\Omega ,$ $D\{{\mathcal {J}}\}$ ${\mathcal {J}}.$ ${\tilde {D}}$ ${\mathcal {J}},$ $D\{{\mathcal {J}}\}\subseteq {\tilde {D}}.$ $D\{{\mathcal {J}}\}$ ${\mathcal {J}}.$ $D\{\varnothing \}=\{\varnothing ,\Omega \}.$ $\โอเมก้า =\{1,2,3,4\}$ ${\mathcal {J}}=\{1\}$ $D\{{\mathcal {J}}\}=\{\varnothing ,\{1\},\{2,3,4\},\Omega \}.$

ทฤษฎีบท π-แล ของเซียร์ปินสกี้–ไดนคิน

ทฤษฎีบท $π$ -𝜆 ของ Sierpiński-Dynkin : ^{[ 3 ]} ถ้าเป็นระบบ $π$ และเป็นระบบ Dynkin ที่มีแล้ว $P$ $D$ $P\subseteq D,$ $\sigma \{P\}\subseteq D.$

กล่าวอีกนัยหนึ่ง พีชคณิต 𝜎 ที่สร้างขึ้นโดยนั้นมีอยู่ในดังนั้น ระบบ Dynkin จะมี ระบบ $π$ ก็ต่อเมื่อมันมีพีชคณิต 𝜎 ที่สร้างขึ้นโดยระบบ $π นั้น$ $P$ $D.$

หนึ่งในการประยุกต์ใช้ ทฤษฎีบท $π$ -𝜆 ของ Sierpiński-Dynkin คือ ความไม่ซ้ำกันของมาตรวัดที่ประเมินความยาวของช่วง (เรียกว่ามาตรวัดเลเบส ):

ให้เป็นช่วงหน่วย [0,1] ที่มีมาตรวัดเลเบสบนเซตบอเรลให้เป็นมาตรวัด อีกตัว บน ที่สอดคล้องกับและให้เป็นตระกูลของเซตเช่น ให้และสังเกตว่าปิดภายใต้การตัดกันแบบจำกัดและเป็นพีชคณิต 𝜎 ที่สร้างขึ้นโดย อาจแสดงได้ว่า สอดคล้องกับเงื่อนไขข้างต้นสำหรับระบบไดน์กิน จากทฤษฎีบท $π$ -𝜆 ของ Sierpiński-Dynkin จะได้ว่าในความเป็นจริงแล้ว ครอบคลุมทั้งหมดของซึ่งเทียบเท่ากับการแสดงว่ามาตรวัดเลเบสมีเอกลักษณ์บน $(\Omega ,{\mathcal {B}},\ell )$ $m$ $\Omega$ $m[(a,b)]=ba,$ $D$ $S$ $m[S]=\ell [S].$ $I:=\{(a,b),[a,b),(a,b],[a,b]:0<a\leq b<1\},$ $I$ $I\subseteq D,$ ${\mathcal {B}}$ $I.$ $D$ $D$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {B}}$

การประยุกต์ใช้กับการแจกแจงความน่าจะเป็น

ทฤษฎีบท $π$ -𝜆 เป็นแรงบันดาลใจให้กับการนิยามทั่วไปของการแจกแจงความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม ในแง่ของฟังก์ชันการแจกแจงสะสมโปรดจำไว้ว่าการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มถูกกำหนดเป็น ใน ขณะที่ กฎ ทั่วไปของตัวแปรคือการวัดความน่าจะเป็น โดยที่คือพีชคณิต 𝜎 ของ Borel ตัวแปรสุ่มและ(บนปริภูมิความน่า จะเป็นที่อาจแตกต่างกันสองปริภูมิ ) มีการแจกแจง (หรือกฎ ) เท่ากัน ซึ่งเขียนแทนด้วยถ้าพวกมันมีฟังก์ชันการแจกแจงสะสมเดียวกัน นั่นคือ ถ้าแรงจูงใจสำหรับการนิยามนี้มาจากการสังเกตว่า ถ้าแล้ว นั่นหมายความว่าและสอดคล้องกันบนระบบ $π$ ซึ่งสร้างและดังนั้นจากตัวอย่างข้างต้น : $X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R}$ $F_{X}(a)=\operatorname {P} [X\leq a],\qquad a\in \mathbb {R} ,$ ${\mathcal {L}}_{X}(B)=\operatorname {P} \left[X^{-1}(B)\right]\quad {\text{ for all }}B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$ $X:(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )\to \mathbb {R}$ $Y:({\tilde {\Omega }},{\tilde {\mathcal {F}}},{\tilde {\operatorname {P} }})\to \mathbb {R}$ $X\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,Y,$ $F_{X}=F_{Y}.$ $F_{X}=F_{Y},$ ${\mathcal {L}}_{X}$ ${\mathcal {L}}_{Y}$ $\{(-\infty ,a]:a\in \mathbb {R} \}$ ${\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),$ ${\mathcal {L}}_{X}={\mathcal {L}}_{Y}.$

ผลลัพธ์ที่คล้ายกันนี้ใช้ได้กับการแจกแจงร่วมของเวกเตอร์สุ่ม ตัวอย่างเช่น สมมติว่าและเป็นตัวแปรสุ่มสองตัวที่กำหนดบนปริภูมิความน่าจะเป็นเดียวกัน โดยมี ระบบ $π$ ที่สร้างขึ้นตามลำดับและฟังก์ชันการแจกแจงสะสมร่วมของคือ $X$ $Y$ $(\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} ),$ ${\mathcal {I}}_{X}$ ${\mathcal {I}}_{Y}.$ $(X,Y)$ $F_{X,Y}(a,b)=\operatorname {P} [X\leq a,Y\leq b]=\operatorname {P} \left[X^{-1}((-\infty ,a])\cap Y^{-1}((-\infty ,b])\right],\quad {\text{ for all }}a,b\in \mathbb {R} .$

อย่างไรก็ตามเนื่องจาก เป็น ระบบ $π$ ที่สร้างขึ้นจากคู่สุ่มจึง ใช้ทฤษฎีบท π -𝜆 เพื่อแสดงว่าฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมเพียงพอที่จะกำหนดกฎร่วมของกล่าว $อีก$ นัยหนึ่งคือและมีการกระจายเดียวกันก็ต่อเมื่อพวกมันมีฟังก์ชันการกระจายสะสมร่วมเดียวกัน $A=X^{-1}((-\infty ,a])\in {\mathcal {I}}_{X}$ $B=Y^{-1}((-\infty ,b])\in {\mathcal {I}}_{Y}.$ ${\mathcal {I}}_{X,Y}=\left\{A\cap B:A\in {\mathcal {I}}_{X},{\text{ and }}B\in {\mathcal {I}}_{Y}\right\}$ $(X,Y),$ $(X,Y).$ $(X,Y)$ $(W,Z)$

ในทฤษฎีของกระบวนการสุ่มกระบวนการสองกระบวนการจะเท่ากันในแง่ของการแจกแจงก็ต่อเมื่อทั้งสองกระบวนการนั้นตรงกันบนการแจกแจงมิติจำกัดทั้งหมด กล่าวคือ สำหรับทุก ๆ $(X_{t})_{t\in T},(Y_{t})_{t\in T}$ $t_{1},\ldots ,t_{n}\in T,\,n\in \mathbb {N} ,$ $\left(X_{t_{1}},\ldots ,X_{t_{n}}\right)\,{\stackrel {\mathcal {D}}{=}}\,\left(Y_{t_{1}},\ldots ,Y_{t_{n}}\right).$

การพิสูจน์ข้อนี้เป็นอีกหนึ่งการประยุกต์ใช้ ทฤษฎีบท $π$ -𝜆 ^{[ 4 ]}

ดูเพิ่มเติม

พีชคณิตของเซต – เอกลักษณ์และความสัมพันธ์ที่เกี่ยวข้องกับเซต
$δ$ -ring – วงแหวนที่ปิดภายใต้จุดตัดที่นับได้
ขอบเขตของเซต – แนวคิดทางพีชคณิตในทฤษฎีการวัด หรือเรียกอีกอย่างว่า พีชคณิตของเซต
คลาสโมโนโทน – ทฤษฎีการวัดและทฤษฎีความน่าจะเป็น
ระบบ $π$ – กลุ่มของเซตที่ปิดภายใต้การตัดกัน
วงแหวนแห่งเซต – ครอบครัวที่ปิดล้อมภายใต้สหภาพและส่วนเติมเต็มที่เกี่ยวข้อง
σ-algebra – โครงสร้างเชิงพีชคณิตของพีชคณิตเซต
𝜎-ideal – ครอบครัวที่ปิดภายใต้เซตย่อยและสหภาพที่นับได้
𝜎-ring – กลุ่มของเซตที่ปิดภายใต้สหภาพที่นับได้

หมายเหตุ

^ลำดับของเซตเรียกว่าลำดับเพิ่มขึ้นถ้าสำหรับทุก ๆ $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ $n\geq 1.$
^สมมติว่าสอดคล้องกับ (1), (2) และ (3)การพิสูจน์ (5) : คุณสมบัติ (5) เป็นผลมาจาก (1) และ (2) โดยใช้บทพิสูจน์ต่อไปนี้จะใช้เพื่อพิสูจน์ (6)บทพิสูจน์ : ถ้าเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกันแล้วการพิสูจน์บทพิสูจน์ :บ่งชี้ว่า โดยที่โดย (5) ตอนนี้ (2) บ่งชี้ว่าประกอบด้วยดังนั้น (5) รับประกันว่าซึ่งพิสูจน์บทพิสูจน์ การพิสูจน์ (6)สมมติว่าเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ ในสำหรับทุกจำนวนเต็มบทพิสูจน์บ่งชี้ว่าโดยที่ เนื่องจากเพิ่มขึ้น (3) รับประกันว่าประกอบด้วยผลรวมของพวกมันตามที่ต้องการ ${\mathcal {D}}$ $B:=\Omega .$ $A,B\in {\mathcal {D}}$ $A\cup B\in {\mathcal {D}}.$ $A\cap B=\varnothing$ $B\subseteq \Omega \setminus A,$ $\Omega \setminus A\subseteq \Omega$ ${\mathcal {D}}$ $(\Omega \setminus A)\setminus B=\Omega \setminus (A\cup B)$ $A\cup B\in {\mathcal {D}},$ $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ ${\mathcal {D}}.$ $n>0,$ $D_{n}:=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\in {\mathcal {D}}$ $D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq D_{3}\subseteq \cdots$ ${\mathcal {D}}$ $D_{1}\cup D_{2}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots ,$ $\blacksquare$
^สมมติว่าสอดคล้องกับ (4), (5) และ (6)การพิสูจน์ (2) : ถ้าสอดคล้องกับ แล้ว (5) บ่งชี้ว่าและเนื่องจาก(6) บ่งชี้ว่าประกอบด้วยดังนั้นในที่สุด (4) รับประกันว่าอยู่ในการพิสูจน์ (3) : สมมติว่าเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นของเซตย่อยในให้และให้สำหรับทุก ๆที่ (2) รับประกันว่าทั้งหมดอยู่ในเนื่องจากเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ ๆ (6) รับประกันว่าผลรวมของเซตเหล่านั้นอยู่ในซึ่งพิสูจน์ (3) ${\mathcal {D}}$ $A,B\in {\mathcal {D}}$ $A\subseteq B$ $\Omega \setminus B\in {\mathcal {D}}$ $(\Omega \setminus B)\cap A=\varnothing ,$ ${\mathcal {D}}$ $(\Omega \setminus B)\cup A=\Omega \setminus (B\setminus A)$ $\Omega \setminus (\Omega \setminus (B\setminus A))=B\setminus A$ ${\mathcal {D}}.$ $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ ${\mathcal {D}},$ $D_{1}=A_{1},$ $D_{i}=A_{i}\setminus A_{i-1}$ $i>1,$ $D_{2},D_{3},\ldots$ ${\mathcal {D}}.$ $D_{1},D_{2},D_{3},\ldots$ $D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots$ ${\mathcal {D}},$ $\blacksquare$

อ่านเพิ่มเติม

Gut, Allan (2005). ความน่าจะเป็น: หลักสูตรระดับบัณฑิตศึกษา . Springer Texts in Statistics. นิวยอร์ก: Springer. doi : 10.1007/b138932 . ISBN 0-387-22833-0.
บิลลิงสลีย์, แพทริค (1995). ความน่าจะเป็นและการวัด . นิวยอร์ก: จอห์น ไวลีย์ แอนด์ ซันส์ อิงค์ISBN 0-471-00710-2.
วิลเลียมส์, เดวิด (2007). ความน่าจะเป็นด้วยมาร์ติงเกล . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์. หน้า 193. ISBN 978-0-521-40605-5.

บทความนี้ได้นำเนื้อหาจากระบบ Dynkin บนPlanetMath มาใช้ ซึ่งได้รับอนุญาตภายใต้Creative Commons Attribution/Share-Alike License

ครอบครัวของชุดต่างๆ ${\mathcal {F}}$ มากกว่า $\Omega$ วี ที อี
เป็นจริงอย่างแน่นอนสำหรับ ${\mathcal {F}}\colon$ หรือปิดภายใต้: ${\mathcal {F}}$	กำกับโดย $\,\supseteq$	$A\cap B$	$A\cup B$	$B\setminus A$	$\Omega \setminus A$	$A_{1}\cap A_{2}\cap \cdots$	$A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots$	$\Omega \in {\mathcal {F}}$	$\varnothing \in {\mathcal {F}}$	เอฟไอพี
ระบบ $π$
เซมิริ่ง										ไม่เคย
เซมิอัลจีบรา(เซมิฟิลด์)										ไม่เคย
ชั้นเรียนโมโนโทน						เฉพาะในกรณีที่ $A_{i}\searrow$	เฉพาะในกรณีที่ $A_{i}\nearrow$
ระบบ 𝜆 (ระบบไดน์กิน)				เฉพาะในกรณีที่ $A\subseteq B$			เฉพาะในกรณีที่พวกมันแยกจากกัน $A_{i}\nearrow$			ไม่เคย
วงแหวน(ทฤษฎีลำดับ)
วงแหวน(ทฤษฎีการวัด)										ไม่เคย
วงแหวน δ										ไม่เคย
𝜎-ring										ไม่เคย
พีชคณิต(สาขา)										ไม่เคย
พีชคณิต 𝜎 (ฟิลด์ 𝜎)										ไม่เคย
กรอง
ตัวกรองที่เหมาะสม				ไม่เคย	ไม่เคย				ไม่เคย
แผ่นกรองขั้นต้น(ฐานกรอง)
กรองฐานย่อย
โครงสร้างแบบเปิด							(แม้กระทั่งตามอำเภอใจ) $\cup$			ไม่เคย
โครงสร้างแบบปิด						(แม้กระทั่งตามอำเภอใจ) $\cap$				ไม่เคย
เป็นจริงอย่างแน่นอนสำหรับ ${\mathcal {F}}\colon$ หรือปิดภายใต้: ${\mathcal {F}}$	มุ่งลงด้านล่าง	จุดตัดจำกัด	ยูเนียนจำกัด	ส่วนเติม เต็มสัมพัทธ์	ส่วนเติมเต็มใน $\Omega$	จุดตัดที่นับได้	สหภาพที่นับได้	ประกอบด้วย $\Omega$	ประกอบด้วย $\varnothing$	คุณสมบัติการตัดกันแบบจำกัด
นอกจากนี้*เซมิริงคือระบบ $π$ ที่ทุกส่วนเติมเต็มเท่ากับผลรวมของเซตที่ไม่ซ้ำกันจำนวนจำกัดใน เซมิแอลจีบรา เซมิแอลจีบรา*คือเซมิริงที่ทุกส่วนเติมเต็มเท่ากับผลรวมของเซตที่ไม่ซ้ำกันจำนวนจำกัดในเซมิแอ ล จีบรา โดยที่ เป็นองค์ประกอบใดๆ ของและถือว่า $B\setminus A$ ${\mathcal {F}}.$ $\Omega \setminus A$ ${\mathcal {F}}.$ $A,B,A_{1},A_{2},\ldots$ ${\mathcal {F}}$ ${\mathcal {F}}\neq \varnothing .$

[3] ลำดับของเซตเรียกว่าลำดับเพิ่มขึ้นถ้าสำหรับทุก ๆ $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ $A_{n}\subseteq A_{n+1}$ $n\geq 1.$

[DynkinClosedUnderDisjointU-4] สมมติว่าสอดคล้องกับ (1), (2) และ (3)การพิสูจน์ (5) : คุณสมบัติ (5) เป็นผลมาจาก (1) และ (2) โดยใช้บทพิสูจน์ต่อไปนี้จะใช้เพื่อพิสูจน์ (6)บทพิสูจน์ : ถ้าเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกันแล้วการพิสูจน์บทพิสูจน์ :บ่งชี้ว่า โดยที่โดย (5) ตอนนี้ (2) บ่งชี้ว่าประกอบด้วยดังนั้น (5) รับประกันว่าซึ่งพิสูจน์บทพิสูจน์ การพิสูจน์ (6)สมมติว่าเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ๆ ในสำหรับทุกจำนวนเต็มบทพิสูจน์บ่งชี้ว่าโดยที่ เนื่องจากเพิ่มขึ้น (3) รับประกันว่าประกอบด้วยผลรวมของพวกมันตามที่ต้องการ ${\mathcal {D}}$ $B:=\Omega .$ $A,B\in {\mathcal {D}}$ $A\cup B\in {\mathcal {D}}.$ $A\cap B=\varnothing$ $B\subseteq \Omega \setminus A,$ $\Omega \setminus A\subseteq \Omega$ ${\mathcal {D}}$ $(\Omega \setminus A)\setminus B=\Omega \setminus (A\cup B)$ $A\cup B\in {\mathcal {D}},$ $A_{1},A_{2},A_{3},\ldots$ ${\mathcal {D}}.$ $n>0,$ $D_{n}:=A_{1}\cup \cdots \cup A_{n}\in {\mathcal {D}}$ $D_{1}\subseteq D_{2}\subseteq D_{3}\subseteq \cdots$ ${\mathcal {D}}$ $D_{1}\cup D_{2}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup \cdots ,$ $\blacksquare$

[DisjointUGlobalComplementGiveDynkin-5] สมมติว่าสอดคล้องกับ (4), (5) และ (6)การพิสูจน์ (2) : ถ้าสอดคล้องกับ แล้ว (5) บ่งชี้ว่าและเนื่องจาก(6) บ่งชี้ว่าประกอบด้วยดังนั้นในที่สุด (4) รับประกันว่าอยู่ในการพิสูจน์ (3) : สมมติว่าเป็นลำดับที่เพิ่มขึ้นของเซตย่อยในให้และให้สำหรับทุก ๆที่ (2) รับประกันว่าทั้งหมดอยู่ในเนื่องจากเป็นเซตที่ไม่ทับซ้อนกันเป็นคู่ ๆ (6) รับประกันว่าผลรวมของเซตเหล่านั้นอยู่ในซึ่งพิสูจน์ (3) ${\mathcal {D}}$ $A,B\in {\mathcal {D}}$ $A\subseteq B$ $\Omega \setminus B\in {\mathcal {D}}$ $(\Omega \setminus B)\cap A=\varnothing ,$ ${\mathcal {D}}$ $(\Omega \setminus B)\cup A=\Omega \setminus (B\setminus A)$ $\Omega \setminus (\Omega \setminus (B\setminus A))=B\setminus A$ ${\mathcal {D}}.$ $A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots$ ${\mathcal {D}},$ $D_{1}=A_{1},$ $D_{i}=A_{i}\setminus A_{i-1}$ $i>1,$ $D_{2},D_{3},\ldots$ ${\mathcal {D}}.$ $D_{1},D_{2},D_{3},\ldots$ $D_{1}\cup D_{2}\cup D_{3}\cup \cdots =A_{1}\cup A_{2}\cup A_{3}\cup \cdots$ ${\mathcal {D}},$ $\blacksquare$

1

2

[

[หมายเหตุ 2 ]

[หมายเหตุ 3 ]

[ 3 ]

[ 4 ]