ความสัมพันธ์ทวิภาคแบบถ่ายทอด วี ที อี
สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร โททอลเซมิคอนเน็กซ์ ต่อต้านปฏิกิริยาสะท้อน ความสัมพันธ์สมมูล วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ สั่งซื้อล่วงหน้า(กึ่งสั่งซื้อ) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อบางส่วน ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การสั่งซื้อล่วงหน้า ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดลำดับแบบกึ่งดี ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดระเบียบที่ดี ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ โครงตาข่าย ✗ วาย ✗ ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ ข้อต่อเซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ วาย ✗ ✗ มีท-เซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย คำสั่งอ่อนที่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย ลำดับที่เข้มงวดทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร คำจำกัดความสำหรับทุกคนและ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ และ }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ หรือ }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
Yเครื่องหมาย * แสดงว่าคุณสมบัติของคอลัมน์นั้นเป็นจริงเสมอสำหรับพจน์ของแถวนั้น (ทางซ้ายสุด) ในขณะที่ เครื่องหมาย ✗แสดงว่าคุณสมบัตินั้นไม่ได้รับการรับประกันโดยทั่วไป (อาจเป็นจริงหรือไม่ก็ได้) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูลทุกความสัมพันธ์เป็นสมมาตร แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นปฏิสมมาตรจะแสดงด้วย * ในคอลัมน์ "สมมาตร" และ เครื่องหมาย ✗ในคอลัมน์ "ปฏิสมมาตร" ตามลำดับ Y โดยปริยายแล้ว นิยามทั้งหมดกำหนดให้ความสัมพันธ์เอกพันธุ์ ต้องเป็นแบบถ่ายทอดได้ กล่าวคือ สำหรับทุกถ้าและแล้ว นิยามของคำศัพท์อาจต้องการคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ไม่ได้ระบุไว้ในตารางนี้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle a,b,c,}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle bRc}$${\displaystyle aRc.}$

ในทางคณิตศาสตร์โดยเฉพาะอย่างยิ่งในทฤษฎีลำดับลำดับก่อน (preorder)หรือลำดับกึ่ง (quasiorder)คือความสัมพันธ์ทวิภาคที่มีคุณสมบัติสะท้อนและถ่ายทอดชื่อลำดับก่อน นั้น บ่งบอกว่าลำดับก่อนเกือบ จะเป็น ลำดับบางส่วน (partial order)แต่ก็ไม่เชิงเสียทีเดียว เพราะไม่จำเป็นต้องเป็นความสัมพันธ์แบบปฏิสมมาตร (antisymmetric )

ตัวอย่างตามธรรมชาติของลำดับก่อนหน้าคือความสัมพันธ์การหาร "x หาร y ลงตัว" ระหว่างจำนวนเต็มความสัมพันธ์นี้เป็นแบบสะท้อนกลับ เนื่องจากจำนวนเต็มทุกตัวหารตัวเองลงตัว นอกจากนี้ยังเป็นแบบถ่ายทอดด้วย แต่ไม่ใช่แบบสมมาตรผกผัน เพราะเช่น x หาร y ลงตัวและy หาร y ลงตัวแต่y ไม่เท่ากับx ลำดับก่อนหน้านี้เป็นที่มาของคำว่า "น้อยที่สุด" ในวลี " ตัวคูณร่วมน้อยที่สุด " (ในทางตรงกันข้าม การใช้ลำดับตามธรรมชาติของจำนวนเต็ม เช่น x และ y มีตัวคูณร่วมy, y , y, y, ... แต่ไม่มีตัวใดน้อยที่สุด) ${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 24}$${\displaystyle 12}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -12}$${\displaystyle -24}$

ลำดับก่อนหน้า (Preorders) มีความสัมพันธ์อย่างใกล้ชิดกับความสัมพันธ์สมมูล (Equivalence relations ) และลำดับบางส่วน (Partial orders) (แบบไม่เข้มงวด) ทั้งสองอย่างนี้เป็นกรณีพิเศษของลำดับก่อนหน้า กล่าวคือ ลำดับก่อนหน้าแบบไม่สมมาตร (Antisymmetric preorder) คือลำดับบางส่วน และ ลำดับก่อนหน้า แบบสมมาตร (Symmetric preorder) คือความสัมพันธ์สมมูล ยิ่งไปกว่านั้น ลำดับก่อนหน้าบนเซตหนึ่งๆสามารถนิยามได้อย่างเทียบเท่ากับความสัมพันธ์สมมูลบนเซตนั้น ร่วมกับลำดับบางส่วนบนเซตที่มีชั้นสมมูล (Equivalence class ) ดังแสดงในภาพ เช่นเดียวกับลำดับบางส่วนและความสัมพันธ์สมมูล ลำดับก่อนหน้า (บนเซตที่ไม่ว่าง) จะไม่เป็นแบบไม่สมมาตรเลย ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

ลำดับก่อนหน้า (preorder) สามารถมองเห็นได้ในรูปของกราฟแบบมีทิศทางโดยที่องค์ประกอบของเซตจะสอดคล้องกับจุดยอด และความสัมพันธ์ของลำดับระหว่างคู่ขององค์ประกอบจะสอดคล้องกับขอบแบบมีทิศทางระหว่างจุดยอด แต่ในทางกลับกันนั้นไม่เป็นจริง: กราฟแบบมีทิศทางส่วนใหญ่ไม่ใช่ทั้งแบบสะท้อน (reflexive) และแบบถ่ายทอด (transitive) ลำดับก่อนหน้าที่เป็นแบบสมมาตร (antisymmetric) จะไม่มีวัฏจักรอีกต่อไป มันเป็นลำดับบางส่วน (partial order) และสอดคล้องกับกราฟแบบมีทิศทางที่ไม่มีวัฏจักร (directed acyclic graph ) ลำดับก่อนหน้าที่เป็นแบบสมมาตร (symmetric) คือความสัมพันธ์สมมูล (equivalence relation) อาจคิดได้ว่าได้สูญเสียเครื่องหมายบอกทิศทางบนขอบของกราฟไปแล้ว โดยทั่วไป กราฟแบบมีทิศทางที่สอดคล้องกับลำดับก่อนหน้าอาจมีส่วนประกอบที่ไม่เชื่อมต่อกันหลายส่วน

การสั่งซื้อล่วงหน้ามักจะแสดงด้วย หรือ${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\leq \,}$

ความสัมพันธ์ทวิภาคบนเซตเรียกว่าลำดับก่อนหน้าหรือลำดับเสมือนถ้าความสัมพันธ์นั้นสะท้อนและถ่ายทอดได้กล่าวคือ ถ้ามันเป็นไปตามเงื่อนไขต่อไปนี้: ${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle X}$

1. การสะท้อนตนเอง : สำหรับทุกคนและ${\displaystyle a\lesssim a}$${\displaystyle a\in X,}$
2. คุณสมบัติการถ่ายทอด : ถ้าสำหรับทั้งหมด${\displaystyle a\lesssim b{\text{ and }}b\lesssim c{\text{ then }}a\lesssim c}$${\displaystyle a,b,c\in X.}$

ชุดที่มีการสั่งซื้อล่วงหน้าเรียกว่าชุดสั่งซื้อล่วงหน้า (หรือproset ) ^{[ 1 ]}

เมื่อกำหนดลำดับก่อนหน้าบนเราสามารถกำหนดความสัมพันธ์สมมูลบน ได้โดย ความสัมพันธ์ที่ได้นั้นเป็นแบบสะท้อนกลับเนื่องจากลำดับก่อนหน้าเป็นแบบสะท้อนกลับ เป็นแบบถ่ายทอดโดยการใช้คุณสมบัติการถ่ายทอดของสองครั้ง และเป็นสมมาตรตามนิยาม ${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle a\sim b\quad {\text{ if }}\quad a\lesssim b\;{\text{ and }}\;b\lesssim a.}$$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$

โดยใช้ความสัมพันธ์นี้ เราสามารถสร้างลำดับบางส่วนบนเซตผลหาร ของความสมมูลได้ โดยกำหนดว่าถ้า ซึ่งนิยามได้ดีหมายความว่าไม่ขึ้นอยู่กับการเลือกตัวแทนและ ที่เฉพาะ เจาะจง ซึ่งเป็นผลมาจากนิยามของ ${\displaystyle X/\sim }$${\displaystyle [x]\leq [y]}$${\displaystyle x\lesssim y.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \,\sim \,}$

ในทางกลับกัน จากลำดับบางส่วนใดๆ บนการแบ่งส่วนของเซตก็สามารถสร้างลำดับก่อนหน้าบนตัวมันเองได้ มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างลำดับก่อนหน้าและคู่ (การแบ่งส่วน ลำดับบางส่วน) ${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$

ตัวอย่าง : ให้เป็นเซตของประโยค ทั้งหมด (ทั้งที่ถูกต้องและไม่ถูกต้อง) ในสาขาย่อยของคณิตศาสตร์ เช่นเรขาคณิตกำหนดให้ถ้าเป็นผลลัพธ์เชิงตรรกะของแล้วเป็นลำดับก่อนหน้าบน: ทุกประโยคสามารถพิสูจน์ได้จากตัวมันเอง (สมบัติสะท้อน) และถ้าสามารถพิสูจน์ได้จากและจากแล้วก็สามารถพิสูจน์ได้จาก(สมบัติถ่ายทอด) ความสัมพันธ์สมมูลที่สอดคล้องกันมักจะใช้สัญลักษณ์และกำหนดเป็นและในกรณีนี้และเรียกว่า " สมมูลเชิงตรรกะ " ชั้นสมมูลของประโยคคือเซตของประโยคทั้งหมดที่สมมูลเชิงตรรกะกับในทางรูปธรรม: เซตที่มีลำดับก่อนหน้าเป็นเซตที่มีทิศทาง : เมื่อกำหนดประโยคสองประโยคการเชื่อมโยงเชิงตรรกะของประโยคทั้งสองซึ่งออกเสียงว่า "ทั้งและ" เป็นขอบเขตบนร่วมกันของประโยคทั้งสอง เนื่องจากเป็นผลลัพธ์ของและ ก็เป็นผลลัพธ์ของ เช่นกัน ดังนั้น เซตที่มีลำดับบางส่วนจึงเป็นเซตที่มีทิศทางด้วย ดูพีชคณิต Lindenbaum–Tarskiสำหรับตัวอย่างที่เกี่ยวข้อง ${\displaystyle X}$${\displaystyle p\Leftarrow q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \Leftarrow }$${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p\Leftrightarrow q}$${\displaystyle p\Leftarrow q}$${\displaystyle q\Leftarrow p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q\in X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle [p]=\{q\mid p\Leftrightarrow q\}}$${\displaystyle (X,\Leftarrow )}$${\displaystyle p,q\in X}$${\displaystyle p\wedge q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\wedge q}$${\displaystyle q}$${\displaystyle \left(X/\Leftrightarrow ,\Leftarrow \right)}$

ถ้าเราเปลี่ยนคุณสมบัติการสะท้อนกลับเป็นคุณสมบัติการไม่สะท้อนกลับ (โดยยังคงคุณสมบัติการถ่ายทอดไว้) เราจะได้นิยามของลำดับบางส่วนที่เข้มงวดบนด้วยเหตุนี้ บางครั้งจึงใช้คำว่าลำดับก่อนหน้าที่เข้มงวด (strict preorder ) สำหรับลำดับบางส่วนที่เข้มงวด นั่นคือ นี่คือความสัมพันธ์ทวิภาคบนที่สอดคล้องกับ: ${\displaystyle X}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle X}$

1. ความไม่สะท้อนกลับหรือการต่อต้านการสะท้อนกลับ: ไม่ใช่ สำหรับทุกสิ่งที่มีอยู่เป็นเท็จสำหรับทุกสิ่งและ${\displaystyle a<a}$${\displaystyle a\in X;}$${\displaystyle \,a<a}$${\displaystyle a\in X,}$
2. คุณสมบัติการถ่ายทอด : ถ้าสำหรับทั้งหมด${\displaystyle a<b{\text{ and }}b<c{\text{ then }}a<c}$${\displaystyle a,b,c\in X.}$

ลำดับก่อนหน้าใดๆก่อให้เกิดลำดับบางส่วนที่เข้มงวดซึ่งกำหนดโดยถ้าและก็ต่อเมื่อและไม่ใช่โดยใช้ความสัมพันธ์สมมูลที่กล่าวถึงข้างต้นถ้าและก็ต่อเมื่อ และดังนั้น ข้อความต่อไปนี้ จึงเป็นจริง ความสัมพันธ์นี้เป็นลำดับบางส่วนที่เข้มงวดและ ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด ทุกอันสามารถสร้างขึ้นได้ด้วยวิธีนี้ ถ้าลำดับก่อนหน้าเป็นแบบไม่สมมาตร (และดังนั้นจึงเป็นลำดับบางส่วน) ความสมมูลคือความเท่าเทียมกัน (นั่นคือถ้าและก็ต่อเมื่อ) ดังนั้นในกรณีนี้ นิยามของสามารถเขียนใหม่ได้ดังนี้: แต่ที่สำคัญ เงื่อนไขใหม่นี้ไม่ได้ใช้เป็น (และไม่เทียบเท่ากับ) นิยามทั่วไปของความสัมพันธ์(นั่นคือไม่ได้กำหนดเป็น: ถ้าและก็ต่อเมื่อ) เพราะถ้าลำดับก่อนหน้าไม่เป็นแบบไม่สมมาตร ความสัมพันธ์ที่ได้จะไม่เป็นแบบถ่ายทอด (ลองพิจารณาว่าองค์ประกอบที่ไม่เท่ากันที่เทียบเท่ากันมีความสัมพันธ์กันอย่างไร) นี่คือเหตุผลที่ใช้สัญลักษณ์ " " แทนสัญลักษณ์ "น้อยกว่าหรือเท่ากับ" " " ซึ่งอาจทำให้เกิดความสับสนสำหรับลำดับก่อนหน้าที่ไม่เป็นแบบไม่สมมาตร เนื่องจากอาจทำให้เข้าใจผิดว่าหมายความ ว่า${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle b\lesssim a}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\lesssim b{\text{ and not }}a\sim b;}$$${\displaystyle a\lesssim b\quad {\text{ if and only if }}\quad a<b\;{\text{ or }}\;a\sim b.}$$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle a=b}$${\displaystyle \,<\,}$$${\displaystyle a<b\quad {\text{ if and only if }}\quad a\lesssim b\;{\text{ and }}\;a\neq b\quad \quad ({\text{assuming }}\lesssim {\text{ is antisymmetric}}).}$$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle a\lesssim b{\text{ and }}a\neq b}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \lesssim }$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a<b{\text{ or }}a=b.}$

โดยใช้โครงสร้างข้างต้น ลำดับก่อนหน้าแบบไม่เข้มงวดหลายลำดับสามารถสร้างลำดับก่อนหน้าแบบเข้มงวดเดียวกันได้ดังนั้นหากไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมเกี่ยวกับวิธีการสร้าง (เช่น ความรู้เกี่ยวกับความสัมพันธ์สมมูลเป็นต้น) อาจไม่สามารถสร้างลำดับก่อนหน้าแบบไม่เข้มงวดดั้งเดิมขึ้นมาใหม่ได้ลำดับก่อนหน้า (แบบไม่เข้มงวด) ที่เป็นไปได้ซึ่งทำให้เกิดลำดับก่อนหน้าแบบเข้มงวดที่กำหนดได้แก่ ลำดับต่อไปนี้: ${\displaystyle \,<,\,}$${\displaystyle \,<\,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,<.\,}$${\displaystyle \,<\,}$

• กำหนดให้เป็น(นั่นคือ ใช้การปิดแบบสะท้อนกลับของความสัมพันธ์) ซึ่งจะให้ลำดับบางส่วนที่เกี่ยวข้องกับลำดับบางส่วนที่เข้มงวด " " ผ่านการปิดแบบสะท้อนกลับ ในกรณีนี้ ความสมมูลคือความเท่าเทียมกัน ดังนั้นจึง ไม่จำเป็นต้องใช้สัญลักษณ์และ${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a<b{\text{ or }}a=b}$${\displaystyle <}$${\displaystyle \,=,}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$
• กำหนดให้เป็น " " (นั่นคือ หาค่าผกผันของความสัมพันธ์) ซึ่งสอดคล้องกับการกำหนดให้เป็น "ไม่ใช่ทั้งสองอย่าง" ความสัมพันธ์เหล่านี้และโดยทั่วไปแล้วไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด อย่างไรก็ตาม หากเป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดแล้วจะเป็นความสมมูล ในกรณีนั้น " " คือลำดับอ่อนที่เข้มงวดลำดับก่อนหน้าที่ได้จะเป็นแบบเชื่อมต่อ (เดิมเรียกว่าแบบสมบูรณ์) นั่นคือ ลำดับก่อนหน้า แบบสมบูรณ์${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle {\text{ not }}b<a}$${\displaystyle a\sim b}$${\displaystyle a<b{\text{ nor }}b<a}$${\displaystyle \,\lesssim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle \,\sim \,}$${\displaystyle <}$

ถ้าเช่นนั้น บทกลับจะเป็นจริง (นั่นคือ) ก็ต่อเมื่อเมื่อใดก็ตามที่ หรือ${\displaystyle a\leq b}$${\displaystyle a\lesssim b.}$${\displaystyle \,\lesssim \;\;=\;\;\leq \,}$${\displaystyle a\neq b}$${\displaystyle a<b}$${\displaystyle b<a.}$

• ความ สัมพันธ์ของ การเข้าถึงได้ในกราฟทิศทาง ใดๆ (ซึ่งอาจมีวงจร) ก่อให้เกิดลำดับก่อนหน้า (preorder) โดยที่ในลำดับก่อนหน้านั้น จะเป็น ก็ต่อเมื่อมีเส้นทางจากxไปยังyในกราฟทิศทางนั้น ในทางกลับกัน ลำดับก่อนหน้าทุกอันเป็นความสัมพันธ์ของการเข้าถึงได้ของกราฟทิศทาง (ตัวอย่างเช่น กราฟที่มีขอบจากxไปยังyสำหรับทุกคู่( x , y )ที่มี) อย่างไรก็ตาม กราฟหลายๆ กราฟอาจมีลำดับก่อนหน้าของการเข้าถึงได้เหมือนกัน ในทำนองเดียวกัน การเข้าถึงได้ของกราฟทิศทางที่ไม่มีวงจร ก่อให้เกิดเซตที่มีลำดับบางส่วน (ลำดับก่อนหน้าที่มีคุณสมบัติสมมาตรเพิ่มเติม)${\displaystyle x\lesssim y}$${\displaystyle x\lesssim y}$
• ความสัมพันธ์ระหว่าง กราฟและไมเนอร์ก็เป็นพรีออร์เดอร์เช่นกัน

ในวิทยาการคอมพิวเตอร์ เราสามารถพบตัวอย่างของการจัดลำดับเบื้องต้นดังต่อไปนี้

• ลำดับเชิงอะซิมโทติกทำให้เกิดลำดับก่อนหน้าเหนือฟังก์ชันความสัมพันธ์สมมูลที่สอดคล้องกันเรียกว่าความสมมูลเชิงอะซิมโทติก${\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$
• การลดรูป ด้วยเวลาพหุนาม ความสัมพันธ์แบบหลายต่อหนึ่ง (การแมป)และการลดรูปทัวริงเป็นลำดับเบื้องต้นบนคลาสความซับซ้อน
• ความสัมพันธ์ ของประเภทย่อยมักจะเป็นลำดับก่อน^{[ 2 ]}
• การสั่งซื้อล่วงหน้าเกมจำลองสถานการณ์คือการสั่งซื้อล่วงหน้า (จึงเป็นที่มาของชื่อ)
• ความสัมพันธ์การลดทอนในระบบการเขียนใหม่เชิงนามธรรม
• ลำดับการครอบคลุมล่วงหน้าบนเซตของเทอมกำหนดโดยถ้าเทอมย่อยของtเป็น อิน สแตนซ์การแทนที่ของs${\displaystyle s\lesssim t}$
• การครอบคลุมของธีตา^{[ 3 ]}ซึ่งเกิดขึ้นเมื่อตัวอักษรในสูตรลำดับแรกแบบแยกส่วนถูกบรรจุอยู่ในสูตรอื่น หลังจากใช้การแทนที่กับสูตรก่อนหน้า

• หมวดหมู่ ที่มี มอร์ฟิซึมอย่างมากที่สุดเพียงหนึ่งเดียวจากวัตถุx ใดๆ ไปยังวัตถุ yใดๆเรียกว่า พรีออร์เดอร์ หมวดหมู่ดังกล่าวเรียกว่าทิน (thin ) ในที่นี้วัตถุต่างๆสอดคล้องกับองค์ประกอบของและมีมอร์ฟิซึมหนึ่งเดียวสำหรับวัตถุที่เกี่ยวข้องกัน และไม่มีมอร์ฟิซึมสำหรับวัตถุอื่น ในแง่นี้ หมวดหมู่ "ขยายความ" ของพรีออร์เดอร์โดยอนุญาตให้มีความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุได้มากกว่าหนึ่งความสัมพันธ์: มอร์ฟิซึมแต่ละตัวเป็นความสัมพันธ์พรีออร์เดอร์ที่แตกต่างกัน (มีชื่อเรียก)${\displaystyle X,}$
• อีกทางหนึ่ง ชุดที่เรียงลำดับไว้ล่วงหน้าสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นหมวดหมู่ที่เสริมคุณค่าโดยเสริมคุณค่าเหนือหมวดหมู่เดิม${\displaystyle 2=(0\to 1).}$

ตัวอย่างเพิ่มเติม:

• ปริภูมิเชิงทอพอโลยีจำกัดทุกปริภูมิก่อให้เกิดพรีออร์เดอร์บนจุดต่างๆ ของมัน โดยกำหนดว่าก็ต่อเมื่อxอยู่ในทุกย่านใกล้เคียงของy เท่านั้น พรีออร์เดอร์จำกัดทุกตัวสามารถสร้างขึ้นได้ในฐานะพรีออร์เดอร์เฉพาะทางของปริภูมิเชิงทอพอโลยีในลักษณะนี้ กล่าวคือ มีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งระหว่างทอพอโลยีจำกัดและพรีออร์เดอร์จำกัด อย่างไรก็ตาม ความสัมพันธ์ระหว่างปริภูมิเชิงทอพอโลยีอนันต์และพรีออร์เดอร์เฉพาะทางของพวกมันไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง${\displaystyle x\lesssim y}$

• เน็ตคือ พรีออร์เดอร์ แบบมีทิศทาง กล่าวคือ แต่ละคู่ขององค์ประกอบจะมีขอบเขตบนนิยามของการลู่เข้าผ่านเน็ตมีความสำคัญในทางโทโพโลยีเนื่องจาก พรีออ ร์เดอร์ไม่สามารถแทนที่ด้วยเซตที่มีลำดับบางส่วนได้โดยไม่สูญเสียคุณสมบัติที่สำคัญไป

• ความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยถ้าf เป็นฟังก์ชันในลำดับเบื้องต้นบางอย่าง${\displaystyle x\lesssim y}$${\displaystyle f(x)\lesssim f(y),}$
• ความสัมพันธ์ที่กำหนดโดยเงื่อนไขว่ามีการส่งฟังก์ชัน หนึ่งต่อหนึ่ง จากxไปยังyหรือไม่ การส่งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งอาจแทนที่ด้วยการส่งฟังก์ชันทั่วถึงหรือฟังก์ชันใดๆ ที่รักษาโครงสร้างไว้ เช่นโฮโมมอร์ฟิซึมของวงแหวนหรือการเรียงสับเปลี่ยน${\displaystyle x\lesssim y}$
• ความ สัมพันธ์ การฝังตัวสำหรับลำดับรวม ที่นับ ได้

ตัวอย่างยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด :

• ความชอบตามแบบจำลองทั่วไป^{[ 4 ]}

ความสัมพันธ์ทวิภาคทุกความสัมพันธ์บนเซตสามารถขยายไปสู่พรีออร์เดอร์บน เซต ได้ โดยการใช้ทรานซิทีฟโคลเชอร์และรีเฟล็กซิฟโคลเชอร์ท รานซิทีฟโคลเชอร์บ่งชี้ถึงการเชื่อมต่อเส้นทางในก็ต่อเมื่อมีเส้นทาง - จากไปยัง${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R^{+=}.}$${\displaystyle R:xR^{+}y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y.}$

ลำดับก่อนหน้าตกค้างซ้ายที่เกิดจากความสัมพันธ์แบบไบนารี

เมื่อกำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารีองค์ประกอบที่เติมเต็ม จะ ^{สร้าง}ลำดับก่อนหน้าที่เรียกว่าส่วนที่เหลือด้านซ้าย [ ^{5 ]}โดยที่แสดงถึงความสัมพันธ์ผกผันของและแสดงถึง ความสัมพันธ์ ที่เติมเต็มของในขณะที่แสดงถึงองค์ประกอบความสัมพันธ์ ${\displaystyle R,}$${\displaystyle R\backslash R={\overline {R^{\textsf {T}}\circ {\overline {R}}}}}$${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle {\overline {R}}}$${\displaystyle R,}$${\displaystyle \circ }$

ถ้าลำดับก่อนหน้าเป็นสมมาตรผกผัน ด้วย นั่นคือและหมายความว่าแล้วมันจะเป็น ลำดับ บาง ส่วน${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle b\lesssim a}$${\displaystyle a=b,}$

ในทางกลับกัน ถ้าเป็น ความ สัมพันธ์ สมมาตรกล่าวคือ ถ้าแสดงว่า เป็นความสัมพันธ์สมมูล${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle b\lesssim a,}$

การสั่งซื้อล่วงหน้าถือเป็นยอดรวมทั้งหมดหากหรือสำหรับทุกอย่าง${\displaystyle a\lesssim b}$${\displaystyle b\lesssim a}$${\displaystyle a,b\in X.}$

คลาสที่สั่งจองล่วงหน้าคือคลาสที่มาพร้อมกับสินค้าที่สั่งจองล่วงหน้า ทุกชุดสินค้าถือเป็นคลาส และดังนั้น ทุกชุดสินค้าที่สั่งจองล่วงหน้า ก็ถือเป็นคลาสที่สั่งจองล่วงหน้าเช่นกัน

การสั่งซื้อล่วงหน้ามีบทบาทสำคัญในหลายสถานการณ์:

• ทุกคำสั่งล่วงหน้าสามารถกำหนดโทโพโลยีได้ นั่นคือโทโพโลยีอเล็กซานดรอฟ และที่จริงแล้ว ทุกคำสั่งล่วงหน้าบนเซตจะมีความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่งกับโทโพโลยีอเล็กซานดรอฟบนเซตนั้น
• คำสั่งล่วงหน้าอาจใช้เพื่อกำหนดพีชคณิตภายใน
• การสั่งซื้อล่วงหน้าจะให้ความหมายเชิง Kripke สำหรับ ตรรกะเชิงโมดอลบางประเภท
• ลำดับก่อนหน้าใช้ในการบังคับในทฤษฎีเซตเพื่อพิสูจน์ผลลัพธ์ที่สอดคล้องกันและเป็นอิสระ^{[ 6 ]}

โปรดทราบว่าS ( n , k )หมายถึงจำนวนสเตอร์ลิงชนิดที่สอง

ดังที่ได้อธิบายไว้ข้างต้น มีความสัมพันธ์แบบ 1 ต่อ 1 ระหว่างลำดับเบื้องต้นและคู่ (พาร์ติชัน ลำดับบางส่วน) ดังนั้น จำนวนลำดับเบื้องต้นจึงเป็นผลรวมของจำนวนลำดับบางส่วนในแต่ละพาร์ติชัน ตัวอย่างเช่น:

ช่วงดังกล่าวคือเซตของจุดxที่สอดคล้องกับเงื่อนไขและเขียนอีกแบบว่า ประกอบด้วยจุดอย่างน้อยที่สุดaและbเราอาจเลือกที่จะขยายคำนิยามไปยังคู่จุดทั้งหมดก็ได้ ช่วงเพิ่มเติมทั้งหมดเป็นช่วงว่างเปล่า ${\displaystyle a\lesssim b,}$${\displaystyle [a,b]}$${\displaystyle a\lesssim x}$${\displaystyle x\lesssim b,}$${\displaystyle a\lesssim x\lesssim b.}$${\displaystyle (a,b)}$

โดยใช้ความสัมพันธ์ที่เข้มงวดที่สอดคล้องกัน " " เราสามารถกำหนดช่วงเป็นเซตของจุดxที่สอดคล้องกับและเขียนได้อีกแบบว่าช่วงเปิดอาจว่างเปล่าแม้ว่า${\displaystyle <}$${\displaystyle (a,b)}$${\displaystyle a<x}$${\displaystyle x<b,}$${\displaystyle a<x<b.}$${\displaystyle a<b.}$

นอกจากนี้ยังสามารถกำหนดความหมายได้ในลักษณะเดียวกัน ${\displaystyle [a,b)}$${\displaystyle (a,b]}$

• ลำดับบางส่วน – ลำดับก่อนหน้าที่ไม่สมมาตร
• ความสัมพันธ์สมมูล – ลำดับก่อนหน้าที่สมมาตร
• ยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด – ยอดสั่งซื้อล่วงหน้าที่รวมทั้งหมด
• คำสั่งซื้อทั้งหมด – คำสั่งซื้อล่วงหน้าที่มีลักษณะสมมาตรและสมบูรณ์
• ชุดกำกับ
• หมวดหมู่ของชุดที่สั่งจองล่วงหน้า
• การสั่งซื้อล่วงหน้า
• การจัดลำดับแบบกึ่งดี