ในทางคณิตศาสตร์พื้นที่พรีสต์ลีย์ (Priestley space)เป็นพื้นที่โทโพโลยีที่มีลำดับ และคุณสมบัติพิเศษ พื้นที่พรีสต์ลีย์ตั้งชื่อตามฮิลารี พรีสต์ลีย์ผู้ริเริ่มและศึกษาพื้นที่เหล่านี้^{[ 1 ]}พื้นที่พรีสต์ลีย์มีบทบาทสำคัญในการศึกษาแลตทิซแบบกระจายโดยเฉพาะอย่างยิ่ง มีความเป็นคู่กัน (" ความเป็นคู่กันของพรีสต์ลีย์ " ^{[ 2 ]} ) ระหว่างหมวดหมู่ของพื้นที่พรีสต์ลีย์และหมวดหมู่ของแลตทิซแบบกระจายที่มีขอบเขต^{[ 3 ] [ 4 ]}

ปริภูมิพรีสต์ลีย์ (Priestley space ) คือปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่มีลำดับ( X , τ , ≤)กล่าวคือ เซตXที่มีลำดับบางส่วน≤และทอพอโลยีτซึ่งเป็นไปตามเงื่อนไขสองข้อต่อไปนี้:

1. ( X , τ )เป็นเซตกระชับ
2. ถ้า เช่นนั้นจะมี เซตปิดเปิดUของXอยู่ซึ่งx ∈ Uและy ∉ U (เงื่อนไขนี้เรียกว่าสัจพจน์การแยกของพรีสต์ลีย์ )${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y}$

• ปริภูมิพรีสต์ลีย์แต่ละปริภูมิเป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟอันที่จริง เมื่อกำหนดจุดสองจุดx , yของปริภูมิพรีสต์ลีย์( X , τ ,≤)ถ้าx ≠ yแล้ว เนื่องจาก≤เป็นอันดับบางส่วน ดังนั้นx หรือ y สมมติโดยไม่เสียความเป็นทั่วไปว่า(ii) จะให้เซตเปิดปิดUของXโดยที่x ∈ Uและy ∉ Uดังนั้นUและV = X − Uเป็นเซตย่อยเปิดที่ไม่ทับซ้อนกันของXที่แยกxและyออก จากกัน${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y}$${\displaystyle \scriptstyle y\,\not \leq \,x}$${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y}$
• ปริภูมิพรีสต์ลีย์แต่ละปริภูมิมีมิติเป็นศูนย์กล่าวคือย่านเปิดUของจุดxในปริภูมิพรีสต์ลีย์( X , τ , ≤) แต่ละย่าน จะมีย่านปิดเปิดCของx อยู่ด้วย เพื่อที่จะเห็นสิ่งนี้ เราดำเนินการดังต่อไปนี้ สำหรับแต่ละy ∈ X − Uหรือตามสัจพจน์การแยกของพรีสต์ลีย์ จะมีเซตปิดเปิดขึ้นหรือเซตปิดเปิดลงที่ประกอบด้วยxและไม่มีyจุดตัดของย่านปิดเปิดเหล่านี้ของxไม่ตัดกับX − Uดังนั้น เนื่องจากXเป็นปริภูมิกระชับ จึงมีส่วนตัดจำกัดของย่านปิดเปิดเหล่านี้ของxที่ไม่มีX − Uส่วนตัดจำกัดนี้คือย่านปิดเปิดC ที่ต้องการ ของxซึ่งบรรจุอยู่ในU${\displaystyle \scriptstyle x\,\not \leq \,y}$${\displaystyle \scriptstyle y\,\not \leq \,x}$

ดังนั้น สำหรับปริภูมิพรีสต์ลีย์แต่ละปริภูมิ( X , τ , ≤)ปริภูมิเชิงทอพอโลยี( X , τ )จึงเป็นปริภูมิสโตนนั่นคือ เป็นปริภูมิเฮาส์ดอร์ฟศูนย์มิติแบบกระชับ

คุณสมบัติที่มีประโยชน์เพิ่มเติมบางประการของพื้นที่แบบ Priestley มีดังต่อไปนี้

ให้( X , τ ,≤)เป็นปริภูมิพรีสต์ลีย์

(a) สำหรับแต่ละเซตย่อยปิดFของXทั้ง↑ F = { x ∈ X   :  y ≤ xสำหรับบางy ∈ F }และ↓ F = { x ∈ X   :  x ≤ yสำหรับบางy ∈ F } เป็นเซตย่อย ปิดของX

( b) เซตเปิดขึ้นแต่ละเซตของXเป็นการรวมกันของเซตเปิดปิดขึ้นของXและเซตเปิดลงแต่ละเซตของXเป็นการรวมกันของเซตเปิดปิดลงของX

( c) เซตปิดขึ้นแต่ละเซตของXเป็นจุดตัดของเซตเปิดปิดขึ้นของXและเซตปิดลงแต่ละเซตของXเป็นจุดตัดของเซตเปิดปิดลงของX

(d) เซตขึ้นและเซตลงแบบปิดและปิดของX ก่อให้เกิดฐานย่อยสำหรับ( X , τ )

(e) สำหรับแต่ละคู่ของเซตย่อยปิดFและGของXถ้า↑ F ∩ ↓ G = ∅แล้วจะมีเซตปิดเปิดU อยู่ ซึ่งF ⊆ UและU ∩ G = ∅

มอร์ฟิซึมของพรีสต์ลีย์จากปริภูมิพรีสต์ลีย์( X , τ ,≤)ไปยังปริภูมิพรีสต์ลีย์อื่น( X ′, τ ′,≤′)คือแผนที่f : X → X ′ซึ่งต่อเนื่องและรักษาลำดับ

ให้Priesแทนหมวดหมู่ของปริภูมิ Priestley และมอร์ฟิซึม Priestley

ปริภูมิพรีสต์ลีย์มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับปริภูมิสเปกตรัมสำหรับปริภูมิพรีสต์ลีย์⁽ X , τ , ≤)ให้τuแทนกลุ่มของเซตขึ้นเปิดทั้งหมดของXในทำนองเดียวกัน ให้^τd แทนกลุ่มของ เซต ลงเปิดทั้งหมดของX

ทฤษฎีบท: ^{[ 5 ]} ถ้า( X , τ ,≤)เป็นปริภูมิพรีสต์ลีย์ แล้วทั้ง( X , τ ^u )และ( X , τ ^d )เป็นปริภูมิสเปกตรัม

ในทางกลับกัน เมื่อกำหนดปริภูมิสเปกตรัม( X , τ )แล้ว ให้τ ^#แทนโทโพโลยีแพทช์บนXนั่นคือ โทโพโลยีที่สร้างขึ้นโดยซับเบสที่ประกอบด้วยเซตย่อยเปิดแบบกระชับของ( X , τ )และส่วนเติมเต็มของเซตย่อย เหล่านั้น นอกจากนี้ ให้≤แทนลำดับการเฉพาะเจาะจงของ( X , τ )ด้วย

ทฤษฎีบท: ^{[ 6 ]} ถ้า( X , τ )เป็นปริภูมิสเปกตรัม แล้ว( X , τ ^# ,≤)เป็นปริภูมิพรีสต์ลีย์

อันที่จริง ความสัมพันธ์ระหว่างปริภูมิพรีสต์ลีย์และปริภูมิสเปกตรัมนี้เป็นแบบฟังก์ชันและก่อให้เกิดไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างพรีสต์ลีย์และหมวดหมู่สเปคของปริภูมิสเปกตรัมและแผนที่สเปกตรัม

พื้นที่ Priestley ยังมีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับพื้นที่ bitopologicalอีก ด้วย

ทฤษฎีบท: ^{[ 7 ]} ถ้า( X , τ ,≤)เป็นปริภูมิพรีสต์ลีย์ แล้ว( X , τ ^u , τ ^d )เป็นปริภูมิสโตนแบบคู่ในทางกลับกัน ถ้า( X , τ ₁ , τ ₂ )เป็นปริภูมิสโตนแบบคู่ แล้ว( X , τ ,≤)เป็นปริภูมิพรีสต์ลีย์ โดยที่τคือผลรวมของτ ₁และτ ₂และ≤คือลำดับการจำแนกเฉพาะของ ( X , τ ₁ )

ความสัมพันธ์ระหว่างปริภูมิพรีสต์ลีย์และปริภูมิสโตนแบบคู่เป็นแบบฟังก์ชัน และให้ผลลัพธ์เป็นไอโซมอร์ฟิซึมระหว่างหมวดหมู่Priesของปริภูมิพรีสต์ลีย์และมอร์ฟิซึมพรีสต์ลีย์ กับหมวดหมู่PStone ของปริภูมิสโตนแบบคู่และแผนที่ต่อเนื่องสองทาง

ดังนั้น จึงได้ไอโซมอร์ฟิซึมของหมวดหมู่ดังต่อไปนี้:

${\displaystyle \mathbf {Spec} \cong \mathbf {Pries} \cong \mathbf {PStone} }$

หนึ่งในผลลัพธ์หลักของทฤษฎีทวิภาวะสำหรับแลตทิซแบบกระจายคือ หมวดหมู่เหล่านี้แต่ละหมวดมีความสมมูลกันในเชิงทวิภาวะกับหมวดหมู่ของแล ตทิซแบบกระจาย ที่มีขอบเขต

• พื้นที่สเปกตรัม
• พื้นที่หินคู่
• แลตทิซแบบกระจาย
• ความเป็นสองด้านของหิน
• ทฤษฎีทวิภาวะสำหรับแลตทิซแบบกระจาย