ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีลำดับพีชคณิตเฮย์ติงที่สมบูรณ์คือพีชคณิตเฮย์ติงที่สมบูรณ์ในฐานะแลตทิซ พีชคณิตเฮย์ติงที่สมบูรณ์เป็นวัตถุ ของ หมวดหมู่ที่แตกต่างกันสาม หมวดหมู่ ได้แก่ หมวดหมู่CHeyหมวดหมู่Locของโลคัลเลสและหมวดหมู่ตรงข้ามคือ หมวดหมู่Frmของเฟรม แม้ว่าหมวดหมู่ทั้งสามนี้จะมีวัตถุเดียวกัน แต่ก็แตกต่างกันในมอร์ฟิซึมดังนั้นจึงมีชื่อที่แตกต่างกัน มอร์ฟิซึมของCHey เท่านั้น ที่เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตเฮย์ติงที่สมบูรณ์

โลเคิลและเฟรมเป็นรากฐานของโทโพโลยีไร้จุดหมายซึ่งแทนที่จะสร้างบนพื้นฐานของโทโพโลยีเซตจุดกลับนำแนวคิดของโทโพโลยีทั่วไปมา ปรับเปลี่ยนให้ อยู่ในรูปของหมวดหมู่ กล่าวคือ เป็นข้อความเกี่ยวกับเฟรมและโลเคิล

พิจารณาเซตที่มีลำดับบางส่วน ( P , ≤) ซึ่งเป็นแลตทิซสมบูรณ์แล้วPจะเป็นพีชคณิตเฮย์ติงสมบูรณ์หรือเฟรม สมบูรณ์ ก็ต่อเมื่อเงื่อนไขสมมูลใดๆ ต่อไปนี้เป็นจริง:

• Pคือพีชคณิตเฮย์ติง กล่าวคือ การดำเนินการนี้มีตัวผกผันทางขวา (หรือเรียกว่าตัวผกผันล่างของการเชื่อมต่อกาโลอิส (แบบโมโนโทน) ) สำหรับแต่ละองค์ประกอบxของP${\displaystyle (x\land \cdot )}$
• สำหรับสมาชิกx ทุกตัว ของPและเซตย่อยS ทุกตัว ของP กฎ การกระจายอนันต์ต่อไปนี้เป็นจริง:

${\displaystyle x\land \bigvee _{s\in S}s=\bigvee _{s\in S}(x\land s).}$

• Pเป็นแลตทิซแบบกระจาย กล่าวคือ สำหรับทุกx , yและzในPเราจะมี

${\displaystyle x\land (y\lor z)=(x\land y)\lor (x\land z)}$

และการดำเนินการพบปะเป็น แบบต่อเนื่อง ของScott (กล่าวคือ รักษาค่าสูงสุดของเซตแบบมีทิศทาง ) สำหรับทุกxในP${\displaystyle (x\land \cdot )}$

นิยามโดยนัยของHeytingคือ${\displaystyle a\to b=\bigvee \{c\mid a\land c\leq b\}.}$

เมื่อใช้ทฤษฎีหมวดหมู่เพิ่มเติมอีกเล็กน้อย เราสามารถนิยามเฟรมให้เป็นเซตปิดคาร์ทีเซียนที่สมบูรณ์แบบ ได้ โดยเทียบเท่ากัน

ระบบของเซตเปิดทั้งหมดในปริภูมิเชิงทอพอโลยีที่กำหนดให้ ซึ่งเรียงลำดับตามการรวมนั้น เป็นพีชคณิตเฮย์ติงที่สมบูรณ์

วัตถุ ของ หมวดหมู่CHey , หมวดหมู่Frmของเฟรม และหมวดหมู่Locของโลเคิล เป็นพีชคณิต Heyting ที่สมบูรณ์ หมวดหมู่เหล่านี้แตกต่างกันในสิ่งที่ประกอบขึ้นเป็นมอร์ฟิซึม :

• มอร์ฟิซึมของFrmคือฟังก์ชัน (ซึ่งจำเป็นต้องเป็นฟังก์ชันเอกภาค ) ที่รักษาความสัมพันธ์แบบมีจุดร่วมจำกัดและการเชื่อมต่อแบบใดๆ ก็ได้
• นิยามของพีชคณิตเฮย์ติงนั้นเกี่ยวข้องกับการมีอยู่ของตัวผกผันขวาของการดำเนินการมีตแบบทวิภาค ซึ่งร่วมกันกำหนดการดำเนินการบ่งชี้ เพิ่มเติม ดังนั้น มอร์ฟิซึมของCHeyจึงเป็นมอร์ฟิซึมของเฟรมที่รักษาการบ่งชี้ไว้ด้วย
• รูปแบบการแปลงของLocนั้นตรงข้ามกับรูปแบบการแปลงของFrmและโดยทั่วไปจะเรียกว่าแผนที่ (ของโลคัล)

ความสัมพันธ์ระหว่างโลเคิลและแผนที่ของโลเคิลกับปริภูมิเชิงทอพอโลยีและฟังก์ชันต่อเนื่องสามารถมองได้ดังนี้ ให้เป็นแผนที่ใดๆเซตกำลังP ( X ) และP ( Y ) เป็นพีชคณิตบูลีนสมบูรณ์และแผนที่เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมของพีชคณิตบูลีนสมบูรณ์ สมมติว่าปริภูมิXและYเป็นปริภูมิเชิงทอพอโลยีซึ่งมีทอพอโลยีO ( X ) และO ( Y ) ของเซตเปิดบนXและYตามลำดับ สังเกตว่าO ( X ) และO ( Y ) เป็นซับเฟรมของP ( X ) และP ( Y ) ถ้าเป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แล้ว จะรักษาการตัดกันแบบจำกัดและการเชื่อมต่อแบบใดๆ ของซับเฟรมเหล่านี้ ซึ่งแสดงให้เห็นว่าOเป็นฟังก์ชันจากหมวดหมู่TopของปริภูมิเชิงทอพอโลยีไปยังLocโดยรับแผนที่ต่อเนื่องใดๆ ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle f^{-1}:P(Y)\to P(X)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X)}$

${\displaystyle f:X\to Y}$

ไปยังแผนที่

${\displaystyle O(f):O(X)\to O(Y)}$

ในLocที่ถูกกำหนดไว้ในFrmให้เป็นโฮโมมอร์ฟิซึมเฟรมภาพผกผัน

${\displaystyle f^{-1}:O(Y)\to O(X).}$

เมื่อกำหนดแผนที่ของโลเคชั่นในLocแล้ว มักจะเขียนแทนโฮโมมอร์ฟิซึมของเฟรมที่กำหนดโลเคชั่นนั้นในFrmโดยใช้สัญลักษณ์นี้จะถูกกำหนดโดยสมการ${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle f^{*}:B\to A}$${\displaystyle O(f)}$${\displaystyle O(f)^{*}=f^{-1}.}$

ในทางกลับกัน โลเคิลA ใดๆ ก็ มีปริภูมิเชิงทอพอ โลยี S ( A ) เรียกว่าสเปกตรัมซึ่งประมาณโลเคิลได้ดีที่สุด นอกจากนี้ แผนที่ของโลเคิลใดๆยังกำหนดแผนที่ต่อเนื่องได้อีกด้วย ยิ่งไปกว่านั้น การกำหนดนี้เป็นฟังก์ชัน: ให้P (1) แทนโลเคิลที่ได้มาจากเซตกำลังของเซตเทอร์มินัลจุดของS ( A ) คือแผนที่ในLocนั่นคือ โฮโมมอร์ฟิซึมของเฟรม${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle S(A)\to S(B).}$${\displaystyle 1=\{*\},}$${\displaystyle p:P(1)\to A}$${\displaystyle p^{*}:A\to P(1).}$

สำหรับแต่ละจุดเรากำหนดให้เป็นเซตของจุดโดยที่เป็นการง่ายที่จะตรวจสอบว่าสิ่งนี้กำหนดโฮโมมอร์ฟิซึมของเฟรมซึ่งภาพของมันคือโทโพโลยีบนS ( A ) จากนั้น ถ้าเป็นแผนที่ของโลเคิลเราจะกำหนดจุดที่กำหนดโดย ให้กับแต่ละจุด โดยให้เป็นการประกอบของกับดังนั้นจึงได้แผนที่ต่อเนื่องสิ่งนี้กำหนดฟังก์ชันจากLocไปยังTopซึ่งเป็นแอดจอยต์ขวาของ O${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle U_{a}}$${\displaystyle p\in S(A)}$${\displaystyle p^{*}(ก)=\{*\}.}$${\displaystyle A\to P(S(A)),}$${\displaystyle f:A\to B}$${\displaystyle p\in S(A)}$${\displaystyle S(f)(q)}$${\displaystyle S(f)(p)^{*}}$${\displaystyle p^{*}}$${\displaystyle f^{*},}$${\displaystyle S(f):S(A)\to S(B).}$${\displaystyle S}$

โลเคิลใดๆ ที่เป็นไอโซมอร์ฟิกกับโทโพโลยีของสเปกตรัมของมัน เรียกว่าสเปเชียลสเปซ และทอพอโลยีสเปซใดๆ ที่เป็นโฮมีโอเมอร์ฟิกกับสเปกตรัมของโลเคิลของเซตเปิด เรียกว่าโซเบอร์การเชื่อมโยงระหว่างทอพอโลยีสเปซและโลเคิลจำกัดอยู่เฉพาะความเท่าเทียมกันของหมวดหมู่ระหว่างโซเบอร์สเปซและโลเคิลสเปเชียล

ฟังก์ชันใดๆ ที่รักษาการเชื่อมต่อทั้งหมด (และด้วยเหตุนี้จึงรักษาโฮโมมอร์ฟิซึมของเฟรมใดๆ) จะมีแอดจอยต์ขวา และในทางกลับกัน ฟังก์ชันใดๆ ที่รักษาการตัดทั้งหมดจะมีแอดจอยต์ซ้าย ดังนั้น หมวดหมู่Locจึงสม isomorphic กับหมวดหมู่ที่มีวัตถุเป็นเฟรมและมีมอร์ฟิซึมเป็นฟังก์ชันที่รักษาการตัดซึ่งแอดจอยต์ซ้ายรักษาการตัดแบบจำกัด สิ่งนี้มักถูกมองว่าเป็นการแทนของLocแต่ไม่ควรสับสนกับLocเอง ซึ่งมอร์ฟิซึมของมันเหมือนกับโฮโมมอร์ฟิซึมของเฟรมในทิศทางตรงกันข้ามอย่างเป็นทางการ

• พี.ที. จอห์นสโตน , พื้นที่ของหิน , การศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงของเคมบริดจ์ เล่ม 3, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ , เคมบริดจ์, 1982 ( ISBN) 0-521-23893-5)

ยังคงเป็นแหล่งข้อมูลที่ดีเยี่ยมเกี่ยวกับตำแหน่งที่ตั้งและพีชคณิตเฮย์ติงแบบสมบูรณ์

• G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove และDS Scott , แลตติสและโดเมนต่อเนื่อง , ในสารานุกรมคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้ , เล่มที่ 93, สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 2003. ISBN 0-521-80338-1

รวมถึงการกำหนดลักษณะตัวละครในแง่ของความต่อเนื่องในการพบปะ

• Francis Borceux: Handbook of Categorical Algebra III , เล่มที่ 52 ของEncyclopedia of Mathematics and its Applications . สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 1994.

แหล่งข้อมูลที่ครอบคลุมอย่างน่าประหลาดใจเกี่ยวกับโลเคิลและพีชคณิตเฮย์ติง มีมุมมองเชิงหมวดหมู่มากกว่า

• Steven Vickers , Topology via logic , สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์, 1989, ISBN 0-521-36062-5.
• Pedicchio, Maria Cristina ; Tholen , Walter, บรรณาธิการ (2004). รากฐานเชิงหมวดหมู่ หัวข้อพิเศษในลำดับ โทโพโลยี พีชคณิต และทฤษฎีชีฟสารานุกรมคณิตศาสตร์และการประยุกต์ เล่มที่ 97 เคมบริดจ์: สำนักพิมพ์มหาวิทยาลัยเคมบริดจ์ ISBN 0-521-83414-7. Zbl  1034.18001 .

• สถานที่ตั้งที่n Lab