ความสัมพันธ์ทวิภาคแบบถ่ายทอด วี ที อี
สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร โททอลเซมิคอนเน็กซ์ ต่อต้านปฏิกิริยาสะท้อน ความสัมพันธ์สมมูล วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ สั่งซื้อล่วงหน้า(กึ่งสั่งซื้อ) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อบางส่วน ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ยอดสั่งซื้อล่วงหน้าทั้งหมด ✗ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ คำสั่งซื้อทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การสั่งซื้อล่วงหน้า ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดลำดับแบบกึ่งดี ✗ ✗ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ การจัดระเบียบที่ดี ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ วาย ✗ ✗ โครงตาข่าย ✗ วาย ✗ ✗ วาย วาย วาย ✗ ✗ ข้อต่อเซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ วาย ✗ วาย ✗ ✗ มีท-เซมิแลตติซ ✗ วาย ✗ ✗ ✗ วาย วาย ✗ ✗ ลำดับบางส่วนที่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย คำสั่งที่เข้มงวดแต่ไม่เข้มงวด ✗ วาย ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย ลำดับที่เข้มงวดทั้งหมด ✗ วาย วาย ✗ ✗ ✗ ✗ วาย วาย สมมาตร แอนติสมมาตร เชื่อมต่อแล้ว มีเหตุผลที่ดี ได้เข้าร่วมแล้ว ได้พบปะแล้ว สะท้อนกลับ ไร้ปฏิกิริยาตอบสนอง ไม่สมมาตร คำจำกัดความสำหรับทุกคนและ${\displaystyle a,b}$${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ และ }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ หรือ }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
วายเครื่องหมาย * แสดงว่าคุณสมบัติของคอลัมน์นั้นเป็นจริงเสมอสำหรับพจน์ของแถวนั้น (ทางซ้ายสุด) ในขณะที่ เครื่องหมาย ✗แสดงว่าคุณสมบัตินั้นไม่ได้รับการรับประกันโดยทั่วไป (อาจเป็นจริงหรือไม่ก็ได้) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สมมูลทุกความสัมพันธ์เป็นสมมาตร แต่ไม่จำเป็นต้องเป็นปฏิสมมาตรจะแสดงด้วย * ในคอลัมน์ "สมมาตร" และ เครื่องหมาย ✗ในคอลัมน์ "ปฏิสมมาตร" ตามลำดับ วาย โดยปริยายแล้ว นิยามทั้งหมดกำหนดให้ความสัมพันธ์เอกพันธุ์ ต้องเป็นแบบถ่ายทอดได้ กล่าวคือ สำหรับทุกถ้าและแล้ว นิยามของคำศัพท์อาจต้องการคุณสมบัติเพิ่มเติมที่ไม่ได้ระบุไว้ในตารางนี้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle a,b,c,}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle bRc}$${\displaystyle aRc.}$

ในทางคณิตศาสตร์ความสัมพันธ์ทวิภาคเชื่อมโยงองค์ประกอบบางส่วนของเซต หนึ่ง ที่เรียกว่าโดเมนกับองค์ประกอบบางส่วนของเซตอื่น (อาจเป็นเซตเดียวกันก็ได้) ที่เรียกว่าโคโดเมน^{[ 1 ]}กล่าวคือ ความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและคือเซตของ คู่ลำดับโดยที่เป็นองค์ประกอบของและเป็นองค์ประกอบของ[ ^{2 ] มัน}เข้ารหัสแนวคิดทั่วไปของความสัมพันธ์: องค์ประกอบหนึ่งมีความสัมพันธ์กับอีกองค์ประกอบหนึ่งก็ต่อเมื่อคู่เป็นสมาชิกของเซตของคู่ลำดับที่กำหนดความสัมพันธ์ทวิภาค ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle (x,y)}$

ตัวอย่างของความสัมพันธ์ทวิภาคคือความสัมพันธ์ " หารลงตัว " ระหว่างเซตของจำนวนเฉพาะ และเซตของจำนวนเต็มซึ่งจำนวนเฉพาะแต่ละตัวมีความสัมพันธ์กับจำนวนเต็มทุกตัวที่เป็นพหุคูณของ จำนวนเฉพาะนั้น แต่ไม่มีความสัมพันธ์กับจำนวนเต็มที่ไม่ใช่พหุคูณของ จำนวนเฉพาะนั้น ในความสัมพันธ์นี้ ตัวอย่างเช่น จำนวนเฉพาะมีความสัมพันธ์กับจำนวนเช่น, , , , แต่ไม่มีความสัมพันธ์กับหรือเช่นเดียวกับจำนวนเฉพาะมีความสัมพันธ์กับ, , และแต่ไม่มีความสัมพันธ์กับ หรือ${\displaystyle \mathbb {P} }$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle z}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle -4}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 10}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 6}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle 4}$${\displaystyle 13}$

ความสัมพันธ์ทวิภาคเรียกว่าความสัมพันธ์เอกพันธุ์เมื่อ... ความสัมพันธ์ทวิภาคเรียกว่าความสัมพันธ์ต่างพันธุ์เมื่อไม่จำเป็นว่า... ${\displaystyle X=Y}$${\displaystyle X=Y}$

ความสัมพันธ์ทวิภาค โดยเฉพาะความสัมพันธ์เอกพันธุ์ ถูกนำมาใช้ในสาขาคณิตศาสตร์หลายแขนงเพื่อสร้างแบบจำลองแนวคิดที่หลากหลาย ซึ่งรวมถึงสิ่งต่อไปนี้:

• ความสัมพันธ์ " มากกว่า " " เท่ากับ " และ "หารลงตัว" ในทางเลขคณิต
• ความสัมพันธ์ " สมมาตรกับ " ในเรขาคณิต
• ความสัมพันธ์ "อยู่ติดกัน" ในทฤษฎีกราฟ ;
• ความสัมพันธ์ " ตั้งฉากกับ" ในพีชคณิตเชิงเส้น

ฟังก์ชันอาจถูกกำหนดให้เป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีที่ตรงตามข้อจำกัดเพิ่มเติม^{[ 3 ]} ความสัมพันธ์ แบบไบนารียังถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายในวิทยาศาสตร์คอมพิวเตอร์ด้วย

ความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและสามารถระบุได้ด้วยองค์ประกอบของเซตกำลังของผลคูณคาร์ทีเซียนเนื่องจากเซตกำลังเป็นแลตทิซสำหรับการรวมเซต ( ) ความสัมพันธ์จึงสามารถจัดการได้โดยใช้การดำเนินการของเซต ( ยูเนียนอินเตอร์เซกชันและคอมพลีเมนต์ ) และพีชคณิตของเซต${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle \subseteq }$

ในระบบทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ บางระบบ ความสัมพันธ์จะถูกขยายไปยังคลาสซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของเซต การขยายนี้จำเป็นสำหรับการสร้างแบบจำลองแนวคิด "เป็นสมาชิกของ" หรือ "เป็นเซตย่อยของ" ในทฤษฎีเซต โดยไม่ก่อให้เกิดความไม่สอดคล้องกันทางตรรกะ เช่นปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์

ความสัมพันธ์แบบไบนารีเป็นกรณีพิเศษที่ได้รับการศึกษามากที่สุดของความสัมพันธ์แบบ -aryบนเซตซึ่งเป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียน^{[ 2 ]}${\displaystyle n=2}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X_{1},\dots ,X_{n}}$${\displaystyle X_{1}\times \cdots \times X_{n}.}$

เมื่อกำหนดเซตและแล้ว ผลคูณคาร์ทีเซียนนิยามได้เป็นและองค์ประกอบของผลคูณคาร์ทีเซียนเรียกว่าคู่ลำดับ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle \{(x,y)\mid x\in X{\text{ และ }}y\in Y\},}$

ความสัมพันธ์ทวิภาค เหนือเซตและเป็นเซตย่อยของ^{[ 2 ] [ 4 ]}เซตนี้เรียกว่าโดเมน^{[ 2 ]}หรือเซตเริ่มต้นของและเซตนี้เรียกว่าโคโดเมนหรือเซตปลายทางของเพื่อระบุตัวเลือกของเซตและผู้เขียนบางคนกำหนดความสัมพันธ์ทวิภาคหรือการจับคู่เป็นสามลำดับโดยที่เป็นเซตย่อยของเรียกว่ากราฟของความสัมพันธ์ทวิภาค ข้อความอ่านว่า " มีความสัมพันธ์แบบ -กับ" และใช้สัญลักษณ์แทนด้วย[ ^{5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ a ] ​​โดเมน}ของคำจำกัดความหรือโดเมนที่ใช้งานอยู่^{[ 2 ]}ของคือเซตของทั้งหมดที่อย่างน้อยหนึ่งโคโดเมนของคำจำกัดความโคโดเมนที่ใช้งานอยู่^{[ 2 ]}ภาพหรือช่วงของคือเซตของทั้งหมดที่อย่างน้อยหนึ่งฟิลด์ของคือการรวมกันของโดเมนของคำจำกัดความและโคโดเมนของคำจำกัดความ^{[ 9 ] [ 10 ] [ 11 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X\times Y.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle (X,Y,G)}$${\displaystyle G}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle (x,y)\in R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle x}$${\displaystyle R}$

เมื่อความสัมพันธ์แบบไบนารีเรียกว่าความสัมพันธ์แบบเอกพันธุ์ (หรือความสัมพันธ์ภายใน ) เพื่อเน้นย้ำข้อเท็จจริงที่ว่าและสามารถแตกต่างกันได้ ความสัมพันธ์แบบไบนารีจึงเรียกว่าความสัมพันธ์แบบต่างพันธุ์ด้วย^{[ 12 ] [ 13 ] [ 14 ]}คำนำหน้าheteroมาจากภาษากรีก ἕτερος ( heteros , "อื่น ๆ อีกอย่าง แตกต่าง") ${\displaystyle X=Y,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

^{ความสัมพันธ์ ที่} ไม่เป็นเนื้อ เดียวกันเรียกว่าความสัมพันธ์แบบสี่เหลี่ยมผืนผ้า [ ^{14 ]}ซึ่งบ่งชี้ว่าไม่มีความสมมาตรแบบสี่เหลี่ยมจัตุรัสเหมือนความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันบนเซตที่นักวิจัยได้แสดงความคิดเห็นเกี่ยวกับการพัฒนาความสัมพันธ์แบบไบนารีที่นอกเหนือจากความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันว่า "...ทฤษฎีรูปแบบหนึ่งได้พัฒนาขึ้นมาโดยถือว่าความสัมพันธ์ตั้งแต่เริ่มต้นเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันหรือแบบสี่เหลี่ยมผืนผ้ากล่าวคือเป็นความสัมพันธ์ที่กรณีปกติคือความสัมพันธ์ระหว่างเซตที่แตกต่างกัน" ^{[ 15 ]}${\displaystyle A=B.}$

คำว่าcorrespondence [ ^{16 ]} dyadic relationและtwo-place relation เป็นคำพ้องความ ^หมาย กับ binary relation แม้ว่าผู้เขียนบางคนจะใช้คำว่า "binary relation" สำหรับเซตย่อยใดๆ ของผลคูณคาร์ทีเซียนโดยไม่ต้องอ้างอิงถึงand และสงวนคำว่า "correspondence" ไว้ สำหรับ binary relation ที่มีการอ้างอิงถึงand${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ในความสัมพันธ์ทวิภาค ลำดับขององค์ประกอบมีความสำคัญ ถ้าแล้วอาจเป็นจริงหรือเท็จได้โดยไม่ขึ้นอยู่กับตัวอย่างเช่นหาร ลงตัวแต่หาร ไม่ลงตัว ${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle 3}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle 9}$${\displaystyle 3}$

ถ้าและเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและ แล้วคือความสัมพันธ์ยูเนียนของและเหนือและ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R\cup S=\{(x,y)\mid xRy{\text{ หรือ }}xSy\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

องค์ประกอบเอกลักษณ์คือความสัมพันธ์ว่างเปล่า ซึ่งไม่มีสิ่งใดสัมพันธ์กับสิ่งใดเลย ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ตัวอย่างเช่นคือการรวมกันของและและคือการรวมกันของ และ${\displaystyle \leq }$${\displaystyle <}$${\displaystyle =}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle =}$

ถ้าและเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและ แล้วคือความสัมพันธ์การตัดกันของและเหนือและ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R\cap S=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}xSy\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

องค์ประกอบเอกลักษณ์คือความสัมพันธ์สากล ซึ่งทุกสิ่งมีความสัมพันธ์กัน ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ "หารด้วย 6 ลงตัว" คือจุดตัดของความสัมพันธ์ "หารด้วย 3 ลงตัว" และ "หารด้วย 2 ลงตัว"

ถ้าเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและและเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและแล้ว(หรือเขียนแทนด้วย) คือความสัมพันธ์การประกอบของและเหนือและ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle S\circ R=\{(x,z)\mid {\text{ there exists }}y\in Y{\text{ such that }}xRy{\text{ and }}ySz\}}$${\displaystyle R;S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$

ถ้าองค์ประกอบเอกลักษณ์ที่เกี่ยวข้องกับการประกอบคือความสัมพันธ์เอกลักษณ์บนซึ่งมีความสัมพันธ์เฉพาะกับตัวมันเองเท่านั้น ${\displaystyle X=Y=Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$

ลำดับของและในสัญลักษณ์ที่ใช้ในที่นี้ สอดคล้องกับลำดับสัญลักษณ์มาตรฐานสำหรับการประกอบฟังก์ชันตัวอย่างเช่น การประกอบ (เป็นแม่ของ) (เป็นแม่ของ) จะได้ (เป็นยายของ) ในขณะที่การประกอบ (เป็นแม่ของ) (เป็นแม่ของ) จะได้ (เป็นปู่ย่าตายายฝ่ายแม่ของ) สำหรับกรณีหลัง ถ้าเป็นแม่ของและเป็นแม่ของแล้วจะเป็นปู่ย่าตายายฝ่ายแม่ของ ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S\circ R}$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle \circ }$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle z}$${\displaystyle x}$${\displaystyle z}$

ถ้าเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและ แล้วจะเป็นความสัมพันธ์ผกผัน^{[ 17 ]}หรือเรียกว่าความสัมพันธ์ผกผัน^{[ 18 ]}ของเหนือและ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R^{\textsf {T}}=\{(y,x)\mid xRy\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

ตัวอย่างเช่นเป็นส่วนกลับของตัวมันเอง เช่นเดียวกับและ และเป็นส่วนกลับของกันและกัน เช่นเดียวกับและความสัมพันธ์ทวิภาคจะเท่ากับส่วนกลับของมันก็ต่อเมื่อมันเป็นความสัมพันธ์สมมาตร${\displaystyle =}$${\displaystyle \neq }$${\displaystyle <}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$${\displaystyle \geq .}$

ถ้าเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและแล้ว(หรือเขียนแทนด้วย) คือความสัมพันธ์เสริมของเหนือและ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\bar {R}}=\{(x,y)\mid \neg xRy\}}$${\displaystyle \neg R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ตัวอย่างเช่นและเป็นส่วนเติมเต็มซึ่งกันและกัน เช่นเดียวกับและ , และ, และและสำหรับลำดับสมบูรณ์ก็เช่นกันคือ และ, และและ${\displaystyle =}$${\displaystyle \neq }$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \not \subseteq }$${\displaystyle \supseteq }$${\displaystyle \not \supseteq }$${\displaystyle \in }$${\displaystyle \not \in }$${\displaystyle <}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle >}$${\displaystyle \leq }$

ส่วนเติมเต็มของความสัมพันธ์ผกผัน คือ ส่วนผกผันของส่วนเติมเต็ม:${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$${\displaystyle {\overline {R^{\mathsf {T}}}}={\bar {R}}^{\mathsf {T}}.}$

ถ้าส่วนประกอบนั้นมีคุณสมบัติดังต่อไปนี้: ${\displaystyle X=Y,}$

• ถ้าความสัมพันธ์หนึ่งสมมาตร ความสัมพันธ์ส่วนเติมเต็มก็จะสมมาตรเช่นกัน
• ความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับจะมีส่วนเติมเต็มเป็นความสัมพันธ์แบบไม่สะท้อนกลับ และในทางกลับกัน
• ส่วนเติมเต็มของลำดับอ่อนที่เข้มงวดคือลำดับก่อนสมบูรณ์ และในทางกลับกัน

ถ้าเป็นความสัมพันธ์เอกพันธุ์ ทวิภาค บนเซตและเป็นเซตย่อยของแล้วคือ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}x\in S{\text{ and }}y\in S\}}$ความ สัมพันธ์แบบจำกัดของต่อเหนือ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$

ถ้าเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและและถ้าเป็นเซตย่อยของแล้วคือ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R_{\vert S}=\{(x,y)\mid xRy{\text{ and }}x\in S\}}$ความ สัมพันธ์ การจำกัดทางซ้ายของกับเหนือและ${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

ถ้าความสัมพันธ์ใดเป็นความสัมพันธ์สะท้อนกลับ ความสัมพันธ์ไม่สะท้อนกลับความ สัมพันธ์ สมมาตรความสัมพันธ์ปฏิสมมาตรความสัมพันธ์อสมมาตรความสัมพันธ์ถ่ายทอด ความสัมพันธ์สมบูรณ์ความสัมพันธ์ไตรภาค ความสัมพันธ์ลำดับบางส่วนความ สัมพันธ์ ลำดับสมบูรณ์ความสัมพันธ์ลำดับอ่อนเข้มงวด ความสัมพันธ์ลำดับก่อนสมบูรณ์ (ลำดับอ่อน) หรือความสัมพันธ์สมมูล ความสัมพันธ์ ดังกล่าว ก็จะมีข้อจำกัดเช่นเดียวกันด้วย

อย่างไรก็ตาม การปิดแบบถ่ายทอดของการจำกัดนั้นเป็นเซตย่อยของการจำกัดของการปิดแบบถ่ายทอด กล่าวคือ โดยทั่วไปแล้วจะไม่เท่ากัน ตัวอย่างเช่น การจำกัดความสัมพันธ์ " เป็นพ่อแม่ของ" ให้เฉพาะเพศหญิง จะได้ความสัมพันธ์ " เป็นแม่ของหญิงคนนั้น" การปิดแบบถ่ายทอดของความสัมพันธ์นี้ไม่ได้เชื่อมโยงหญิงคนนั้นกับยายของเธอ ในทางกลับกัน การปิดแบบถ่ายทอดของ "เป็นพ่อแม่ของ" คือ "เป็นบรรพบุรุษของ" การจำกัดความสัมพันธ์นี้ให้เฉพาะเพศหญิงจะเชื่อมโยงหญิงคนนั้นกับยายของเธอ ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

นอกจากนี้ แนวคิดต่างๆ เกี่ยวกับความสมบูรณ์ (ซึ่งไม่ควรสับสนกับความเป็น "ทั้งหมด") ไม่สามารถนำไปใช้กับข้อจำกัดได้ ตัวอย่างเช่น สำหรับจำนวนจริงคุณสมบัติของความสัมพันธ์คือเซตย่อยที่ไม่ว่าง ทุกเซต ที่มีขอบเขตบนในจะมีขอบเขตบนที่น้อยที่สุด (หรือเรียกว่าค่าสูงสุด) ในอย่างไรก็ตาม สำหรับจำนวนตรรกยะ ค่าสูงสุดนี้ไม่จำเป็นต้องเป็นจำนวนตรรกยะ ดังนั้นคุณสมบัติเดียวกันนี้จึงไม่ใช้ได้กับข้อจำกัดของความสัมพันธ์บนจำนวนตรรกยะ ${\displaystyle \leq }$${\displaystyle S\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} .}$${\displaystyle \leq }$

ความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือเซตและเรียกว่า${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$ที่อยู่ในความสัมพันธ์เหนือและเขียนว่าถ้าเป็นเซตย่อยของนั่นคือ สำหรับทุกและถ้าแล้วถ้าอยู่ในและอยู่ในแล้วและเรียกว่าเท่ากันเขียนว่าถ้าอยู่ในแต่ไม่อยู่ในแล้วเรียกว่า${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R\subseteq S,}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y,}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle xSy}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R=S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$เล็กกว่าเขียนได้ดังนี้ ตัวอย่างเช่น ในจำนวนตรรกยะความสัมพันธ์คือ เล็กกว่าและเท่ากับการประกอบกัน ${\displaystyle S}$${\displaystyle R\subsetneq S.}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \geq }$${\displaystyle >\circ >}$

ความสัมพันธ์แบบไบนารีเหนือเซตและสามารถแสดงได้ทางพีชคณิตด้วยเมทริกซ์ตรรกะที่มีดัชนีโดยและมีรายการในเซมิริงบูลีน (การบวกสอดคล้องกับ OR และการคูณสอดคล้องกับ AND) โดยที่การบวกเมทริกซ์สอดคล้องกับการรวมกันของความสัมพันธ์การคูณเมทริกซ์สอดคล้องกับการประกอบความสัมพันธ์ (ของความสัมพันธ์เหนือและและความสัมพันธ์เหนือและ) ^{[ 19 ]}ผลคูณ Hadamardสอดคล้องกับการตัดกันของความสัมพันธ์เมทริกซ์ศูนย์สอดคล้องกับความสัมพันธ์ว่าง และเมทริกซ์หนึ่งสอดคล้องกับความสัมพันธ์สากล ความสัมพันธ์เอกพันธุ์ (เมื่อ) ก่อให้เกิดเซมิริงเมทริกซ์ (ที่จริงแล้วคือเซมิพีชคณิตเมทริกซ์เหนือเซมิริงบูลีน) โดยที่เมทริกซ์เอกลักษณ์สอดคล้องกับความสัมพันธ์เอกลักษณ์^{[ 20 ]}${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X=Y}$

ความสัมพันธ์ตัวอย่างที่ 2

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$	ลูกบอล	รถ	ตุ๊กตา	ถ้วย
จอห์น	+	−	−	−
แมรี่	−	−	+	−
ดาวศุกร์	−	+	−	−

ความสัมพันธ์ตัวอย่างที่ 1

${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$	ลูกบอล	รถ	ตุ๊กตา	ถ้วย
จอห์น	+	−	−	−
แมรี่	−	−	+	−
เอียน	−	−	−	−
ดาวศุกร์	−	+	−	−

ความสัมพันธ์ทวิภาคที่สำคัญบางประเภทบนเซตมีดังต่อไปนี้ ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

คุณสมบัติเฉพาะตัว:

• ฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง ^{[ 23 ]} (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันเอกลักษณ์ซ้าย^{[ 24 ]} ): สำหรับทุกและทุกถ้าและแล้วกล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกองค์ประกอบของโคโดเมนมี องค์ประกอบ พรีอิมเมจอย่างมากที่สุดหนึ่งองค์ประกอบ สำหรับความสัมพันธ์ดังกล่าว เรียกว่าคีย์หลักของ [ ^{2 ] ตัวอย่าง}เช่น ความสัมพันธ์ไบนารีสีเขียวและสีน้ำเงินในแผนภาพเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่ (เนื่องจากเชื่อมโยงทั้งและกับ) และความสัมพันธ์สีดำก็ไม่ใช่ (เนื่องจากเชื่อมโยงทั้งและกับ)${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle z\in Y,}$${\displaystyle xRz}$${\displaystyle yRz}$${\displaystyle x=y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle R}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 0}$
• ฟังก์ชัน^{[ 23 ] [ 25 ] [ 26 ]} (เรียกอีกอย่างว่าเอกลักษณ์ทางขวา^{[ 24 ]}หรือเอกภาค^{[ 27 ]} ): สำหรับทุกและทุกถ้าและแล้วในอีกนัยหนึ่ง ทุกองค์ประกอบของโดเมนมี องค์ประกอบ ภาพอย่างมากที่สุดหนึ่งองค์ประกอบ ความสัมพันธ์แบบไบนารีดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันบางส่วนหรือปบางส่วน^{[ 28 ]}สำหรับความสัมพันธ์ดังกล่าวเรียกว่าคีย์หลักของ ^{[ 2 ]}ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์แบบไบนารีสีแดงและสีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชัน แต่สีน้ำเงินไม่ใช่ (เนื่องจากเกี่ยวข้องกับทั้งและ) และสีดำก็ไม่ใช่ (เนื่องจากเกี่ยวข้องกับทั้งและ)${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y,z\in Y,}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle xRz}$${\displaystyle y=z}$${\displaystyle \{X\}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 1}$
• ความสัมพันธ์ แบบหนึ่งต่อหนึ่ง : เป็นความสัมพันธ์แบบฉีด (injective) และแบบฟังก์ชัน (functional) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีเขียวในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีน้ำเงิน และสีดำไม่ใช่
• หนึ่งต่อหลาย : ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) ไม่ใช่ฟังก์ชัน (functional) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีน้ำเงินในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหลาย แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีเขียว และสีดำไม่ใช่
• ความสัมพันธ์ แบบหลายต่อหนึ่ง (Many-to-one) : เป็นความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (Injective) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีแดงในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหลายต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีเขียว สีฟ้า และสีดำไม่ใช่
• ความสัมพันธ์ แบบหลายต่อหลาย (Many-to-many) : ไม่ใช่ความสัมพันธ์แบบหนึ่งต่อหนึ่ง (injective) หรือแบบฟังก์ชัน (functional) ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีดำในแผนภาพเป็นความสัมพันธ์แบบหลายต่อหลาย แต่ความสัมพันธ์สีแดง สีเขียว และสีน้ำเงินไม่ใช่

คุณสมบัติโดยรวม (กำหนดได้เฉพาะเมื่อ ระบุ โดเมนและโคโดเมนแล้ว ):${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• ทั้งหมด^{[ 23 ]} (เรียกอีกอย่างว่าทั้งหมดซ้าย^{[ 24 ]} ): สำหรับทุก ๆจะมีอยู่เช่นนั้นกล่าวอีกนัยหนึ่ง ทุกองค์ประกอบของโดเมนมี องค์ประกอบภาพ อย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบ กล่าวอีกนัยหนึ่ง โดเมนของคำจำกัดความของเท่ากับคุณสมบัตินี้แตกต่างจากคำจำกัดความของการเชื่อมต่อ (เรียกอีกอย่างว่าทั้งหมดโดยผู้เขียนบางคน) ในคุณสมบัติความสัมพันธ์ทวิภาคดังกล่าวเรียกว่าฟังก์ชันหลายค่าตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีแดงและสีเขียวในแผนภาพเป็นทั้งหมด แต่สีน้ำเงินไม่ใช่ (เนื่องจากไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงใด ๆ) และสีดำก็ไม่ใช่ (เนื่องจากไม่เกี่ยวข้องกับจำนวนจริงใด ๆ) อีกตัวอย่างหนึ่งคือ เป็นความสัมพันธ์ทั้งหมดเหนือจำนวนเต็มแต่ไม่ใช่ความสัมพันธ์ทั้งหมดเหนือจำนวนเต็มบวก เพราะไม่มีในจำนวนเต็มบวกเช่นนั้น[ ^{29 ] อย่างไรก็ตาม}เป็นความสัมพันธ์ทั้งหมดเหนือจำนวนเต็มบวก จำนวนตรรกยะ และจำนวนจริง ความสัมพันธ์สะท้อนกลับทุกอย่างเป็นทั้งหมด: สำหรับที่กำหนดให้เลือก${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle >}$${\displaystyle y}$${\displaystyle 1>y}$${\displaystyle <}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y=x}$
• ฟังก์ชันทั่วถึง^{[ 23 ]} (เรียกอีกอย่างว่าฟังก์ชันรวมทางขวา^{[ 24 ]} ): สำหรับทุกจะมีอยู่จริงที่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกองค์ประกอบของโคโดเมนมี องค์ประกอบพรีอิมเมจ อย่างน้อยหนึ่งตัว กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ โคโดเมนของนิยามของเท่ากับตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีเขียวและสีน้ำเงินในแผนภาพเป็นฟังก์ชันทั่วถึง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่ (เนื่องจากไม่ได้เชื่อมโยงจำนวนจริงใดๆ กับ) และความสัมพันธ์สีดำก็ไม่ใช่ (เนื่องจากไม่ได้เชื่อมโยงจำนวนจริงใดๆ กับ)${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle 2}$

คุณสมบัติความเป็นเอกลักษณ์และความสมบูรณ์ (สามารถกำหนดได้เฉพาะเมื่อ ระบุ โดเมนและโคโดเมนแล้ว ):${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

• ฟังก์ชัน(เรียกอีกอย่างว่าการแมป^{[ 24 ]} ): ความสัมพันธ์แบบไบนารีที่เป็นฟังก์ชันและสมบูรณ์ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ทุกองค์ประกอบของโดเมนมี องค์ประกอบภาพ เพียงหนึ่งเดียว ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์แบบไบนารีสีแดงและสีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชัน แต่ความสัมพันธ์แบบไบนารีสีน้ำเงินและสีดำไม่ใช่
  • ฟังก์ชันหนึ่ง ต่อหนึ่ง ( Injection function) คือฟังก์ชันที่มีคุณสมบัติเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่ และความสัมพันธ์สีดำและสีน้ำเงินนั้นไม่ใช่ฟังก์ชันด้วยซ้ำ
  • ฟังก์ชันทั่วถึง (Surjection) : ฟังก์ชันที่เป็นฟังก์ชันส่งทั่วถึง ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์สีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชันส่งทั่วถึง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่
  • ฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง (Bijection) : ฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและฟังก์ชันทั่วถึง กล่าวคือ ทุกองค์ประกอบในโดเมนจะมี องค์ประกอบภาพ เพียงหนึ่งเดียว และทุกองค์ประกอบในโคโดเมนจะมี องค์ประกอบต้นแบบ เพียงหนึ่งเดียว ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์ทวิภาคสีเขียวในแผนภาพเป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งทั่วถึง แต่ความสัมพันธ์สีแดงไม่ใช่

หากอนุญาตให้มีความสัมพันธ์ระหว่างคลาสที่เหมาะสม:

• เซตแบบ (เรียกอีกอย่างว่าแบบท้องถิ่น ): สำหรับทุก ๆคลาสของทั้งหมดที่ทำให้ นั่นคือเป็นเซต ตัวอย่างเช่น ความสัมพันธ์เป็นแบบเซต และความสัมพันธ์ทุกอย่างบนสองเซตเป็นแบบเซต^{[ 30 ]}การเรียงลำดับปกติ < บนคลาสของจำนวนเชิงอันดับเป็นความสัมพันธ์แบบเซต ในขณะที่ผกผัน > ไม่ใช่${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle y\in Y}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle \{y\in Y,yRx\}}$${\displaystyle \in }$

ความสัมพันธ์ทางคณิตศาสตร์บางอย่าง เช่น "เท่ากับ" "เซตย่อยของ" และ "เป็นสมาชิกของ" ไม่สามารถเข้าใจได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ทวิภาคตามที่นิยามไว้ข้างต้น เพราะโดเมนและโคโดเมนของความสัมพันธ์เหล่านั้นไม่สามารถถือว่าเป็นเซตในระบบทฤษฎีเซตเชิงสัจพจน์ ทั่วไปได้ ตัวอย่างเช่น ในการจำลองแนวคิดทั่วไปของ "ความเท่าเทียม" ในฐานะความสัมพันธ์ทวิภาค เราต้องกำหนดให้โดเมนและโคโดเมนเป็น "กลุ่มของเซตทั้งหมด" ซึ่งไม่ใช่เซตในทฤษฎีเซตทั่วไป ${\displaystyle =}$

ในบริบททางคณิตศาสตร์ส่วนใหญ่ การอ้างอิงถึงความสัมพันธ์ของความเท่าเทียมกัน การเป็นสมาชิก และเซตย่อยนั้นไม่เป็นอันตราย เพราะสามารถเข้าใจได้โดยปริยายว่าถูกจำกัดไว้เฉพาะเซตบางเซตในบริบทนั้น วิธีแก้ปัญหาโดยทั่วไปคือการเลือกเซตที่ "ใหญ่พอ" ซึ่งประกอบด้วยวัตถุที่สนใจทั้งหมด และใช้ข้อจำกัดแทน ในทำนองเดียวกัน ความสัมพันธ์ "เซตย่อยของ" จำเป็นต้องถูกจำกัดให้มีโดเมนและโคโดเมน(เซตกำลังของเซตเฉพาะ) ความสัมพันธ์ของเซตที่ได้สามารถแสดงได้ด้วย นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ "สมาชิกของ" จำเป็นต้องถูกจำกัดให้มีโดเมนและโคโดเมนเพื่อให้ได้ความสัมพันธ์ทวิภาคที่เป็นเซตเบอร์แทรนด์ รัสเซลล์ได้แสดงให้เห็นว่าการสมมติว่าถูกกำหนดไว้เหนือเซตทั้งหมดนำไปสู่ความขัดแย้งในทฤษฎี เซตแบบง่ายๆดูได้จากปรากฏการณ์ขัดแย้งของรัสเซลล์${\displaystyle A}$${\displaystyle =_{A}}$${\displaystyle =}$${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \subseteq _{A}.}$${\displaystyle A}$${\displaystyle P(A)}$${\displaystyle \in _{A}}$${\displaystyle \in }$

วิธีแก้ปัญหาอีกวิธีหนึ่งคือการใช้ทฤษฎีเซตที่มีคลาสที่เหมาะสม เช่น ทฤษฎีเซต NBGหรือMorse–Kelleyและอนุญาตให้โดเมนและโคโดเมน (และกราฟ) เป็นคลาสที่เหมาะสมในทฤษฎีดังกล่าว ความเท่าเทียมกัน การเป็นสมาชิก และเซตย่อยเป็นความสัมพันธ์แบบไบนารีโดยไม่ต้องอธิบายเป็นพิเศษ (จำเป็นต้องมีการปรับเปลี่ยนเล็กน้อยในแนวคิดของสามสิ่งเรียงลำดับเนื่องจากโดยปกติแล้วคลาสที่เหมาะสมไม่สามารถเป็นสมาชิกของทูเปิลเรียงลำดับได้ หรือแน่นอนว่าเราสามารถระบุความสัมพันธ์แบบไบนารีกับกราฟในบริบทนี้ได้) ^{[ 31 ]}ด้วยคำจำกัดความนี้ ตัวอย่างเช่น เราสามารถกำหนดความสัมพันธ์แบบไบนารีเหนือทุกเซตและเซตกำลังของมันได้ ${\displaystyle (X,Y,G)}$

ความสัมพันธ์เอกพันธุ์เหนือเซตคือความสัมพันธ์ทวิภาคเหนือตัวมันเอง กล่าวคือเป็นเซตย่อยของผลคูณคาร์ทีเซียน^{[ 14 ] [ 32 ] [ 33 ]}เรียกอีกอย่างว่าความสัมพันธ์ (ทวิภาค) เหนือ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times X.}$${\displaystyle X}$

ความสัมพันธ์เอกพันธุ์บนเซต หนึ่งๆ สามารถระบุได้ด้วยกราฟแบบง่ายที่มีทิศทางซึ่งอนุญาตให้มีวงวนโดยที่คือเซตของจุดยอด และคือเซตของขอบ (มีขอบจากจุดยอดหนึ่งไปยังอีกจุดยอดหนึ่งก็ต่อเมื่อ) เซตของความสัมพันธ์เอกพันธุ์ทั้งหมดบนเซตหนึ่งๆคือเซตกำลังซึ่งเป็นพีชคณิตบูลีนที่เสริมด้วยการผกผันของการแมปความสัมพันธ์หนึ่งไปยังความสัมพันธ์ผกผัน ของมัน เมื่อพิจารณาการประกอบความสัมพันธ์เป็นการดำเนินการทวิภาคบนมันจะก่อให้เกิด เซมิกรุ ป ที่มีการผกผัน${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle 2^{X\times X}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}(X)}$

คุณสมบัติสำคัญบางประการที่ความสัมพันธ์เอกพันธุ์บนเซตอาจมีได้ ได้แก่: ${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$

• ความสัมพันธ์สะท้อนกลับ : สำหรับทุก ๆตัวอย่างเช่นเป็นความสัมพันธ์สะท้อนกลับ แต่ > ไม่ใช่${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle xRx}$${\displaystyle \geq }$
• ความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ : สำหรับทุกสิ่งที่ไม่ใช่ตัวอย่างเช่นเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ แต่ไม่ใช่${\displaystyle x\in X,}$${\displaystyle xRx}$${\displaystyle >}$${\displaystyle \geq }$
• สมมาตร : สำหรับทุกเงื่อนไข "ถ้า...แล้ว..." ตัวอย่างเช่น "เป็นญาติทางสายเลือดของ..." เป็นความสัมพันธ์แบบสมมาตร${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$
• สมมาตรแบบผกผัน : สำหรับทุกถ้าและแล้วตัวอย่างเช่นเป็นความสัมพันธ์แบบสมมาตรแบบผกผัน ^{[ 34 ]}${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle x=y.}$${\displaystyle \geq }$
• สมมาตร : สำหรับทุกถ้าแล้วไม่ใช่ความสัมพันธ์จะเป็นสมมาตรก็ต่อเมื่อเป็นทั้งปฏิสมมาตรและไม่สะท้อน ^{[ 35 ]}ตัวอย่างเช่น > เป็นความสัมพันธ์สมมาตร แต่ไม่ใช่${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle \geq }$
• ความสัมพันธ์ แบบถ่ายทอด : สำหรับทุกถ้าและแล้วความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดจะไม่สะท้อนกลับก็ต่อเมื่อมันไม่สมมาตร ^{[ 36 ]}ตัวอย่างเช่น "เป็นบรรพบุรุษของ" เป็นความสัมพันธ์แบบถ่ายทอด ในขณะที่ "เป็นพ่อแม่ของ" ไม่ใช่${\displaystyle x,y,z\in X,}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRz}$${\displaystyle xRz}$
• เชื่อมต่อ : สำหรับทุกเงื่อนไขifthenหรือ.${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle x\neq y}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$
• เชื่อมโยงอย่างแน่นแฟ้น : สำหรับทุกฝ่ายหรือ...${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$
• หนาแน่น : สำหรับทุกค่าถ้าจะค่าบางค่าอยู่จริงที่ทำให้และ${\displaystyle x,y\in X,}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle z\in X}$${\displaystyle xRz}$${\displaystyle zRy}$

ลำดับบางส่วนเป็นความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตรผกผัน และถ่ายทอดได้ลำดับบางส่วนที่เข้มงวดเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ ไม่สมมาตร และถ่ายทอดได้ลำดับทั้งหมดเป็นความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตรผกผัน ถ่ายทอดได้ และเชื่อมโยงกัน^{[ 37 ]}ลำดับทั้งหมดที่เข้มงวดเป็นความสัมพันธ์ที่ไม่สะท้อนกลับ ไม่สมมาตร ถ่ายทอดได้ และเชื่อมโยงกันความสัมพันธ์สมมูลเป็นความสัมพันธ์ที่สะท้อนกลับ สมมาตร และถ่ายทอดได้ ตัวอย่างเช่น " หารลงตัว" เป็นลำดับบางส่วน แต่ไม่ใช่ลำดับทั้งหมดบนจำนวนธรรมชาติ " เป็นลำดับทั้งหมดที่เข้มงวดบนและ " ขนานกับ" เป็นความสัมพันธ์สมมูลบนเซตของเส้นตรงทั้งหมดในระนาบ ยุคลิด${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \mathbb {N} ,}$${\displaystyle x<y}$${\displaystyle \mathbb {N} ,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

การดำเนินการทั้งหมดที่กำหนดไว้ในส่วน§ การดำเนินการยังใช้ได้กับความสัมพันธ์เอกพันธุ์ด้วย นอกจากนั้น ความสัมพันธ์เอกพันธุ์บนเซตอาจถูกดำเนินการปิด เช่น: ${\displaystyle X}$

การปิดแบบสะท้อนกลับ

ความสัมพันธ์สะท้อนกลับที่เล็กที่สุดเหนือการบรรจุ${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$

การปิดแบบส่งผ่าน

ความสัมพันธ์แบบถ่ายทอดที่เล็กที่สุดที่ประกอบด้วย${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$

การปิดสมดุล

ความสัมพันธ์สมมูลที่เล็กที่สุดเหนือซึ่งประกอบด้วย${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$

ความก้าวหน้าในตรรกศาสตร์เชิงพีชคณิตได้อำนวยความสะดวกในการใช้ความสัมพันธ์ทวิภาคแคลคูลัสของความสัมพันธ์ประกอบด้วยพีชคณิตของเซตซึ่งขยายโดยการประกอบความสัมพันธ์และการใช้ความสัมพันธ์ผกผัน ความหมายของการรวมที่บ่งบอกว่ากำหนดฉากในโครงข่ายของความสัมพันธ์ แต่เนื่องจากสัญลักษณ์การรวมนั้นเกินความจำเป็น อย่างไรก็ตาม การประกอบความสัมพันธ์และการจัดการตัวดำเนินการตามกฎของชโรเดอร์ทำให้เกิดแคลคูลัสที่สามารถทำงานในเซตกำลังของ${\displaystyle R\subseteq S,}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle aSb}$${\displaystyle P\subseteq Q\equiv (P\cap {\bar {Q}}=\varnothing )\equiv (P\cap Q=P),}$${\displaystyle A\times B.}$

ตรงกันข้ามกับความสัมพันธ์ที่เป็นเนื้อเดียวกันการประกอบความสัมพันธ์ของการดำเนินการเป็นเพียงฟังก์ชันบางส่วน เท่านั้น ความจำเป็นในการจับคู่เป้าหมายกับแหล่งที่มาของความสัมพันธ์ที่ประกอบขึ้นได้นำไปสู่ข้อเสนอแนะว่าการศึกษาความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเนื้อเดียวกันเป็นบทหนึ่งของทฤษฎีหมวดหมู่เช่นเดียวกับในหมวดหมู่ของเซตยกเว้นว่ามอร์ฟิซึมของหมวดหมู่นี้คือความสัมพันธ์วัตถุของหมวดหมู่Relคือเซต และมอร์ฟิซึมความสัมพันธ์จะประกอบกันตามที่ต้องการในหมวดหมู่^{[ 38 ]}

ความสัมพันธ์แบบทวิภาคได้รับการอธิบายผ่านโครงข่ายแนวคิด ที่เกิดขึ้น : แนวคิด หนึ่งๆ ต้องมีคุณสมบัติสองประการ: ${\displaystyle C\subset R}$

• เมทริกซ์ตรรกะของคือผลคูณภายนอกของเวกเตอร์ตรรกะ${\displaystyle C}$${\displaystyle C_{ij}=u_{i}v_{j},\quad u,v}$
• ${\displaystyle C}$มีค่าสูงสุด ไม่ถูกบรรจุอยู่ในผลคูณภายนอกอื่นใด ดังนั้นจึงถูกอธิบายว่าเป็นสี่เหลี่ยมผืนผ้าที่ไม่สามารถขยายได้${\displaystyle C}$

สำหรับความสัมพันธ์ที่กำหนดเซตของแนวคิดซึ่งขยายออกโดยการเชื่อมต่อและการตัดกัน จะก่อให้เกิด "โครงข่ายแนวคิดแบบเหนี่ยวนำ" โดยการรวมจะก่อให้เกิดลำดับเบื้องต้น ${\displaystyle R\subseteq X\times Y,}$${\displaystyle \sqsubseteq }$

ทฤษฎีบทการเติมเต็มของ MacNeille (1937) (ที่ว่าลำดับบางส่วนใดๆ ก็สามารถฝังอยู่ในแลตทิซที่สมบูรณ์ได้ ) ได้รับการอ้างถึงในบทความสำรวจปี 2013 เรื่อง "การแยกส่วนของความสัมพันธ์บนแลตทิซแนวคิด" ^{[ 39 ]}การแยกส่วนคือ

${\displaystyle R=fEg^{\textsf {T}}}$โดยที่และเป็นฟังก์ชัน ซึ่งในบริบทนี้ เรียกว่าการแมปปิ้งหรือ ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันแบบซ้ายทั้งหมด "แลตทิซแนวคิดที่เหนี่ยวนำนั้นสมมาตรกับการเติมเต็มแบบตัดของลำดับบางส่วนที่อยู่ในการแยกส่วนขั้นต่ำของความสัมพันธ์"${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle E}$${\displaystyle (f,g,E)}$${\displaystyle R}$

กรณีเฉพาะต่างๆ จะถูกพิจารณาไว้ด้านล่าง: ลำดับสมบูรณ์สอดคล้องกับประเภทของเฟอร์เรอร์ และเอกลักษณ์สอดคล้องกับไดฟังก์ชันนัล ซึ่งเป็นการวางนัยทั่วไปของความสัมพันธ์สมมูลบนเซต ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$

ความสัมพันธ์อาจถูกจัดอันดับโดยอันดับ Scheinซึ่งนับจำนวนแนวคิดที่จำเป็นในการครอบคลุมความสัมพันธ์^{[ 40 ]}การวิเคราะห์โครงสร้างของความสัมพันธ์กับแนวคิดเป็นแนวทางสำหรับ การ ทำเหมืองข้อมูล^{[ 41 ]}

• ข้อเสนอ : ถ้าเป็นความสัมพันธ์ทั่วถึงและเป็นทรานสโพสของมัน แล้ว โดยที่เป็นความสัมพันธ์เอกลักษณ์${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{\mathsf {T}}}$${\displaystyle I\subseteq R^{\textsf {T}}R}$${\displaystyle I}$${\displaystyle m\times m}$
• ข้อเสนอ : ถ้าเป็นความสัมพันธ์แบบอนุกรมแล้ว โดยที่เป็นความสัมพันธ์เอกลักษณ์${\displaystyle R}$${\displaystyle I\subseteq RR^{\textsf {T}}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle n\times n}$

แนวคิดของความสัมพันธ์แบบสองฟังก์ชันคือการแบ่งวัตถุโดยแยกแยะคุณลักษณะ ซึ่งเป็นการขยายแนวคิดของความสัมพันธ์สมมูลวิธีหนึ่งที่สามารถทำได้คือการใช้ชุดตัวบ่งชี้ คั่นกลาง ความสัมพันธ์ในการแบ่งส่วนเป็นการ ประกอบกัน ของความสัมพันธ์โดยใช้ความสัมพันธ์เชิง ฟังก์ชัน ฌาคส์ ริเกต์ตั้งชื่อความสัมพันธ์เหล่านี้ ว่าความสัมพันธ์ แบบสอง ฟังก์ชัน เนื่องจากองค์ประกอบดังกล่าวเกี่ยวข้องกับความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชัน ซึ่งโดยทั่วไปเรียกว่าฟังก์ชัน ย่อย${\displaystyle Z=\{x,y,z,\ldots \}}$${\displaystyle R=FG^{\textsf {T}}}$${\displaystyle F\subseteq A\times Z{\text{ and }}G\subseteq B\times Z.}$${\displaystyle FG^{\mathsf {T}}}$

ในปี พ.ศ. 2493 Riguet แสดงให้เห็นว่าความสัมพันธ์ดังกล่าวเป็นไปตามเงื่อนไขการรวม: ^{[ 42 ]}

$${\displaystyle RR^{\textsf {T}}R\subseteq R}$$

ในทฤษฎีออโตมาตาคำว่าความสัมพันธ์สี่เหลี่ยมผืนผ้ายังถูกใช้เพื่อแสดงถึงความสัมพันธ์แบบสองฟังก์ชัน คำศัพท์นี้ระลึกถึงข้อเท็จจริงที่ว่า เมื่อแสดงเป็นเมทริกซ์ตรรกะคอลัมน์และแถวของความสัมพันธ์แบบสองฟังก์ชันสามารถจัดเรียงเป็นเมทริกซ์บล็อกที่มีบล็อกสี่เหลี่ยมผืนผ้าของเลขหนึ่งบนเส้นทแยงมุมหลัก (ไม่สมมาตร) ^{[ 43 ]} ใน ทางที่เป็นทางการมากขึ้น ความสัมพันธ์บนจะเป็นแบบสองฟังก์ชันก็ต่อเมื่อสามารถเขียนเป็นผลรวมของผลคูณคาร์ทีเซียนโดยที่เป็นการแบ่งส่วนของเซตย่อยของและ ในทำนองเดียวกัน เป็นการแบ่งส่วนของเซตย่อยของ^{[ 44 ]}${\displaystyle R}$${\displaystyle X\times Y}$${\displaystyle A_{i}\times B_{i}}$${\displaystyle A_{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle B_{i}}$${\displaystyle Y}$

โดยใช้สัญลักษณ์ความสัมพันธ์แบบสองฟังก์ชันยังสามารถกำหนดลักษณะได้ว่าเป็นความสัมพันธ์ที่เมื่อใดก็ตามที่และมีส่วนตัดกันที่ไม่ว่างเปล่า เซตทั้งสองนี้จะตรงกันอย่างเป็นทางการหมายความว่า^{[ 45 ]}${\displaystyle \{y\mid xRy\}=xR}$${\displaystyle R}$${\displaystyle x_{1}R}$${\displaystyle x_{2}R}$${\displaystyle x_{1}\cap x_{2}\neq \varnothing }$${\displaystyle x_{1}R=x_{2}R.}$

ในปี พ.ศ. 2540 นักวิจัยพบว่า "ประโยชน์ของการแยกส่วนไบนารีโดยอาศัยการพึ่งพาแบบสองฟังก์ชันใน การจัดการ ฐานข้อมูล " ^{[ 46 ]}นอกจากนี้ ความสัมพันธ์แบบสองฟังก์ชันยังเป็นพื้นฐานในการศึกษาการจำลองแบบไบนารี^{[ 47 ]}

ในบริบทของความสัมพันธ์ที่เป็นเอกพันธุ์ความสัมพันธ์สมมูลบางส่วนจะเป็นแบบสองฟังก์ชัน

ลำดับที่เข้มงวดบนเซตคือความสัมพันธ์ที่เป็นเอกพันธุ์ที่เกิดขึ้นในทฤษฎีลำดับในปี พ.ศ. 2494 Jacques Riguetได้นำการเรียงลำดับของพาร์ติชันจำนวนเต็มที่เรียกว่าแผนภาพ Ferrers มาใช้ เพื่อขยายการเรียงลำดับไปสู่ความสัมพันธ์ไบนารีโดยทั่วไป^{[ 48 ]}

เมทริกซ์เชิงตรรกะที่สอดคล้องกับความสัมพันธ์ทวิภาคทั่วไปจะมีแถวที่ลงท้ายด้วยลำดับของเลขหนึ่ง ดังนั้น จุดในแผนภาพของเฟอร์เรอร์จึงเปลี่ยนเป็นเลขหนึ่งและเรียงชิดขวาในเมทริกซ์

ประโยคพีชคณิตที่จำเป็นสำหรับความสัมพันธ์ประเภทเฟอร์เรอร์ R คือ $${\displaystyle R{\bar {R}}^{\textsf {T}}R\subseteq R.}$$

ถ้าความสัมพันธ์ใดความสัมพันธ์หนึ่งเป็นประเภทเฟอร์เรอร์ ความสัมพันธ์ทั้งหมดก็จะเป็นประเภทเฟอร์เรอร์เช่นกัน ^{[ 49 ]}${\displaystyle R,{\bar {R}},R^{\textsf {T}}}$

สมมติว่าเป็นเซตกำลังของ ซึ่ง เป็นเซตของ เซตย่อยทั้งหมดของแล้วความสัมพันธ์จะเป็นความสัมพันธ์สัมผัสได้ก็ต่อเมื่อมีคุณสมบัติสามประการดังนี้: ${\displaystyle B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle g}$

1. ${\displaystyle {\text{for all }}x\in A,Y=\{x\}{\text{ implies }}xgY.}$
2. ${\displaystyle Y\subseteq Z{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.}$
3. ${\displaystyle {\text{for all }}y\in Y,ygZ{\text{ and }}xgY{\text{ implies }}xgZ.}$

ความสัมพันธ์ของการเป็นสมาชิกเซต "เป็นองค์ประกอบของ" ตรงตามคุณสมบัติเหล่านี้ ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์แบบสัมผัส แนวคิดของความสัมพันธ์แบบสัมผัสทั่วไปได้รับการแนะนำโดยGeorg Aumannในปี 1970 ^{[ 50 ] [ 51 ]}${\displaystyle \epsilon =}$${\displaystyle \epsilon }$

ในแง่ของแคลคูลัสของความสัมพันธ์ เงื่อนไขที่เพียงพอสำหรับความสัมพันธ์การสัมผัสรวมถึง โดยที่เป็นการผกผันของการเป็นสมาชิกเซต ( ) ^{[ 52 ] : 280} $${\displaystyle C^{\textsf {T}}{\bar {C}}\subseteq \ni {\bar {C}}\equiv C{\overline {\ni {\bar {C}}}}\subseteq C,}$$${\displaystyle \ni }$${\displaystyle \in }$

ความสัมพันธ์ทุกอย่างสร้างลำดับก่อนหน้าซึ่งเป็นส่วนที่เหลือทางซ้าย [ ^{53 ] ใน}แง่ของการผกผันและส่วนเติมเต็มการสร้างแนวทแยงของแถวที่สอดคล้องกันของและคอลัมน์ของจะมีค่าตรรกะตรงข้ามกัน ดังนั้นแนวทแยงจึงเป็นศูนย์ทั้งหมด จากนั้น ${\displaystyle R}$${\displaystyle R\backslash R}$${\displaystyle R\backslash R\equiv {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}.}$${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}$${\displaystyle R^{\textsf {T}}}$${\displaystyle {\bar {R}}}$

${\displaystyle R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\bar {I}}\implies I\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}=R\backslash R}$ดังนั้นจึงเป็นความสัมพันธ์แบบสะท้อนกลับ${\displaystyle R\backslash R}$

เพื่อแสดงให้เห็นถึงคุณสมบัติการถ่ายทอดจำเป็นต้องให้จำไว้ว่าคือความสัมพันธ์ที่ใหญ่ที่สุดที่ทำให้ดังนั้น ${\displaystyle (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$${\displaystyle X=R\backslash R}$${\displaystyle RX\subseteq R.}$

${\displaystyle R(R\backslash R)\subseteq R}$

${\displaystyle R(R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R}$(ทำซ้ำ)

${\displaystyle \equiv R^{\textsf {T}}{\bar {R}}\subseteq {\overline {(R\backslash R)(R\backslash R)}}}$(กฎของชโรเดอร์)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq {\overline {R^{\textsf {T}}{\bar {R}}}}}$(การเติมเต็ม)

${\displaystyle \equiv (R\backslash R)(R\backslash R)\subseteq R\backslash R.}$(คำนิยาม)